利用极限存在准则证明_范文大全

利用极限存在准则证明

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范文一:如何证明极限不存在 投稿:谭栠校

如何证明极限不存在

反证法

若存在实数L,使limsin(1/x)=L,

取ε=1/2,

在x=0点的任意小的邻域X内,总存在整数n,

①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X,有sin[1/x1(n)]=1,

②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X,有sin[1/x2(n)]=-1,

使|sin[1/x1(n)]-L|<1/3,

和|sin[1/x2(n)]-L|<1/3,

同时成立。

即|1-L|<1/2,|-1-L|<1/2,同时成立。

这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。

所以,使limsin(1/x)=L 成立的实数L不存在。

反证法:

一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在

假设两数列之和{cn}的极限存在,那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和)

矛盾

所以原命题成立

令y=x, lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y

=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0

令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y

= lim(x趋于0) x^3-x^2/ x^2 =-1

两种情况极限值不同,故原极限不存在

2答案: 首先需要二项式定理:

(a+b)^n=∑ C(i=0 – i=n)n i a^(n-i) * b^i (式一)

用数学归纳法证此定理:

n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1

 a+b

 故此,n=1时,式一成立。

设n1为任一自然数,假设n=n1时,(式一)成立 ,即:

(a+b)^n1=∑ C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i (式二)

则,当n=n1+1时:

式二两端同乘(a+b)

[(a+b)^n1]*(a+b)=[∑ C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b)

= (a+b)^(n1+1)= ∑ C(i=0 – i=(n1+1))(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 据乘法分配律)

因此二项式定理(即式一成立)

下面用二项式定理计算这一极限:

(1+1/n)^n (式一)

用二项式展开得:

(1+1/n)^n = 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n

由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同,而系数为1,因此,最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约,得1,低次项与1/n的相应次方相约后,分子剩下常数,而分母总余下n的若干次方,当n - +∞,得0。因此总的结果是当n - +∞,二项展开式系数项的各项分子乘积与(1/n)的相应项的次方相约,得1。余下分母。于是式一化为:

(1+1/n)^n =1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+ … + 1/n! (式二)

当n - +∞时,你可以用计算机,或笔计算此值。这一数值定义为e。

范文二:证明极限不存在 投稿:杨痽痾

证明极限不存在

二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..

2

是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗,从哪儿入手呢,请高手指点

沿着两条直线 y=2x

y=-2x 趋于(0,0)时

极限分别为 -3 和 -1/3 不相等

极限存在的定义要求 延任何过(0,0)直线求极限时 极限都相等

所以极限不存在

3

lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)

证明该极限不存在

lim(x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)

=lim(x^2+3y^2) / (x^2+3y^2) - 8y^2 / (x^2+3y^2)

=1-lim8 / [(x/y)^2+3]

因为不知道x、y的大校

所以lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)

极限不存在

4

如图用定义证明极限不存在~谢谢!!

反证法

若存在实数L,使limsin(1/x)=L,

取ε=1/2,

在x=0点的任意小的邻域X内,总存在整数n,

①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X,有sin[1/x1(n)]=1,

②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X,有sin[1/x2(n)]=-1,

使|sin[1/x1(n)]-L|<1/3,

和|sin[1/x2(n)]-L|<1/3,

同时成立。

即|1-L|<1/2,|-1-L|<1/2,同时成立。

这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。

所以,使limsin(1/x)=L 成立的实数L不存在。

范文三:极限不存在的证明 投稿:薛嚡嚢

不如何证明极限不存在

一、归结原则

原理:设f在U0(x0;')内有定义,limf(x)存在的充要条件是:对任何含于

xx0

U(x0;)且以x0为极限的数列xn极限limf(xn)都存在且相等。

'

n

例如:证明极限limsin

x0

1x

不存在

12n

证:设xn

1n

,xn

2

(n1,2,),则显然有

xn0,xn0(n),si由归结原则即得结论。



1

00,si11(n)xnxn

1

二、左右极限法

原理:判断当xx0时的极限,只要考察左、右极限,如果两者相等,则极限存在,否则极限不存在。 例如:证明f(x)arctan(因为limarctan(

x0

1x

)

当x

0

时的极限不存在。

1x)

1x

)

2

x=0,limarctan(

x0

2

,limarctan(

x0

1x

)limarctan(

x0

1x

),

所以当x0时,arctan(

1x

)的极限不存在。

三、证明x时的极限不存在

原理:判断当x

时的极限,只要考察x与x时的极限,如果两者

相等,则极限存在,否则极限不存在。 例如:证明f(x)ex在x

x

时的极限不存在

x

x

xxxx

因为lime0,lime;因此,limelime

x

所以当x

四、柯西准则

时,ex的极限不存在。

0'

原理:设f在U(x0;)内有定义,limf(x)存在的充要条件是:任给

xx0

0

,存

在正数(),使得对任何x,xU0(x0;),使得f(x)f(x)0。 例如:在方法一的例题中,取01,对任何0,设正数n

x

1n

,x

1n

1

,令

2

即证。

五、定义法

原理:设函数f(x)在一个形如(a,)的区间中有定义,对任何AR,如果存在

00,使对任何X0都存在x0X,使得f(x0)A0,则f(x)在

x

x

时没有极限。

例如:证明limcosx不存在

设函数f(x)cosx,f(x)在(0,)中有定义,对任何AR,不妨设A取0

12

,

,于是对任何

0

,取00

反证法(利用极限定义) 数学归纳法

范文四:证明二重极限不存在 投稿:黎訵訶

证明二重极限不存在

如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案

2

若用沿曲线,( ,y)一g( ,y)=0趋近于( ,y0)来讨论,一0g ,Y 。。可能会出现错误,只有证明了( ,)不是孤立点后才不会出错。[关键词】二重极限;存在性;孤立点[中图分类号]o13 [文献标识码]A [文章编号]1673-3878(2008)0l__0l02__02 如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。只是略谈一下在判断二重极限不存在时。一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要讨论limf(x,y)不存在,通常x—’10 y—’y0 的方法是:找几条通过(或趋于)定点(xo,Yo)的特殊曲线,如果动点(x,Y)沿这些曲线趋于(xo,Y。)时,f(x,Y)趋于不同的值,则可判定二重极限limf(x,Y)不存在,这一方I—’10 r’Y0 法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(xo,Y。),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如2 的极限,在判卜’Io g x,Y y—·y0 断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)一g(x,y):0,这样做就很容易出错。

3

当沿曲线y=-x+x^2趋于(0 0)时,极限为 lim (-x^2+x^3)/x^2=-1;

当沿直线y=x趋于(0 0)时,极限为 lim x^2/2x=0。故极限不存在。

4

x-y+x^2+y^2

f(x,y)=————————

x+y

它的累次极限存在:

x-y+x^2+y^2

l i m l i m ———————— =-1

y->0x->0 x+y

x-y+x^2+y^2

l i m l i m ———————— =1

x->0y->0 x+y

当沿斜率不同的直线y=mx,(x,y)->(0,0)时,易证极限不同,所以它的二重极限不存在。

范文五:极限的证明 投稿:林肓肔

极限的证明

利用极限存在准则证明:

(1)当x趋近于正无穷时,(Inx/x^2)的极限为0;

(2)证明数列{Xn},其中a>0,Xo>0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛,并求其极限。

1)用夹逼准则:

x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0

故(Inx/x^2)的极限为0

2)用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0>√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2<0,单调递减

且Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.

设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.

对原始两边求极限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a

同理可求x0<√a时,极限亦为√a

综上,数列极限存在,且为√

(一)时函数的极限:

以 时 和 为例引入.

介绍符号: 的意义, 的直观意义.

定义 ( 和 . )

几何意义介绍邻域 其中 为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证 例2验证 例3验证 证 ……

(二)时函数的极限:

由 考虑 时的极限引入.

定义函数极限的“ ”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4 验证 例5 验证 例6验证 证 由 =

为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有

例7验证 例8验证 ( 类似有 (三)单侧极限:

1.定义:单侧极限的定义及记法.

几何意义: 介绍半邻域 然后介绍 等的几何意义.

例9验证 证 考虑使 的 2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有: 例10证明: 极限 不存在.

例11设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有

= §2 函数极限的性质(3学时)

教学目的:使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求:掌握函数极限的基本性质:唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点:函数极限的性质及其计算。

教学难点:函数极限性质证明及其应用。

教学方法:讲练结合。

一、组织教学:

我们引进了六种极限: , .以下以极限 为例讨论性质. 均给出证明或简证.

二、讲授新课:

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性( 不等式性质 ):

Th 4若 和 都存在, 且存在点 的空心邻域,使 , 都有 证 设 = ( 现证对 有 )

註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有 以 举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:( 只证“+”和“ ”)

(二)利用极限性质求极限: 已证明过以下几个极限:

(注意前四个极限中极限就是函数值 )

这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.

例1( 利用极限 和 )

例2例3註:关于 的有理分式当 时的极限.

例4 [ 利用公式 ]

例5例6例7

范文六:极限的证明 投稿:韦聡聢

极限的证明利用极限存在准则证明:

(1)当x趋近于正无穷时,(Inx/x^2)的极限为0;

(2)证明数列{Xn},其中a>0,Xo>0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,„收敛,并求其极限。

1)用夹逼准则:

x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0

故(Inx/x^2)的极限为0

2)用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0>√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2<0,单调递减

且Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.

设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.

对原始两边求极限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a

同理可求x0<√a时,极限亦为√a

综上,数列极限存在,且为√

(一)时函数的极限:

以 时 和 为例引入.

介绍符号: 的意义, 的直观意义.

定义 ( 和 . )

几何意义介绍邻域 其中 为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证 例2验证 例3验证 证 „„

(二)时函数的极限:

由 考虑 时的极限引入.

定义函数极限的“ ”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4 验证 例5 验证 例6验证 证 由 =

为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有

例7验证 例8验证 ( 类似有 (三)单侧极限:

1.定义:单侧极限的定义及记法.

几何意义: 介绍半邻域 然后介绍 等的几何意义.

例9验证 证 考虑使 的 2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有: 例10证明: 极限 不存在.

例11设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有

= §2 函数极限的性质(3学时)

教学目的:使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求:掌握函数极限的基本性质:唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点:函数极限的性质及其计算。

教学难点:函数极限性质证明及其应用。

教学方法:讲练结合。

范文七:二重极限不存在的一种证明方法 投稿:顾薊薋

O.*-xzx

二重极限不存在的一种证明方法

闰红霞

(中国破法大学科学技术教学部,北京102249)

擅要关键词

给出一类常见的二元有理分式函数极限不存在的一种证明方法,并举例说明.二元有理分式函数;二重极限;趋近方式,二次函数

文献标识码

中圈分类号0171

文章编号1008・1399(2011)02—0027‘02

二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代人二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的

的都是沿多项式函数的趋近方式,只是最高次数不同而已,所以对于这两道题目实际上都可以选择(z,y)沿二次曲线

s:

Y=缸2+缸(口,b不同时为0)

趋近于(O,O),同时只要参数a,6满足一定的条件即可使得极限值与参数有关,这样就证明了其二重极限不存在.即

题目时,除了选Y=妇这种趋近方式外,许多学生

不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.

例1[13

1.(ax+6)2

(1)“觌湖南;

证明下列极限不存在:

熘订彳云干矛2

(;・,)一(o・o)

(2)‰lim.o)忑耳x研zyZ)-CO

(=・

“.,)一(o。o)工。十y。

・o)ry-十Lz—yJ。

证明

州lira磊瓦干萨干孑瓦耳可’

..

㈦躅.o)上x2,z.q_(x-y)ZY

,一口‘忆

..

..

』矿

∥耵

62

1+bs’

亡(c比+b乎

一般地,对于(1)选择当(z,,)沿直线

Y=志z

若令b一1,a≠O,贝Ⅱ

z2舻

趋近于(O,O)时,有

(:。3观’0)—x6q‘_一ye

h・驴一(O,0)

..

..

Z‘.I,2

2矿

粤百干瓦i。订币。

例2[23

五226

显然它随着点值的不同而改变,故原极限不存在.

对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(z,y)沿抛物线

卿啬揣一南.

.27=2

lim—xZ(ax-l-1—)Z+aZ

z2(ax+1)2

~zt,,。+~u'vJ-‘

Q。州∞ry十U一,广Q。骂曲刁可暑万2'‘矗妇

显然二重极限随着a,6值的不同而改变,故原二重极限不存在.

Y=妇2+z(七≠O)

趋近于(O,o),则有

十Lz—yJ。“躅脚夏3再,-焉j矿2(=・一oo・o)r

,一h‘h

..

证明。:,觌栅南不存在・

证明

z2v2

因为

“・,)一(o・o)Z。十y。,一一+k..8z+b

。。.3粤埘zzx+y,2

l,im。赢等孝岛=南.

上述例题中对(1)和(2)的两种证明方法,采用

收藕日期t2010一07—09I修改日期;2011—02—11.

作者简介t回红霞(1974一),女,山西运城人,硬士,讲师,从事常微分

方程研究.Email,yhxch@vip.sina.COHL

粤订彳i干驴2订虿’

故原极限不存在.

由以上两例可推知,有理分式函数的极限

‰觌埘#每a+j=2n)

il’)6+xa(州z

28

高等数学研究2011年3月

是不存在的.这是因为,当(z,y)沿二次曲线5趋近于(0,0)时.有

乜挑lim∞#每(i+2j一4神

..

tivj

也是不存在的。这是因为,当&,岁)沿二次曲线s趋粤薪带尚=(z.,)一(o,O)Z一十y一(Ml川irao,o)≯-工歹2

近于(O,o)时,有

,。口z+k

璺葶器一寿.

‰,l_ira㈣∞≠每2

(#・,)一(o,o)Z…十,…

,一篮2+缸

罂,.≯干xv'了j(a亿x

i+丽b)j

显然该极限与b的取值有关,故原极限不存在.

若令b一0,则有

实际上,有理分式函数的极限

。;。恕渤万写x'ys伊(件_f=2n)

‰觌脚芳每2

(,・y)一(o,o)z”’十V…

y--axz+h

l,im。≯了孑≯2—1+—a2a。

.2:亡岘i0

ni

也是不存在的.这是因为,当(z,了)沿二次曲线s趋

近于(0,0)时,有

显然,该极限与4值有关,故原极限不存在.例如,可

,r∽姆,。,南2a。x—2"[x2-+以证明二重极限。。,热m≯芎々并不存在.

(工,p・(O.O)Z。—r

y’

.v--ax。+6‘

..

(—ax+bY']。

参考文献

粤万寰箬‰----V-钿.

[1]华东师范大学数学系.数学分析。下册[M].2版.北京t

高等教育出版社,1991:129.

显然此极限也与b值相关,故原极限也不存在.

[2]吴传生,陈盛双,管典安,等.经济数学:微积分[M].北

此外,有理分式函数的极限

京,高等教育出版社,2003。316.

ontheNon-existenceofDoubleLimits

YANHong-xia

(DepartmentofScienceandTechnology,ChinaUrfiversityofPoliticalScienceandLaw,B西jing102249。PRC)Abstract:

Awaytocertifythenon-existenceofdoublelimitsforcertainrationalfunctions

oftWOvariablesispresentedandsomesamples

are

illustrated.

Keywords:

binaryfractionalrationalfunction,doublelimit,approachingstyle,quadraticfunction

《H《,●‘,●《’●‘’●‘,●‘)-‘,●‘'●‘'●《'●《'●《,●‘,_‘'.《,●‘H《'●‘}●‘)_《,●《)一‘,●‘'●《,●《,●《)●《,●《H‘,●《’_‘>●cH《'●●如《,●{H《’●《一‘,●《'●‘H《H《,●《,●《>-‘M《》●《H

(上接第16页)

大学数学,2008,24(1):108.110.

参考文献

[2]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M]北京;高等教育出

[1]熊加兵。陈光曙.负二项分布随机变量的分解定理口].

舨社,1983・169—179.

RecursiveFormulas斌HigherOlder

Moments吱Geometric

DistributionandNegativeBinomialDistribution

WANG

Xin-li,

CHENGuang-shu

(JiangsuVocationalandTechnicalCollegeofFinance8‘Economics.H岫ian223003。PRC)

Abstract:In

this

paper,therecursiveformulasofhigherordermomentsofgeometric

distributionandnegativebinomialdistribution

are

given.

Keywords:

geometricdistribution,negative

binomial

distribution,reeursiveformula,

higherordermoment

二重极限不存在的一种证明方法

作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):

闫红霞, YAN Hong-xia

中国政法大学,科学技术教学部,北京,102249高等数学研究

STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2011,14(2)

参考文献(2条)

1.吴传生;陈盛双;管典安 经济数学:微积分 20032.华东师范大学数学系 数学分析:下册 1991

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj201102012.aspx

范文八:函数极限性质和存在性证明 投稿:萧喬喭

卷第 年

期 月

宿

师 专

,

函 数 极 限 性 质 和 存在 性 的 证 明

张 祖峰

,

,

,

,

宿 州 师 范 专 科 学校 数 学 系 安 徽 宿 州

摘要 本 文 用 归 结 原 则将 函 数 极 限 问题 转 化 为数 列 极 限 问 题 去 讨 论 证 明 了 函 数 极 限性 质 与 极 限 存 在 的 判 定 定 理

进 而 更 清晰 的 刻 画 了 函 数 极 限 与 数 列 极 限之 间 的 关 系

关 键词 归 结 原 则 数 列极 限 函 数极 限

中图分 类号

文 献标识码

文章编号

,

引言

数 列 极 限 与 函 数 极 限 是 我 们 常见 的 两 种 极 限形

式 归结 原 则 给 出 了 两 者 的 本 质 联 系

, ,

内无 界 即 对 簇占 取 尽管

,

夕 一

无论有多大

,

,

,

,

尽管

,

文献 仁 〕 以 中

一 子

,

捌 一

存在相应 的 劣

,

函 数 极 限 的定 义 为 基 础 给 出 函 数 极 限 的性 质 与存 在

。二

,

二。

性 的证 明 本 文 则 以数列 极 限 的性 质 及 存 在性 为基

础 利 用 归 结 原 则 给 出 函 数 极 限性 质 和 存 在 性 的 证

,

,

,

又 数列

,

〔 ’

,

,

明 在本 文 中 只讨论

,

的情 形 其 他 情 形 可 类

,

归 结原则 有界性 知

存 在 再 由数 列 极 限存 在

,

似得 到

为有 界 数 列 这 与 ① 显 然 矛 盾

,

归 结原 则

设 函数

在了

,

内有 定 义

二。

,

,

性质

,

局 部保 号性

若 或

,

存 在 的充要 条件是 对任何 含 于 酬

则 对任 意 的正 数

,

存在

且以 相等 定义

为极 限 的 数 列

,

极限

都存在且

使对

二。

,

有 的情 形

,

设 函数

二 二

在点

二。

的空 心 右 领 域

,

的充 要 条 件 是 对 任 何 以

证明 证得

反证 只 证

,

可类似

极 限 的递 减 数 列

,

设 日 函 数 极 限 性质 的证 明

性质 限是 唯 一 的

份三 现取 ,

,

,

尽管

,

任 一 ’ 、

,

。 ,

一 ,

的 但

,

,

三 一

二 子

,

,

・ ・

,

唯一性

,

若极 限

存 在 则 此极

,

… 存在相应 的

,

,

,

,

… 尽管

, ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

证明 设

都是

士 才。

,

时 的极 限 即

,

另一 方 面 数列

仁 了

且几

作数 列

由归 结 原 则

存在且 其值 为 当

,

由 归结 原 则

,

再 由 数 列 极 限 的 局 部保 号性 知 日

时有

。 。

由数 列 极 限 存 在 唯 一 性 知

这 与 ② 式 矛 盾 故 假设 不 成 立

, ,

性质

局 部有 界 性

保 不等式 性

一二

动 都

性质

,

存在 则

,

存在 且在

,

。 ,

内有

,

了。

内有 界

证明

反证 设

存 在但

在叮

,

了。

证明 设

一了。

,

现作 数列

仁 ’

,

二。

且 不

,

, ,

二。

一 二

” 。

因为

收稿 日期 作者 简介 张祖峰

析 学教 学 与 研 究

,

江 苏 淮 阴 人 理 学 学 士 从 事分

, ,

幼 所 以有

由归 结 原 则

下转第

告 号

飞 工

其中

。,

,

为任 意 常数

参考 文 献 〔 汤 光 宋 高 阶新 微 分方 程 组 的 可 积 类 型

,

〕长 沙 电 力 学 院 学 报 自然 科 学 版

,

,

〔 汤 光 宋 租 国 林 新 高 阶 常 徽 分 方 程 的 可 积 类 型 〔 〕浙 江 海 洋 学 院 学 报 自然 科 学 版 幻

,

,

,

,

,

上接 第

,

限 的单 调有 界 定 理 知 二

,

存在 且

,

,

再 由数 列 极 限 的 保 不 等 式 性 知

下证

,

,

“ 对

,

,

,

取‘

一 】 毛

函 数极 限 存在判定 定 理 的证 明

定理

, ,

,

,

时有

,

害。

且在

,

上为

单 调增 加 函数 故

, ,

,

结合数列 下 确界

内有

,

二 二

,

的定 义 知

证 明 任作 一数列

的下界

由归 结 原 则

设 卢

,

由数 列 下 确 界 定 义 知

,

,

使

月 显然 的最 大 下 界

,

所以

,

,

结合 ③ ④ 由数 列 极 限 的 迫 敛 性 知

同样 在

,

构 造 另 一单 调 递 减 以

为极 限

由归 结 原 则

的充分性 知

存在且

一与

苏 的数列 王

由上 述 证 明过 程 知

收敛 于 定理

,

二 丁。

为定 义 在

上 的单 调 有 界 函

数 则 右极 限

存在 才 证 明 由条 件 不 妨 设 了为 定 义 在

一二

, ,

结 合

,

二。

⑤ ⑥ 知

由归 结 原 则

,

知 一才

存在 且

,

上 的单

调递增且有界的函数 故 日

,

,

,

存在 在

参考 文 献 华 〔 〕 东师 大 数 学 系

编 数 学 分析 上 册 第 三 版 高等教 育 出版社

, ,

丁。

构造单调递减 以

为极 限 的数 列 谧

,

,

显然

北 〕 京

为单 调 递 减 数 列 且

,

由数 列 极

,

,

,

,

,

范文九:证明数列极限存在的六种方法 投稿:范偎偏

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邢 台 师 范 高 专 学 报

19 9 8年 第 2期

证 明教

0  I   一 一

_

. 薯 爱 0 爱.

嚣  蕞 蕞

『 I

_

誓  毪 遗一 _ 套   强

爱 *  麓

美.

极 限 理 论是 整 个 数学 分 析 的基 础 , 列 极 限 是 全 部 极 限 理 论 的 重 要 组 成 部 分 , 文试 通 过  数 本

举 例说 明判 定 数 列 极 限存 在 的几 种 方 法 。

十 一

l   l

利 用 数 列极 限 定 义

例 1  :

i Nl i i E

=0

( 日> 1  ) (z ) ,>0 则

证 : n=1 l 令 +,

一 一   一

K ~

n 一( +,) ” 1 z

”l~~ , 『

对 给 >,√, e >。,N [ ] ,N ,a< 成 ,数 极 任   0   l ,    :f。当z 时有 “ e 立由 列   解 7< 得” £。       取 Lh  > h     j i , -   。

限定 义有 l i

=0   。

矗 n     复一鬻 .

用 定 义 证.  极 限■  注 意 N 的关 键 作 用 , 有 当 ,>N 时 有估 计 式 I ,一nI 。 此 例  明   必须 只        <£ a 曩 _蠢 我 "

麓. 麓 . 利 用 二 项 公 式  I ,   麓当放大 , 将   t  警适 甍  a  I 一0 目的 是 寻 找 满 足 定 义要 求 的 N ( ) 因此 在 放 大 过 程 中 不  £,

.   .

能 放 大 过 了头 , 放大 到 最后 应 是 M, (z 。 )   一0 , o   一

二 、 用极 限性 质  利

t   N2 已  =   ,

证    吉 明· =  , J r ∞

证 明 :. , ’a

圭 二

二  二 圭

3 1  一 0. " I

号 + +   而   。 ,一  一,‘ ,  { 当 一o 吉 号 0   f “   时j , 2   3  j 一  j ∞

l m 口  = i

7  3

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邢 台 师范 高 专 学 报

l9 9 8年第 2期

这 种 方 法 要 求 c 能 转 化 为 用 已 知 收 敛 的 数 列 表 示 的 形 式 , 对 有 些 数 列 , 种 转 化 并 不  』 J   而 这

容 易 , 可 以把 “  制 在 两 个 已知 收 敛 数 列 之 间 , 时 可 采 用 如 下 方 法  但 ,限 这 三、 利用 迫 敛 性  例 3 设

证 明:

.  +

证明:

十'f

+. 十 .  ’

(   一

+.十   .

1)   < <

)  : 1

÷

一 )

分项 合

并得

 ̄ /  · li a r

_) i=

[) il ( 一   l

由敛 , _ 号 迫 性故 ,    ?  =

运 用 此 法 的 关 键 将

适 当 放 大 与缩 小 , 般 是 从 数 列 { } 发 , 其 通 项 放 大 后 得 数 列  一   出 将

缩 小 后 得 数 列 {  , 使 { } { } 极 限 都 存 在 且 相 等 , 缩 的 技 巧 基 本 上 类 似 应 用  6 并   与 b 的 放

e —  定 义 证 数 列 极 限 时 的 常 用 方 法 , 键 是 掌 握 不 等 式 的 放 缩 的 各 种方 法 : 关

四 、 用级 数收 敛 的 必 要 条 件   利

该 方 法 步 骤 简单 且 容 易 奏 效 , 根据 是 “ 级 数 其 若

‰ 收 敛 ,.1  =0 c 故 将 证 明 极 限  ) 1 I il 1  ̄ 1   I ”

为 零 的 问 题 转 化 为级 数 收 敛 问 题 。

例 6   证 明  ?   :0

证 明 :   = 2 T ̄ 设  l n

研 无 正 级 墨 的 敛 ,达 贝 判 法有 究 穷 项 数 , 收 性由 朗 尔 别 ,

·

lg2 ( it     ̄

)  ”

,  )

< 1

∞   1 ¨  -

所以级数∑=  譬 的收敛的, 级数收敛的必要条件知, 由 它的一般项以零

= I   '}

为极 限 'p 目

=0

五 、 用 单 调 有 界 原 理  利

例5

设数 列 { } 足 条 件 O a < 1 (   满 <   , 1一‰ ) + >    l

证 明l   = i a r

" 一 ∞

(  1 2 3 …  , ,,,

证 明 : 数 列 {   的有 界 性 为 已知 的 , 本 口} 只须 证 单 调 性 , 用极 值 法 可 以证 明 :

74

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邢 台 师 范 高 专 学 报

19 9 8年 第 2期

( ≤ 对 , R 成 ,而  ( )  1 丢 7  都 立 因 有 1 ≤   1 7 C -

再 由 已知 条 件  ( 一 )   l 1 有  1  & >

( 一[ ) , l 1 “ “. 1   “  >( , , )

于 是 得

l  >

D“ (. <“ < 1 , 则 {  单 调 增 加 , 单 调 有 界 原理 知  il  存 在  ‘0   ‘ )  ∽} 由

不 妨 设  ¨ =A , A 的 值    求

由( 一 ) 1

由 ( -“ 1一,

l 1 >

有1AA { ( )   一 ≥

n  =

≤   r ( 一A ) 1  ̄ 1 - A ̄ 1

了 是 ( 一A) = 1 得 A = 1  ̄ r : 1 A      l i a

这 种 方 法 无 需 知道 有 限 , 只根 据 数 列本 身 的 性 质 ( 调 、 界 ) 即可 知极 限存 在 , 后 在 关  单 有 , 然 系式 两边 取 极 限得 一方 程 , 得 数 列

极 限 值 , 是 单 调 有 界 原 理证 明极 限存 在 和 求 极 限 的 典 型  解 这

方 法 C 此法 有 很 大 的 局 限性 , 适 用 于 判 定 单 调 数 列 的收 敛 性 , 别 任一 数 列 的 收 敛 性 还 有   但 只 判

下 面 的 方 法

六 、 用 柯 西 准 则  利

例  设 nt+ 孝 …  6  = g    + +  1

证 明 : 任 自然数 P 对

证  存 c 明 在

i   +   , +   < [ + ++ ] 号 南 南 .南   . ’

<[ 号  +   +. . 丽  . + ]   一  行   l 22.。十  一 + ]  l ++ +一 ++.         2   1  , 。 + P 1行P   。     、  一    . j ]号  <·

:   一

于 是 , Ve 对   >0,   =[ ] 当  > N 时 , 任 自然 数 P, 有 I  3N 2 旦 , 对 都 口

一口 < e成 立 ,  l 由柯 西

收 敛 原 理 ,i   存 在 c lr n a

柯 西 收 敛 原 理 给 出 了数 列 收 敛 的充 要 条 件 , 不 仅 使理 论 趋 于 完 善 , 在具 体 判 定 数 列 收  这 且 敛 性 中非 常 好 用 。这 种 方 法 不 需 借 助 于 数 列 以外 的 任 何 数 , 不 必 证 明数 列 的任 何 性 质 , 需  也 只 根 据 数 列 自身 的 结 构 特 点 , 能判 定 数 列 的收 敛 性 , 反 映 了 收 敛 数 列 最 本 质 的 特 征 , 以 运  就 它 所

用i 文种 方 法 t . 加 深 对 数 列 收 敛 的 珲 解   扫能

( 约编辑 特

岳 中亮)

7  5

范文十:如何利用定义证明极限问题 投稿:张跎跏

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第 2 4卷 第 5期

V o1 4 N O   .2   .5

济 宁师 范专科 学校 学报

J u n lo  ii g Te c e sCo lg   o r a  fJn n   a h r ’ l e e

20 0 3年 1   O月

O e . 00   t2 3

文 章 编 号 : 0 4 1 7 ( 0 3 0 — 0 0 —0   1 0 — 8 72 0 ) 5 0 6 2

如 何 利 用 定 义 证 明 极 限 问 题

朱 先 军

( 宁师 范 专科 学校 , 东 济 宁  2 2 2 ) 济 山 7 0 5

摘 要 : 文 利 用极 限 定 义介 绍 了如 何 通 过 限 定 变量 的 范 围及 放 大不 等 式 来 证 明 极 限 问题 。 本

关键词: 义, 定 函数 , 大 , 定 , 限  放 限 极

中 圈 分 类 号 : 1 ,  02 l 4

文 献 标 识 码 A

众 所 周 知 , 积 分 学 研 究 的 主 要 对 象 是 函数 , 研 究 函数 的 方 法 就 是 极 限 。 积 分 中几 乎 所 有 的 概 念 都 离 不 开 极 限 , 微 而 微   因 此 , 限 概 念 是 微 积 分 的重 要 概 念 , 限 理 论 是 微 积 分 的 理 论 基 础 。 函 数 极 限 由 于 自变 量 的趋 向 方 式 有 七 种 (一 。 , 极 极   。

— n ,   — n一

一 ‘  一 。 , + 。 , 2  , 。 一 o 一 一 。 ) 而 每 种 趋 向 的 方 式 又 对 应 着 四 种 极 限 的 结 果 ( 值 ,。 + 。 , 。 ) 因  。, 定 。, 。 一 。,

此 函数 极 限 共 有 2 8种 。对 于 每 一 种 极 限 都 要 求 不 仅 在 理 解 的基 础 上 会 叙 述 , 且 还 要 会 利 用 这 些 定 义 去 证 明相 应 的 极  而 限 问 题 。对 于 初 学 者 来 说 利 用 定 义 证 明极 限 问题 往 往 难 以 下 手 , 简 单 的 极 限 证 明 有 时 也 只 能套 用模 式 , 比较 复 杂 的  较 而 极 限 的 证 明 由 于 常 常 要 对 自变 量 作 出 限 定 并 伴 随 着 不 等 式 的 放 大 , 因此 , 生 们 就 更 是 无所 适 从  下 面 将 结 合 例 子 介 绍  学

在 利 用 极 限 定 义 证 明极 限 问 题 时如 何 通 过 限 定 自变 量 的 范 围 及 放 大 不 等 式 , 而来 证 明 极 限 问题  从

数 列 极 限

一 A( 值 )思 路 是 “ £ o  N EN ,   >Ⅳ , l. 定 , V > , V 有 a一A I <

数 列 极 限 是 函数 极 限 的 特 殊 情 况 。 用 定 义 证 明 利

£”

关 键是找 Ⅳ, 寻求 N , 而 只能 从 不 等 式 I  a一A I £ 手 , 找 Ⅳ 的 过 程 中 往 往 要 将 不 等 式 I. AI 进 行 放 大 , I < 人 在 a一 <£ 即

n一A I …  厂   < £这 里 f n 的分 母 中 必 须 含 有  且 分 母 比分 子 的 次

数 要 高 , 样 才 能 保 证 厂() 以 任 意 小 且 保 持      () , () 这  可 任 意 小 , 外 也 常 常 对  作 一 些 限 定 。 另   例 1证明 :l .  一 i a r

。。

n  -    ̄ n

+  5

一了 1

分 :>考 I- 5  一 西 ,4学往直让 析 O察丽 n 一 I V ' n + 1       . 者往接  e 2   初

4 而 分 值 大即 ) 使式放 , , 从

证 明过 程 略 。   以 下 例 题 只 给 出 分 析 过 程 , 明 过 程 略  证

< Ⅳ 这  e ,时 解但

求 的 Ⅳ 将 非 常 复 杂 且 不 易 求 解 , 时 在  三 4的 前 提 下 可 将 分 子 放 大 (n 1  ̄ 5 ) 而将 分 母 缩 小 (n 4 O 甩 掉 2 -  这 三 = 5一 9 n , 2- > , n

< < , 让 <,   ÷1 =n 4÷ )可     然   e 要< ,N m {[ ] 。 后 只  ̄  , 即

二、 函数 极 限

# 利 用 定 义 证 明  in  l 八  J 小 疋 值 ) , 是 通 过 V £ O 关 键 找  。在 找  的过 程 中往 往 也 是 对  作 限 定 , 限 定 时  一 时 也 > , 而

只 能在 点 a的 附 近 限 定 , 限 定 o j —nI 乱。但 有 些 初 学 者 往 往 是 作 形 如 6 < f的限 定 , 是 不 允 许 的 。另 外 也 常  如 <  < <  这

常 将 l ( 一A I £ 大 为 l ( 一A l …  g(xmaI, 后 让 g(xma1d e从 中 解 出 l -al 厂  )   < 放 厂  )     1   然 ) 1  ) , x  <  , 后 取 8 m n 最 = i  { , ) O即 可 。值 得 注 意 的 是 g(x aI中 l 乱  > 1-   ) xma 必 须 出现 在 分 子 中 且 必 须 能 保 证 g(x a ) 意 小 方 可 。 在 将 I    I Im   任 1 厂

收 稿 日期 : O 3 O 一 O   2 O一 3 6

作 者 简 介 ; 先 军 ( 9 3 ) 男 , 东 省 济 宁 市 人 , 宁 师 专数 学 系 剐 教授 。 朱 16 , 山 济

6 一

I疆

姗I   I

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) Al < e 大 的 过 程 中  时 分 于 、 母 甲 笛   多 余 的 z, 样 牛 一   l 放 分 怎 苷运 些 多 余 明 z 云 伴 是 敢 大 的 天 键 ・ F 回 通 辽 一 些 例

子予 以 说 明 。

a r -    例 2 证 明 :l 1 x  1 一2 . zi 五  z

分:>考 l 析 。察石 V ,   e

< 与 后       e 取 =

_ _

一I 兰 e 时母含多的z3有初者往到 一 2   < 这分中有余 I 1些学往得 I1   一 。 4 。 一 z    1

e 是 允 的 这 必 将 母 多 的4 3 掉方 是4 3 I 一)1 , 不 许 。 时 须 分 中

余 l一 I .法 I一 I 4 1 I 这   去 z   = ( +

i11 1I1专可定<一< , 当 l1  j-+ 2  < -   —   , 。 1 这 。   时4 73  三   4 1 4一> 限 I l 样 <一< 旦 x—一 一. 令 I l x  ̄ j

需 要 指 出 的是 Iz一3 = 1( 1 + 1 三 1 4z一 1 , 可 分 别 令 1 1 1 > 了 4   4z一 )   三 — 1 1 I=  也 1 -4 z一   1戤  I 1

1x1 e I 1  .后    { , 即 。 4一1 有x I 最 取 :   音)可 I < -< 1

吉 ,就 不 令 — 等但 是 能 1

4 z 1 > 1或 大 于 比 1 的数 。 外 ,4 - 3 缩 小 的 方 式 还 有 一 种 即 Ix 3 — I( - 1 + 1 三 4 X 1 一 1这 种 形 式  I一   I 大 另   lx   I 4 - I 4x- )   三 I -   , I= I

对 分 中 余   可 .为 令 l 1 11 1 1 _ 不 保   1 !者 初 者 言分   于 母 多 的 不 取因 如 4一1>  ̄ z I詈 能 证 一 了再 对 学 而 , z - 一 >_ 而 母 中 余 z 能 此 理限 2z3 54 39 而 三   <有 一I萼尽 做 了 分 多 的 可 如 处 : <<. "x <,    < 定 则 ̄- 从 e I 1 ,管 到 将     <

母 中多 余 的 z去 掉 了 , 却 忽 略 了 在 2 < 3时不 会 有 x-1了 。 但 <x - -  ̄   上 述 例 2是 分 母 中 含 有 多 余 的 z 的情 形 , 于 分 子 中 含 有 多 余 的 z 的情 况 , 看 下 面 的  对 请

例.明 誊   3 : 三一 证

分 :>考 I 82 Iz +.z Ix +  一+ 7可定< 一< 析 o察x 一  x  4 I4 I2  26, 限 oI2  V ’   l -    +=- 6 l<则 e S I l 1 - — l 令 z I    1

1 是x2x4 7—l£ I 2 - 由 可 出 =i1 。 , I   -1 1 Z , x   K 此 定 3m {号} 于 -I t< x < 有 -I    - I < ,  ,

对 于 分 子 、 母 中都 含 有 多 余 z的 情 形 , 仿 例 2 3处 理 , 如  分 可 、 例

例.明 芸 l 4 :  一  证  o

分 c, l _l   >考   l 与  o察 0 =

,令 分  别

I 1—x31 ̄z3 1 1[-1I 一)1 12一I÷ 可 别 I 3 1 x 7 I —4 1 [ 4 52 5   3   -[ 3 则 分 得 一I , - I -   一 + < .x   2 +1 z > 1 =   ̄   <I

3<- , 而可限定 I 1 4 从 1 z一3  I1

于是

l 一I 彳 芸  一     。

< Ise Is矗   {,) 。 3 —<有—< . — ÷矗即   0 I,z

l 取 z 可

以上介绍了如何通过限定自变量的范围及放大不等式的方法来证明函数极限问题, 至于其f形- I 式的极限的证明则  I }

可 根 据 苴 举 犁 仿 照 卜沭 处 理 办 法 灵 活 她 运 用

参 考 文 献

[] 1 刘玉琏等 . 数学分 析讲 义( 上册) 第二版 )高 等教育 出版社 。 ( ,

( 责任 编辑

庞新琴)

Wa   fP o i gL mi b   p li gD fn t n Hu X a —u   yo  r vn   i t yA pyn   e ii o Z   i   in j n

(i ig t a h r C l g S a d n Jnn 2 2 2 ) Jn n  e c e s o l e, h n o g,i ig, 7 0 5   e

A src: ya pyn  h i td f io ,hs riepee t h w t  rv i tb et gal tt h a g  f b tatB  p ligtel  ei t n ti at l rsns o  Opo el   ysti   i  Otern eo  mi ni   c    mi n mi

v ra l  n   n a g n   h  n q a iy a ib e a d e l r i g t e i e u l   t

Ke   y wor s: fn t d de i ion.un ton en a g s ta lm i  O.i i  f c i   l r e. e   i tt 1m t

7 —

1 r 疆 腰

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