拿破仑三角形_范文大全

拿破仑三角形

【范文精选】拿破仑三角形

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【专家解析】拿破仑三角形

【优秀范文】拿破仑三角形

范文一:拿破仑三角形 投稿:陆橼橽

证明: 如图,分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长,向△ABC外作等边三角形(△BCC'、△ACA'、△ABB'),设这三个三角形的中心分别为D,E,F, 则:∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30° 以点A为圆心,以AF长为半径作弧;以点E为圆心,以DC长为半径作弧。设两弧在多边形AFBDCE内交于点G。则AG=AF,GE=DC。 连接GF、GA、GE,DE、DF、EF。 ∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形(即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°) ∴△ABF∽△BCD∽△ACE, ∴AF/AB = AE/AC = DC/BC, 又∵AG=AF,GE=DC, ∴AG/AB = AE/AC = GE/BC, ∴△AGE∽△ABC, ∴∠GAE=∠BAC, ∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°, 又∵AG=AF, ∴△AGF为等边三角形, ∴AG=AF,∠AGF=60°, ∵△AGE∽△ABC, ∴∠AGE=∠ABC, 又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°, ∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°, ∴∠FBD=∠FGE, ∵在△FBD和△FGE中, FB=FG,∠FBD=∠FGE,BD=GE, ∴△FBD≌△FGE(SAS), ∴FD=FE, 同理,FD=DE, ∵FD=DE=FE, ∴△DEF为等边三角形。 即“外拿破仑三角形”是等边三角形。(在任意一个三角形的三条边上分别向外作出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形)

范文二:拿破仑三角形[1] 投稿:武摡摢

在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形。(这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“外拿破仑三角形”) 已知△ABC,由它的三边分别向外做三角个正三角形△ADC、△BCE、△ABF,它们的中心分别为G、H、I,求证:△GHI是正三角形

.

证明提示:连结AG,CG,AI,BI,HC,BC,AJ,GJ,作AJ=AG,IJ=CH,

∵△ACD、△BCE、△ABF为正三角形

∴∠GAC=∠GCA=∠HBC=∠HCB=∠IAB=∠IBA=30°

∴△ABF∽△BCD∽△ACE

∴AG:AC = AI:AB = HC:BC

由于AG=AJ,IJ=HC

∴AJ:AC = AI:AB = IJ:BC,

∴△AIJ∽△ABC

∴∠IAJ=∠BAC,∠AJI=∠ACB

∴∠JAG = ∠GAI-∠JAI = ∠GAI-∠BAC = ∠GAC+∠BAI = 60°

又∵AG=AJ

∴△AGJ为等边三角形

∴∠AJG=60°

从而得∠FBD = ∠GJI

再证明△GCH≌△GIJ

可得:GH=GI

同理可证:HI=GI

∴△GHI为等边三角形.

- 1 -

范文三:拿破仑三角形 投稿:郑繀繁

如图,分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长,

向△ABC外作等边三角形(△BCC'、△ACA'、△ABB'),

设这三个三角形的中心分别为D,E,F,

则:∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°

以点A为圆心,以AF长为半径作弧;以点E为圆心,以DC长为半径作弧。设两弧在多边形AFBDCE内交于点G。

则AG=AF,GE=DC。

连接GF、GA、GE,DE、DF、EF。

∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形(即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°)

∴△ABF∽△BCD∽△ACE,

∴AF/AB = AE/AC = DC/BC

又∵AG=AF,GE=DC

∴AG/AB = AE/AC = GE/BC

∴△AGE∽△ABC

∴∠GAE=∠BAC

∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°

又∵AG=AF

∴△AGF为等边三角形

∴AG=AF,∠AGF=60°

∵△AGE∽△ABC

∴∠AGE=∠ABC

又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°

∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°

∴∠FBD=∠FGE

∵在△FBD和△FGE中, FB=FG,∠FBD=∠FGE,BD=GE

∴△FBD≌△FGE(SAS)

∴FD=FE

同理,FD=DE

∵FD=DE=FE

∴△DEF为等边三角形

即“外拿破仑三角形”是等边三角形。(在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形) 证明“内拿破仑三角形”是等边三角形过程与此相同,有兴趣的话你也可以自己试试!

范文四:拿破仑三角形 投稿:黎渕渖

拿破仑三角形

安徽 李庆社

你一定觉得很奇怪,还有三角形用拿破仑这个名子来命名的呢!拿破仑与我们的几何图形三角形有什么关系?

少年朋友知道拿破仑是法国著名的军事家、政治家、大革命的领导者、法兰西共和国的缔造者,但对他任过炮兵军官,对与射击、测量有关的几何等知识素有研究,却知道得就不多了吧!

史料记载,拿破仑攻占意大利之后,把意大利图书馆中有价值的文献,包括欧几里德的名著《几何原本》都送回了巴黎,他还对法国数学家提出了“如何用圆规将圆周四等分”的问题,被法国数学家曼彻罗尼所解决。据说拿破仑在统治法国之前,曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题。拿破仑在数学上的真知灼见竟使他们惊服,以至于他们向拿破仑提出了这样一个要求:“将军,我们最后有个请求,你来给大家上一次几何课吧!” 你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相当造诣的数学爱好者吧!不少几何史上有名的题目还和拿破仑有着关联,他曾经研究过的三角形称为“拿破仑三角形”,而且还是一个很有趣的三角形。

在任意△ABC的外侧,分别作等边△ABD、△BCE、△CAF,则AE、AB、CD三线共点,并且AE=BF=CD,如下图。这个命题称为拿破仑定理。

以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF,它们的外接圆⊙

⊙ 、的圆心构成的△

——外拿破仑的三角形。⊙

外拿破仑三角形是一个等边三角形,如下图。 、⊙ 、⊙ 、⊙ 、 三圆共点,

1

△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF,它们的外接圆⊙⊙ 、⊙ 的圆心构成的△

——内拿破仑三角形⊙ 、⊙ 、⊙圆共点,内拿破仑三角形也是一个等边三角形。如下图。

、 三

由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形,这两个三角形还具有相同的中心。少年朋友,你是否惊讶拿破仑是一位军事家、政治家,同时还是一位受异书籍、热爱知识的数学家呢?拿破仑定理、拿破仑三角形及其性质是否更让你非常惊讶、有趣呢?

安徽岳西县城关中学李庆社(246600)

联系电话:05562173802 13955622882

mmtlqs@yahoo.com.cn

QQ:530158005

2

范文五:拿破仑三角形的证明 投稿:许磍磎

拿破仑三角形的证明

在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形。这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“外拿破仑三角形”。 这里提供一种最简单的证明方法,只需初中的水平就可以理解了:

证明:设三角形ABC对应边外的正三角形的中心分别为D,E,F,

则:∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°

在多边形AFBDCE中作一点G,使AG=AF,GE=DC。连接GF、GA、GE,DE、DF、EF。 ∵△ABF、△BCD、△ACE均为底角等于30°的等腰三角形(即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°)∴△ABF∽△BCD∽△ACE

∴AF/AB = AE/AC = DC/BC

而AG=AF,GE=DC

∴AG/AB = AE/AC = GE/BC,

∴△AGE∽△ABC

∴∠GAE=∠BAC,∠AGE=∠ABC

∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°

又∵AG=AF

∴△AGF为等边三角形

∴AG=AF,∠AGF=60°

∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°

∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°

∴∠FBD=∠FGE(∠AGE=∠ABC)

∵在△FBD和△FGE中,

FB=FG,∠FBD=∠FGE,BD=GE

∴△FBD≌△FGE(SAS)

∴FD=FE

同理可证:FD=DE

则 △DEF为等边三角形 <证毕>

如果换成是在任意一个三角形的三条边上分别向内做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心仍能构成一个等边三角形,称“内拿破仑三角形”。 证明过程同上,完全相同。

范文六:拿破仑三角形证明 投稿:孙熷熸

拿破仑三角形证明(方法1)(附图)(半原创)

在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形。这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“外拿破仑三角形”。

这里提供一种最简单的证明方法,只需初中的水平就可以理解了:

证明:

设三角形ABC对应边外的正三角形的中心分别为D,E,F,

则:∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°

在多边形AFBDCE中作一点G,使AG=AF,GE=DC。

连接GF、GA、GE,DE、DF、EF。

∵△ABF、△BCD、△ACE均为底角等于30°的等腰三角形(即

∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°)

∴△ABF∽△BCD∽△ACE

∴AF/AB = AE/AC = DC/BC

而AG=AF,GE=DC

∴AG/AB = AE/AC = GE/BC,

∴△AGE∽△ABC

∴∠GAE=∠BAC,∠AGE=∠ABC

∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°

又∵AG=AF

∴△AGF为等边三角形

∴AG=AF,∠AGF=60°

∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°

∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°

∴∠FBD=∠FGE(∠AGE=∠ABC)

∵在△FBD和△FGE中,

FB=FG,∠FBD=∠FGE,BD=GE

∴△FBD≌△FGE(SAS)

∴FD=FE

同理可证:FD=DE

则 △DEF为等边三角形 <证毕>

如果换成是在任意一个三角形的三条边上分别向内做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心仍能构成一个等边三角形,称“内拿破仑三角形”。 证明过程同上,完全相同。

范文七:对称与拿破仑三角形 投稿:龚柝柞

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墨 苑 纵横 

中学 生 数 学 

2 0 0 4年 2月 上 

对称 与拿破仑三角形  

浙 江 省绍 兴 县 柯 桥 中学 ( 3 1 2 0 3 0 )   沈 夼  在一 个 随意 的图形 中, 发 现一 种规 律 , 比 

A Q=  f ,   PA Q = 3 0 。 +  BA C+ 3 0 。 一6 0 。 +  BA C ,  

‘ . .

PQ  = A P  + A Q  -2 A P 

AQc o s ( 6 0 。 +  BAC)  

 

1   6  +  1  2

如对称 , 是颇具迷惑 力的. 在证 明一个命题 时 ,  

‘  .

号 6 c c 。 s ( 6 0 。 +   B A c ) .  

, S i n   BA c一  2 S  

如 果 我 们 能 自觉 地 运 用 对 称 的 观 点 , 比如 说 轮  换 对 称式 , 将 会 使 我们 的思 考 、 运算、 叙 述 容 易  得 多. 以拿 破 仑 命 名 的 拿 破 仑 定 理 即是 一 例 .  

拿破仑定理 一个 任意 的三角形 , 分 别 以  它 的 三 边 向形 外 作 正 三 角形 , 连 结 这 三 个 正 三  角 形 的 中心 P、 Q、 R, 则 △ PQ R 为 正 三 角形 .   定 理 中 的三 角 形 称 为拿 破 仑 三 角 形 . 一 个  不对 称 的 图形 被 构 造 出 了 一 个 完 全 对 称 的 图 

c o s( 6 0 。 +  BAC)  

一c os 60 。 C O S   BA C - s i n6 0。 s i n   BAC ,  

c o S  ̄ BA C - 

( S 为 △ ABC 的 面 积 ) ,  

PQ 一  1   6   +l

c2 _  

2   6

c 

c 丢 ・  

+  s

一  ・ 2 。   S )  

. 

形, 是 令 人 惊 奇 的. 而 定 

理 的 几 何 证 明 却 是 不 容  易 的. 本 人 尝 试 用 对 称 的  观 点 给 出 以下 证 法 , 供 大 

一百 1( 抖

 

这是一 个 轮 换 对 称 式 , 因 此 不 必 继 续 运 

算, 可知 Q R。 、 RP  必 与 P Q2 相 同.  

所 以 PQ= QR — RP, 从 而 △ PQR 为 正 三 

家参考 :  

如图 1 , 设 △ABC三 

边 分 别 为  、 b 、 c , 连 结 

图 1  

角形.  

稍加探究 , 我们 还 可发 现 △ P QR 的 中 心 

即 为 △ ABC 的 重 心 .   ( 责审   张  苋 )  

AP、 AQ, 则 AP=  6 ,  

( 上接 3 1页 )  

随 机 变 量  的取 值 s .  

概率 P  

1 ( 空门)   O  

1   十 1  一  3  

2 ( 奖 5元 )  

3 ( 奖 4 O元 )   4 0  

4 ( 奖 1 O O元 )   1 0 0  

O  

5 ( 罚 l O元 )   — — 1 0  

1 . 1 .1  

十  十 

_

_

_

1  

5  

— —  

1 O  

1  

2  

你看 , 获奖 1 0 0元 竟 是 “ 不可能” 事 件 !即 便 标  上 1万 元 也 不用 担 心 被 人 拿 走 !  

如果 你 玩 1 0次 , 那 么 你 就 可 能 有 3次 得  空门、 2次 得 5元 、 1 次得 4 O元 、 0次 得 1 0 0元 、   4次 被 罚 1 0元 , 于是 你 的 得 奖“ 期 望 值” 是: 0  

× 3+ 5× 2+ 4 0× 1+ 1 00× 0+ (一 1 0)× 4— 1 0  

÷ +4 0 ×   +1 0 0×0 +( ~1 0 ) ×T  - 一1 ( 元) ,  

0  上 U 

注 意 买 游 戏 权 花 5元 , 表 明你每 玩一 次 , 平 均 

( 元) , 但别忘 了买游戏权花 了 5 0元 , 这 表 明你  玩 1 0次 , 可能损 失 4 0元 . 也 可 以 用 如 下 的 算 

0  

式 计 算 每 玩 一次 的 得 奖 “ 期 望值” : 0 ×   +5×  

损 失 4元 . 需 要 指 出的 是 : 如果你偶 一玩之 , 也  不是说 没 有 赚 的 可能 , 但 如 果 你 大 量 试 验 的  话 , 这 种 不 利 就 会 体 现 出来 . 由此看来 , 这 真 是  个 街 头 骗 局 !有 诗 为 证 :   街 头 摆 地 摊 , 摊 主耍 转 盘 ,   五块钱一玩 ,   奖金惹人馋 .   路人争相转 , 欲罢 心不甘 ,  

此 中有 猫 腻 , 谁 人 能 揭 穿 ?  

( 责审   余炯沛 )  

圃 

范文八:关于“拿破仑三角形”等问题的探讨 投稿:卢橳橴

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新 疆 师 范大 学 学 报 ( 自然 科 学 版 )  

那么, 对  上 的 向 量 场 , , u   V,,与 r EN  知  立 所 证之 式成立 。   特 别 当 u,   处 处 正 交 时 。 V,  

‘    +w) 西V, +f) 西 W, 西u, 一<   w   T<   u+v 一0 T )  

参 考 文 献 

陈省 身 , 维 桓 微分 几 何 讲 义 北 京 大学 出版 社 .0 0 陈 2 0  伍 鸿 熙 普 . 曼 几 何初 步 . 京 大 学 出 版杜 ,9 7 檠 北 1 9  王宝 勤 等 与 C  流 形上 联 络 结 构 有 关 的讨 论 新 疆师 范 大 学 学 报 ( 白m S ) ¥ 0 年 4期  .0 1

李 维 帐 , 晓 华 等 . 义 暗密 顿 系统 理 论 及 其应 用 科 学 出版 社 一9 7 赵 广 1 9 

A  s u s o   l v n   o Le i Ci ia Co Di c s i n Re e a t t   v —   t   nne to   v cin

W a   o n Zh n   ao ig ng Ba qi  a g Xi l   n

( t s— h sc  n  n o mainI siue Xija g No ma  ie st Ur mq , 3 0 4   Ma h — p y isa d I f r t   n t t, n i n   r l o t Unv ri y, u i 8 0 5 )

Ab t a t Thi  p r gie   ha  r e in p o c   a i g sr c  s pa e   v s t tCa t sa   r du tm pp n  

× 

pr s r e   v - Ci t   o e   e e v s Le i via c nn c

t0     a t sa   o c  a iol   w o Ri m a nin m a f d a d s m e f r uls o  nd c d c n c i     n of L C re i n pr du tm n f doft   e n a   ni ol s, n   o  o m a  fi u e   o ne ton K e   r s R im an a   a f [   Lo a l  s y wo d   e nin m nio d c ly iom e r   m e m o p s ty ho o r him  Ca t sa   o c  a r e in pr du t m ppi   ng Le i Ci ia c n c l   V— vt   on e t0n

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第 2 卷 l

第 l期 

《 疆 师 范 大学 学 报 》 自然科 学 版 ] 新 (  

J u n l fXij n   r lUnv r i   o   a    ni g No ma  ie st r o a y

( t   lS in e   d to   NB H a  ce c s E i n) r i

o1 .21. o.   N 1 M ir 00   l .2 2

2 0 年 3月 02  

分 担 小 函数 的 整函数 的唯 一 性 

岳  华  陈 琳   

新 疆 医 科大 学 基 础 医 学 院计 算 机 数学 教 研 室 , 鲁术 齐 ,20 4 乌 8 0 5 

摘  要  本文研究丁整函数 ,与其  

,   分 担 两个 不 同 的小 函 数  f , 则 三  

导数, 啪  分担两十小卣数的问题, 征明了若非常数整函数,与其^阶导数 

关 键 词  整函数 分担值 

中 图 分 类 号 : [ 1  2   O7 5] 4  

文献标 识码 : ^    

文 章 编 号 } 10 95 ( 0 一 — 0.     08 69 2 2 ' 0 2     0 )3 0 0 1 5

1 引 言及 主要 结 果 

设 ,与 g为开平 面 内的两个 非常数 的整 函数 , n为一 有穷复数 , 们称 ,与 g以 n为 I 分 担值 , 我 M 是指  /   一 与 一n的零 点相 同 ; ,与 g以  为 C 分 担值 .   称 M 是指 , 一  与 g 一“的零点 相 同且零 点 的重 级 也相  同  本文采 用 Ne a lma理论 [ ] v ni r 1 的常用符 号诸 如 T( , 、 ( , ) N( , ) N( , 、 ( , 并 用 Ⅳ ( , r,) r , 、 r, 、 r,)  r,)   r  

专) 示f的 点密 量, ,1表 的 零点 量。  r 表示N (・ 的 形式,   表 单零 指 N ( 7) 示f 重 密指 丙 ( ÷) , ,   专) 精简 r 类似

J   J   J   J  

地 , 符 号 N ( , L 有 rf _

) I ,l) c , 等 其  r )。 (, , r。 ,能 去   、 2   、 : 7   中 (, ( r ) 当 一。 可 除 一 N ( _   (  ) r r ,一   ,) 时

个 测度 有穷 的集合 。  

关 于整 函数 的唯一 性问 题 , A Ru e和 c ・   n [] 1   bl  ・ CYag 2 中得 到 :  

定理 A 如 果一 个非常 数整 函数 ,与 其导 函数 ,C 分 担两个 有 限值 , , M 则 一, 。  

E ・ e Se mez3中改进 了上述 结果 , Mus和 ti t[3 n 把定理 A 条件 中 C 改 为 I , M M 得到 

定理 B 设 ,为非 常数 整函数 , 厂与 ,以两个判 别的有 穷复数 n 6为 I 分 担值 , 么 f 若 、 M 那 -f。   Ga gD  u d 中 , n  i Qi[ ] 改进 了上述结 果 , 两个不 同的有 限值换成 两个不 同 的小 函数 , 把 得到 :   定理 c 设 ,为非 常数 整函数 , 、 “ b为 f的两个 不 同的小 函数 , a  ̄ o b o 且 e o ,= 。如果 ,与 yl 分 担 a  ̄o M  

和 b. f三   则 三 f。

Pn 1 和 c・  

n [] ig  1 cYag 5将定理 B由 f 广到 f , 到      推  、 得

定理 D 设 厂为非 常数 整函数 , 、 n b为两 个不 同的有穷 复数 , 如果 ,与 f  M 分 担  和 6 则 f f , “I , -    本 文对 ,与 f M 分担 两个小 函数 作了研究并 得 到 :  C   定理 设 ,为 非常 数整 函数 , b是 fNN'  ̄ 同 的小 函数且 ≠。 ,≠。 。  、 t - 。 6 。 如果 f与 , M 分 担 n和   C

6则 f f 。 , = -    

[ 稿 日期 ] 0 1 l  2  收 2 0  2 8 [ 者 简 介  华 (9 4 ) 男 , 旗 , 疆 医科 大学 基 础 医 学 睫计 算 机 数学 教 研室 讲 师 , 怍 岳 16 , 祝 新 主要 研究 方 向 为 基 础 数 学 ; 琳 (9 1 ) 女  陈 17  ,

汉族, 新疆 医科 大 学 基 础 医 学 院计 算 机 数 学 教研 室肪 教 , 要研 究 方 向 为基 础数 学 , 主  

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新疆 师 范 大 学学 报 ( 自然 科学 版 )  

20 02拄 

2 一 些 引理 

E 理 1 设 f为非 常数整 函数 ,  是 f的两 个不 同的小 函数 ,  。 ≠。 , l l d m  d ≠。 m  c 令 

( ) 1 

f l d—   -a   l nI 2  

△ 

(  

,  

)  

(≥ 0 A ( “ ) △ ( ) ^ , ,  一 , 一  , 一 

)  

n —n    

() 2  () 3 

则 

I  

=  

}  

① △( )     ≠O ②  ,   , ( )   .) 2  

L 川    

吼  

, 

  一

③m(, r  

垒  : :  

、  

() 4 

( , 一d ) , 一d ) 1(    2

一   啦   一  

④ 

,  )

() 5 

=   其 中 为任一 ,的小 函数 。    

证 明 ( ) 设 / ( ” 一0 由 ()   1假 k  ) , 1 得 

L  

n1  

d 1一

Ⅱ2  

啦  

一   d 

—  二  

两 边 积 分 得 

故 △ (  ) 0 / ≠

~  

f  =d +fn -a ) (   (1    是常数 ) 矛盾  ,

一  

() () 2 由 1 得 

(}    ,  

,一

口 

mr 一 )m ,-2  J 三 ) ( , ) (  - (a a+ (    一  r,   ,   rl ) ,; a   

一 “  i

( ) ( ) 因 为  可¨ 3 、 4  _ 1 雨     

一  1  

1 一 玎      

)  

且 

一 

+ 

㈩  

于 是 

由( ) ( ) 到 ( ) 由( ) ( ) ( ) 3 、6得 4 , 3 、4 、7 得到 ( ) 5 

从而 , 理 1 证 。 引 得  

引理 2 [ ] r厂  )   1Ⅳ( , 】 一Ⅳ( , r  1 ) =Ⅳ( r

f一(

)Ⅳ, 一( ) oⅣ , +( ) r   r 去 r Ⅳ, ^  

。  

引理 3 [ ] f为非 常数亚 纯 函数 , S 、  [ 均 为 f的微分 多项 式且 Q[ ≠O 广Q 力 =Q[ ]  6设 QE ] Q 力 力 ,  [ ,, 为 自然 数 。如果 QE ] f 的次数小 于等 于 ” 则  ( ,  I ] = ( , ) , rQ f )   r , 。  

3 定 理 的证 明 

作 辅 助 函数 

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第 1 期 

岳  华等 

分 担 小 函 数 的整 函数 的唯 一 性 

() 9 

( 0  1)

丹两 种情 况 :   1  若 中 。 由 ( ) , ,   这 时  三 o 定 理 得 证 。 ) 三 , 2得 三 “・ ,  

4) 2 

≠o且  ≠0 由4 )  ̄  , , 2f 因为 n b为 ,与 , 、  的 C 分担值 , 以  M 所

( ) ( ) ( )1, ) ( r 十 r   r   (  ”  , ,    _, 7 v南 了, +r r  

一  

( , 一 ( .一  h )   r1

) 【 , ) r( , )   , ) +sr 厂 ≤ r, +sr,   4

( 1  1)

K 由第 二 基 本 定 理 得 

.-

了r ) (   )  r   +t, 1,  r 兰 + t (  ,  兰 )  , r)

4) 1  2

忙 由 ( 1) 42)   1 、 1 得 

r  = (7    , ) , (,  r兰) , + ) r) . + _  , _ 1

由() 4) 5 、 9 得 

4) 1  3

因为 垂 0 ≠ 0 f和 , M 分 担 、 , 中, 均为整 函数 + 以 Ⅳ( , ) (  ・ r ) ( ,   ≠ , , ㈣C 6则   所 r c 一sr,) N( , 一  r ) p  

一 一 ~ 一  

,  

/ 4 f :  m , ): (.X)1 ) ( j ( :   ・ (= f-   (,  r 一m( 丽  (  ̄)   , rl J      (  )

一  

)rr - t  + (12 ) e , ” -  

(4  1)

4 , ) 而 了(  ) ( . )  ,从 1  . 一  r ,  

由 4 ) ( ) ( ) ( )   的 定 义  3 、4 、 5 、 8 及

(   ) Ⅲ( r, 一  

A  4 ( 一    )  是 1 4 f f )

『二 二  r  ”一c , ,   

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≤( ) ) m,     r 是

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) 一( ,   -  r ,)

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,  

… , … , …  等  

)Ⅳ. + ,—) +( r N, — 4  c r”  

) Ⅳ (, c + sr ,   一 r, ) ( , )

( : r ! . ;  : 

N  , 4  r

≤m(,   ) r7 +Ⅳ( ,   ) r r7 一(,  

)  r,  十 (, )

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新 疆 师 范大 学 学 报 ( 自然 科 学 版 )  

2 0 年  02

从 而 有  7  一 =Ⅳ 【 . ) 1 t y) r  +州( — t  ̄ r g )CT( , 一 N  , i r ,)     1 二 ; +  一 ) ) / 

(  ) 15  

由 垂 的 定 义 及 /和 /   M 分 担 n b 司知 , “C 、 /一“的重 零 点 或 , 6的 重 零 点 均 为 垂 的 零 点 ,   故

( )Ⅳr ) ( ) r ≤ (击一 r   ,   ,  , ,

r I  j Ⅳ  , 一 ( f f f ._     1)   r ) ̄C 

,  

)  

,   (, r 

 ∽  

( 6) 1  

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H   h ,)  

(7  1 )

作 辅助 函数 

H 一 

(8  1 )

若 H = O 则  ,

△ () 厂  △ (n) ,   

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即  f

—  

二6 一 而 二  ) 

f ̄ -  * b   /

- d

( 中  为非零 常数 ) 其  

由上 式 得 

f (L )  +d Ec一1 ,   一 b 一(m-b  T( -C)b 3 c - ) 1 】   a

由引理 () 3 得 

卅 ( . c 1 ㈨ + d—cb 一  r 厂  r ( l )厂   1) r . )

从 而 有 

,  ) ( I ) , 一  r ,  

故 T( , r ,”) ( ,   一5r,)

( 8 得  1)

矛盾 :  

若 H  0 由 H 的定 义 , , ,一n或 ,一6的简单 零 点一 定 是 H 的零 点 , 1 ) ( ) ( ) ( ) (7 、 由( 3 、 1 、 1 、 1 、 I )  4 5 6

7( , 一  ( , 1r ,) r 

) +  ( , r 

) (,   +s r ,)

_r7 )   (, 1 ,  + ( r  

)   ,) + , 

≤ Ⅳ 【 ,1) r 耳 + ( ,) 7 ( , ) r   1r H + 一 ,   ,)

7 ( , ) T (   ) 5 r  1r  + r, + ( ,

丁( ,) NO‘  , 一 .  

Ⅳ(, r 

)  (, ) ̄ , 而 定 理 得 证 。 一 rf 3N 从  

范文九:外拿破仑三角形的证明 投稿:韩鬰鬱

外拿破仑三角形的证明

设△ABC,它向外作的正三角形中心分别为D、E、F

设BC=根号3a,AC=根号3b,AB=根号3c

则AD=BD=c,AE=CE=b,BF=CF=a

易证∠DAE=60+∠BAC

cos∠DAE=cos(60+∠BAC)=cos60*cos∠BAC-sin60*sin∠BAC

cos∠BAC=(b^2+c^2-a^2)/2bc,sin∠BAC=根号3a/2R (R为△ABC外接圆的半径) cos∠DAE=(b^2+c^2-a^2)/4bc-3a/4R

由余弦定理得

DE^2=AD^2+AE^2-2cos∠DAE*AD*AE

=b^2+c^2-(b^2+c^2-a^2)/2+3abc/2R

=(a^2+b^2+c^2)/2+3abc/2R

同理可得DF^2=EF^2=(a^2+b^2+c^2)/2+3abc/2R

…………

范文十:对拿破仑三角形的探究与拓展 投稿:韩彬彭

21年7   02 月

新颖试题 

对拿 破仑三角形的 涸 国  

◎美 国阿 罗约太 平洋学 院 翟星 字 

拿破 仑 ・ 波拿 巴( aoen 16 — 8 1 , 国皇 帝 ,9 N plo ,7 9 12 ) 法 1 世纪  著名的军事 家、 政治家 , 不仅具有非凡 的军事 、 政治才能 , 还非常  重视科学 , 颇具数学头脑 , 对数 学有着浓厚的兴趣 , 曾说“ 他 一个  国家 只有数学蓬勃 发展 , 才能表现他 的 国力强 大”他所发现 的  . 拿破仑三角形是如此 的美妙 ,曾经令法 国著名的科学家拉 普拉  斯敬佩不 已. 真是一个复杂 又简洁的 图形 , 在欣 赏 、 习拿破 仑  学

形.  

・  I 园

在任意一个 三角形的三条边上分别 向内做出三个 等边三角  形, 则这三个等边三角形 的中心仍能构成一个等边三角形 , 称为 

“ 内拿破仑三角形” .  

证法一 : 如图 1作点联 于  , 4  

的对称点 , 连接F FE、   A、 FB、 易锝 A FB F = B, A = = t= A F LF B  

厶} A=LPAB I B =厶  B A= 0 . 3。  

三角形的结论及其证 明之余 , 我也进行 了一些有趣的探究 , 现总 

结 出来 , 与大 家共 享 .  

拿 破仑 三角 形 :  

在任意一个 三角形 的三条边上分别 向外做 出三个等边三角  形 ,则这三个等边三角形 的中心也构成一个等边三角形 ,称为 

“ 外拿破仑三 角形 ” .如图 1 AD 蹴 是 AA C , E B 的外拿破仑 三角 

时 ,D= E; C LB 9 。 , D AE 如 图 4. A A   > + 0时 A > ( )  

所 以△  

EC 3 。  A= 0 .

为等边三角形.  

因为 LD C LD B   E C   B= C= A =

所 以 △A曰   △曰 D △A | c      c

图 1  

三、 开放性试题的各小题 之间要有 一定 层次性 

同一道大题中分为若 干小题 的设计要兼顾 “ 是什么” “ ,为什 

二 、 略原题 结 论 。 其指 向多样 化  省 使

给 出问题的条件 , 让解题者根据条件探索相应的结论 , 而符 

合条件 的结论往往呈现多样性 , 这样 的问题是结论 开放性 问题.   得 出的结论应尽可能用上题 目及 图形所给的条件  例2 原题 :如 图5 AA C , B 为等 

么” “ 、怎么办 ” 等不 同层次 的问题 , 以确保试题 能够面 向全体学 

生 和促 进 学 生 思 维 的 不 断 深化 .   例 3 如 图 6 已知 矩 形 A C9 在 B 上 取 两 点 E、 ( 在  , B , C Fg

边 ) 以E 为边作等边 AP F 使顶点 尸  D上 ,E、盼 别交AC , , E, = j P P  

于 点 G、 . H

 

边三角形 ,点D、 分别在B 边和c   E C A

边 上 ,D= D C = E A 曰 2 C,E 2 A, D与 B 相   E

( ) △艘 确 边长 ; 1求  

( ) 不 添 辅 助 线 的情 况  2在

交 于 G, 证 : D 日 求 A = E 

本题 只要 隐去 结论 “ 求证 : D= A   B ” 就可得到开放题 : 图5 AA C E, 如 , B  为等边三 角形 ,  分别在雪 边和  点D、 c

C 边 上 ,D= D C = E A A 曰 2 C,E 2 A,D与 B   E

D  C 

下, 当  c 不重 合 , 图中找  从 出一对相 似三角形 ,并说 明  理 由. △肿 若 的边  线 段  随 B 上移 动.试 猜想 :H与B   C P E

图5  

相交 于G, 试就有 关 图形 的形 状 、 大小 和关 系得 出尽可能 多 的 

结论.   本题 的答 案 是 :  

有何数 量关系 ?并证 明你 猜 

想的结论.  

第( ) 1小题较简单 , 2 小题则需学生仔 细观察 图形 , 出  第( ) 做 准确猜 想后再验证 , 3 小题对学 生 的探究 能力 的要求高一  第( )

些, 由于解法较多 , 人题的通道较宽 这个探究题层次分 明, 步步  深入很好地体现了层次性和提高性 

数 学 开放 性试 题 不 仅 仅 是 一 种 习 题形 式 ,更 重 要 的是 一 种 

先考虑三角形 的全等关系 , : 有 

( )X D △鲋  ( 为AC AB,D A LB E   G . 1 ZAC   因 = C = E, A = )由  此推出 :  

( ) D B   D = E A; 2 A = E; AC   B LAD = E . C LB A 

再考虑特殊 角 :  

( ) 然 , B = C  C B 6。 3显 LA C LB A: A = 0.  

教学思想.通过开放性试题的教学能使学生 自然的进入 自主探 

索与合作交流学习之 中, 而提  从 苗数学课 堂教 学的有效 性. 编制  数学开放试题应围绕使用开放题 的目的进行 ,应 随着使用 目的 

和对象 的变化而改变 , 作为常规问题 的补充 , 用于研究性学习的 

( ) 系 ( )有 AG = 髓 A+ G B   E G+ G B= 4联 1, E    A = A   A  

E AB= 0 . 6。  

进一步推出 :  

f   DGE= 2   5) I0. o  

开放试题应尽量能有利 于解题者充分利用 自己已有 的数学知识 

和能 力 解 决 问 题. 一 

初版 ? ? ——   中 中。 擞・嚣—一

新 颖 试 题 

所以 : ' 丝   一A: F

因为 

21年7   0 2 月

内正方形 ;  

. 

AC  AB  BC 

() 3 外正方 形 、 内正方 形 

一 △C 且   

= C B, 以 △    A 所

与 原 平 行 四边 形

的 中 心 重 

所    , 筹. 以删=  =  

所 以  LD F,B E ' B D = F.   D F B.   所以 厶E F     所 以E = F FD .  

合 ,且 这两个 正方形 的面积  之差 等于原平行 四边形 面积 

的2 . 倍  证 明 :1 连接 D D   () H、 G、

C 、 . F CG  B= D- , = - . C  ̄ BC AD-   b

同理 可 证 :D D . F = E 

则 AD F'等边三角形. Ef l - j  

同理可证内拿 破仑 三角形 , 明略. 证  

 ̄G : G   J ID C :

。  ,

图3  

证法二 : 图2 分别做 三个等边三角形 的外接 圆D、 F 圆  如 , E、 ,

D、 交 于点0。 E 连接O O 分别交E 、 盱 G 日  A、 B FD 、.

因为  ̄M= LN= 0 , 6。  

DH : c 

2  

6.  

因为 LA + C 10 , DC LB D= 8 。  

所 以 LH =6  ̄/ DC_ 5_5= 0+ C . DG 3 0- A -_ 4 o o9 。 LB D  4 因 为 LF G /B D 4 。4 。 C =_ C + 5+ 5 , _  

所 以  H = F G  DG   C .

所 以 △H DG △F G  C .

所 以 G G   HG = . G . 日= F. D AF C  

所 以  D C 9  ̄ G = 0.  

所 以  HG = 0   F9  ̄

同理可证 G 肼 垂直且相等 , 以四边形E G   所 F H为正方形.  

( ) () 2 与 1 同理可证 , 明略. 证  

同理 可证 LE LD 6  ̄ = = 0. P  

( ) 1 知 ,F H :   3 由( ) C = A 二

.  

所以△  助 等边三角形.   同理 可证 内拿破仑三角形 , 证明略.  

因为 LH C 5 A  ̄ %/D C ZF A 4%/B A, .C = B A, A , .C = 5 _ C /D A L C   _

所 以  日 C LB A. A= C  

证 法 三 :如 图l ,设 B = / ⅡA = / bA = / c C 、丁 ,C 、了 ,B 、了 ,  

△AB 外接圆半径 为   C .

 ̄ D = B aE = C bF = B c C D = ,A E = ,A F = .   因为 LE D 6 % LAC   C =0 B,

所 以H / F A/C .  

所 以四边形HA C   为平行 四边形. F  

所 以日  

中心重合.  

G 互相平 分. 即正方形E G F H的 中心与tA C  ̄ B D的 

所 以E 2a+ 22b o  C ( D=  ̄b- a cs D 余弦定理 ) .  

同理可证正方形E FGH  中心与tA C   '  的  ̄ B D的中心重合.  

运 三 函公 , 得 2 用 角 数 式 简肋= 化  

+誓 名.  

在△ c中,   FC C・ ・

sFG÷6 ÷n  GF F = %,- FC c LC= 。 2 GC G2 G o + +

二  二 

同可 ED 旦 +争 理 得      考 .  

所 以E E = F 即△胞 功 等边三角形. D= F D ,  

同理可证 内拿破仑三角形 , 证明略.  

a sn BG S 方 E - b i  D: 正 形   -  

同 可 s方F ÷6÷ 6n BD 理 得     = 2  ai C. + s    L

因 为5 行 边 ^ 口  s   C   平 四 彤8 = i G n D, 所 以S 方 肼 S 方 Fc = S 行 边 ^   正 形 旷 正 形 P, : 平 四 形胁  2

推 论 2  :

在对拿破仑三角形进行证 明的同时 ,人们 还发现 了许多有 

趣 的结论 ,如原三角形的面积等 于它 的内外两个拿破仑 三角形  面积 之差 , 并且内外两个拿破仑三角形的中心重合 , 下面是我在  学习中得 出的一些结论  

推 论 1  :

() 1在平行 四边形的四条边上分别 向外做四个等边三角形 ,  

则这四个等边三角形 的中心也构成一个平行 四边形 ,称 为外平 

行 四边形 , 图4 四边形E G 如 , F H就是 ̄ A C : B D的外平行 四边形. : T  

() 1在平行 四边形的四条边上分别 向外做四个 正方形 , 则这 

四个正方形的中心也构成一个正方形 , 称为外正方形 , 如图3 四  , 边形E G F H就是tAB D  ̄  C 的外正方形 ;  

() 2在平行 四边形的 四条边上分别 向内做 四个等边三角形 ,  

则这 四个等边三角形的中心也构成一个平行 四边形 ,称 为内平  行 四边形 , 如图4 四边形E FG Ⅳ 就是tA C ,      = B D的内平行四边形. Y  

() 2 在平行 四边形的四条边上分别 向内做四个正方形 , 则这  四个正方形的中心也构成一个正方形 , 称为内正方形 , 如图3 四  ,

边形EFG H 就是tA C 的   '    : B D T

() 3外平行 四边形 、 内平行 四边形 的中心与原平行四边形 的 

中心重合.   特别地 , 当原平行 四边形为矩形时 , 内) 外( 平行四边形 为菱 

舞曩一 霉薯

十’ ? 中  ? 擞・初版

21年7   02 月 .

新颖 试 题 

分类思想是指根据数学概念的本质属性 ,将研究 的对象分 

为不 同种类 , 分别进行处理的一种数学思想方法 , 正确运用分类  思想 , 是解决某些数学问题的一种重要方法. 分类思想是每年 中  考考查 的重点内容 , 现列举数例供读者赏析.  

例2 (0    1年黑龙 江绥化 ) 2 1  

=  = 二

— _ ——  [ i

函数 中的分 类讨 论 

例1 (0 1 2 1 年湖北

襄 阳 ) 已知 函数 ' ( 一 )  + 的图像  , J 3 + l =i } 与  轴有交点 , 的取值 范围是 ( 则   

A.<   k4 Bk≤4 .  

) .  

D.  ≤4 后   且 ≠3

C < 且 k≠3 . 4  

解析 : 一 = Uk 3 , 当k 3 0 P= 时 此函数 为一次 函数 , 的图像与  它 轴  有交点 ; 一 ≠o l ≠3 , 函数为二次 函数 , 当k 3  ̄k 时 此 l 因为 它的图像  与  轴有 交点 , A= 24 ( 一 ) l >O 解得 & . 上 , 的取  则 2- x k 3 x x , -  ̄ ≤4综 & 值范围是后 , ≤4 故选B 

点评 : 题 题 目并 没 有 指 明 所给 函数 是 什 么函 数 , 以本 题  本 所 应 分 类 讨 论 . 次 函数 y k + ( ≠0 的 图像 与 一 =x bk )  轴 必 有 交 点 ,   而 二 次 函数 ,a %b + ( ≠0 只 有在 6一 a I0 其 图像 才 会 与 , x x cn ) =  4c > 时  

轴有 交 .   最.

S 8 ÷(0/ 1 / xOl 、 +0/ c   ̄c 2、 +0 了) =O / 5、了( ) , = 、 l 0 m.  

同理 , 可求第 三边为 2 、  一0 / . 0 / 1、了  

形( 如图5 ; )当原平行 四边形 为菱 形时 , ( ) 外 内 平行 四边形 为矩 

形 ( 图6 ; 原平 行 四 边 形 为 正 方 形 时 , ( ) 行 四边 形 为  如 )当 外 内 平

正方 形( 如图7. ) 证明略.  

参考文献 :  

1h t / ak .a d .o v e   3 1 7 h m. .t / ieb i u c m/ iw, 91 5 .t   p: b 1

2 t :w wj y ea o / a/ ap pr sx i= 7 6 9 2 . t / w .nu y. mr dr d ae. p?d 2 86 5   hp / i c e e a

图4   图 5  

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