正方形的判定方法_范文大全

正方形的判定方法

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【专家解析】正方形的判定方法

【优秀范文】正方形的判定方法

范文一:正方形的判定 投稿:赵眬眭

正方形的判定

教学目标:1.熟记正方形的判定方法,回判定一个四边形是正方形.

2.提高学生分析问题,解决问题的能力.

教学重点: 正方形的判定方法.

教学难点:平行四边形、矩形、菱形、正方形的综合应用。 教学过程: 一.知识梳理

1.叫正方形。 2.由定义得正方形的判定方法:

(1) 有 的矩形-叫正方形。 (2) 有 的菱形-叫正方形。 (3) 既是 又是 的四边形叫正方形。

二典型例题:

例1、如图,已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是∠C的平分线,交AB于D,作DE

A

⊥BC,DF⊥AC,垂足为E、F。 求证:四边形DECF是正方形

CB E

例2:以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE,四边形ADFE是平行

四边形。

(1)当∠BAC满足____时,四边形ADFE是矩形。 D(2)当∠BAC满足____时,平行四边形ADFE不存在。 (3)当△ABC分别满足什么条件时,平行四边形是菱形?是正方形?

D

F

例3、已知,如图,E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点,AF、BG、CH、DE分别两两相交于点A′B′C′D′。

A H D

求证:四边形A′B′C′D′是正方形。

三巩固练习

1、 已知,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列能判断它是正方形的条件

的是:----------------------------------------------------------------------------------------------( ) A、AO=BO=CO=DO AC⊥BD B、AC=BC=CD=DA C、AO=CO,BO=DO,AC⊥BD D、AB=BC CD⊥DA

E

C′A′

G

B F C

2四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开,大会会标如图1所示。它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积为13.每个直角三角形两直角边的和为5,求中间小正方形的面积。

1

3、已知:在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F。 求证:(1)△BDE≌△CDF

(2)∠A=90°时,四边形AEDF是正方形

四绝对挑战

①,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连结CP, 试说明:四边形CODP的形状。 ②如果题目中的矩形变为菱形 结论应变为什么?试说明。

③如果题目中的矩形变为正方形, 结论又应变为什么?

五 反馈与归纳

(1)正方形是怎样的平行四边形?,有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形;

(2)正方形是怎样的矩形?有一组邻边相等的矩形;

(3)正方形是怎样的菱形?有一个角是直角的菱形; (4)明确四者之间的关系!!!!

(5)判定一个平行四边形是正方形,还应具备什么条件?方法1 (6)判定一个矩形是正方形还应具备什么条件?方法2; (7)判定一个菱形是正方形还应具备什么条件?方法3; (8)小结:判定正方形的方法有三种 六布置作业

评价与 反思

范文二:正方形判定 投稿:叶糄糅

在数学的地天,重里的要不是我知道什么,们而 是们我么怎道知。—— 毕达拉斯哥

方形是特的殊行四平边形 ,是也殊特的矩形,也是 特的殊形菱。正方 的性形质=

形方的定

你觉

得么什样的 四形是正边方呢形?

1

要、一个使形成为正方形需

菱增加的条件是 (填上一条个件即可)

、要使一2矩个成为形正形方 需加的添件条 是填(上一个件条可即

有矩组一邻相等边

行四平形边

形方

个角一是直

菱角

判断对

错 . 1边四相的四边形是正方等形2 四.角等的四边相形正是形 方.对角线垂直3平行四的边是形方正 形.对角4线相垂直互分且相平的等边四形是正方 形5 四.条边等相且有一角是直角的个边四形是 正形方

练:习在△ABC,中BAAC,=是BD的C点,DE⊥A中B

,DFA⊥C,足分垂是别,E.F1) 试说明DE:DF

2=)添加只个一件,使四条形边DFA是E方形. 正你至请少写两种不出的添同加法.(方另不外 加辅助线添

)E B

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:例在方形A正CB中,点AD`,B,C`, `` 分别是ABD,C,CDBDA的中点,, 边形A四``B`CD是正方形`吗为什?么?

A`DD

`A

C

`

BB

`

形方BCA中D点A,`B,`,`C,D分`别在A BBC,CD,,D上A,且A`=AB`B=CC =`DD`.边四形`B`C`D`是A正形方吗? 什么?

为练

:习方正A形CD中B对,角线A和BDC 于点交,点AO`,B,``CD,分`别AO,B O是CO,,D的中点O,断四边判A形`BC` `D的形状`说。明原

A因

` DA` D

O

B` BC

`C

正方形BAD中C对角,线CA和D交B于O, 点点A`B,,C``D,分`在别A、BDC, 且上AA`=BB=`C`=DC`D.判 断边四形A`BC`D``形状的

A A D``D

O BB C`

`C

习:练形矩ABDC,四个中内角平分的 线成四组边形MFNE,判 断边四形EMFN的状形并,明说因原

AN EM

D

F

B

C

范文三:正方形的判定 投稿:覃蚿蛀

9上课题:正方形的判定,

教学目标:1.熟记正方形的判定方法,回判定一个四边形是正方形.

2.提高学生分析问题,解决问题的能力.

教学重点: 正方形的判定方法.

教学难点:平行四边形、矩形、菱形、正方形的综合应用。 教学过程: 一.知识梳理

1. 叫正方形。 2.由定义得正方形的判定方法:

(1) 有 的矩形-叫正方形。 (2) 有 的菱形-叫正方形。 (3) 既是 又是 的四边形叫正方形。

二典型例题:

例1、如图,已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是∠C的平分线,交AB于D,作DE

A

⊥BC,DF⊥AC,垂足为E、F。 求证:四边形DECF是正方形

CB E

例2:以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE,四边形ADFE是平行

D

F

四边形。

(1)当∠BAC满足____时,四边形ADFE是矩形。

(2)当∠BAC满足____时,平行四边形ADFE不存在。 (3)当△ABC分别满足什么条件时,平行四边形是菱形?是正方形?

D

B

例3、已知,如图,E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点,AF、BG、CH、DE分别两两相交于点A′B′C′D′。

A H D

求证:四边形A′B′C′D′是正方形。

三巩固练习

1、 已知,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列能判断它是正方形的条件

的是:----------------------------------------------------------------------------------------------( ) A、AO=BO=CO=DO AC⊥BD B、AC=BC=CD=DA C、AO=CO,BO=DO,AC⊥BD D、AB=BC CD⊥DA

E

B′

C′A′

G

B F C

2四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开,大会会标如图1所示。它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积为13.每个直角三角形两直角边的和为5,求中间小正方形的面积。

1

3、已知:在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F。 求证:(1)△BDE≌△CDF

(2)∠A=90°时,四边形AEDF是正方形

四绝对挑战

①,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连结CP, 试说明:四边形CODP的形状。 ②如果题目中的矩形变为菱形 结论应变为什么?试说明。

③如果题目中的矩形变为正方形, 结论又应变为什么?

五 反馈与归纳

(1)正方形是怎样的平行四边形?,有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形;

(2)正方形是怎样的矩形?有一组邻边相等的矩形;

(3)正方形是怎样的菱形?有一个角是直角的菱形;

(4)明确四者之间的关系!!!!

(5)判定一个平行四边形是正方形,还应具备什么条件?方法1 (6)判定一个矩形是正方形还应具备什么条件?方法2; (7)判定一个菱形是正方形还应具备什么条件?方法3; (8)小结:判定正方形的方法有三种 六布置作业

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范文四:正方形的判定 投稿:顾谮谯

课题:正方形的判定

教学目标:1.熟记正方形的判定方法,回判定一个四边形是正方形.

2.提高学生分析问题,解决问题的能力.

教学重点: 正方形的判定方法.

教学难点:平行四边形、矩形、菱形、正方形的综合应用。 教学过程: 一.知识梳理

1. 叫正方形。 2.由定义得正方形的判定方法:

(1) 有 的矩形-叫正方形。 (2) 有 的菱形-叫正方形。 (3) 既是 又是 的四边形叫正方形。

二典型例题:

例1、如图,已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是∠C的平分线,交AB于D,作DE

A

⊥BC,DF⊥AC,垂足为E、F。 求证:四边形DECF是正方形

CB E

例2:以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE,四边形ADFE是平行

D

F

四边形。

(1)当∠BAC满足____时,四边形ADFE是矩形。

(2)当∠BAC满足____时,平行四边形ADFE不存在。 (3)当△ABC分别满足什么条件时,平行四边形是菱形?是正方形?

D

B

例3、已知,如图,E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点,AF、BG、CH、DE分别两两相交于点A′B′C′D′。

A H D

求证:四边形A′B′C′D′是正方形。

三巩固练习

1、 已知,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列能判断它是正方形的条件

的是:----------------------------------------------------------------------------------------------( ) A、AO=BO=CO=DO AC⊥BD B、AC=BC=CD=DA C、AO=CO,BO=DO,AC⊥BD D、AB=BC CD⊥DA

E

B′

C′A′

G

B F C

2四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开,大会会标如图1所示。它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积为13.每个直角三角形两直角边的和为5,求中间小正方形的面积。

1

3、已知:在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F。 求证:(1)△BDE≌△CDF

(2)∠A=90°时,四边形AEDF是正方形

四绝对挑战

①,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连结CP, 试说明:四边形CODP的形状。 ②如果题目中的矩形变为菱形 结论应变为什么?试说明。

③如果题目中的矩形变为正方形, 结论又应变为什么?

五 反馈与归纳

(1)正方形是怎样的平行四边形?,有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形;

(2)正方形是怎样的矩形?有一组邻边相等的矩形;

(3)正方形是怎样的菱形?有一个角是直角的菱形;

(4)明确四者之间的关系!!!!

(5)判定一个平行四边形是正方形,还应具备什么条件?方法1 (6)判定一个矩形是正方形还应具备什么条件?方法2; (7)判定一个菱形是正方形还应具备什么条件?方法3; (8)小结:判定正方形的方法有三种 六布置作业

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范文五:如何判定正方形 投稿:李巁巂

如何判定正方形

一、依据“有一组邻边相等的矩形是正方形”判定

例1、如图:已知在△ABC中,ABAC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,

垂足分别为E、F。若∠A=90°,求证:四边形DFAE是正方形.

D F C

分析:由∠AED=∠AFD=∠A=90°,则四边形CEDF是矩形。根据△BED≌△CFD,有DE=DF,根据有一组邻边相等的矩形是正方形,所以四边形CEDF是正方形

证明:因为DE⊥AB,DF⊥AC,所以∠AED=∠AFD=90°,又因为∠A=90°,所以四边形DFAE为矩形。因为DE⊥AB,DF⊥AC,∠BED=∠CFD=90°,因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为D是BC的中点,所以BD=CD,所以△BED≌△CFD,所以DE=DF,所以四边形DFSE是正方形

二、依据“有一个角直角的菱形是正方形”判定

例2、如图,在正方形ABCD中,E、F、G、H分别是各边上的中点,且AE=BF=CG=DH,求证:四边形EFGH是正方形

分析:首先证明△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DHG,从而得出EH=EF=FG=GH,即四边形EFGH是菱形,然后再证明一个角是90°即可

证明:在正方形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD,因为AE=BF=CG=DH,所以BE=CF=DG=AH,所以△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DHG,所以EF=FG=GH=EH,所以四边形EFGH是菱形,因为△AEH≌△BEF,所以∠AHE=∠BEF,因为∠AEH+∠AHE=90°,所以∠AHE+∠AHE=90°,所以∠HEF=90°,所以四边形EFGH是正方形

范文六:菱形判定,正方形 投稿:曾盞盟

18.2.2菱形的判定

一、自主预习(10分钟)

1.复习

(1)菱形的定义:

(2)菱形的性质1

性质2

(3)运用菱形的定义进行菱形的判定,应具备几个条件?

2.【问题】要判定一个四边形是菱形,除根据定义判定外,还有其它的判定方法吗?

3.(1)求证: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

(2) 求证:四条边相等的四边形是菱形

菱形判定方法1

菱形判定方法2

二、合作解疑(25分钟))

1.判断题,对的画“√”错的画“×”

(1).对角线互相垂直的四边形是菱形( )

(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形( )

(3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形( )

(4).对角线相等的四边形是菱形( )

2.已知:如图

ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F. 求证:四边形AFCE是菱形.

3.如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分ABCD是菱形吗?

求证:(1)四边形ABCD是平行四边形

(2) 过A作AE⊥BC于E点, 过A作AF⊥CD于F.用等积法说明BC=CD.

(3) 求证:四边形ABCD是菱形.

综合应用拓展

如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,P,Q分别是AD,BC,BD,

AC的中点.

求证:MN与PQ互相垂直平分.

三、限时检测(10分钟)

1.填空:

(1)对角线互相平分的四边形是 ;

(2)对角线互相垂直平分的四边形是________;

(3)对角线相等且互相平分的四边形是________;

(4)两组对边分别平行,且对角线 的四边形是菱形.

2.画一个菱形,使它的两条对角线长分别为6cm、8cm.

3.如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,DE和CE相交于E,求证:四边形OCED是菱形。

正方形的性质及判定 学案

学习目标:掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算.

1、 知识回顾:____________________________叫做平行四边形,

2、 ____________________________叫做矩形,____________________________叫做菱形.

3、正方形定义:__________________________________________的平行四边形叫做正方形. .....

4、由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.正方形有如下性质:

边: ;

角: ;

对角线: .

【强调】正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质.

例题讲解:例1、正方形与平行四边形共同具有的性质为( )

A. 对角线平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分

例2、如图,在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使CE=AC,连结AE交

CD于F,则∠E= .

例3、如图,E为正方形ABCD内一点,且△EBC是等边三角形,求∠EAD、∠ AED、

∠ECD的度数.

随堂练习:

1、正方形具有而菱形没有的性质是( )

A、对角线互相平分 B、每条对角线平分一组对角 C、对角线相等 D、对边相等

2、正方形是轴对称图形,它的对称轴有( )

A、 1条 B、 2条 C、 4条 D、 无数条

3、如图所示,以正方形ABCD中AD边为一边向外作等边ΔADE,则∠AEB=( )

A、10° B、15° C、20° D、12.5°

4、如图,正方形ABCD中,∠DAF=25°,AF交对角线BD于点E,那么∠BEC等于( )

A、 45° B、60° C、70° D、75°

5、正方形的边长为4cm,则周长为 6、正方形的对角线与一边的夹角为 7、一个正方形的对角线长3cm,则它的面积为8、若正方形的面积为4

,则它的边长为

,对角线长为 .

9、以线段AB的两个端点A、B为顶点作位置不同的正方形,一共可作 个.

10、如图所示,E为正方形ABCD外一点,AE=AD,∠ADE=75°,则∠AEB= .

五、随堂检测:

1、如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是 ( )

A. 3∶4 B. 5∶8 C. 9∶16 D. 1∶2

2. 如图,在正方形ABCD内,以AB为边作等边ΔABE,连接DE且延长交BG于G,求∠EGB的度数.

3. 如图,已知点E为正方形ABCD的边BC上一点,连结AE,过点D作DG⊥AE,

垂足为G,延长DG交AB于点F. 求证:BF=CE.

范文七:6正方形的形式与判定 投稿:方帄帅

四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形.

要点诠释:既是矩形又是菱形的四边形是正方形,它是特殊的菱形,又是特殊的矩形,更为特殊的平行四边形,正方形是有一组邻边相等的矩形,还是有一个角是直角的菱形.

要点二、正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行; 2.角——四个角都是直角;

3.对角线——①相等,②互相垂直平分,③每条对角线平分一组对角;

4.是轴对称图形,有4条对称轴;又是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心.

要点诠释:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质,其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.

要点三、正方形的判定

正方形的判定除定义外,判定思路有两条:或先证四边形是菱形,再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形);或先证四边形是矩形,再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形)

要点四、特殊平行四边形之间的关系

或者可表示为:

要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

(1)顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. (2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. (3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. (4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释:新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. (1)若原四边形的对角线互相垂直,则新四边形是矩形. (2)若原四边形的对角线相等,则新四边形是菱形. (3)若原四边形的对角线垂直且相等,则新四边形是正方形.

1、如图,在一正方形ABCD中.E为对角线AC上一点,连接EB、ED, (1)求证:△BEC≌△DEC;

(2)延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°.求∠AFE的度数.

答案与解析 举一反三

【思路点拨】先由正方形的性质得出CD=CB,∠DCA=∠BCA,根据SAS证出△BEC≌△DEC,再由全等三角形的对应角相等得出∠DEC=∠BEC=70°,然后根据对顶角相等求出∠AEF,根据正方形的性质求出∠DAC,最后根据三角形的内角和定理即可求出∠AFE的度数. 【答案与解析】

(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴CD=CB,∠DCA=∠BCA, ∵CE=CE, ∴△BEC≌△DEC. (2)解:∵∠DEB=140°, ∵△BEC≌△DEC, ∴∠DEC=∠BEC=70°, ∴∠AEF=∠BEC=70°, ∵∠DAB=90°, ∴∠DAC=∠BAC=45°,

∴∠AFE=180°-70°-45°=65°. 答:∠AFE的度数是65°.

【总结升华】本题主要考查对正方形的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,对顶角等知识点的理解和掌握,能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键.

【变式1】已知:如图,E为正方形ABCD的边BC延长线上的点,F是CD边上一点,且CE=CF,连接

DE,BF. 求证:DE=BF.

答案与解析

【答案】

证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴BC=DC,∠BCD=90° ∵E为BC延长线上的点, ∴∠DCE=90°, ∴∠BCD=∠DCE. 在△BCF和△DCE中,

∴△BCF≌△DCE(SAS), ∴BF=DE.

【变式2】如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,连接BE,则∠AEB的度数为( ) A.10° B.15° C.20° D.12.5°

答案与解析

【答案】B;

提示:根据等边三角形和正方形的性质可知AB=AE,∴∠BAE=90°+60°=150°, ∴∠AEB=(180°-150°)÷2=15°.

2、如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连接AG,点E、F分别在AG上,连接BE、DF,∠1=∠2,∠3=∠4.

(1)证明:△ABE≌△DAF; (2)若∠AGB=30°,求EF的长.

答案与解析 举一反三

【思路点拨】要证明△ABE≌△DAF,已知∠1=∠2,∠3=∠4,只要证一条边对应相等即可.要求EF的长,需要求出AF和AE的长.

【答案与解析】

(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=AB,

∵∠1=∠2,∠3=∠4, ∴△DAF≌△ABE.

(2)解:∵四边形ABCD是正方形,∠AGB=30°, ∴AD∥BC,

∴∠1=∠AGB=30°, ∵∠1+∠4=∠DAB=90°, ∵∠3=∠4, ∴∠1+∠3=90°,

∴∠AFD=180°-(∠1+∠3)=90°, ∴DF⊥AG,

∴DF= ∴AF=

∵△ABE≌△DAF, ∴AE=DF=1, ∴EF=

【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等,是有关四边形中证边角相等的最常用的方法.而正方形的四条边相等,四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件.

【变式】如图,A、B、C三点在同一条直线上,AB=2BC,分别以AB,BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN,EC.求证:FN=EC.

答案与解析

【答案】

证明:在正方形ABEF中和正方形BCMN中, AB=BE=EF,BC=BN,∠FEN=∠EBC=90°,

∵AB=2BC,即BC=BN=

∴BN=,即N为BE的中点,

∴EN=NB=BC, ∴△FNE≌△ECB, ∴FN=EC.

类型二、正方形的判定

3、如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC

、∠ABC的平分线相交于点D,且DE

⊥BC于点E,DF⊥AC于点F,那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由.

答案与解析 举一反三

【答案与解析】

解:是正方形,理由如下: 作DG⊥AB于点G.

∵ AD平分∠BAC,DF⊥AC,DG⊥AB, ∴ DF=DG.

同理可得:DG=DE.∴ DF=DE. ∵ DF⊥AC,DE⊥BC,∠C=90°, ∴ 四边形CEDF是矩形. ∵ DF=DE.

∴ 四边形CEDF是正方形.

【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形.(2)

证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形.

【变式】如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB, CF⊥OF于点F.

(1)求证:四边形CDOF是矩形;

(2)当∠AOC多少度时,四边形CDOF是正方形?并说明理由.

答案与解析

【答案】

(1)证明:∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB(已知), ∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF, ∵∠AOC+∠BOC=180°, ∴2∠COD+2∠COF=180°, ∴∠COD+∠COF=90°, ∴∠DOF=90°;

∵OA=OC,OD平分∠AOC(已知),

∴OD⊥AC,AD=DC(等腰三角形的“三线合一”的性质), ∴∠CDO=90°, ∵CF⊥OF, ∴∠CFO=90° ∴四边形CDOF是矩形;

(2)当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形;理由如下: ∵∠AOC=90°,AD=DC, ∴OD=DC;

又由(1)知四边形CDOF是矩形,则 四边形CDOF是正方形;

因此,当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.

类型三、正方形综合应用

4、如图,在平面直角坐标系

中,边长为(为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,轴正半轴上运动(轴的正半轴、

轴的正半轴都不包含原点O),顶点C、D

顶点A在轴正半轴上运动,顶点B在都在第一象限.

(1)当∠BAO=45°时,求点P的坐标;

(2)求证:无论点A在轴正半轴上、点B在轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上;

【答案与解析】

解:(1)当∠BAO=45°时,∠PAO=90°,

在Rt△AOB中,OA=AB=,在Rt△APB中,PA=AB=.

∴ 点P的坐标为

(2)如图过点P分别作轴、

轴的垂线垂足分别为M、N,

则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°, ∵∠BPN+∠BPM=∠APM+∠BPM=90° ∴∠APM=∠BPN,又PA=PB, ∴ △PAM≌△PBN, ∴ PM=PN, 又∵ PN⊥ON,PM⊥OM

于是,点P在∠AOB的平分线上.

【总结升华】根据题意作出辅助线,构造全等的直角三角形是解题关键.

巩固练习

一.选择题

1. 正方形是轴对称图形,它的对称轴共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

2. 下列说法中,不正确的是( )

A. 有三个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

3. 如图,正方形ABCD的边长为4

,则图中阴影部分的面积为( )

答案与解析

A. 6 B. 8 C. 16 D. 不能确定

4. 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点,所得的四边形是 ( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形

5.(2012•天津)如图,在边长为2的正方形ABCD中,M为边AD的中点,延长MD至点E,使ME=MC,以DE为边作正方形DEFG,点G在边CD上,则DG的长为( ) A.

B.

C.

D.

6.(2012•沈阳)如图,正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中的等腰三角形有( ) A.4个 B.6个 C.8个 D.10个

二.填空题

7.若正方形的边长为,则其对角线长为______,若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线,则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于______.

8. 如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,若不增加任何字母与辅助线,要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是_________.

9. 如图,将边长为2个三角形重叠部分的面积是1

的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△

,则它移动的距离

等于____

.

,若两

10. 如图,边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于E、F,则阴影部分的面积 是_______.

11. 如图.边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A顺时针旋转45°,则这两个正方形重叠部分的面积是______.

12.(2012•宜宾)如图,已知正方形ABCD的边长为1,连接AC、BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE=_______.

三.解答题

13.已知:如图,正方形ABCD中,点E、M、N分别在AB、BC、AD边上,CE=MN,∠MCE=35°,求∠ANM的度数.

14.已知:如图,E是正方形ABCD对角线AC上一点,且AE=AB,EF⊥AC,交BC于F.求证:(1)BF=EF; (2)BF=CE.

15.如图,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后,得到正方形EFCG,EF交AD于H,求DH的长.

答案与解析

【答案与解析】 一.选择题

1.【答案】D;

【解析】正方形的对称轴是两对角线所在的直线,两对边中点所在的直线,对称轴共4条. 2.【答案】B;

【解析】对角线互相平分且相等的四边形是矩形. 3.【答案】B;

【解析】阴影部分面积为正方形面积的一半. 4.【答案】A; 5.【答案】D;

【解析】利用勾股定理求出CM= 6.【答案】C; 二.填空题 7.【答案】

,2∶1 ;

.

,即ME的长,有DM=DE,所以可以求出DE=

,进而得到DG的长.

【解析】正方形ACEF与正方形ABCD的边长之比为 8.【答案】AC=BD或AB⊥BC;

【解析】∵在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形

∴要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是AC=BD或AB⊥BC. 9.【答案】1; 【解析】移动距离为 所以 10.【答案】1;

.

,重叠部分面积为CE×

,所以

,得

【解析】由题可知△DEO≌△BFO,阴影面积就等于三角形BOC面积.

11.【答案】;

【解析】 12.【答案】; ,重叠部分面积为.

【解析】过E作EF⊥DC于F,∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,∵CE平分∠ACD交BD于点E,∴EO=EF, ∵正方形ABCD的边长为1,∴CO=CF=,DF=EF=,∴DE=.

三.解答题

13.【解析】

解:作NF⊥BC于F.

∵ABCD是正方形,

∴CD=BC=FN

则在Rt△BEC和Rt△FMN中,∠B=∠NFM=90°,

∴Rt△BEC≌Rt△FMN

∴∠MNF=∠MCE=35°

∴∠ANM=90°-∠MNF=55°

14.【解析】

证明:(1)连结AF,

在Rt△AEF和Rt△ABF中,

∵AF=AF,AE=AB,

∴Rt△AEF≌Rt△ABF,

∴BF=EF;

(2)∵正方形ABCD

∴∠ACB=∠BCD=45°,

在Rt△CEF中,

∵∠ACB=45°,

∴∠CFE=45°,

∴∠ACB=∠CFE,

∴EC=EF,

∴BF=CE.

15.【解析】

解:如图,连接CH,

∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°, ∴∠BCF=30°,则∠DCF=60°,

在Rt△CDH和Rt△CFH中,

∴Rt△CDH≌Rt△CFH,

∴∠DCH=∠FCH=∠DCF=30°,

在Rt△CDH中,DH=,CH=2,CD=, ∴DH=.

范文八:正方形的判定定理1、2 投稿:顾鈊鈋

正方形的判定定理1、2

教学目的:

1、理解并掌握正方形的定义;它与矩形、菱形有什么关系?会用这些定理进行有关的论证和计算;

2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力;

3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。

教学重点:正方形的性质定理1、2。

教学难点:定理的证明方法及运用

教学程序

一、复习创情导入

1,平行四边形的性质和判定有哪些?

2,矩形的性质和判定有哪些?

3,菱形的性质和判定有哪些?那么正方形呢?

二、授新

1、提出问题

(1)正方形的定义是什么?正方形和矩形、菱形有什么关系?可以根据什么判定正方形?

(2)性质定理1、2的内容是什么?(正方形的角和边、对角线有什么性质?)

(3)例1的证明运用了哪些性质和判定?

2、自学质疑:自学课本P93-95页,完成预习题,并提出疑难问题。

3、分组讨论;讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。

4、反馈归纳

(1)定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形

(2)跟踪练习:1 A,根据:有一组邻边相等的矩形。B,木板的根据,雷同。

(3)性质定理1的内容:正方形的四个角都是直角,四条边都相等。

证明方法:邻边相等、有一个角是直角----四个角都是直角、四条边都相等(菱形、矩形)

(4)性质定理2的内容:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。

证明方法:从“矩形、菱形”的性质可得。

(5)小结:对比“矩形、菱形、正方形”正方形具备“矩形、菱形的一切性质”

5、尝试练习

(1)跟踪练习1---4;

(2)求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

已知:

求证:

证明:

解题制导:运用三种图形的性质,即可。

(3)达标练习:1---5。

6、深化创新

正方形的定义:

正方形有哪些性质,与矩形、菱形有何关系?

正方形可如何判定?

7、推荐作业

熟记定义、定理、判定;

完成练习卷;

预习:

(1)说出正方形三种判定方法;

(2)例2、例3的解答中,运用了哪些性质或判定?

预习思考题

(1)正方形的定义是什么?正方形和矩形、菱形有什么关系?可以根据什么判定正方形?

(2)性质定理1、2的内容是什么?(正方形的角和边、对角线有什么性质?)

(3)例1的证明运用了哪些性质和判定?

跟踪练习题

(1)有一个角是直角,并且有一组邻边相等的四边形是正方形( )

(2)正方形既不是矩形,又不是菱形。( )

(3)正方形的对角线 。

(4)若正方形的边长为1,则正方形的对角线为 ,面积为 , 若正方形的对角线为1,则正方形的边长为 面积为 。

创新练习题

(1)已知:矩形的长和宽分别为9cm和4cm,是它面积4倍的正方形的对角线长是( )

(2)在下列四个图形中,( )图形内的一点到四个顶点的距离相等。

⑴平行四边形 ⑵矩形 ⑶菱形 ⑷正方形

(A) ⑴ ⑵ (B) ⑵ ⑶ (C) ⑶ ⑷ (D) ⑵ ⑷

达标练习题

(1)如果正方形的对角线长为3cm ,那么它的边长为 ,面积为 ,如果正方形的对角线长为acm ,那么它的边长为 ,面积为 。

(2)以面积为12cm2 的正方形的对角线为边长的正方形的面积为 。

(3)已知正方形的一条边长为2cm ,求这个正方形的周长、对角线和正方形的面积。

(4)正方形的对角线和它的边所成的角是多少度?为什么?

(5)已知正方形的一条对角线为4cm ,求它的边长和面积。

综合应用练习

(1)如图:正方形ABCD的边长为,E为边AD上的一点,且AE=1,求∠DBE的度数。

(2)已知:E是正方形ABCD内一点,并且EA=AB=BE,求∠DBE的度数。

推荐作业

1、熟记定义、定理、判定;

2、完成练习卷;

3、预习:

(1)说出正方形三种判定方法;

(2)例2、例3的解答中,运用了哪些性质或判定?

范文九:正五边形判定方法的探究 投稿:李擉擊

2 0 1 3 年第 1 期 

数 学教学 

1 - 2 5  

正 五边 形 判 定方 法 的探 究 

3 1 5 3 0 0 浙江省 慈溪实验 中学 华漫天 

今年 暑假, 笔者有 幸聆听 了潘 小梅老 师的  讲座 《 初 中数 学综合 与实践研 究》, 其 中提 到  了一个课例 《 正五边 形的判定方 法》, 获益 匪  浅.潘 老 师 从正 三 角形 与 正方 形 的判 定定 理  出发, 进 而提 出: 我们 知道, 五条边相等且 五个  内角 也 相 等 的五 边 形 是 正 五 边 形 , 那 么, 能 否  把其 中的条件弱化 , 得 出 正 五 边 形 的 判 定 方 法  呢 ?潘老师 的结论 是: 五条边相 等且三条对角  线相等的五边 形是正五边形 或者五个 内角相等 

且三条对角线相等 的五边形是正五边形.   潘老师 是从对角线 的角度 去探 究 的, 笔者 

想 ,能否 直 接 弱 化 其 中 的边 角 条 件 呢 ? 于 是 有  了下 面 的思 考 过 程 .  

先弱 化 内角条 件, 很 显然, 有 五条 边相 等  且 四个 内角相 等 的五边形 是正五边 形, 如果把  相 等 内角个 数减 少为三 个 呢 ?答 案是 肯定 的.  

可分下列两种情形:  

而  _ O P Q=  

所 

一  

该是一道错题, 但 能提 出 问题 应 该 是 了不 起 的 ,   提 出 问题 往 往 比解 决 问题 更 难 .   至 此, 对 本题 的探 究还在 继续 , 有 的同学 

t 3 ( 0 ≤   ≤   3   /  

探究5 如图6 ,四 面 体 ABCD 是 边 长 为  2的 正 四面 体 , 设 点 B 到 垂 直 于 底 面 BCD 的 

在 思考, 再添 加什么样 的条件 就 能使答 案确定 

了呢 ?  

截面 / k O PQ的距离 为 t , 截面 右侧 的图形 的体  积为 f ( t ) . 试求函数 ㈤ 的解析式 .  

D 

图6  

当 问题提 出来 以后, 很多 同学马上投入 到  紧张 的探 究之 中, 大 约过 了 1 5 分钟左 右, 有几  位 同学做 出来 了, 但结 果却 不一样 , 有 的 同学  在 下 面 小 声 的 嘀 咕 着 :“ 我 没 有解 错 呀” ,“ 为  什 么 我 们 的 答 案 不 一 样 呢 ?” ,“ 难 道 是 题 目错 

了 ?”  

为 了 能达 到 探 究 的 目的 , 笔 者 进 行 了适 时  的 引 导 :我 们 先 来 分 析 一 下 实 际 上 , 垂 直 于 

底面且 到点 B 的距离为 t 的截面应该是不 固定 

的, 因此函数 f ( t ) 是不确定的, 因此本题是没 

有确 定答 案 的.从命 题学 的角度来 说, 此题 应 

最 后 两个 问题 是在 老 师 的引 导下 学生 自   己提 出的, 这 样不仅可 以培养 学 生提 出问题 的  能力, 还 能 提 高 学 生 类 比能 力 .上 述 两

问题 不  只是平面 到空 间的简单类 比, 而且在 问题解决  过程 中会 遇到不少 新 问题, 如面积计算 到体积  计算 的转 化, 特 别是 最后一 个 问题 的提 出, 对  学 生 的探 究 能 力 要 求 较 高 , 而 这 些 问题 的解 决  又有利于提高学生的探究能力和创 新意识等 .   从 以上 的探 究过 程 中, 还 可 根 据 学 生 的  实 际情况 , 继 续 设 计 一 些 问题 探 究 , 如 改 变 截  面/ X O PQ的位 置等 , 这 些可 以让 学 生在课 余  时 间加 以解 决 .   参 考 文 献  f 1 ]刘 瑞 美. 对 课 本 习 题 的数 学 探 究 个  案『 J ] . 数学教学, 2 0 1 1 ( 7 ) : 1 4 — 1 7 .   f 2 1黄 元 华. 圆锥 曲线 的一 组 生 成 方 式  道 课本 习题 引发 的探 究性学 习   . 数 学  通报 , 2 0 1 1 ( 6 ) :2 4 —2 6 .   『 3 1 魏俊. 课 本例题 的变 式设计及 思考  .  

中学数学 教学参考 , 2 0 1 1 ( 7 ) : 5 0 — 5 1 .  

1 — 2 6  

数 学教 学 

2 0 1 3 年第 1 期 

情形一: 相等的三个 内角顺次相邻.   如图 l 。 在五边 形 A BCDE中,   B = BC   CD = DE = EA, 且 B =  C =   D, 则  五边 形  B DE是 正 五 边 形 .   证 明 : 连 结 AD,并 延 长 AB、D  交 于  点  , 由 已知 即得 BM =CM , 由于  B=CD,  

所以  M = DM ,则A D/ / B C,即 四 边 形 

A BC D 是 等 腰 梯 形,故 四边 形 AB CD 内接  于 圆. 同理,四边 形 BC  E也 内接 于 圆, 所  以 五 边 形 B  D  内 接 于 圆,于 是 五 边 形  ABCD  是 正 五 边 形 .   情 形 二: 相 等 的三 个 内角 只有两 个是相  邻的.   如 图2 ,在 五 边 形 BC DE 中,A B :  

B  :   D = D E = E , 且 A =   C =  D ,  

图3  

图4  

若 ZB = ZE = 1 0 8 。 ,则 利 用 图 4 可 得  △AB   与 △  D 均 为 等 腰 三 角 形 ,且 顶 角 

均为 1 0 8 。 . 若令五边形边长为a ,由黄 金 等  腰 三 角 形性 质 得 C : AD =   :   0 ,即 

、 / 5— 1  

. 

1  

:  D : C D=1 : 1 :   金等腰三角形 , 所 以 

, 故 AA CO是黄  D:3 6 。 , 则Z BA E:  

则 五 边 形 ABCDE 是 正 五边 形 .  

1 0 8 。 , 即有 三个 角相 等, 所 以五边形 B  DE   是正五边形.   接下来弱化边 的条 件, 易证有 五个

内角相  等 且 四 条 边 相 等 的五 边 形 是 正 五边 形 , 同样 可  以把 四条边弱化为三条边, 即:   定理 2 五个 内角相等且三 条边相 等的五  边 形 是 正 五边 形 .   证明: 分两种情形.   ( 1 ) 若 相等 的三条边顺 次相邻, 如 图4 , 在  五 边 形 AB DE 中,   A =  B =   C=  D =  

ZE, 且  B = BC =   D, 连 结  、   D,于 

= … = ,   … _ f   . 一 一

C 

D ’  

C 

D 

图1  

图2  

证 明:   连 结  、BD,易 得 △   E   △ BD, 则  AEB =   CDB, BE = BD, 故  ED =   BDE, 于 是  ED =  CDE.同  理  BC= Z BCD, 即五个角都相等, 所 以五  边 形  BCDE 是 正 五边 形 . 于是得到:   定理 1 五条边相等且 三个 内角也相等 的  五 边 形 是 正 五边 形 .   仅有 两个 内角 相等 且五条 边相 等 的五边  形不 一定 是正五 边形, 可 以构造 反例 , 如图3 ,   △A BE是正三角 形, 四边形 B  D   是正方形,   显 然 满 足  B = BC = CD = DE = EA, 且  D. 但 五边 形  B DE 不是 正 五 边 形 .   利 用 定理 1 , 不难得到:  

=  

是 四边 形 B  D是等 腰梯 形 , 由题 意 知五 边  形五个 内角均为 1 0 8 。 , 所 以Z A DC=7 2 。 , 易得  B=3 6 。 ,故  D =7 2 。 ,即  DC :  

D, 所 以  D = AC, 而  EDA = 1 0 8 。 一   D  = 3 6 。 = ZBCA. 因 此 △DE   △ B ,所 以 AE =   B,   D = BC,故 五  边 形 ABG   E 是 正 五边 形 .  

( 2 )若 相 等 的三 条 边 仅 两 边 相 邻 , 如 图  5 , 在 五 边 形  B DE 中 ,   A=  B=  C=  

D =   E,且  B = AE : CD,分 别 延 长  B、AE 交 直 线  D 于 M 、Ⅳ ,则  B  =   M  B = 7 2 。 , 得  M = 3 6 。 .同理 N = 3 6 。 ,  

推 论 1 五 条 边相 等 且有 两 个 内角 等 于  1 0 8 。 的 五 边 形 是正 五 边 形 .  

事 实 上 ,如 图 4 ,若 Z B =  C = 1 0 8 。 ,连  结  、   D,由前 面 证 明 可 知 四 边 形 . A B D 

是等腰 梯形, 于是  DC = 7 2 。 , 同时 Z BC A   BA C=3 6  ̄ , 得  D=7 2 。 , 于是  D   ACD, 则  C = AD, 故 △ B   丝△ ED,   所 以Z B = Z E,即 有 三 个 内角 相 等,由定 

=   =  

即 △ MⅣ 是 顶 角 为 1 0 8 。 的 等 腰 三 角 形,   —   B = AN — AE  于是 M = B   =EⅣ = DⅣ, 不妨令 B :  

且  M =  Ⅳ,则 

E = CD : a , C M = B M =  Ⅳ = D N = b ,  

则 由 黄 金 等 腰 三 角 形 性 质 得  =   ≠   :  

( 下转 第 1 — 4 1 页)  

理1 可 知 五 边 形 

DE 是 正 五边 形 .  

2 0 1 3 年第 1 期 

数 学教 学 

一  

个 整 圆 ,如 图 1 1 所 示 ,则 很 显 然 点 ( = ) 到点( = ) 1   的运 动 路 线 是线 段 O01 .  

最 后 一 段 是 以 点  为 圆 心 , 1 0为 半 径 , 圆 心 角 

为9 0 。 的弧, 从而得 出答案 .   9 0   + 解:  点 ( = ) 所 经 过 的路 线 长 : 9 — 0+ 

3 6

× 

bU  

2 1 r× 1 0= 1 2 7 r .  

故选 f A) .  

感 悟: 本 题 在 原 题 的基 础 上 , 改 变 了 问题 

的载 体 , 将 等 边 三 角 形 换 成 了扇 形,点 O的 

演 变 5 扇 形 的旋 转 

例 7 如图 1 2 , 在 扇 形 纸 片 AO B中, OA=  

1 0 ,   DB = 3 6 。 ,O B在 桌面 内 的直 线 f 上.   现将 此扇 形 沿 f 按顺 时针 方 向旋 转 f 旋转 过程  中无 滑 动) , 当O A落 在 z 上 时, 停 止 旋 转.则  点( 二 ) 所经过的路线长为 f  1  

运 动路 线类 似 于原 题但 是又 与 原题 不完 全相  同, 特 别是第二段运 动路径 的求解可 以类 似于  例 6的方 法 .  

3 .小 结  上述 问题, 表面 上有 所不 同, 但 它 们 所 蕴 

含 的思 想 是统 一 的, 解 决 问题 的方 法 是类 似 

( A) 1 2 7 r ;  

( C)1 0 丌 ;  

( B) 1 1 7 r ;  

( D)1 0 7 r +5   一5 .  

的. 总 之, 只要 我 们 掌握 了一 类 问题 的基 本特  征, 则能 以不变应 万变, 使 问题迎刃而解.   纵观近 几年 的中考题, 发现 数 学 探 究 活 动 

的考 查 是 一个 亮 点, 考 查 学 生 的 自主 探 究 能 

力 是 近 几 年 中考 命 题 的 一 大 特 色 , 所 以在 我 们 

图1 2  

平 时的教学 中, 要重 视典型例 、习题 的解题 思  路. 特别要 重视这些题 目的演变过程 , 拓展 学生  的解 题视野. 在教 学中训练 学生一题多变 、克  服 思维定势的影响, 不局 限于某 一方面 的思考,   多角度 多方位 分析 问题 、解决 问题 . 有利 于培  养 学 生思维 的灵 活性, 增 强其应 变 能力, 提 高  发散思维能力.  

分 析 :点 《 = ) 所 经 过 的 路 线 是

两 段 弧 和 一  条 线段 , 第 一 次旋 转 得 到 的是 以点B为 圆心,  

1 0 为半 径, 圆心 角 为 9 0 。 的弧  第 二段 是线 段,   其 长等 于 l 0为 半 径 ,圆 心 角 为 3 6 。 的 弧 的长 ,  

(   接第1 - 2 6百)  

点 F作 C D 的平行 线交 DE于 G, 显 然五边 

— —  

得  :   x / 5-1 , 1 哥   =— —   , 而 … J △M △』  B   疋j 是项角为   — H j / , J 、  

形 ABFGE满 足 题 设 条 件 但 不 是 正 五边 形 .  

3 6 。 的等腰三 角形, 故  B   C

BC

=丁

B  D  是『 F 五 边 形 .定 珲 得 证 .  

 

%   ,  

图6  

所 以 BC = a , 同 理 DE = a ,故 五 边 形 

若继续探究 , 类似可 得正六边形 的判定方  法, 限于篇幅, 本 文不再赘述, 现给 出两个判定 

方法 , 仅供参考.  

图5  

仅 有两 边相 等且 五 个 内角 都相 等 的五边  形 不 一 定 是 正 五 边 形,可 以构 造 反 例 如 下 :   如 图6 ,过 正 五 边 形  B D  的 一 边 BC上 任 

结论 1 有六条边相 等且顺次相邻 的四个  内角也相等 的六边形是正六边形.   结论 2 有六个 内角相等且顺 次相 邻的 四   条边 也相等 的六边形是正六边形.  

范文十:正方形的性质与判定 投稿:李猽猾

正方形的性质与判定

知识回顾

1.平行四边形的性质

①平行四边形的 相等;

②平行四边形的 相等;

③平行四边形的对角线 .

2.平行四边形的判定

① 分别平行的四边形是平行四边形;

② 分别相等的四边形是平行四边形;

③ 平行且相等的四边形是平行四边形;

④ 互相平分的四边形是平行四边形.

3.菱形的性质

①具有平行四边形的一切性质;

② 都相等;

③对角线互相 ,并且每一条对角线平分 ;

④是 对称图形,有 条对称轴,分别为它的两条 所在的直线.

4.菱形的判定

① 的四边形是菱形;

② 的平行四边形是菱形;

③ 的平行四边形是菱形.

5.矩形的性质

①具有平行四边形的一切性质;

②矩形的四个角都是 ;

③矩形的对角线 .

6.矩形的判定

① 的四边形是矩形;

② 的平行四边形是矩形;

③ 的平行四边形是矩形.

7.正方形的性质

具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质;

①边:四条边都 ,临边相互 ,对边相互 ;

②角:四个角都是 ;

③对角线:对角线 且互相 ,每条对角线平分 ;

④对称性:是 对称图形,有 条对称轴.

8.正方形的判定

①有一组临边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形;

② 菱形是正方形;

③ 菱形是正方形;

④ 矩形是正方形;

⑤ 矩形是正方形.

巩固练习

1.如图所示,在正方形ABCD外侧,作等边三角形ADF,AC、BE相交于点F,则∠BFC=(

A.45°

B.55°

C.60°

2.如图所示,在正方形ABCD中,点E、F分别在CD、BC上,且BF=CE,连接BE、AF相交于点G,则下列结论不正确的是( )

A.BE=AF

B.∠DAF=∠BEC

C.∠AFB+∠BEC=90°

D.AG⊥BE

3.如图所示,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N,若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为( ) 22a 3

12B.a 4

52C.a 9

42D.a 9A.

4.如图所示,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对

角线AC上有一点P,使PD+PE的值最小,则这个最小值为( )

A.4

B.8

C.3

D.6

5.如图所示,正方形ABCD的边长为3,点E、F分别在边AB、BC上,AE=BF=1,小球P从

点E出发沿直线向点F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当

小球P第一次碰到点E时,小球P所经过的路程为 .

6.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,

且BE=BF.分别添加下述的一个条件,能否证明四边形BECF是正方形?如果能证明,请给出

证明过程.

(1)BC=AC;

(2)CF⊥BF;

(3)BD=DF;

(4)AC=BF.

7.如图所示,△ABC中,∠ABC=90°,BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB.证明:四边形BEDF是正方形.

8.如图所示,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB,CF⊥OF于点F.当∠AOC为多少度时,四边形CDOF是正方形?并说明理由.

9.如图所示,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.

(1)求证:AE=CF;

(2)若∠ABE=55°,求∠EGC的大小.

10.如图所示,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M、N.

(1)求证:∠ADB=∠CDB;

(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.

11.如图所示,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点,直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E与A、B不重合),另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.

(1)如图(1)所示,当点E在AB边的中点位置时:

①通过测量DE、EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是 ;

②连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是 ;

③请证明你的上述两个猜想;

(2)如图(2)所示,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系.

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