因式分解提公因式法_范文大全

因式分解提公因式法

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【专家解析】因式分解提公因式法

【优秀范文】因式分解提公因式法

范文一:14.3.1提公因式法分解因式 投稿:龚佁佂

14.3.1提公因式法分解因式

教学目的

1、使学生理解因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系。

2、了解公因式的概念,掌握提公因式的方法。

3、培养学生的观察、分析、判断及自学能力。

教学分析

重点:掌握公因式的概念,会使用提公因式法进行因式分解。 难点:正确的找出公因式。

教学过程

一、回忆:因式分解的概念,与整式乘法的关系。

(1) X(X+1)= (X+1)(X-1)=

根据上面的运算,你能把上列多项式写成整式的乘积的形式

(1)X2+X= (2)X2-1=

归纳:因式分解的概念。

强调:因式分解的对象和因式分解有结果

二、因式分解与整式乘法的关系。

1、观察归纳:因式分解与整式乘法是互逆的过程。

2、练习:下列从左到右的变形,是因式分解的有哪几个?

三、寻找公因式的方法:

1、算一算:3.14×9+3.14×5-3.14×6

2、想一想:a2b–2ab2中各项有公共的因式吗?

7x – 21 、2x2 – x、ma+mb+mc呢?

归纳:公因式:多项式中各项公共的因式叫这个多项式的公因式。

提公因式法:将一个多项式的公因式提出来,把多项式写成公因式与另一个因式乘积的变形叫提公因式法。提公因式法是一种基本的因式分解方法。

3、寻找公因式: 8a3b2+12ab3c

看系数 看相同字母 看相同字母的最低次幂

归纳:找公因式的方法。

4、练习:找出下列多项式的公因式。

(1)ma + mb ;(2)4kx- 8ky ;(3)5y3+20y2

四、提公因式法分解因式

1、例题教学

(1)3a+3b (2) 6a4b3+24a2b3c2 (3) 2a(b+c)- 3(b+c) (4) -x3+x2-x

总结提公因式的步骤:1确定公因式,2提取公因式 3、结果写成乘积形式

2、练一练:用提公因式法分解因式(题略)

五、课堂小结

1、因式分解的概念、与整式乘法的联系

2、因式、提公因式法的概念

3、确定公因式的方法

4、提公因式的步骤

5、提公因式法的注意事项

范文二:1413因式分解(提公因式法) 投稿:吕娆娇

1413 因式分解(提公因式法)

 知识在线回顾

1.计算:

777(113-62; (2)-2.67×132+25×2.67+7×. 999

2. 993–99能被哪些数整除?

3.计算下列式子:

(1)3x(x-1)= ; (2)m(a+b+c)= ; (3)(m+4)(m-4)= ;

(4)(y-3)2; (5)a(a+1)(a

根据上面的算式填空:

(1)ma+mb+mc= ; (2)3x2-3x

(3)m2; (4)a3-a;

(5)y2-6y。

 知识在线探究

比较以下两种运算的联系与区别:

a(a+1)(a-1)= a3-a 和 a3-a= a(a+1)(a-1)

结论:

把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。其中,把多项式中各项的公因式提取出来做为积的一个因式,多项式各项剩下部分做为积的另一个因式这种因式分解的方法叫做提公因式法。

4.下列变形是因式分解吗?为什么?

(1)a+b=b+a (2)4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1

(3)a(a–b)=a2–ab (4)a2–2ab+b2=(a–b)2

理解如下关系:

(1)分解因式与整式的乘法是一种互逆关系;

(2)分解因式的结果要以积的形式表示;

(3)每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数;

(4)必须分解到每个多项式不能再分解为止。

 例题在线解答

(P115)例1:

把 8a3b2+12ab3c 分解因式 跟踪训练:把 2a2b-4ab2 分解因式

(P115)例2:把2a(b+c)-3(b+c)分解因式

例题拓展

用简便方法计算

(1)9992+999 (2)20072-2006×2007

1. 分解因式:

(1)m2(a-2)+m(2-a) (2) mnmn1

(3)a2n-an (4)(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)

2. 计算:210-29-28 3、已知a-b=3,ab=-1,求a2b-ab2

4. 若a为实数,则多项式a2(a2-1)-a2+1的值( )

A、不是负数 B、恒为正数 C、恒为负数 D、不等于0

5. 证明:817-279-913能被45整除

6. 若关于x的二次三项式3x2-mx+n分解因式结果为(3x+2)(x-1),则m=,n=。

1. 9x2y3xy26xyz各项的公因式是 ( )

A. 3y B. 3xz C. 3xy D. 3x

2. 把ababab分解因式得 ( )

A. aba2b2ab21 B. aba2b2ab2

C. aa2b3ab3b D. ba3b2a2b2a

3. 下列各式:

①x2y2xyxy;②aa3ba23ab;③4x23xx4x3; ④x22x2x11,从左到右的变形中,是因式分解的是23323

4. 分解因式:4xn110xn ,xxyyyx5. 把下列各式分解因式:

(1) a2baa2b ; (2) 2axy3byx . 2

范文三:提公因式法分解因式 投稿:朱笙笚

提公因式法分解因式(一)

干溪中小学 李妍

一、学生知识状况分析

学生的技能基础:在上一节课的基础上,学生基本上了解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系,能通过观察、类比等手段,寻求因式分解与因数分解之间的关系,这为今天的深入学习提供了必要的基础.

学生活动经验基础:学生有了上一节课的活动基础,由于本节课采用的活动方法与上节课很相似,依然是观察、对比等,学生对于这些活动方法较熟悉,有较好的活动经验.

二、教学任务分析

根据学生在上一节课的经验,学生只是对因式分解有了一个初步的印象和判断,而对于怎样把一个多项式进行因式分解还很茫然,相应的数学能力还有待于进一步加强和巩固.因此,本课时的教学目标是:

知识与技能:

(1)使学生经历探索寻找多项式各项的公因式的过程,能确定多项式各项的公因式;

(2)会用提取公因式法进行因式分解.

数学能力:

(1)由学生自主探索解题途径,在此过程中,通过观察、对比等手段,确定多项式各项的公因式,加强学生的直觉思维,渗透化归的思想方法,培养学生的观察能力;

(2)由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解,再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解,进一步发展学生的类比思想;

(3)寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法,培养学生的初步归纳能力. 情感与态度:

进一步培养学生的矛盾对立统一的哲学观点以及实事求是的科学态度.

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节:算一算——想一想——议一议——试一试——做一做——反馈练习——学生反思.

第一环节 算一算

777活动内容:计算:(1)1362 999

学生回答:你是用什么方法计算的?这个式子的各项有相同的因数吗?

活动目的:引入这一步的目的旨在让学生通过乘法分配律的逆运算(因数分解)这一特殊算法,使学生通过类比的思想方法很自然地过渡到正确理解提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握扫清障碍.

教学效果:学生对于利用乘法的分配律进行逆运算的方法很熟悉,能很快找到这个式子各项有的相同因数22,在提出公因数后,很快得出这一题的计算结果是7. 99

第二环节 想一想

活动内容:多项式 ab+ac中,各项有相同的因式吗?多项式 x2+4x呢?多项式mb2+nb–b呢?

结论:多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.

活动目的:在学生能顺利地寻找数的简便运算中的公因数之后,再深一步引导学生采用类比的方法由寻找相同的因数过渡到在多项式中寻找相同的因式.

教学效果:由于有了第一环节的铺垫,再从数过渡到式,学生能很快用类比的方法找到这些式子中相同的因式.

第三环节 议一议

活动内容:

多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么?

结论:(1)各项系数是整数,系数的最大公约数是公因式的系数;

(2)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分;

(3)公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式.

活动目的:

由于第二环节提供的几个多项式比较简单,不能反映公因式的全部特征,而通过本环节中寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式,则可很顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法,培养学生的初步归纳能力

教学效果:

每一个多项式都由两部分组成:系数部分与字母部分,因此,有必要将系数部分与字母部分分开讨论.在教师的引导下,学生能分别找出公因式的系数部分与字母部分,最后找到这个多项式的公因式.在学生具备初步的判断能力之后,应该将学生的能力进一步

升华,引导他们归纳出确定多项式各项公因式的方法,培养学生的初步归纳能力. 第四环节 试一试

活动内容:

将以下多项式写成几个因式的乘积的形式:

(1)ab+ac (2)x2+4x (3)mb2+nb–b

如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.

活动目的:

让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解,为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备.

教学效果:

由于有了因数分解的基础以及对提公因式法的正确理解和运用,学生能较快地从数的分解过渡到字母的因式分解.

第五环节 做一做

活动内容:将下列多项式进行分解因式:

(1)3x+6 (2)7x2–21x (3)8a3b2–12ab3c+ab (4)–24x3–12x2+28x 学生归纳:提取公因式的步骤:

(1)找公因式; (2)提公因式.

易出现的问题:(1)第(3)题中的最后一项提出ab后,漏掉了“+1”;

(2)第(4)题提出“–”时,后面的因式不是每一项都变号. 矫正对策:(1)因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同;

(2)如果多项式的第一项带“–”,则先提取“–”号,然后提取其它公因式;

(3)将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘,其积是否与原式相等. 活动目的:根据用提公因式法进行因式分解时出现的问题,在教师的启发与指导下,学生自己归纳出提公因式的步骤及怎样预防提取公因式时出现类似问题,为提取公因式积累经验.

教学效果:第(1)(2)两小题是简单题,对学生的要求不高,学生能很快完成这两小题,但当多项式的项数多了,或首项出现负号时,部分同学会产生思维上的困难,此时,教师有必要引导学生分步进行分解:如,先将负号提出,然后再提取其它的公因式,并

提醒学生在完成分解后,应再用整式的乘法进行逆向检查,查出错误予以纠正. 第六环节 反馈练习

活动内容: 1、找出下列各多项式的公因式:

(1)4x+8y (2)am+an (3)48mn–24m2n3 (4)a2b–2ab2+ab

2、将下列多项式进行分解因式:

(1)8x–72 (2)a2b–5ab (3)4m3–8m2

(4)a2b–2ab2+ab (5)–48mn–24m2n3 (6)–2x2y+4xy2–2xy

活动目的:通过学生的反馈练习,使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位,提取公因式的方法与步骤是否掌握,以便教师能及时地进行查缺补漏.

教学效果:从学生的反馈情况来看,学生对公因式概念的理解基本到位,提取公因式的方法与步骤基本掌握,但依然有部分同学出现第五环节中的问题,如对首项出现负号时不能正确处理,此时,需要老师进一步引导.

第七环节 学生反思

活动内容:从今天的课程中,你学到了哪些知识?你认为提公因式法与单项式乘多项式有什么关系?

活动目的:通过学生的回顾与反思,强化学生对确定公因式的方法及提公因式法的步骤的理解,进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系,加深对类比的数学思想的理解,对矛盾对立统一的哲学观点有一个初步认识.

教学效果:学生对确定公因式的方法及提公因式法的步骤有了进一步的理解,更清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系,但对化归、类比等数学思想方法的认识较模糊,当然,这种认识也是需要长期的培养,而不是一朝一夕可以做到的. 巩固练习:课本第49页习题2.2第1,2,3题.

四、教学反思

教学活动是学生与教师的双边活动,在这个过程中,学生应是学习的主体,教师应启发、指导学生进行探索活动,而不应越俎代庖.

在提公因式的教学中,很容易演变成以教师的灌输式教学为主,而学生主要是进行模仿练习,从知识的掌握上看,这种做法更有效,更快,但学生的探究能力和意识没有提高,数学思想方法渗透也不充分,最后导致的是学生数学素养的降低.

因而,在新课程理念下,我们应该倡导新型的教学形式——自主探究式的教学方式,

即把学生置于主体地位,达到培养学生的创新能力的目的.教师在教学过程中不再是凌驾于学生之上的圣人,而是善于走进学生心灵世界真诚的合作者.学生由于主体性得到了体现,自然会产生求知和探究的欲望,会把学习当作乐事,最终达到学会、会学和乐学的境地;教师不再把自己视为工作者, 而是合作者.在合作中,教师与学生之间原有的“权威——服从”关系逐渐变成了“指导——参与”的关系.

范文四:提公因式法分解因式 投稿:刘瑫瑬

第三届全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学

案例评选参赛作品

人教版八年级下数学

第十五章 整式的乘除与因式分解

15.4.1 提公因式法

单位:新疆乌鲁木齐市第九十二中学

姓名:盛金勇

教学课题: 【人教版八年级下数学第十五章整式的乘除与

因式分解-15.4.1 提公因式法教学设计】

知识与技能:

1.了解因式分解的概念,理解因式分解与整式乘法的关系。

2.了解公因式的概念,理解提公因式法。

3.会用提取公因式法分解因式。

过程与方法:

经历“数的分解——因式分解”的过程,培养学生分析问题,解决问题的能力,使学生体验从特殊到一般的过程。

情感与态度:

1.通过探究利用提公因式分解时的注意事项,让学生获得成功的体验,建立自信心。

2.在学习本节课知识的过程中,敢于发表自己的观点,并尊重与理解他人的见解,能从交流中获益。

教学重点:

会用提取公因式法分解因式。

教学难点:

因式分解的意义、如何确定公因式以及提出公因式后的另一个因式。 教学准备:多媒体

教学过程:

一.复习与回顾

整式的乘法

计算下列各式:

x(x+1)=x2+x;

(x+1)(x-1)=x2-1.

讨论 10能被哪些数整除?

在小学我们知道,要解决这个问题,需要把10分解成质数乘积的形式.

10=2×5

类似地,在式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式.

二.新课

请把下列多项式写成整式乘积的形式.

x2+x=x(x+1);

x2-1=(x+1)(x-1).

把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式).

想一想:因式分解与整式乘法有何关系?

因式分解

x2-y2 (x+y)(x-y)

整式乘法

判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?

(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y);(2) 2x(x-3y)=2x2-6xy

(3) (5a-1)2=25a2-10a+1 ;(4) x2+4x+4=(x+2)2 ;

(5) (a-3)(a+3)=a2-9;(6) m2-4=(m+2)(m-2) ;

(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r).

怎样分解因式:ma+mb+mc

公因式:多项式中各项都有的因式,叫做这个多项式的公因式; 把多项式ma+mb+mc分解成m(a+b+c)的形式,其中m是各项的公因式,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc 除以m的商,像这种分解因式的方法,叫做提公因式法.

说出下列多项式各项的公因式:

(1)ma+mb ;(2)4kx-8ky ;(3)5y3+20y2 ;(4)a2b-2ab2+ab .

注意:各项系数都是整数时,因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的. 例1 把8a3b2-12ab3c分解因式

解:原式=4ab2(2a2-3bc)

练习:分解因式 24x3y-18x2y

例2 分解因式 -16x4+32x3-56x2

解:原式=-(16x4-32x3+56x2)

=-8x2(2x2-4x+7)

练习:分解因式 -7ab-14abx+49aby

例3 分解因式 2a(b+c)-3(b+c)

解:原式=(b+c)(2a-3)

练习:分解因式 2a(y-z)-3b(y-z) ;p(a2+b2)-q(a2+b2).

三.课时小结

1.在本节课我们学习了什么内容?

2.在本节课当中你学会了什么?你还有什么疑惑?

四.布置作业

教科书P170页 习题15.4 1、4(1)、6

五.板书设计

15.4.1 提公因式法

因式分解定义: 例1: 例2: :例3: 公因式:

提公因式法:

六.教学反思

1.在教学中我根据学生的实际情况进行了适当调整。因势利导提出一些质疑问题激发了学生学习兴趣。

2. 本节课的教学采用“问题情境—建立模型—探究总结与拓展”的模式展开,整节课为学生提供开放式、互动的、自主探究的学习方式,注重合作意识以及探究力的培养,最大限度地调动学生全员参与,关注每一位学生个体,关注学习过程中的团队精神,合作意识,为教学目标的有效实现打下坚实基础。

3. 不足之处:学生在练习的过程中,由于小黑板是活动的,限制了学生的演练范围,并且没有及时下到学生当中检查练习。

范文五:14.3.1用提公因式法分解因式 投稿:龚艭艮

用提公因式法分解因式

1.(2013·柳州中考)下列式子是因式分解的是 ( )

A.x(x-1)=x2-1 B.x2-x=x(x+1) C.x2+x=x(x+1) D.x2-x=(x+1)(x-1)

2.把多项式6a3b2-3a2b2-12a2b3分解因式时,应提取的公因式是 ( )

A.3a2b B.3ab2 C.3a3b3 D.3a2b2

3.下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是 ( )

A.x2-y B.x2+2xy C.x2+y2 D.x2-xy+y2

4.分解因式:6x2+2x= .

5.(2013·自贡中考)多项式ax2-a与多项式x2-2x+1的公因式是 .

6.把下列各式分解因式.

(1)am+an.

(2)xy+ay-by.

(3)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b).

(4)3x(a-b)-2y(b-a).

(5)4p(1-q)3+2(q-1)2.

(6)ab(x-y)+ab(x-y).

7.分解因式2a(x-y)2-4b(y-x).

分解因式5(x-y)3+10(y-x)2.

提公因式法的运用

1.计算2 015×2 015-2 015×2 014-2 014×2 013+2 014×2 014的值是 ( )

A.1 B.-1 C.4 029 D.4 030

2.(2013·杭州中考)32×3.14+3×(-9.42)= .

3.(2013·吉林中考)若a-2b=3,则2a-4b-5= .

4.用简便的方法计算:0.84×12+12×0.6-0.44×12.

5.用简便方法进行计算:

(1)992+99. (2)13×9.98+56×9.98+31×9.98.

6.利用分解因式与整式乘法的关系求值:

已知关于x的二次三项式3x2+mx+n分解因式的结果为错误!未找到引用源。(x-1),求m,n的值.

2m2m+1

提升

一、选择题(每小题4分,共12分)

1.(2013·茂名中考)下列各式由左边到右边的变形中,属于分解因式的是 ( )

A.a(x+y)=ax+ay B.x2-4x+4=x(x-4)+4 C.10x2―5x=5x(2x―1)D.x2―16+6x=(x+4)(x-4)+6x

2.(2013·威海中考)若m-n = -1,则(m-n)2-2m+2n的值是 ( )

A.3 B.2 C.1 D.-1

3.观察下列各式:①abx-adx;②2x2y+6xy2;③8m3-4m2+2m+1;④a3+a2b+ab2-b3;⑤(p+q)x2y-5x2(p+q)+6(p+q)2;⑥a2(x+y)(x-y)-4b(y+x).其中可以用提公因式法分解因式的是

( )A.①②⑤ B.②④⑤ C.②④⑥ D.①②⑤⑥

二、填空题(每小题4分,共12分)

4.(2013·株洲中考)把多项式x2+mx+5因式分解得(x+5)(x+n),则m= ,n= .

5.a2(x-2a)2+a(2a-x)3= .

6.(2013·凉山州中考)已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)·(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b= .

已知多项式2x3-x2+m有一个因式(2x+1),求m的值.

三、解答题(共26分)

7.(8分)分解因式:(1)3a2(x-y)3-4b2(y-x)2. (2)a3-ab2-a+b.

8.(8分)求证:对于任意自然数n,n(n+5)-(n-3)(n+2)的值都能被6整除.

9.(10分)先分解因式(1),(2),(3),再解答后面的问题.

(1)1+a+a(1+a). (2)1+a+a(1+a)+a(1+a)2. (3)1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3.

范文六:提公因式法分解因式 投稿:姜澊澋

北师大版八年级下册数学 §2.2.1提公因式法

学校:郑州市二七区马寨镇马寨一中 姓名:李靖

一、教案背景:

1.面向学生:中学 □小学 2.学科:数学 3.课时:第一课时 4.学生课前准备:

将乘法分配律用符号表示,并能用语言描述。 二、教学课题:

北师大版八年级下册数学《提公因式法》 三、教材分析: 教学内容:

北师大版八年级下册数学第二章第二节第一课时《提公因式法》 内容分析:

本节是因式分解的第2小节,占两个课时,这是第一课时,它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程,让学生体会数学的主要思想——类比思想,让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系. 学情分析:

我所带的两个班级,女孩子们比较团结友爱,喜欢在一起商量、解决问题,帮助班级出主意,帮助老师做一些力所能及的事。男孩子们则有部分表现得比较燥动、贪玩,脾气较冲动。从学习方面来看,大部分学生比较聪明,但他们各有所长,在不同的学科上有优势。基础较差的学生,他们上课不能做到专心听讲,发言不主动,缺乏一定的学习方法、缺少学习毅力,在某种程度上还是不能够严格要求自己,所以要求小组长和教师进一步关注. 教学目标:

1.知识与技能:①能正确找出一个多项式中各项的公因式。 ②会用提公因式法分解因式。

2.过程与方法:在探索过程中,培养学生善于发现问题和解决问题的主动性,加强学生化归的思想。

3.情感态度与价值观:通过小组合作的方式,培养学生的集体意识,体会学习数学的快乐。 教学重难点:

①提公因式法分解因式。 ②找出多项式的公因式。 教学方法:

本节课我主要采取“任务驱动法”进行教学,让学生根据线索来主动学习,完成学习任务。在教学中主要采取学生合作与学生展示两种方式,让学生在学习中培养团队意识,在展示中体会学习数学的快乐,学会去欣赏别人的优点。

主要设计三个环节,以四人小组为基本单位(一名学优生、两名中等生、一名学困生),合作完成本节课的学习任务。 教学准备:

1.从百度上搜素相关的教学资源(文字、图片),并将搜集的资源整理用于教学。

2.根据本节课的需要,利用百度搜索视频,学习本节课的一些教学方法。

四、教学过程:

一、创设情境:乘法分配律如何用符号表达? 学生展示课前预习成果:找学生用语言表达。

(设计思路:通过学生用数学语言来表达分配律,既达到锻炼学生的语言表达能力,又将新知与旧知联系起来,使学生有熟悉感,激发学生学习积极性)

师:那么我们就借助图片来一起复习乘法分配律,同时来看看乘法分配律与本节课有什么样的关系! 【百度搜索】

http://baike.baidu.com/albums/126677/126677.html#0$8694a4c27d

1ed21befa8e957ad6eddc451da3f1b 二、出示学习目标:(要求全班齐读) ①能正确找出一个多项式中各项的公因式。 ②会用提公因式法分解因式。

(设计意图:利用学习目标明确本节课的学习任务,督促学生完成本节课的学习任务。) 三、自学指导1:

自学下面的一段内容,学习找公因式的方法,划出不理解的内容,小组合作解决疑难,4分钟后练习检测。

【百度搜索】

http://baike.baidu.com/view/838659.htm

http://v.youku.com/v_show/id_XMzQ2MzgxODI4.html 公因式就是多项式的各项都含有的相同的因式,例如多项式

23

bx 的公因式就是 x; 3 a  6 a 2b的公因式是 3 。 axa

公因式的具体找法是:①找各项系数的最大公约数②找各项都含有的字母③各项都含有的字母的指数取最小指数,写成乘积的形式就是公因式。

(设计意图:要求学生按自学指导的要求自学,有不理解的内容先划出来,可以通过小组合作,培养学生的团队意识。在学生小组合作解决疑难后注意要求学生加以总结,。) 四、检测

 4x 6 x y 的公因式是( ) 1.多项式 2 xy

2

2

A.

xB.2xC.2x

2

D.4xy

2.将下列多项式的公因式写在横线上

28x72xyx① 的公因式是_________② y 的公因式是_________

ab③ 2 x  6 x 的公因式是________④ a b  5  9 b 的公因式是_____

2

3

2

在练习中要求独立完成,完成后以小组为单位讨论完成,并找一

位组员总结找公因式的方法。

(设计意图:找公因式是本节的一个难点,利用检测来破解分解因式的第一个难点,通过这种找公因式的练习来使学生更容易学会正确分解因式。通过小组合作对刚刚学的新知进行强化巩固,锻炼学生的语言表达能力。) 五、自学指导2

自学课本P47-48的概念和例1,学习例1是如何分解因式的,划出不理解的内容,5分钟后提问+练习检测。

例1 将下列各式分解因式: (1)3x+6; (2)7x2-21x; (3)8a3b2-12ab3c+abc (4)-24x3-12x2+28x.

分析:首先要找出各项的公因式,然后再提取出来. 解:(1)3x+6=3x+3×2=3(x+2);

(2)7x2-21x=7x•x-7x•3=7x(x-3); (3)8a3b2-12ab3c+abc

=8a2b•ab-12b2c•ab+ab•c =ab(8a2b-12b2c+c) (4)-24x3-12x2+28x

=-4x(6x2+3x-7)

(先小组讨论,合作解决疑难,总结出多项式第一项系数为负数时,要提出“-”号,使括号内第一项系数为正数。但要注意提取“-”号后,多项式的各项都要变号。讨论借束后派一名代表进行回答与总结。) 【百度搜索】

http://baike.baidu.com/view/838729.htm

http://v.youku.com/v_show/id_XMzQ2MzgxODI4.html

(设计意图:通过自学例题,希望学生注意例题是如何提公因式的。强调将多项式写成公因式乘以一个式子的形式,便于逆用分配律。) 六、检测

2因式分解后的结果是____a1.把多项式 4 a

2

2.分解因式

③ 8 a b  12 ab  abc ④

3

3

① 6 x  3 ② 3a

2

bab

2

12x228x

(设计意图:检测的几道题由易至难,第一题是只提出数字,易错点是3提出系数后是1;第二题只提出字母,但要注意找准公因式;第三和第四就是例题的变形题,通过这种方式检测学生知识的掌握情况。)

思考:下面的分解因式正确吗?我们在分解因式时要注意什么? ① 2 a 2  4 a  a ( 2 a  4 )

(设计意图:提醒分解因式要分解完全,这也是这一章学生常犯的错误。希望通过这个练习提醒学生分解因式要完全) 七、当堂训练

1.下列多项式中公因式恰好是a的是( ) A.axay5C.4a210ab2.分解因式: ①

22x  4 x

B.3ma6ma2

D.a22ama

2

2m n5mnn

八、能力提升

将多项式 ( x 3 ( x  分解因式 ) 3)

(设计意图:将多项式作为公因式,引入这个题目既是延伸又为下节课做准备。本环节要求学生独立完成,检测学生的掌握情况。) 【百度搜索】

http://wenku.baidu.com/view/eeb99505bed5b9f3f90f1cad.html http://www.eku.cc/sx/199/1565/sj.htm 五、教学反思:

本节课在设计上将提公因式法进行了分解,先学如何找公因式,之后是如何提取公因式。在方法的指导上比较多,比如小组合作,组长负责什么,如何组织组员进行讨论,引导小组讨论的方向并总结。老师放开手让学生自主学习,围绕在老师的指导下学习,最终攻破重难点。本节课通过全体学生共同参与,学会利用分配律的逆运用分解因式,从他人身上吸取优点。但也出现一些问题,如提公因式的过程出现没有提尽的情况其实就是公因式没有找准,学生没有将两个知识结合,学以致用,本节的重点虽然体现,但指导的有些不到位,今后要加强。

自我介绍:李靖,男,从教5年,数学与应用数学本科学历,中学二级教师,现任马寨一中。坚持踏踏实实做事、老老实实做人,认真做好每一件事。平时喜欢钻研一些电脑软件的应用。

范文七:用提公因式法分解因式 投稿:袁鬹鬺

用提公因式法分解因式

姓名:

一、 教材分析

(一) 在教材中所处的地位和作用

本节课的内容在全书中处于第一章节第二小节,是初中数学教材八年级下册的内容。因式分解是对之前所学整式乘法的逆向运用,也是后续学习分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础。因此因式分解这一章在整个教材中处于承前启后的作用,是学生学习的重点和难点。

(二) 教学目标分析

1. 知识技能目标:会用提公因式法进行因式分解,明确因式分解的意义 2. 过程方法目标:通过探索多项式各项公因式的过程,确定公因式,学会用提取公因式的方法将多项式分解因式,进一步了解分解因式的意义。

3. 情感态度价值观目标:培养学生独立思考的习惯和合作交流的意识。

二、重点、难点以及确定的依据

根据《课程标准》的要求,本章教材介绍了最基本的因式分解的方法:提公因式法和公式法。本章内容的设计多以问题串的形式创设问题情境,让学生通过观察、发现、类比、归纳、总结、反思的过程,感受整式乘法与因式分解之间的互逆变形关系,培养学生有条理的思考及有逻辑的语言表达能力。

据以上分析本节课的重点和难点确定为:

重点:能观察出多项式的公因式,并根据分配律把公因式提出来。

难点:让学生识别并提取出多项式的公因式。

三、学生分析

初中二年级的学生经过之前的学习和生活,已经具备了一定的自我学习的能力,所以在本节课中,应该多为学生创造自主学习、合作学习的机会,让他们主动参与学习,勤于动手,乐于学习。

四、教法、学法分析

(一)教法分析

在教法上,遵循学生的逻辑思维,不仅要使学生“知其然”,还要使学生“知其所以然”。在以老师为主导,学生为主体的教学原则指导下,展现获取理论知识解决实际问题的思维过程。为落实本节课的重点,突破难点,让学生积极的参与到教学过程中,使他们在过程中得到认识和体验,产生自我实践的愿望,培养

学生理论联系实际的能力,引导学生主动去发现周边的客观事物,发展他们的思辨能力。我主要采用以下教学方法:

1.启发式教学法。

2.活动探究法。

3.合作讨论法。

(二)学法分析

在教师的引导下,采用自主探究法、分析归纳法、总结反思法学习新知识,并通过练习法来巩固所学知识。

四、教学过程分析

(一) 创设问题情境,引入新课

例1. 已知房子中各房间的长、宽如图所示(单位:米),求房子的面积。

学生通过分析得到如下算法和结果:

1 S=5*4+5*6+5*3=20+30+15=65 ○

2 S=5*4+5*6+5*3=5(4+6+3)=65 ○

根据学生已有的代数知识,我又将房间的长、宽用字母a、b、c、d代替。学

3 生得出如下等式:ab+ac+ad=a(b+c+d) ○

经过上面的讲解和探索学生学会了运用乘法分配律将公因式a提到括号外面然后相乘,从而引出新课关键词提公因式。即如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,这种把多项式的公因式分解的方法就叫提公因式法。

(二) 合作交流,探究新知

为使学生加深理解,进一步讲解例题,并指出易错点和难点,通过例题的讲解找出提公因式法分解因式的步骤。

例2.将2x+4xy-6x3因式分解

2x+4xy-6x3=2x(1+2y-3x2) 怎样确定因式的系数,学会找公因式

注意:防止出现漏项和符号的错误

总结找提公因式的步骤:

1.取多项式中各系数最大的公约数。

2.取相同字母,且同字母中指数最低的。

3.取相同的多项式,且同多项式中指数最低的。

(三) 应用迁移,提高巩固

例3.将a(m-n)+b(m-n)因式分解

a(m-n)+b(m-n)= (a+b)(m-n)

例4.将4x2y(x+y)+6xy2(x+y)因式分解

4x2y(x+y)+6xy2(x+y)= 2xy(2x+3y)(x+y)

通过两道题目的探索和讲解,使学生能够将公因式概念从ax2y的简单形式扩展到ax2y(m-n)复杂模式,通过扩展迁移,提高学生对公因式的认识,加强巩固对公因式的理解。

(四) 课堂练习与板书设计

在设置问题情境时,将标题和情境的两种解法板书出来,然后留下给学生做练习板书。

1.随堂练习

(1) ma+mb (m)

(2)4y3+16y2 (4y2)

(3) a2b-2ab2+ab (ab)

2.提高练习

(1)ab-5ab=ab(a-5)

(2)a2b-5ab+9b=b(a2-5a+9)

(3)-2x3+4x2-2x=-2x(x2-2x+1)

3.拓展练习 2

(1) x(x-2)+3(x-2)=(x+3)(x-2)

(2)12xy2(x+y)-18x2y(x+y)=6xy(x+y)(2y-3x)

(3)(a+c)(a-b)2-(a-c)(b-a)2=2c(a-b)2

五、课堂自我评估

在整个教学过程中,保持教师主导,学生为主体的地位,引导学生学习的自主性,培养学生的自学能力、合作精神和勇于实践、探索的学习品质。

针对学情,在动态教学过程中,要对学生的积极性和参与程度适时的鼓励,对学生的困惑及时指导,对易错及疑难点要进行重点讲解,确保学生少犯低级错误,确保课堂的高效。

我的说课完毕,敬请批评指正,谢谢!

范文八:因式分解——提公因式法 投稿:龚駝駞

因式分解——提公因式法

公因式:有相同的系数,相同的整式。

提公因式法(一):

一、填空

1.把下列各多项式的公因式填写在横线上。

2232x-5xy _________ -3m+12mn_________ 12b-8b+4b_________ 323 3322-4ab-12ab__________ -xy+xy+2xy_________

2.在括号内填入适当的多项式,使等式成立。

23 -4ab-4b=-4b( ) 8xy-12xy=4xy( )

3243 9m+27m=( )(m+3) -15p-25pq=( )(3p+5q) 32232 2ab-4ab+2ab=2ab( ) -x+xy-xz=-x( )

二、选择题

1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是 ( )

A.m(a+B.=ma+mb B.x+3x-4=x(x+3)-4

Cx-25=(x+5)(x-5) D(x+1)(x+2)=x+3x+2

2.下列各等式从左到右的变形是因式分解的是 ( )

A.8abc=2a·2b·2c B.xy+xy+xy=xy(x+y)

C.(x-y)=x-2xy+y D.3x+27x=3x(x+9)

3.下列各式因式分解错误的是 ( )

4.A.8xyz-6xy=2xy(4z-3xy) B.3x-6xy+x=3x(x-2y)

5.C.ab-2222222232232322222

4.多项式-6ab-3ab+12ab因式分解时,应提取的公因式是 ( )

A.3ab B.3ab C.- 3ab D.- 3ab

5.把下列各多项式分解因式时,应提取公因式2xy的是 ( )

A.2xy-4xy B.4xy-6xy+3xy

C.6xy+4xy-2xy D.xy-xy+xy

6.把多项式-axy-axy+2axz提公因式后,另一个因式是 ( )

A.y+xy-2z B.y-xy+2z C.xy+xy-2xz D.-y+xy-2z

7.如果一个多项式4xy-M可以分解因式得4xy(x-y+xy) ,那么M等于 ( )

A.4xy+4xy B.4xy-4xy C.-4xy+4xy D.-4xy-4xy

8.下列各式从左到右的变形:①(a+B.(a-B.=a-b②x+2x-3=x(x+2)-3③x+2=④a-2ab+b=(a-B.是因式分解的有 ( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 22222 23223223223223222222222322333244233223223344222222213122ab=ab(4a-B. D.-a+ab-ac=-a(a-b+C. 4324222312(x+2x) x

三、解决问题

1.把下列各式分解因式

22229mn-3mn 4x-4xy+8xz -7ab-14abx+56aby

43222224326x-4x+2x 6mn-15mn+30mn -4mn+16mn-28mn

x-2x -2x+6x a-a+a

2.用简便方法计算:

1001019×10-10 4.3×199.7+7.5×199.7-1.8×199.7

333.已知a+b=2,ab=-3求代数式2ab+2ab的值。

24.如果哥哥和弟弟的年龄分别为x岁、y岁,且x+xy=99,求出哥哥、弟弟的年龄。

5.如图1为在边长为a的正方形的一角上挖去一个边

长为b的小正方形(a>B.,把余下的部分可以剪拼成

bb一个如图2的矩形。由两个图形中阴影部分面积,可

以得到一个分解因式的等式,这个等式是__________ 图2图1

7126.求证:25-5能被120整除。 7.计算:2002×20012002-2001×20022002

220062005200428.已知x+x+1=0,求代数式x+x+x+„+x+x+1的值。

n+1n-12nnnn+23n

提公因式法(二)

一、填空题

1.在横线上填入“+”或“-”号,使等式成立。

a-b=______(b-a). a+b=______(b+a) (a-b)=______(b-a) (a+b)=______(b+a) (a-b)=______(b-a) (-a-b)=______(a+b)

2.多项式6(x-2)+3x(2-x)的公因式是______________

3.5(x-y)-x(y-x)=(x+y)·_____________

4.a(b-C.+c-b=(b-C.·_____________

5.p(a-B.+q(b-A.=(p-q)·_____________

6.分解因式a(a-1)-a+1=_______________

7.x(y-1)-(____________)=(y-1)(x+1)

8.分解因式:(a-B.(a+B.+(a-B.(a+B.=(__________)(a-B.(a+B.

二、选择题

1.下列各组的两个多项式,没有公因式的一组是 ( )

A.ax-bx与by-ay B.6xy+8xy与-4x-3 C.ab-ac与ab-bc D.(a-b)x与(b-a)y

2.将3a(x-y)-9b(y-x)分解因式,应提取的公因式是 ( )

A.3a-9b B.x-y C.y-x D.3(x-y)

3.下列由左到右的变形是因式分解的是 ( )

A.4x+4y-1=4(x+y)-1 B.(x-1)(x+2)=x+x-2 C.x-1=(x+1)(x-1) D.x+y=x(1+

4.下列各式由左到右的变形,正确的是 ( )

22332223222222333322y) xA.-a+b=-(a+B. B.(x-y)=-(y-x) C.(a-B.=(b-A. D.(x-1)(y-1)=(1-x)(1-y)

5.把多项式m(m-n)+4(n-m)分解因式,结果正确的是 ( )

A.(n-m)(mn-m+4) B.(m-n)(mn-m+4) C.(n-m)(mn+m+4) D.(m-n)(mn-m-4)

6.下列各多项式,分解因式正确的是 ( )

A.(x-y)-(x-y)=(x-y)(x-y) B.(x-y)-(x-y)=(x-y)(x-y)=(x-y)

C.(x-y)-(x-y)=(x-y)(x-y-1) D.a(a-B.-ab(b-A.=a(a-B.(a-B.=a(a-B.

7.如果m(x-y)-2(y-x)分解因式为(y-x)·p则p等于 ( )

A.m-2y+2x B.m+2y-2x C.2y-2x-m D.2x-2y-m

三、解决问题

1.因式分解

3xy(a-b)+9x(b-a) (2x-1)y+(1-2x)y a(a-1)-a(1-a)

6m(m-n)-8(n-m) 15b(2a-B.+25(b-2A. ax+ay+bx+by 23232222222222222222222

ab+b-ac-bc ax-ax-bx+b ax+1-a-x

x-x+4x-4 a-ab+ac-abc 4ax+6am-20bx-30bm

3.当x=

4.化简求值(2x+1)(3x-2)-(2x+1)(2-3x)-x(2-3x)(1+2x),其中x=2243322221122,y=-时,求代数式2x(x+2y)-(2y+x)(x-2y)的值。 233 2

5.分解因式:

222222ab(c+d)+cd(a+b) (ax+by)+(bx-ay)

22226.求证:2005+2005·2006+2006是一个完全平方数。

7.实数a、b、c、x、y、z满足a

范文九:分解因式与提取公因式法 投稿:贺疅疆

【本讲教育信息】

一. 教学内容:

分解因式与提取公因式法

二. 学习重难点:

理解因式分解的意义,正确地识别分解因式与整式乘法的关系以及运用提取公因式法分解因式是本节课的重难点。

三. 知识要点讲解: 【知识回顾】

1、整式乘法有几种形式 单项式乘以单项式

单项式乘以多项式 a(m+n)=am+an 多项式乘以多项式 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 2、乘法公式有哪些

平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2

想一想:

①由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?_____________. ②由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?____________ 思考:993-99能被100整除吗?你是怎样想的? 答:993-99能被100整除. 解:993-99 = 99×992-99 = 99×(992-1) = 99×9800 = 99×98×100

其中有一个因数为100,所以993-99能被100整除. 想一想:993-99还能被哪些正整数整除? 答:还能被99,98,980,990,9702等整除.

算一算:不用计算器,你能迅速地计算出下列各式的值吗? ①199992-19999×9999

11

②16.9×8+15.1×8

③已知:a+b-c=10

求:代数式a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(c-a-b)的值. 解:当a+b-c=10时

a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(c-a-b) = a(a+b-c)+b(a+b-c)-c(a+b-c) =(a+b-c)(a+b-c) =102=100

【新课讲解】

1、多项式的因式分解

定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式(factorization).

分解因式要注意的问题:

①分解的对象必须是多项式 ②分解的结果一定是几个整式的乘积的形式

做一做;

下列各式从左到右的变形,哪些是因式分解? (1)4a(a+2b)=4a2+8ab; (2)6ax-3ax2=3ax(2-x); (3)a2-4=(a+2)(a-2); (4)x2-3x+2=x(x-3)+2. 2、提取公因式法

3371

问题:一块场地由三个矩形组成,这些矩形的长分别为4,2,4,宽都是2,求这

块场地的面积.

13

解法一:S=2×4+ 337=8+4+8=2

13

解法二:S=2×4+ 1337= 2(4+2+4) 1

=2×4=2

13172×2+ 2×4

13172×2+ 2×4

1)公因式:

把多项式中各项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式 2)提取公因式法:

如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

即:ma+mb+mc =m(a+b+c)

思考:提取公因式法与单项式乘以多项式有什么关系?

【典型例题】

例1、将下列各式分解因式:

(1)3x+6; (2)7x2-21x;

(3)8a3b2-12ab3c+abc (4)-24x3-12x2+28x. 分析:首先要找出各项的公因式,然后再提取出来. 解:(1)3x+6 = 3x+3×2 = 3(x+2);

2

(2)7x-21x = 7x·x-7x·3 = 7x(x-3);

32

(3)8ab-12ab3c+abc

=8a2b·ab-12b2c·ab+ab·c =ab(8a2b-12b2c+c) (4)-24x3-12x2+28x

2

=6x4x3x4x74x = -4x(6x2+3x-7)

思考:提取公因式法分解因式的关键是确定公因式,那么如何确定公因式? ⑴ 系数找各个系数的最大公约数;

⑵ 字母找各项都含有的字母的最低次幂的积

例2、【明辨是非】

把3x2-6xy+x分解因式 某同学是这样分解的, 3x2-6xy+x=x(3x-6y)

你同意它的做法吗?如不同意,如何改正? 正解:3x2-6xy+x =3x·x-6y·x+1·x = x(3x-6y+1)

例3、把a(x-3)+2b(x-3)分解因式

分析:这个多项式整体而言可分为两大项,即a(x-3)与2b(x-3),每项中都含有 (x-3),因此可以把(x-3)作为公因式提出来. 解:a(x-3)+2b(x-3) =(x-3)(a+2b)

例4、把下列各式分解因式: (1)a(x-y)+b(y-x);

(2)6(m-n)3-12(n-m)2.

分析:虽然a(x-y)与b(y-x)看上去没有公因式,但仔细观察可以看出(x-y)与(y-x)是互为相反数,如果把其中一个提取一个“-”号,则可以出现公因式,

如y-x=-(x-y),(m-n)3与(n-m)2也是如此. 解:(1)a(x-y)+b(y-x) =a(x-y)-b(x-y) =(x-y)(a-b)

(2)6(m-n)3-12(n-m)2 =6(m-n)3-12[-(m-n)]2 =6(m-n)3-12(m-n)2 =6(m-n)2(m-n-2).

例5、请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号,使等式成立: (1)2-a=__________(a-2); (2)y-x=__________(x-y); (3)b+a=__________(a+b); (4)(b-a)2=__________(a-b)2; (5)-m-n=__________(m+n); (6)-s2+t2=__________(s2-t2). 解:(1)2-a=-(a-2); (2)y-x=-(x-y); (3)b+a=+(a+b); (4)(b-a)2=+(a-b)2; (5)-m-n=-(m+n); (6)-s2+t2=-(s2-t2).

例6、把(a+b-c)(a-b+c)+(b-a+c)·(b-a-c)分解因式. 解:原式=(a+b-c)(a-b+c)-(b-a+c)(a-b+c) =(a-b+c)[(a+b-c)-(b-a+c)] =(a-b+c)(a+b-c-b+a-c) =(a-b+c)(2a-2c) =2(a-b+c)(a-c)

例7、利用分解因式计算: (1)32004-32003 (2)(-2)101+(-2)100. 解:(1)32004-32003 =32003×(3-1) =32003×2 =2×32003 (2)(-2)101+(-2)100 =(-2)100×(-2+1) =(-2)100×(-1) =-(-2)100 =-2100

【课堂小结】

同学们,我们今天主要学习了因式分解的意义,弄清了因式分解与多项式乘法的关系,学习了因式分解的第一种方法---提取公因式法,运用提取公因式法分解因式的关键是正确地确定公因式,然后提取,对于多项式因式有时需要先转化,再提取,应用因式分解可使运算简化,事实上因式分解在今后的学习中有着广泛的应用,应重视!

【模拟试题】(答题时间:60分钟)

一、试试你的身手(每小题3分,共24分)

3222

1. 多项式15mn20mn5mn的公因式是 ,提取公因式后另一个因式是 .

2. 分解因式与互为逆过程. 2

3. 12mn3mn的公因式是 .

4. 4(ab)6(ba)的公因式是 .

22

36abx12aby6ab6ab . 5.

6. 计算582758635810 .

*7. 以2(ab)为公因式,自编一道用提公因式法分解因式的题目: .

2

*8. 若多项式9xA可分解为(B2y)(B2y),那么A= ,B= .

二、相信你的选择(每小题3分,共24分)

*1. 下列从左到右的变形中,属于分解因式的有( )

A. (x1)(x2)xx2 C. 14a7a77(2aa) 2. 下列各式变形正确的是( ) A. ba(ab)(ab)

2

2

2

22

22

B. x3x1x(x3)1 D. x2xyy(xy) B. ab(ab)

2

2

2

2

2

2

2

C. (ab)(ba) D.

3. 下列各多项式中,没有公因式的一组是( ) A. 4x9y

3

2

2

x2

2

111x(x)2442

2

B. 4x9xy

2

2

(yx)B.

C. 4x9xy

2

4(xy)C.

D. 4xy9y

3

4(xy)D.

2

4. 多项式4(xy)8(yx)的公因式是( ) A. 4

2 0062 007

(2)(2)*5. 的结果是( )

A. 22 006

2

B. -22 006

C. 2

2

D. 2

2222

6. 把多项式13abx39abx分解因式等于( )

A. abx(1339a) C. 13abx(x3a)

22

B. 13abx(13a) D. 13abx(x3a) B. 2(mn)m(mn) D. 2(mn)m(mn)

2

22

*7. 分解因式后结果是(mn)(m2n)的多项式是( ) A. 2(mn)m(mn) C. 2(mn)m(mn)

2

2

2

*8. 若ax24xb(4x3),则a,b的值是( ) A. a=6,b=9 B. a=64,b=9 C. a=-1,b=-9 D. a=16,b=9

三、挑战你的技能(共36分)

1. (12分)把下列各式分解因式.

32

(1)3x3x9x;

(2)2x(xy)8(yx).

2. (12分)利用分解因式进行计算. (1)3.28.42.38.44.58.4;

(2)202404. 3. (12分)一个边长为17.5的正方形纸片的四个角上各剪去一个边长为3.75的小正方形,求余下的纸片的面积.

**四、拓广探索(16分)

(1)分解因式:1aa(1a)a(1a)a(1a);

**(2)由上式猜想此式:1aa(1a)a(1a)a(1a)a(1a)分解因式的最后结果是什么?

提升能力题:

1. 先分解因式,再求值.

2

3

2 006

2

3

2

32

(x3)27(3x),其中x6.

2. 已知

mn4,mn

1

2,求2mn22m2n的值.

22 00622 0052 008

22 007. *3. 计算2

4. 甲农户有一块边长为a米的正方形地,乙农户有两块宽为a米,长分别为b米和c米

的长方形地,今年,这两个农户共同投资饲养业,为此,他们准备将这3块地换成一块宽为a米且面积与原来3块地的面积相等的地,那么交换后的土地的长是多少米呢?

【试题答案】

一、1. 5m2

n,3m4n1

2. 整式乘法 3. 3mn 4. 2(ab) 5. (6bx2ay1) 6. 5 800

7. 2(ab)2

4(ab)

8. 4y2

,3x

二、1. D 2. C 3. A 4. C 5. B 6. D 7. A 三、1. (1)原式3x(x2

x3); (2)原式2(xy)2

(x2xy4). 2. (1)原式=84; (2)原式=40 400. 3. 250.

四、(1)原式=(1a)4

(2)原式=(1+a)2007. 提升能力题 1. 原式=30. 2. 原式=4.

1

3. 原式=4.

4. 交换后的土地的长度是(abc)米.

8. D

范文十:因式分解和提取公因式法 投稿:赵館餩

6.1 因式分解

谁能以最快速度求:当a=101,b=99时,a2-b2的值?

概念.

像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解,有时,也把这一过程叫分解因式.

①左边是多项式,右边是整式;②右边是整式的乘积的形式.

1.填空(

整式乘法,因式分解

) 2

.这两种运算是什么关系?(互逆)

图示表示:

因式分解.

3.解决问题.

现在你能利用所学的知识解决上课初的那道题吗(合作完成)?

:1012-992=-(101+99)(101-99)

=200×2

=400.

那872+87×13又该怎么算呢?

思维拓展

21.若 x+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n=

2. x-8x+m=(x-4)( ),且m=

2

6.2 提取公因式法

计算(1)25×17+25×83 (2)15.67×91+15.67×9

1)应用分配律,使计算简便

(2)分配律的一般式a(b+c)= ab+ac

在此应用的是 ab+ac= a(b+c) (*)

从因式分解的角度观察式 (1)可以看作是因式分解

(2)做法是把每一项中都含有的相同的因式,提取出来

提取公因式法分解因式的步骤

确定提取的公因式

例:3axy+6x3yz

归纳:公因式是各项系数的最大公因数(当系数是整数的)与各项都含有的相同字母

的最低次幂的积

⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数(当系数是整数时)

⑵字母取各项的相同字母,且各字母的指数取最低次幂

(3)系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。

根据分配律,可得m(a+b)=ma+mb逆变形,使得到ma+mb的因式分解形式:ma+mb=m(a+b) 这说明多项式ma+mb各项都含有的公因式可提到括号外面,将多项式ma+mb写成m(a+b)的形式,这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

用提取公因式法分解因式:3axy+6x3yz=3xy(a+2xz)

归纳:a、提取公因式后,多项式余下的各项不再含有公因式

b、提取的实质是将多项式中的每一项分别除以公因式3xy

指出下列各多项式中各项的公因式

⑴ax+ay-a ⑵5x2y3-10x2y ⑶24abc-9a2b2

⑷m2n+mn2 ⑸x(x-y)2-y(x-y)

例1 把下列各式分解因式:

(1)2 x3+6 x (2)3pq3+15p3q (3)-4x+8ax+2x

(4)-3ab+6abx-9aby (6) -3ab+6abx-9aby (7) 3x(x2)(2x)

1. 把下列各式因式分解

(1)ax2m2222222abxm1acxmaxm3

322(2)a(ab)2a(ba)2ab(ba)

(3)4mn12mn2mn 2332

(4)a(ab)32a2(ba)22ab(ba)2

分解因式:4q(1p)32(p1)2

分析:(1)若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“-”号后,多项式的各项都要变号。

(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如:当n为自然数时,

(ab)2n(ba)2n;(ab)2n1(ba)2n1,是在因式分解过程中常用的因式变换。

探索:1. 2(a-b)2-a+b能分解因式吗? 2. 分解因式xa-xa-1+xa-2

拔高应用 1 已知x、y都是正整数,且x(xy)y(yx)12,求x、y。

2 化简:1xx(1x)x(1x)2„x(1x)1995,且当x0时,求原式的值。

3 设x为整数,试判断105xx(x2)是质数还是合数,请说明理由。

注意要找到恰当的公因式。

说明:在大于1的正数中,除了1和这个数本身,还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。

回家作业 提公因式

1.多项式8x3y2-12xy3z的公因式是_________.

2.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是( )

A.-6ab2c B.-ab2 C.-6ab2 D.-6a3b2c

3.下列用提公因式法因式分解正确的是( )

A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab) B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)

C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c) D.x2y+5xy-y=y(x2+5x)

4.下列多项式应提取公因式5a2b的是( )

A.15a2b-20a2b2 B.30a2b3-15ab4-10a3b2

C.10a2b-20a2b3+50a4b D.5a2b4-10a3b3+15a4b2

5.下列因式分解不正确的是( )

A.-2ab2+4a2b=2ab(-b+2a) B.3m(a-b)-9n(b-a)=3(a-b)(m+3n)

C.-5ab+15a2bx+25ab3y=-5ab(-3ax-5b2y); D.3ay2-6ay-3a=3a(y2-2y-1)

6.填空题:

(1)ma+mb+mc=m(________); (2)多项式32p2q3-8pq4m的公因式是_________;

(3)3a2-6ab+a=_________(3a-6b+1);(4)因式分解:km+kn=_________;

(5)-15a2+5a=________(3a-1); (6)计算:21×3.14-31×3.14=_________.

7.用提取公因式法分解因式:

(1)8ab2-16a3b3; (2)-15xy-5x2;

(3)a3b3+a2b2-ab; (4)-3a3m-6a2m+12am.

8.因式分解:-(a-b)mn-a+b.

提高训练

9.多项式m(n-2)-m2(2-n)因式分解等于( )

A.(n-2)(m+m2) B.(n-2)(m-m2)

C.m(n-2)(m+1) D.m(n-2)(m-1)

10.将多项式a(x-y)+2by-2bx分解因式,正确的结果是( )

A.(x-y)(-a+2b) B.(x-y)(a+2b)

C.(x-y)(a-2b) D.-(x-y)(a+2b)

11.把下列各式分解因式:

(1)(a+b)-(a+b)2; (2)x(x-y)+y(y-x);

(3)6(m+n)2-2(m+n); (4)m(m-n)2-n(n-m)2;

(5)6p(p+q)-4q(q+p).

应用拓展

12.多项式-2an-1-4an+1的公因式是M,则M等于( )

A.2an-1 B.-2an C.-2an-1 D.-2an+1

13.用简便方法计算:39×37-13×34=_______.

14.因式分解:x(6m-nx)-nx2.

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