圆环转动惯量_范文大全

圆环转动惯量

【范文精选】圆环转动惯量

【范文大全】圆环转动惯量

【专家解析】圆环转动惯量

【优秀范文】圆环转动惯量

范文一:转动惯量2 投稿:韩薴薵

转动惯量(图)

| [<<] [>>]

刚体绕轴转动惯性的度量。其数值为J

=∑ mi*ri^2,式中mi表示刚体的某个质点

的质量,ri表示该质点到转轴的垂直距离。求和号(或积分号)遍及整个刚体。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置,而同刚体绕轴的转动状态(如角速度的大小)无关。规则形状的均质刚体,其转动惯量可直接计得。不规则刚体或非均质刚体的转动惯量,一般用实验法测定。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。 描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系,有如下的平行轴定理:刚体对一轴的转动惯量,等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。由于和式的第二项恒大于零,因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。

还有垂直轴定理:垂直轴定理

一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量,等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。

表达式:Iz=Ix+Iy

刚体对一轴的转动惯量,可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。由此折算所得的质点到转轴的距离 ,称为刚体绕该轴的回转半径κ,其公式为_____,式中M为刚体质量;I为转动惯量。

转动惯量的量纲为L^2M,在SI单位制中,它的单位是kg·m^2。刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。惯量张量是二阶对称张量,它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。

补充对转动惯量的详细解释及其物理意义:先说转动惯量的由来,先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2,而且动能的实际物理意义是:物体相对某个系统(选定一个参考系)运动的实际能量,(P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小)。 E=(1/2)mv^2 (v^2为v的2次方) 把v=wr代入上式 (w是角速度,r是半径,在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点,质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r) 得到E=(1/2)m(wr)^2 由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的,所以把关于m、r的变量用一个变量K代替, K=mr^2 得到E=(1/2)Kw^2 K就是转动惯量,分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用,都是一般不轻易变的量。 这样分析一个转动问题就可以用能量的角度分析了,而不必拘泥于只从纯运动角度分析转动问题。 为什么变换一下公式就可以从能量角度分析转动问题呢?

1、E=(1/2)Kw^2本身代表研究对象的运动能量

2、之所以用E=(1/2)mv^2不好分析转动物体的问题,是因为其中不包含转动物体的任何转动信息。

3、E=(1/2)mv^2除了不包含转动信息,而且还不包含体现局部运动

的信息,因为里面的速度v只代表 那个物体的质

心 运 动情况。

4、E=(1/2)Kw^2之所以利于分析,是因为包含了一个物体的所有转动信息,因为转动惯量K=mr^2本身就是一种积分得到的数,更细一些讲就是综合了转动物体的转动不变的信息的等效结果K=∑ mr^2 (这里的K和上楼的J一样)

所以,就是因为发现了转动惯量,从能量的角度分析转动问题,就有了价值。

补充转动惯量的计算公式

转动惯量和质量一样,是回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性,用字母J表示。

对于杆:

当回转轴过杆的中点并垂直于轴时;J=mL^2/12

其中m是杆的质量,L是杆的长度。

当回转轴过杆的端点并垂直于轴时:J=mL^2/3

其中m是杆的质量,L是杆的长度。

对与圆柱体:

当回转轴是圆柱体轴线时;J=mr^2/2

其中m是圆柱体的质量,r是圆柱体的半径。

转动惯量定理: M=Jβ

其中M是扭转力矩

J是转动惯量

β是角加速度

例题:

现在已知:一个直径是80的轴,长度为500,材料是钢材。计算一下,当在0.1秒内使它达到500转/分的速度时所需要的力矩?

分析:知道轴的直径和长度,以及材料,我们可以查到钢材的密度,进而计算出这个轴的质量m,由公式ρ=m/v可以推出m=ρv=ρπr^2L.

根据在0.1秒达到500转/分的角速度,我们可以算出轴的角加速度β=△ω/△t=500转/分/0.1s

电机轴我们可以认为是圆柱体过轴线,所以J=mr^2/2。

所以M=Jβ

=mr^2/2△ω/△t

=ρπr^2hr^2/2△ω/△t

=7.8*10^3 *3.14* 0.04^2 * 0.5 * 0.04^2 /2 * 500/60/0.1 =1.2786133332821888kg/m^2

单位kg*m^2

范文二:转动惯量和转矩(转) 投稿:邹揢揣

转动惯量和转矩(转)

热度 2已有 2310 次阅读2010-3-5 16:27|个人分类:专业知识|

转矩都一样,为什么要分成超小惯量,小惯量,中惯量,大惯量?

惯量直接关系到伺服的加减速性能,小惯量的系统,启动,加速,制动的性能好,反应快。电机的惯量要跟负载的惯量匹配,通常负载的惯量不要大于电机惯量的5倍,最大不要超过10倍。

“小惯量的系统,启动,加速,制动的性能好,反应快”是因为本身电机转子惯量小,小惯量可以带动的负载惯量的倍数有的可以达到20倍甚至30倍的转子惯量,具体选型都有参数限制,同功率的小惯量的电机额定输出转矩会比中惯量、大惯量要小很多,那为什么它的反应还会快呢?因为它总拖动的惯量(=电机转子惯量+负载惯量)比中惯量、大惯量也同样小的多,力=质量*加速度,惯量正比于质量。为什么额定转速还会高呢?额定功率(W)=额定转速(转/分钟)*额定转矩(Nm)*2π/60。小惯量的额定转矩低,所以额定转速高。至于小惯量反应快的前提就是它必须拖带惯量和它匹配的惯量也很小的负载,惯量大了它就拖动不动了。如果同功率的大小惯量两种伺服电机拖动负载后总的惯量(转子惯量+负载惯量)完全一样,并且两套系统都在大惯量额定转速范围内工作(譬如1500转/分钟或1000转/分钟)时,小惯量的反应快的特点就不存在了。。。当然这样用大惯量伺服未免有点大马拉小车。为什么小惯量的伺服电机无法做的功率很大呢,是因为功率大了以后转矩要求加大,转子的机械结构无法继续保持转子惯量小的特点了,所以功率大的伺服都是转子惯量大的了。 电机选型时,主要依据就是工作转速下的转矩要求。还有一点就是负载惯量要满足伺服手册中的N倍于电机转子惯量的要求。举个例子说明大小惯量,大惯量好比是个胖子,小惯量呢就好比个瘦子,那么功率呢就是两人力气和运动速度的乘积一样,胖子呢力气比瘦子大,但速度慢。空载呢就是两个人都空着手,满负载呢就是两个人都在持久大力气输出的临界点,满载时胖子拿的东西由于力气大所以比瘦子拿的多,所以呢空载或满载时瘦子的动作都比胖子快。那么如果使两个人拿东西后总体重一般重在运动呢,随着总重量的不断加大,瘦子会比胖子速度越差越多,即使只是两个人拿的东西重量相等,如果拿的东西重量加重到一定地步,瘦子速度也同样会落后于胖子。

对旋转运动的物体来说,转矩和惯量的关系正如直线运动物体的受力和质量的关系。

范文三:转动惯量-惯性矩 投稿:侯聥聦

惯性矩与转动惯量

1 惯性矩(Products of Inertia)

1.1截面的极惯性矩(对坐标原点)

任意截面A对坐标原点O的极惯性矩为:

Ip2dA A(1)

由以上定义公式可见,截面极惯性矩恒为正,量

纲为长度的四次方,即L4 实心圆截面极惯性矩为Ipd4

32 (2)

空心圆截面极惯性矩为IpD4d4

32 (3)

1.2截面的惯性矩(对坐标轴)

任意截面A对坐标轴的惯性矩为:

Izy2dAA (4) 2IyzdAA

Iz、Iy分别称为截面对z轴和y轴的惯性矩。 d41实心圆截面直径惯性矩IdIp,Ip (5) 642

D4d41空心圆截面直径惯性矩IdIp,Ip (6) 642

单位:mm4

1.3与惯性矩有关力学问题

(1)扭转问题——极惯性矩

对于圆轴扭转问题,由材料力学相关推导可得:

横截面距轴线处的切应变dd,切应力为G dxdx

进一步推导可得dT (7) dxGIp

此处Ip即为极惯性矩(参见式1)

(2)弯曲问题——惯性矩

由材料力学相关推导可得,对于一根对称等截面

梁以中性层曲率表达的弯曲变形公式为:

1

M (8) EIz

My Iz横截面上y处的弯曲正应力为

乘积EIz称为梁截面的弯曲刚度,此处Iz即为惯性矩(参见式4)

2 转动惯量(Moments of Inertia)(Rotary Inertia)

2.1转动惯量基本概念

转动惯量与质量分布有关,刚体对z轴的转动惯量为

(9) Jzmiri2,ri为刚体M上微元mi到z轴的距离;

i1n

JzMRz2,M为刚体总质量,Rz为刚体等效为一质点M时,对z轴的回转半径。 由上可知转动惯量的量纲为ML2,

国际单位制下为kgm2

2.2常用转动惯量表

NoteId1Ip 2

3常用软件中相关问题说明

UG中“Moments of Inertia (WCS)”下求得Ix,Iy,Iz即为依照上式(9)所得,Radii of Gyration (WCS)为对应于各坐标轴的回转半径;

ANSYS中“Operate-Calc Geom Items-Of Volumes”项下”MOMENTS OF INERTIA”求得Ixx,Iyy及Izz同样依照上式(9)所得。

ANSYS的mass21中加的 Rotary Inertia 为转动惯量,可用实体模型求得或者用2.2节中的公式求得。注意:mass21中的转动惯量值是相对于 element coordinate 求得的!默认为,坐标原点为mass21单元的中心,坐标方向与总体坐标系相同。

范文四:均质圆锥壳对母线的转动惯量研究 投稿:刘溏源

科学之友

FriendofScienceAmateurs2009年04月(11)

均质圆锥壳对母线的转动惯量研究

刘艳芬

(山西师范大学物理与信息工程学院,山西

临汾041004)

摘要:应用平行轴定理、垂直轴定理及惯量张量法,以均质圆锥壳为例,计算均质旋转体

对母线的转动惯量,对结论进行讨论并将其推广;得出刚体的总质量、质量的分布及轴的位置是影响刚体转动惯量的因素的结论;通过取微元的方法结合惯量张量法求出均质薄圆锥壳对母线的转动惯量,并对有厚度的圆锥壳进行了讨论。关键词:惯量张量法;平行轴定理;垂直轴定理;转动惯量中图分类号:O313.3文献标识码:A文章编号:1000-8136(2009)11-0117-02

转动惯量是刚体转动特性的一个重要物理量。在刚体动力

学中,转动惯量的计算和测量是一个基本的问题。对于刚体,其转动惯量定义式为J=Σmir1=

2

2

3均质圆锥壳对其母线的转动惯量J

动惯量的因素有:刚体的总质量,刚体质量的分布及轴的位置。通常对转动惯量的计算可通过定义式及平行轴定理、垂直轴定理实现。但应用平行轴定理要求其中一轴过质心,应用垂直轴定理要求刚体是薄板或细环,因此对于有体积的刚体的任意轴这两定理不能直接使用。本文通过取微元的方法结合惯量张量法求出均质薄圆锥壳对母线的转动惯量,并对有厚度的圆锥壳进行讨论。

我们将对均质圆锥壳对母线的转动惯量进行分析。均质圆锥壳可看作两实心圆锥体之差,应用惯量张量法和平行轴定理分别求两实心圆锥体对给定轴(OA)的转动惯量作差即得其对给定轴的转动惯量。

乙rdm。由此可以看出影响刚体转

见1,均质圆锥壳,质量为m,其内外表面均为圆锥面,它们的高度和底面半径分别为h、H和r、R,φ和θ半顶角分别为φ和θ,求该圆锥壳对其母线OA的转动惯量J。

该转动惯量J可看作是高度为h,底面半径为r,质量为mA的圆锥体O'和高度为H,底面半径为R,质量为mA的圆锥体O对OA轴的转动惯量JA和JA之差。

由几何关系可知m、mA、mA之间有如下关系:r2hm

222

mA=RHm

mA=

'

'

'

'

'

'

(4)

1相关概念

(1)质量为mA的圆锥体O'对OA轴的转动惯量jA。见图2,以圆锥体O'的质心P取坐标系,其中Pz轴为圆锥体O'的中心

转轴,px轴、py轴与过质心p的截面上两相互垂直的直径重合,显然该坐标系是以惯量主轴为坐标轴的,即对质心p的惯量矩阵为对角矩阵。

图2中OA在yPz平面内,过P作OA轴的平行线l,其方向(aβγ)容易求得e1=

)3m(4r2+h2Jxx=Jyy=A

'

Jzz=3mAr2(5)

图2中OA在yPz平面内,过P作OA轴的平行线l,其方向

RHe1=(aβγ)其中a=0β=sinθ=γ=cosθ=(6)姨姨应用惯量张量法得圆锥体'O'对轴的转动惯量'

222

3m3m(4r+h)AAr2222

J1=Jxxa+Jyyβ+Jzzγ=sinθ+cos2θ(7)

由l轴平行于OA轴且l轴过质心,根据平行轴定理可得圆锥体对OA轴的转动惯量为JA=Jl+mAd2

'

'

'

转动惯量:描述质量分布的一个特征量,它等于刚体对一轴的转动惯量,等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。

平行轴定理:刚体对于任一轴的转动惯量,等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量,加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。

惯量张量法:通过无限小变换,把向量叉乘转换为矩阵运算,在引入向量的相伴矩阵的基础上,给出二重向量叉乘的转换法,最后引入惯量张量的矩阵法。

2均质薄圆锥壳对其母线的转动惯量J

(1)微圆环dm对转轴l的转动惯量dJl

πρR5z3+4πρR3z3

bJ=4dz

H姨H2姨(2)均质薄圆锥壳对母线的转动惯量J

(1)

dz姨

(2)

πρR5z3+4πρR3z3J=dJ=

0H4姨H2姨(4R2H2+R4=m22(3)均质薄圆筒对母线的转动惯量J

22(R-r)(]R2-r2J=Jl-Js=m[4h+H

乙乙其中d=[H-h]simθ

'3m(4r2+h2)23mAr2

JA=Asinθ+cos2θ+mA[H-h]2sinθ

80104'

'

'

(3)

-117-

(2)质量为mA的圆锥体O对OA轴的转动惯量JA。见图3所示,过圆锥体O的质心Q取坐标系,其中Qz轴为圆锥体O的中心转轴,Qx轴、Qy轴与过质心Q的截面上两相互垂直的直径重合,显然该坐标系是以惯量主轴为坐标轴的,即对质心Q的惯

在量矩阵为对角矩阵。很显然该坐标与图2中的坐标取法相同,

作如下代换就可求得圆锥体O对OA上面推得的(8)式的结论中,

轴的转动惯量JA:

'

mA→mAr→Rh→Hd→3Hsinθ

RH并且sinθ=cosθ=姨姨22

+6H2)J=3mAR(R(9)与文中均质圆锥体对母线的转动惯量结论一致。(3)均质圆锥壳对其母线的转动惯量J。见图2,均质圆锥壳对其母线的转动惯量J可看作是高度为h,底面半径为r,质量为mA的圆锥体O'和高度为H,底面半径为R,质量为mA的圆锥体O对OA轴的转动惯量JA和JA之差。即

J=JA-A

将(8)式(9)式代入(10)式

22(4r+h)23mAr+6H2-3mA

J=3mRsinθ+cos2θ22

2

2

2

'

'

'

'

'

'

刘艳芬:均质圆锥壳对母线的转动惯量研究

-mA[H-h]2sin2θ

R其中sinθ=

姨2'

mA=2rh2m

OθO

φ

dp

(11)

H

姨2

mA=2RH2m

O2cosθ=

θ

l

z

l

θ

y

x

v

图1均质圆锥壳对母线的转动图2圆锥体0'对OA轴的转动惯量图3圆锥体0对OA轴的转

4结论

(10)

对于均质旋转体(如圆锥壳),由于其对称性,使用惯量张量

法和平行轴定理可方便地求出其对母线的转动惯量;对于更加特殊的旋转体(如薄锥壳),通过取微元的方法可综合利用平行轴定理,垂直轴定理和惯量张量法求出对母线的转动惯量。这一结论同样可推广到旋转体对任意轴的转动惯量。

ACalculationofRotationInertiaofCommon

UniformRevolutionalRigidBody

LiuYanfen

Abstract:Therotationalinertiasaboutgeneratorofcommonuniformrevolutionalrigidbodies(thin-walledcircularcone)aresimplycalculatedbythemethodofrotationalinertiatensor,theparallelaxistheoremandtheorthogonalaxistheorem,andtherotationaliner-tiaofthin-walledcylindersisgivenasaspecialexample,abrieflydescriptionsofcircularconefollowing;Derivedthetotalmassofrigidbody,thedistributionofthequalityandaxialpositionaretheconclusionsofimpactingrigidbodymomentofinertiafactor;Andthentherotationalinertiaofthin-walledcylindersiscalculatedbyusingtheparallelaxistheoremandtheorthogonalaxistheoreminthemicrosheets.

revolutionalKeywords:themethodofrotationalinertiatensor;parallelaxistheorem;theorthogonalaxistheorem;rotationalinertia

rigidbody

(上接第116页)

使用一个白色的卡片或是用一张铝箔包在卡片上,将光线反射在被摄物体上,以照亮物体上的阴影部分。需要注意的是,不要让这张卡片出现在被拍摄范围内。2.5一定要有耐性

有时候,即使是一阵微风也会使拍摄到的特写镜头出现模糊的情景,在这个时候,你就一定要有耐性了,最好是等到风过

了之后再进行拍摄。同样的,在户外拍摄时,当天上的云将太阳

遮住了,最好是等到太阳出来后再拍摄,这样拍摄出来的照片看起来会比多云时拍摄的照片的色彩更鲜艳、明亮一些。

数码摄影的普及应用,不仅给人们的工作和生活带来了方便和无穷乐趣,也极大地提高了工作的效率。学会从多个角度分析每幅作品的优点与不足,开拓视野,丰富想象力、提高创造力。从而让摄影与我们的生活更密切。

PhotographyandLife

XieDi

Abstract:Livesinusinthecity,mayseeeverydaythemassivephotography,nearlyverylittlehadanyotherthingtobepossiblesucheverywhereall.Inourcountryhistory,alsodoesnothaveinanykindofformofsociety,appearedsuchhasconcentrated,suchcrowdedvisionvideoinformation.Thephantomhasbecomethepeopletowork,alifestrongcharacter.Keywords:photography;life;classification;skill

-118-

范文五:均匀圆柱体对其中心轴转动惯量的计算方法 投稿:蔡裙裚

第 2 4卷 第 4期  
2 1 年 8月 01  

高等 函授 学报 ( 自然 科 学 版 )  
J u n l fH ih rCo r s o d n eEd c to ( a u a  ce c s  o r a    g e  re p n e c  u a in N t r lS in e ) o

Vo . 4 N o 4 12   .  
2011  



大 学教 学 ・  

均 匀 圆柱 体 对 其 中心 轴 转 动 惯 量 的 计 算 方 法 
刘  娜  刘 继 兵 
( 北师范学 院 物 理与电子科学学 院, 北 黄石 湖 湖 450) 3 0 2 

摘  要 : 普 通 物 理教 材 中 , 多教 材 里 直 接 写 出均 匀 圆柱 体 对 其 中 心 轴 转 动 惯 量 的表 达 式 , 在 大  
而 没 有 写 出详 细求 解 过 程 。本 文 通 过 选 取 不 同 的微 元 , 用几 种 方 法计 算 了 均 匀 圆柱 体 对 其 中 ・ 运  
轴 的转动惯量 。  

关 键 词 : 匀 圆柱 体 ; 动 惯 量 ; 算 方 法  均 转 计 中 图 分 类 号 : 1  O4 5 文献标识 码 : A  文章 编 号 :0 67 5 ( 0 1 0 —0 50   1 0 — 3 3 2 1 ) 40 2 — 2

转 动惯 量 是大 学物 理 中刚 体力 学部 分一 个 十  分重 要 的物 理 量 , 多数 普 通 物 理 教 材n 中仅 直  大   接写 出均 匀 圆柱 体 对 其 中心 轴 转 动 惯 量 的 表 达 
式 , 没 有 详 细 写 出 求 解 过程 。我 们通 过 选 取 不  而 同的微元 , 用几种 方 法对其 进 行计 算 [ 。设 均  运 3 ]

则 整个 圆柱 体 的转 动惯 量 
一  

J.P 一  一   。 一1 f  出   L 号       1 I D

方法 2  

取底 面半 径为 r, 厚度 为 d r的 圆柱面作 为 微  元 ( 图I ) 则 其 质 量 d — p r d 转 动惯 量  如 2, m 2 L r, 7 r
d 一 , d 一 2r r  。 I m 7 正 。  

匀 圆柱体 的 质 量 为 m , 面半 径 为 R , 密 度 为  底 体


高为 L 。  
方法 1  

则 整个 圆柱 体 的转 动惯 量 

建 立 如 图 1所 示 的直 角 坐标 系 , 坐标 z处  在 取 一厚 度 为 d z的 圆盘 作 为 微 元 , 圆 盘 的 质 量  此

j 』 』 一 号 一  。 一 一2 。 . 丢    , o  一  L

d — pc d 由圆盘 对 中心 轴 的转 动 惯 量 表 达  m 7 z, R。
1  

式 , 对 z 轴 的 转 动 惯 量 d —  1 。 m 一 其 I   d R  

号, 。 I    D c R

图 2   图 1  

收稿 日期 : O l 4 O 2 l —O —2 .   基 金 项 目 :0 9年湖 北 师 范 学 院 教 研 项 目 , 目 编 号 : 0 9 2 ; 0 0年 度 湖 j 师 范 学 院 青 年 基 金 项 目 , 目 编  2
0 项 2007 21 £ 项
号 :0 0 9  2 1 C1 .

作 者 简 介 : 娜 ( 92 ) 女 , 东 省 淄 博 市 人 , 士 , 究 方 向 ; 论 物 理 . 刘 1 8~ , 山 硕 研 理  
25  

第2 4卷 第 4期 
2 1 年 8月  01

高等 函授学报 ( 自然 科 学 版 )  
J u n l fHih rCo r s o d n eEd c t n N au a  in e ) o r a    g e  r e p n e c  u ai ( t r l e c s  o o Sc

Vo . 4 No 4 12   .  
2 1 O1  

方 法 3  

板 作 为 微 元 , 薄 板 长 为 L , 为 2 o    此 宽 Rc s0。

类 似方法 2 先 将 将 圆柱 体 分 成 很 多 无 限 薄  ,
的 圆 柱 面 , 柱 面 的 底 面 半 径 为 r 厚 度 为  r 再   圆 , ,

先 计 算 此 薄 板 的 转 动 惯 量 。 在 薄 板 上 取 一 
细 长 棒 , 图 5 此 细 长 棒 长 为 2 o  宽  如 , Rc s0,
一  

取线 度为  的细 长棒 作 为微元 ( 3 截 面图 )  图 为 , 极 坐标为  , 细长棒 长 为 L, 质量 d — p d d  则 m L rl

为 

, 量 d — P・2 o   x l 质 m Rc s8 d   d

。  

r ●● J 0 

如  

= p d ・ d 转 动惯 量 d L r r O, I— rd —p r dd   2m L 。 r O。
则整个 圆柱 体 的转 动惯量 

。  

If—L 。   一   =d l rr I 专 I。 d D - l  L f  1
— ~   — —

一  

一 

图 5  

则 细 长 棒 到 转 轴 距 离 为 Rsn0, 平 行  i  由 轴 定 理 , 长 棒 对 转 轴 的 转 动 惯 量  细

d =(s 。 +壶( c 2   I R d     m 2 0Od RS m )


2 。 i  c s x   sn 8 o   dl+ 

图 3  

方法 4  

1 。o。 x l 0 csO d 由此 得 薄 板 对 转 轴 的转  R d
动 惯 量 

利用柱 坐标 进行 计算 。在 圆柱 体 内取 任意微 
元  z , 标 为 ( ,   则 d 一  ̄a d a , 微   ,坐 , ,), m . rO z 此

元 的转 动惯 量 d l— rd = o。 r O z。 Zm rd d d  
则 整个 圆柱 体的转 动惯 量 

J  ̄fRic + C  一d (。  s i3 ̄ x2s 。 2 O ) n   R S 


2 - (i。c s + 1 。3) x d R。 s   。 口    sO d   n c

I Jd — II    
2被  

如  一  

由 — Rsn0 : x— Rc s d 将 上 式    i 得 d   o  0, 0

中 的 d 替 换 并 作 积 分 , 到 整 个 圆 柱 体 的  x 得
转 动 惯 量 
I— l  
J  




2R・ (z s+ 4, p 2sOz 丁 s t L 』ic  1 00 no c )  u
L号 一 
参 考 文 献 

:: = 

[ ] 程 守 洙 , 之 永 . 通 物 理 学 [ 3 北 京 : 等  1 江 普 M . 高
教 育 出 版 社 , 9 . 1   8  9
图 4  

[ ] 同 济 大 学 数 学 系 . 等 数 学 [ 1 北 京 : 等 教  2 高 M . 高
育 出 版 社 , 0 7  20 .

方法 5  

建 z轴 , 向 垂 直 于 中 心 轴 , 4为 圆 柱  方 图 体 底 面 , 坐 标 为  , 度 为 d 的 长 方 形 薄  取 厚 x
2  6

[ ] 史 博 , 辉 , 晓 敏 . 柱 体 对 垂 直 其 中 心 轴 并  3 张 麻 圆
过 中 心 的 转 轴 转 动 惯 量 的 几 种 计 算 方 法 [ ]  J.
物 理 与 工 程 , 01 20( ): 7— 8. 2 0, 5 6 6  


范文六:“三线摆”法测定圆盘的转动惯量 投稿:贺攝攞

§2.3 转动惯量的测定

【预习重点】

1.数学模型的推导方法。 2.停表的校正和使用方法。 3.产生不确定度的主要因素。

【实验目的】

1.了解本实验设计思想和解决具体测量问题的方法。 2.学习用三线扭摆测定物体的转动惯量。 3.学习正确测量时间的方法。

【实验原理】

一、转动惯量的实验测量方法

转动惯量(Rotational inertia)是刚体在转动中惯性大小的量度。它与刚体的总质量、形状和转轴的位置有关。对于形状较简单的刚体,可以通过数学方法算出它绕特定轴的转动惯量。但是,对于形状较复杂的刚体,用数学方法计算它的转动惯量非常困难,因而多用实验方法测定。因此,学习刚体转动惯量的测定方法具有重要的实际意义。

转动惯量相当于物体在平动中的质量。一个物体的质量是唯一的,但对不同的转轴却有不同的转动惯量,所以转动惯量是对一定的转轴而言的。不同物体放在一起时,质量可以相加。但不同物体只有对同一转轴的转动惯量才可以相加,即对同一转轴而言转动惯量才具有迭加性。

本实验用三线扭摆测量圆环对中心轴的转动惯量,其总体考虑就是根据转动惯量的迭加性:先测出下盘的转动惯量I0,再把圆环放在下盘上,测出二者对同一转轴总的转动惯量I1,则圆环的转动惯量就是

II1I0 (2.3.1) 而测量I0和I1的公式可根据机械能守恒定律导出。设下盘的质量为m0,使之绕通过盘心的

竖直轴转动,由于重力和悬线拉力的共同作用,致使下盘在转动的同时其水平高度还会周期性发生变化,形成一个振动,振动上升的最大高设为hm,在振动过程中动能Ek和重力势能

Ep相互转化,则下盘在最高点时

Epm0ghm Ek0

当下盘回到平衡位置即最低点时

Ek

'

12

I0m Ep0 2

式中I0是下盘对通过盘心竖直轴OO的转动惯量。m是下盘通过平衡位置时的角速度。也

1

是振动过程中角速度最大值。振动过程中空气阻力可以忽略不计,根据机械能守恒定律,则有:

12

I2

0mm0ghm (2.3.2) 式中m0可用天平测得,如果再测得m和hm就可求出I0,但这两个量都难以直接测量,本

实验通过数学技巧,把它们转化为可以直接测量的量,导出了间接测量I0的公式。

最大角速度m可用下法求得。当下盘转角

很小时的振动可看作简谐振动,令初相为0,

则振动的角位移 2

msinTt

振动的角速度 d2m2

dtTcost

0T0

最大角速度 2

m

Tm (2.3.3) 0

(2.3.3)式中T0是下盘振动的周期,可用停表 测量,m是最大角位移,即下盘上升至最大 高度时自平衡位置转过的角度,可在求出hm 后在(2.3.2)式中消去。

最大高度hm的求法。图2.3.1画出了下盘和 一条悬线AB(长为L)的平衡位置(用实线表示) 和最高位置(用虚线表示)。在平衡位置时上下 两盘相距为H0;当下盘上升hm至最高位置时, 盘心由O升至O1,悬点由A变到A′,上盘 悬点B在下盘上的投影由C变到C′,下盘产 图2.3.1 三线摆原理

生最大的角位移为m。图中R和r分别表示

上、下两盘的有效半径(由各自的盘心到悬点

的距离)。由图2.3.1可见

22

hBCBC

BCBCmOO1BCBCBC2

AB2

AC2

L2(Rr)2,

BC2

AB2

AC2

L2(R2r22Rrcosm)BCBC2H0hm

把上面后三式代入第一式得

2

2Rr(1cosm)hm

2H0hm

sin代入上一式得

4Rrsin2(

m

2H0hm

)

当摆角m很小时(一般应满足m5,即m0.09rad)

m

2

m

2

rad;2H0hm2H0

2

Rrm

hm (2.3.4)

2H0

把(2.3.3)、(2.3.4)式代入(2.3.2)式可得

12RrI0(m)2m0gm2 2T02H0

mgRr2

解得 I002 T0 (2.3.5)

4H0

则I0的测量已转化为质量、长度和时间的测量。这就是我们要导出的下盘对于竖直轴OO的转动惯量的数学模型。式中R、r为上下盘的有效半径,H0为上下盘之间的距离。 欲测质量为m的待测物体对于OO'轴的转动惯量,只须将该物体置于圆盘上,由公式(2.3.5)即可得到该物体和下圆盘共同对于OO'轴的转动惯量的数学模型为: I1

'

(mm0)gRr2

T1 (2.3.6)

42H1

'

式中T1为待测物体和下盘共同的振动周期,因悬线所受张力而略有伸长,上下两盘间的距离变为H1,由(2.3.5)、(2.3.6)式求出I0和I1,代入(2.3.1)式即可求得圆环对其中心轴OO的转动惯量I。

大学物理中,一般都给出几何形状简单、密度均匀的物体对不同轴的转动惯量。下面是与本实验有关的两个公式:

圆盘 I

1

m0d2 (2.3.7) 8

1

m(d2D2) (2.3.8) 8

转轴通过中心并与圆盘面垂直,d为直径。 圆环 I

转轴沿几何轴,d、D是圆环的内、外直径。 二、不确定度分析

本次分析主要说明两个问题:一是输入量的不确定度对本实验的影响及其减小的办法;二是系统效应对本实验的影响及其减小的办法。 1.本实验各输入量的数字范围如下:

m0(1000.000.20)g (用天平测一次)

3

m(1000.000.20)g (用天平测一次)

R(6.50000.0020)cm (用卡尺测一次)

r(4.00000.0020)cm (用卡尺测一次) H0H1(55.0000.020)cm (用米尺各测一次)

T0T1(1.500.10)s (用停表各测一次)

由上述测量值可知,除T0和T1外,有效数字的位数都不小于四位,而唯独T0和T1的有效数字仅两位。再考虑到在转动惯量的数学模型中T0和T1的指数为2,则T0和T1的相对不确定度的灵敏系数也是2,这使得T0和T1的不确定度对结果的影响更大一些。因此如何减少T0和

由一般函数Kx (K为常系数)的不确定度T1的不确定度就成了本实验的关键问题之一。

传播律u()Ku()可知,在测量某个小量时,可以利用测量它的许多倍来减小其测量的不确定度。本实验的扭摆在振动过程中T0和T1基本上是恒定的,这样就使我们能够测量连续振动多次的时间。设连续振动50次的时间为t,则

11u(T)u(t)

t u(T)u(t)  5050Tt

如果 t(75.000.10)s 则 T(1.50000.0020)s

由此可见,随着t的有效数字增加,T的不确定度也大为减小。而且在(2.3.5)、(2.3.6)式

ttu(t)u(T)

和导出的不确定度传播律中,以0和1代替T0和T1,以代替可免去了求T0和T1

tT5050

T

的计算,因此则有:

m0gRrt02

() (2.3.9)

42H050mgRrt12

I112 () (2.3.10)

504H1

I0 ur(I0)

ur(I1)

22ur2(t0)ur2(H0)

u(I0)I0ur(I0) (2.3.11)

u(I1)I1ur(I1) (2.3.12)

由(2.3.1)式II1I0可得圆环转动惯量I的不确定度为

u(I)r2(m1)22ur2(t1)ur2(H1)

(2.3.13)

式中u(I1)和u(I0)分别是I1和I0的不确定度,可由(2.3.11)式和(2.3.12)式分别求得。 2.本实验的测量式是在扭摆角度不太大 (不超过5°) 的条件下导出的,因此在实验当

中要遵守这一条件,以免增大系统效应的影响。如果在推导公式时,近似地令

4

sin

引入相对系统误差,其大小为:

m

2

m

2

2

当m取5°时,其值为0.064%;当m取10°时,为0.24%。系统误差为正值,其影

响使测量值偏大。为了保证m不超过5°,即m0.09rad,可把m乘以下盘的几何半径

2(

m

2

sin

m

2

)/sin

m

R来确定下盘边缘上任一点的振幅Rm,实验操作时使振幅不超过此值。

此外,本实验是测量圆环绕其中心几何轴的转动惯量,如果圆环在下盘上放置不正,以至于圆环的几何轴与实际转轴不重合,也会引入系统效应。若两轴线相距为a,则可以证明系统误差为ma,使测量值偏大。还有如测t时,由于粗心大意,把测50个周期测成49周期,按t50T计算会使测量值偏小。

2

【实验仪器】

一、三线扭摆

三线扭摆也叫三线悬盘,简称三线摆,装置如图2.3.2,是一个用三条等长的悬线挂起来的匀质圆盘,实验时被测物体就放在悬盘上面。悬线的上端也接在一个小圆盘上,两个圆盘上的悬点都与各自的盘心等距离且间隔相同,即三条线所受的盘重的负荷也应该相同。上盘安装在固定支架的横梁上,可绕中心轴转动,略微转动上盘,就可使下盘绕通过两盘中心的竖直轴作扭转振动而成为一个扭摆。在振动的同时,下盘的重心也随之沿竖直轴上升或下降,圆盘的动能与势能发生相互转换。为了保证下盘绕几何轴转动,必须将上下盘面都调到水平状态。

1.先把水准仪放在上圆盘上,调底座螺旋,使水准仪气泡居中。

2.上盘调好后,再把水准仪放在下盘

上,收放三条悬线的长度,使水准仪气泡居

图2.3.2 三线扭摆 中。

注意调整方法:一般所有需要调整水平

状态的仪器均在底座上设有三个调节螺旋(或一个固定,两个可调),它们的连线或为正三角形或为等腰三角形。当调节一个底脚螺旋时,仪器将以另两个脚的连结为轴作转动,这一特点将是正确快速调整的依据,切忌盲目地调节。

二、秒表(Second watch)

本实验所用秒表为PC2001电子秒表,如图2.3.3所示。由于此表的读数精度较高,在本

5

实验中其仪器误差与其它测量仪器相比较小,故略去不予考虑。下面对照图2.3.3简单介绍一下此表的使用方法。

1. 秒表计时前的调整

按2键直至秒表显示(以SU、FR、SA 三个指示同时闪烁为准),如果秒表显示不 为0,按3键停止计时,按1键复位到0。 此时,秒表处于待计时状态。

2. 计时

秒表处于待计时状态,按3键开始计时, 再按3键停止计时,按1键复位到0。

3 读数方法

停止计时后,如秒表显示为1:15 62 则 记为75.62秒。

三、物理天平,卡尺,钢板尺,水准仪

(Level),待测物是金属圆环

【实验内容】

一、用三线扭摆测圆环对其中心轴的转动惯量

1.让下盘处于静止状态,轻轻旋转上盘约3°~5°,随即回到原位(要防止悬线与横梁接触),使下盘作简谐振动,测出下盘振动50次的时间t0。测量时,先在下盘的侧面确定一

图2.3.3 秒表

条竖直准线,称为读数准线。再在底座上与读数准线振动的平衡位置相对应处确定另一条固定准线,称为参考准线。当下盘振动时,以读数准线通过参考准线时正对准的瞬间作为计数时刻。在测量时,口中报数“5、4、3、2、1、0”,在报“0”的时刻起动停表,数到50时,止动停表,记录示值。共测5次,数据填入表2.3.1。然后使下盘停止,用钢板尺测出上下两盘间的距离H0,数据填入表2.3.2,测量时从下盘的上表面量到上盘的下表面。

2.把待测圆环轻轻放在下盘上(由下盘的三个小圆孔定位,使圆环的中心轴与下盘转轴

OO'重合),静止后,再旋动上盘使下盘作振动,转角约3°~5°,测出下盘加圆环共同振动50次的时间t1,共测5次,数据填入表2.3.1。然后使下盘停止,测出上下两盘间的距离H1,

数据填入表2.3.2,测量时仍从下盘的上表面量到上盘的下表面。

3.上下盘的有效半径r和R及下盘的质量m0由实验室给出,记入表2.3.2。

6

次,数据填入表2.3.3。

1.由(2.3.9)、 (2.3.11)式计算下盘的转动惯量I0、相对不确定度度u(I0)。

2.由(2.3.10) 、(2.3.12)式计算下盘加圆环的转动惯量I1、相对不确定度不确定度u(I1)。

3.由(2.3.1)和(2.3.13)式求出圆环的转动惯量I、绝对不确定度u(I)、相对不确定度

u(I0)

、绝对不确定I0

u(I1)

、绝对I1

u(I)

。 I

4.表示实验结果。

5.由(2.3.8)式计算圆环转动惯量理论值I,把I和I比较,求比较误差:

II

100% (2.3.14) I

【思考题】

1.一个特定的刚体,其转动惯量是否为一个确定的量值? 2.试说明通过测量连续50次振动的时间求出的周期,为什么比测一次振动时间所得周期的测量不确定度小?

3.测三线摆振动周期,在下盘转到最大角位移时,起动停表有什么不好?

4.加上被测物后三线摆的振动周期是否一定比空盘的周期小?

5.测圆环对其几何轴的转动惯量时,如果圆环的几何轴偏离三线摆的转轴,则测量结果是偏大还是偏小?

6.把sin和cos用级数展开(级数中的以rad为单位):

,cos1。 3!5!7!2!4!6!

求5时取sin、cos1会产生多大的相对误差。

7

sin

357246

范文七:A8转动惯量 投稿:金攅攆

实验 名称 实验 目的

转动惯量实验

1. 测定刚体的转动惯量。 2. 验证转动定律及平行移轴定理。

主要讲授内容: 1. 实验原理: 转动惯量是反映刚体转动惯性大小的物 光电门 理量,它与刚体的质量及质量对轴的分布有 关。 对于几何形状规则, 质量分布均匀的物体, 可以计算出转动惯量。 但对于几何形状不规则 的物体,以及质量分布不均匀的物体,只能用 实验方法来测量。 本实验是用转动惯量实验仪 和通用电脑式毫秒计来测量几种刚体的转动 惯量,并与计算结果加以比较。 由刚体运动学,我们知道角位移θ 和时间的关系为:

承物台 滑轮 绕线塔轮

砝码

θ =ω 0 t+(1/2)β t2

在一次转动过程中,取两个不同的角位移θ 1 和θ 2,则有:

θ 1=ω 0 t1+(1/2)β t12 θ 2=ω 0 t2+(1/2)β t22

联立求解得:



2( 2 t 1  1 t 2 ) t 1 t 2 t 2  t 1 

11

本实验采用电脑式毫秒记自动记录,每过π 弧度记录一次时间和相对应次数 K 值。因为开始 时,K=1,t=0,经过θ =1π 时,K=2,于是θ =(k-1)π 。 2[( k 2  1) t 1  (k 1  1) t 2 ]  (12) t 2 t 1 t 2  t 1  设转动惯量仪空载 (不加任何试件) 时的转动惯量为 J0。 我们称它为该系统的本底转动惯量, 加试件后该系统的转动惯量用 J1 表示,根据转动惯量的叠加原理,该试件的转动惯量 J2 为: (1) 如果不给该系统加外力矩(即不加重力砝码) ,此时系统只受摩擦力矩的作用,根据转动定 律则有。 (2) M 为摩擦力矩,β 2 为角加速度,计算出β 2 值应为负值。 给系统加一个外力矩, (即加适当的重力砝码) ,则该系统的受力分析如图所示。

2

J2=J1-J0

-M = Jβ

mg-T=ma

T

(3)

1

T·r-M= Jβ

(4) (5)

a=rβ

mg

1

β 1 外力矩与摩擦力矩的共同作用下, 系统的角加速度, r 是塔轮的半径, ⑵、⑶、⑷、⑸、式联立求解得:

mgr m1r 2 mgr m1r 2 J  1   2 1   2

第 页

教师小节: 数据表 测量值

绕线塔轮半径 r=0.020m 次数 1 2 3 4 5 6 空载 2.871 2.864 2.866 2.865 2.864 2.863 2.866 1 -0.086 -0.089 -0.086 -0.090 -0.091 -0.091 -0.089

砝码质量 m=0.060 kg 圆盘 1.636 1.634 1.634 1.634 1.635 1.634 1.634 圆环 1.214 1.213 1.213 1.214 1.214 1.213 1.213 -0.045 -0.048 -0.047 -0.048 -0.047 -0.046 -0.047 0.6004 内:0.088 外:0.100

g = 9.784m/s2 长棒 2.697 2.693 2.692 2.692 2.690 2.688 2.692 -0.083 -0.090 -0.087 -0.088 -0.088 -0.088 -0.087 0.0760 质点 2.285 2.281 2.283 2.287 2.281 2.283 2.282 -0.081 -0.080 -0.084 -0.079 -0.083 -0.080 -0.081 0.1722 0.015 0.200

角加速度

1

1

2 3 4 5 6

-0.061 -0.063 -0.062 -0.062 -0.062 -0.061 -0.062 0.5815 0.100

角加速度

2

2

质量 M (kg) 半径 R(m) 长度(m)

数据处理:转动惯量计算公式: J 

mgr m1r 2 1   2

空载时 J 0 

0.060 9.784 0.020 0.060 2.866 0.0202  3.94103 kg  m 2 2.866 0.089

0.060 9.784 0.020 0.0601.634 0.0202  6.90103 kg  m 2 盘: J1  1.634 0.062

J 盘  J1  J 0  (6.90  3.94) 103  2.96103 kg  m2

理论值 J 盘理= MR 

2

1 2

1  0.5815  0.100 2  2.91 10 3 kg  m 2 2

相对不确定度 U r盘 

J 盘  J 盘理 J 盘理

100% 

-3

2.96  2.91 10 3 2.91 10 3

100%  1.7%

不确定度 U 盘=J 盘 U r盘=2.9610

1.7%= 0.0510-3 kg  m2

其它

J 盘=( 2.96  0.05 ) 10-3 kg  m2

系主任签名:

中心(室)主任签名: 第 页

环: J 1 

0.060 9.784 0.020 0.0601.213 0.0202  9.29103 kg  m 2 1.213 0.047

J 环  J1  J 0  (9.29  3.94) 103  5.35103 kg  m2

 理论值 J 环理= M(R1 +R2)

2 2

1 2

1  0.6004  ( 0.088 2 +0.100 2)  5.32 10 3 kg  m 2 2

相对不确定度 U r环 

J 环  J 环理 J 环理

100% 

5.35  5.32 10 3 5.32 10 3

100%  0.56%

不确定度 U环=J 环 U r环= 5.3510-3  0.56 %= 0.0310-3 kg  m2

J 环=( 5.35  0.03 ) 10-3 kg  m2

0.060 9.784 0.020 0.060 2.692 0.0202  4.20103 kg  m 2 2.692 0.087

棒: J1 

J 棒  J1  J 0  (4.20  3.94) 103  2.60104 kg  m2

理论值 J 棒理=

1 1 Ml 2   0.076  0.200 2  2.53 10 4 kg  m 2 12 12

相对不确定度 U r棒 

J 棒  J 棒理 J 棒理

100 %

-4

2.60  2.53 104 2.53104

100 %  2.8%

不确定度 U 棒=J 棒 U r棒=2.6010

 2.8%= 0.0710-4 kg  m2

J 盘=( 2.60  0.07 ) 10-4 kg  m2

0.060 9.784 0.02  0.060 2.282 0.022  4.95103 kg  m 2 2.282 0.081

小圆柱: J1 

J 柱  J1  J 0  (4.95 3.94) 103  1.01103 kg  m2

理论值

1 1 J 柱理= MR 2+Md 2   0.1722  0.015 2  0.1722  0.075 2  0.99 10 3 kg  m 2 2 2

相对不确定度 U r柱 

J 柱  J 柱理 J 柱理

100 %

-3

1.01 0.99 103 0.99103

100 %  2.0%

不确定度 U 柱=J 柱 U r柱= 1.0110

 2.0%= 0.0210-3 kg  m2

其它

J 柱=( 1.01 0.02 ) 10-3 kg  m2

系主任签名:

中心(室)主任签名: 第 页

范文八:转动惯量论文 投稿:韩衰衱

刚体转动惯量的计算方法

物理学专业学生 指导老师 李体俊

摘 要:本文从转动定律入手引出转动惯量,然后介绍了转动惯量的物理意义几种计算方法。分别用定义法、叠加法、平行轴定理、垂直轴定理计算刚体的转动惯量,利用惯量张量计算刚体的转动惯量。

关键词:转动惯量;定义法;平行轴定理;垂直轴定理;惯量张量

The Calculation of Rigid Body Moment of Inertia

Student majoring in Physics Liu Qian-shun

Tutor Li Ti-jun

Abstract: This paper described the rotation law of inertia, and then introduced the moment of inertia of the physical meaning of some calculation. The rigid body moment of inertia was calculated respectively using defined method, superposition method, the parallel axis theorem and the vertical axis theorem. This article also calculated the rigid body moment of inertia using the inertia tensor.

Key words: moment of inertia;definition of law;parallel axis theorem;vertical axis theorem; inertia tensor

引言:随着科学技术的迅猛发展,转动惯量作为一个重要的工程参数,在越来越多的领域受到重视,如何更方便,快捷,准确的计算转动惯量成为了一个迫切需要解决的问题。

转动惯量等于刚体中每个质元的质量与这一质元到转轴的垂直距离的平方的乘积的和,而与质元的运动速度无关。与质点的平动动能比较而言,转动惯量相当于平动时的质量。物体转动时转动惯量是表示物体在转动中惯性大小的量度。关于转动惯量的研究由来已久,现在所取得的成果就是前人一点一滴积累来的。本文将在此基础上,本着循序渐进的原则,对转动惯量及多种计算方法进行探讨。

近年来伴随着高新技术的日新月异,对物体转动惯量,尤其是对非均质不规 则物体早点过来的深入性研究,已经对未来的航空、航天、军事及精密仪器制造 等高精尖行业产生了深远的影响。

1 转动惯量的引入[1]

为引入转动惯量,我们讨论转动定律。

如图1所示,刚体可看成是由n个质点组成,此刚体可绕固定轴Oz转动 ,于是刚体上每一质点都绕Oz轴作圆周运动。在刚体上取质点i,其质量为mi, 绕Oz轴作

半径为ri的圆周运动。设质点i受两个力作

图1

用,一个是外力Fi,另一个是刚体中其它质点作用的内力Fi,并设外力Fi和内力Fi均在与Oz轴相垂直的同一平面内。由牛顿第二定律,质点i的运动方程为

FiFimiai (1) 如以Fn和Fn分别表示外力Fi和内力Fi在切向的分力,那么质点i的切向运动方程为

FnFnmiri (2)

n为质点i的切向加速度。切向加速度与角加速度之间的关系tr。所以上式为

FtFnmiri (3) 上式两边各乘以ri得

FnriFnrimir2i (4) 式中Fnr和Fnr分别是外力Fi和内力Fi切向分力的力矩。考虑到外力和内力在法向的分力Ft和Ft均通过转轴Oz,所以其力矩为零。故上式左边也可理解为作用在质点i上的外力矩与内力矩之和。若遍及所有质点,可得

FnriFnri(miri2) (5) 由于刚体内各质点间的内力对转轴的合内力矩为零,即Fnri0。故上式为

2

Fnri(mr (6) ii)

而Fnr则为刚体内所有质点所受的外力对转轴的力矩的代数和,即合外力矩,用M表示,有MFnr。这样上式为

M(miri2) (7) 式中的miri2与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关,也就是说,它只与绕定轴转动的刚体本身的性质和转轴的位置有关,叫转动惯量。对于绕定轴转动的刚体,它为一恒量,以I表示,即

2

Imrii (8) 这样,就有

MI (9)

刚体绕定轴转动时,刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比,这个关系叫做定轴转动时刚体的转动定律,简称转动定律。

把式(9)与描述质点运动的牛顿第二定律的数学表达式相对比可以看出,它们的形式很相似:外力矩M和外力F相对应,角加速度与加速度a相对应,转动惯量I与质量m相对应。转动惯量的物理意义也可以这样理解:当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同刚体时,它们所获得的角加速度一般是不一样的。转动惯量大的刚体所获得的角加速度小,即角速度改变得慢,也就是保持原有转动状态的惯性大;反之,

转动惯量小的刚体所获得的角加速度大,即角速度改变得快,也就是保持原有的转动状态的惯性小。因此我们说,转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。

2 转动惯量的计算方法

2.1 定义法[1]

2

I由I(mrii)可以看出,转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴的距离平方的乘积之和。如果刚体上的质点是连续分布的,则其转动惯量可以用积分进行

计算,即

Ir2dm (10) 在国际单位制中,转动惯量的单位是Kgm2。 下面计算两种简单形状刚体的转动惯量。 例1 一质量为m、长为l的均匀细长棒,如图2所示,求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。

解 设细棒的线密度为。如图所示,取一距离转轴oo为r处的质量元dmdr,可得 Ir2dmr2dr

由于转轴通过棒的中心,有

1/2

图2 12ml22

I2rdrl

12120

如以通过棒的端点且平行于oo的AA轴为转轴,用同样的方法。可计算出棒对此转轴的转动惯量为ml2/3。它比转轴为oo时的转动惯量要大。

例2 一质量为m、半径为R的均匀圆盘,求通过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量。

解 设盘的质量面密度为。如图3所示,在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环。圆环的面积为2rdr。此圆环质量元dm2rdr。那么可以求得通过盘面中心垂直盘面的轴的转动惯量为

Ir2dm2r3dr 由于圆盘的半径为,有

1

mR2

图3 22

必须指出,实际上只有对于几何形状简单、质量连续且均匀分布的刚体才能用积分的方法算出它们的转动惯量。对于任意刚体的转动惯量,通常是用实验的方法测定出来的。

如以代表刚体的体密度,dv为质量元dm的体积元,于是转动惯量可写成

I2rdr

3

R4

Ir2dV。可以看出,刚体的转动惯量与以下三个因素有关。

V

(1)与刚体的密度有关(几何形状简单的刚体,则与质量m有关)。如半径相同、厚薄相同的两个圆盘,铁质的转动惯量比木质的大。

(2)与刚体的几何形状(及体密度的分布)有关,不同形状的刚体,即使质量相同,它们的转动惯量也是不同的。质量分布得离轴越远,物体的转动惯量越大。

(3)刚体的转动惯量还与转轴的位置有关。如表中细棒对通过它中心点的轴和通过它一端的轴的转动惯量是不同的。

2.2 叠加法[2]

利用转动惯量的代数可加性计算。如物体由1,2两部分组成,以I表示1加2对z轴的转动惯量,以I1表示1部分对z轴的转动惯量,以I2表示2部分对z轴的转动惯量。那么可得物体的转动惯量为

Imiri2

12

miri2miri2

1

2

I1I2 (11)

如果I及I1均很容易计算就可以通过上式计算I2,不必对2区域作积分,以避免复杂的计算。

2.3 平行轴定理[3]

如图4所示,设通过刚体质心的轴线为Zc轴,刚体相对这个轴线的转动惯量为Ic。如果有另一轴线z与通过质心的轴线Zc相平行,可以证明,刚体对通过z轴的转动惯量为

IIcmd2 (12)

式中m为刚体的质量,d为两平行轴之间的距离。上述关系叫做转动惯量的平行轴定理。平行轴定理

有助于计算转动惯量,对研究刚体的滚动是很 有帮助的。现证明如下 图4

上图中,Oz与Cz轴与纸面垂直,带撇坐标系表示质心坐标系刚体对Oz轴的转动惯量为

Imi(xi2yi2)

mi[(xixc)2(yiyc)2]

222mi(xi2yi)2xcmixi2ycmiyi(xcyc)mi (13)

和yc分别 ,miyimyc,xc用m表示刚体总质量。根据质心坐标式,有miximxc

yc0,上式中两项消失,在质心坐标中的坐标,因这一坐标原点正在质心,故xc

m(x

i

i

2

22

,于是得(11)式,由定理知,+y2c=dyi2)即刚体对Cz轴的转动惯量Ic,而xc

在刚体对各平行轴的不同转动惯量中,对质心的转动惯量最小。

2.4 垂直轴定理[4]

设刚体为厚度无穷小的薄板,建立坐标系Oxyz,z轴与薄板垂直,Oxy坐标面在薄板平面内,刚体对z轴的转动惯量为 Iz=mi2ri

mixi2miyi2 (14) 等号右方两部分顺次表示刚体对y和x轴的转动惯量,即

IzIxIy (15) 因此,无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯量,等于薄板对板面内另二直角坐标轴的转动惯量之和,称垂直轴定理,注意:本定理对与有限厚度的板不成立。 2.5 惯量张量法[5]

2.5.1 惯量张量 由理论力学知识知道物体在一般情况下的惯量张量为

IxxIyxIzx

IxyIyyIzy

Ixz

Iyz

(17)

Izz

并且把它叫做对O点而言的惯量张量,而这一惯量矩阵的每一个元素(轴转动惯量和惯

量积)则叫做惯量张量,也叫惯量系数。 其中

Ixxmi(yi2zi2) (18)

i1nn

Iyymi(zi2xi2) (19)

i1n

Izzmi(xi2yi2) (20)

i1

IyzIzymiyizi (21)

i1nn

IzxIxzmizixi (22)

i1

IxyIyxmixiyi (23)

i1

n

对质量均匀分布,且形状规则的刚体,我们可把上两式改写成积分形式,即

Ixx(y2x2)dm (24) Iyy(z2x2)dm (25)

Izz(x2y2)dm (26)

IyzIzyyzdm (27)

IzxIzxzxdm (28)

IxyIxyxydm (29)

故Ixx,Iyy,Izz就叫做刚体对x轴,y轴,z轴的轴转动惯量,至于Iyz,Izx,Ixy则因含有两个坐标的相乘项,所以叫做惯量积。

2.5.2 转动惯量 容易得到一般刚体的转动惯量,由惯量张量计算转动惯量的计算公式

IxxIxyIxz

I IyxIyyIyz

IzxIzyIzz

Ixx2Iyy2Izz22Iyz2Izx2Ixy (30)

式中,,为任一转动瞬轴相对于坐标轴的方向余弦,三个转动惯量和六个惯量积(由于对称关系,实际上也只有三个是相互独立的)作为统一的一个物理量,来代表刚体转动时惯性的量度。

2.5.3 应用[4]例3 均匀长方形的边长为a与b,质量为m,求此长方形薄片绕其对角线转动时的转动惯量?

b

1

Ixxy2t(ady)tab3

30

a

图5

Iyyx2t(bdx)

ba

1

ta3b 3

1

ta2b2 4

Ixz

Iyz

Izz

Ixy

xyt(dxdy)

00

I

Ixx

Iyx

Izx

IxyIyyIzy

Ixx2Iyy2Ixy

1a21b233

 It(ab)22t(ab)22

3ab3ab122

t(ab2

1a2b2

t(ab)2

6ab21a2b2

m2 2

6ab

3 转动惯量的讨论

在刚体对定轴的角动量的定义中出现一个新的物理量:转动惯量。转动惯量定义为

2

Imrii。它取决于刚体对轴的质量分布。对通常质量密度均匀的刚体,它取决于刚体的质量、形状和转轴位置三个因素。转动惯量的定义表明,一个质点对定轴的转动惯量是Imiri2,而刚体的转动惯量就是刚体中的所有质点转动惯量之和IIi。这也意味着一个刚体整体的转动惯量应等于其各部分的转动惯量之和。

4 结论

通过对刚体转动惯量的概念、平行轴定理、垂直轴定理及惯性张量的综合应用,本文对比了几种计算转动惯量的方法。显然,适当选取质量元,使用均质直杆,均质圆环,球壳等特殊形状物体的转动惯量的已知结论,再合理的转换坐标系,运用平行轴定理或垂直轴定理可以大大简化计算难度,使物理意义更明确,让质量分布规律性较强的刚体的转动惯量计算过程更清晰,步骤更简洁。 参考文献:

[1] 马文蔚. 物理学[M].北京:高等教育出版社,2006:87-95.

[2] 漆安慎,杜婵英. 力学[M].北京:高等教育出版社,2005:110-121. [3] 周衍柏.理论力学教程[M].北京:高等教育出版社,1986:46-56.

[4] 黄新民,张晋鲁. 普通物理学[M].南京:南京大学出版社,2005:68-79. [5] 朱炳麒. 理论力学[M].北京:机械工业出版社,2001:98-112.

致谢

这次毕业论文能够得以顺利完成,特别感谢我的指导老师——李体俊。在毕业论文的撰写过程中,李老师给予了我极大的帮助和指导。李老师渊博的专业知识,严谨的治学态度,朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。

范文九:转动惯量是什么 投稿:程堑堒

已解决

转动惯量是什么

悬赏分:0 - 解决时间:2006-9-5 06:42

提问者: 19910620 - 举人 五级

最佳答案

其实前面几楼说的都不错,但是我想再从另一个角度解释一下转动惯量:

先说转动惯量的由来,先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv?2,而且动能的实际物理意义是:物体相对某个系统(选定一个参考系)运动的实际能量,(P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小)。

E=(1/2)mv?2 (v?2为v的2次方)

把v=wr代入上式 (w是角速度,r是半径,在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点,质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r) 得到E=(1/2)m(wr)?2

由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的,所以把关于m、r的变量用一个变量K代替,

K=mr?2

得到E=(1/2)Kw?2

K就是转动惯量,分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用,都是一般不轻易变的量。

这样分析一个转动问题就可以用能量的角度分析了,而不必拘泥于只从纯运动角度分析转动问题。

为什么变换一下公式就可以从能量角度分析转动问题呢?

1、E=(1/2)Kw?2本身代表研究对象的运动能量

2、之所以用E=(1/2)mv?2不好分析转动物体的问题,是因为其中不包含转动物体的任何转动信息。

3、E=(1/2)mv?2除了不包含转动信息,而且还不包含体现局部运动的信息,因为里面的速度v只代表那个物体的质心运动情况。

4、E=(1/2)Kw?2之所以利于分析,是因为包含了一个物体的所有转动信息,因为转动惯量K=mr?2本身就是一种积分得到的数,更细一些讲就是

综合了转动物体的转动不变的信息的等效结果K=∑ mr?2 (这里的K和上楼的J一样) 所以,就是因为发现了转动惯量,从能量的角度分析转动问题,就有了价值。

回答者:黄金页 - 魔法师 四级 8-29 20:34

评价已经被关闭 目前有 2 个人评价

50% (1) 不好

50% (1)

对最佳答案的评论

好厉害

评论者: sh19871122 - 试用期 一级

学到东西了

评论者: skiven - 试用期 一级

厉害呀~~~谢谢。。学到很多东西。。。向你学习

评论者: bingo601 - 试用期 一级

更多>>

其他回答共 6 条

转动惯量定义为:J=∑ mi*ri^2 (1)式中mi表示刚体的某个质点的质量,ri表示该质点到转轴的垂直距离。

转动惯量是表征刚体转动惯性大小的物理量,它与刚体的质量、质量相对于转轴的分布有关。 刚体的转动惯量是由质量、质量分布、转轴位置三个因素决定的。 (2) 同一刚体对不同转轴的转动不同,凡是提到转动惯量,必须指明它是对哪个轴的才有意义。

回答者:ihelpyou - 总监 八级 8-29 15:54

楼上回答正确。

回答者:emlul - 助理 三级 8-29 16:15

对的

回答者:CWALCWAL - 魔法学徒 一级 8-29 17:05

转动惯量

moment of inertia

刚体绕轴转动惯性的度量。其数值为I=Δmiri2或I=,式中ri为组成刚体的质量微元Δmi(或dm)到转轴的垂直距离;求和号(或积分号)遍及整个刚体。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置,而同刚体绕轴的转动状态(如角速度的大小)无关。规则形状的均质刚体,其转动惯量可直接计得。不规则刚体或非均质刚体的转动惯量,一般用实验法测定。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系,有如下的平行轴定理:刚体对一轴的转动惯量,等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。由于和式的第二项恒大于零,因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。

刚体对一轴的转动惯量,可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。由此折算所得的质点到转轴的距离 ,称为刚体绕该轴的回转半径κ,其公式为,式中M为刚体质量;I为转动惯量。

转动惯量的量纲为L2M,在SI单位制中,它的单位是kg·m2。

刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。惯量张量是二阶对称张量,它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。

回答者:pfjin - 举人 四级 8-29 20:05

`

回答者:临离 - 试用期 一级 9-2 16:32

刚体转动惯量

转动惯量是表征刚体转动惯性大小的物理量,它与刚体的质量、质量相对于转轴的分布有关。

决定转动惯量的因素

转动惯量 J = ∑miri2 或 J=∫r2 dm 是物体转动惯性大小的量度,它的大小由物体的质量、质量分布和转轴的位置三个因素来决定。

请看下面的实例。

1.匀质直杆对垂直于杆的转轴的转动惯量

(杆长为l ,质量为M)

1) 垂直于杆的轴通过杆的中心O

J1=M l 2

2) 垂直于杆的轴通过杆的端点O1

J2=M l 2

3) 垂直于杆的轴通过杆的1/4处O2

J3=M l 2

2.匀质圆盘的转动惯量

(圆盘质量为M,半径为R)

1) 对通过盘心垂直盘面的转轴

J1=MR 2

2) 对通过直径的轴

J2=MR 2

3.挂钟摆锤的转动惯量

( 杆长为l ,质量为m1;

摆锤半径为R,质量为m2)

4.挂在光滑钉子上的匀质圆环摆动的转动惯量

(圆环质量为m,半径为R)

J=mR 2 + mR 2 =2mR 2

通过上面几个实例请读者体会:

(1) 刚体的转动惯量是由质量、质量分布、转轴位置三个因素决定的。

(2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同,凡是提到转动惯量,必须指明它是对哪个轴的才有意义。

取自:http://cai.tongji.edu.cn/pcai/p01/Ch03/LIJIU/html/zhuancontentnr.html

范文十:转动惯量是什么 投稿:钱氬氭

转动惯量是什么.txt两人之间的感情就像织毛衣,建立的时候一针一线,小心而漫长,拆除的时候只要轻轻一拉。。。。已解决
转动惯量是什么
悬赏分:0 - 解决时间:2006-9-5 06:42
提问者: 19910620 - 举人 五级
最佳答案
其实前面几楼说的都不错,但是我想再从另一个角度解释一下转动惯量:
先说转动惯量的由来,先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv?2,而且动能的实际物理意义是:物体相对某个系统(选定一个参考系)运动的实际能量,(P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小)。

E=(1/2)mv?2 (v?2为v的2次方)
把v=wr代入上式 (w是角速度,r是半径,在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点,质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r)
得到E=(1/2)m(wr)?2
由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的,所以把关于m、r的变量用一个变量K代替,
K=mr?2
得到E=(1/2)Kw?2
K就是转动惯量,分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用,都是一般不轻易变的量。

这样分析一个转动问题就可以用能量的角度分析了,而不必拘泥于只从纯运动角度分析转动问题。

为什么变换一下公式就可以从能量角度分析转动问题呢?
1、E=(1/2)Kw?2本身代表研究对象的运动能量
2、之所以用E=(1/2)mv?2不好分析转动物体的问题,是因为其中不包含转动物体的任何转动信息。
3、E=(1/2)mv?2除了不包含转动信息,而且还不包含体现局部运动的信息,因为里面的速度v只代表那个物体的质心运动情况。
4、E=(1/2)Kw?2之所以利于分析,是因为包含了一个物体的所有转动信息,因为转动惯量K=mr?2本身就是一种积分得到的数,更细一些讲就是
综合了转动物体的转动不变的信息的等效结果K=∑ mr?2 (这里的K和上楼的J一样)
所以,就是因为发现了转动惯量,从能量的角度分析转动问题,就有了价值。
回答者:黄金页 - 魔法师 四级 8-29 20:34
评价已经被关闭 目前有 2 个人评价

50% (1) 不好
50% (1)

对最佳答案的评论
好厉害
评论者: sh19871122 - 试用期 一级

学到东西了
评论者: skiven - 试用期 一级

厉害呀~~~谢谢。。学到很多东西。。。向你学习
评论者: bingo601 - 试用期 一级

更多>>
其他回答共 6 条
转动惯量定义为:J=∑ mi*ri^2 (1)式中mi表示刚体的某个质点的质量,ri表示该质点到转轴的垂直距离。
转动惯量是表征刚体转动惯性大小的物理量,它与刚体的质量、质量相对于转轴的分布有关。
刚体的转动惯量是由质量、质量
分布、转轴位置三个因素决定的。 (2) 同一刚体对不同转轴的转动不同,凡是提到转动惯量,必须指明它是对哪个轴的才有意义。
回答者:ihelpyou - 总监 八级 8-29 15:54

楼上回答正确。
回答者:emlul - 助理 三级 8-29 16:15

对的
回答者:CWALCWAL - 魔法学徒 一级 8-29 17:05

转动惯量

moment of inertia

刚体绕轴转动惯性的度量。其数值为I=Δmiri2或I=,式中ri为组成刚体的质量微元Δmi(或dm)到转轴的垂直距离;求和号(或积分号)遍及整个刚体。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置,而同刚体绕轴的转动状态(如角速度的大小)无关。规则形状的均质刚体,其转动惯量可直接计得。不规则刚体或非均质刚体的转动惯量,一般用实验法测定。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系,有如下的平行轴定理:刚体对一轴的转动惯量,等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。由于和式的第二项恒大于零,因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。

刚体对一轴的转动惯量,可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。由此折算所得的质点到转轴的距离 ,称为刚体绕该轴的回转半径κ,其公式为,式中M为刚体质量;I为转动惯量。

转动惯量的量纲为L2M,在SI单位制中,它的单位是kg·m2。

刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。惯量张量是二阶对称张量,它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。
回答者:pfjin - 举人 四级 8-29 20:05

`
回答者:临离 - 试用期 一级 9-2 16:32

刚体转动惯量
转动惯量是表征刚体转动惯性大小的物理量,它与刚体的质量、质量相对于转轴的分布有关。

决定转动惯量的因素

转动惯量 J = ∑miri2 或 J=∫r2 dm 是物体转动惯性大小的量度,它的大小由物体的质量、质量分布和转轴的位置三个因素来决定。

请看下面的实例。

1.匀质直杆对垂直于杆的转轴的转动惯量
(杆长为l ,质量为M)
1) 垂直于杆的轴通过杆的中心O
J1=M l 2

2) 垂直于杆的轴通过杆的端点O1
J2=M l 2

3) 垂直于杆的轴通过杆的1/4处O2
J3=M l 2

2.匀质圆盘的转动惯量
(圆盘质量为M,半径为R)
1) 对通过盘心垂直盘面的转轴
J1=MR 2

2) 对通过直径的轴
J2=MR 2

3.挂钟摆锤的转动惯量
( 杆长为l ,质量为m1;

摆锤半径为R,质量为m2)

4.挂在光滑钉子上的匀质圆环摆动的转动惯量
(圆环质量为m,半径为R)
J=mR 2 +
mR 2 =2mR 2

通过上面几个实例请读者体会:

(1) 刚体的转动惯量是由质量、质量分布、转轴位置三个因素决定的。

(2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同,凡是提到转动惯量,必须指明它是对哪个轴的才有意义。

取自:http://cai.tongji.edu.cn/pcai/p01/Ch03/LIJIU/html/zhuancontentnr.html

字典词典六一晚会主持稿六一晚会主持稿【范文精选】六一晚会主持稿【专家解析】湖北省晚婚假湖北省晚婚假【范文精选】湖北省晚婚假【专家解析】讲奉献有作为存在问题讲奉献有作为存在问题【范文精选】讲奉献有作为存在问题【专家解析】