正方形的判定方法_范文大全

正方形的判定方法

【范文精选】正方形的判定方法

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【专家解析】正方形的判定方法

【优秀范文】正方形的判定方法

范文一:正方形的判定 投稿:赵眬眭

正方形的判定

教学目标:1.熟记正方形的判定方法,回判定一个四边形是正方形.

2.提高学生分析问题,解决问题的能力.

教学重点: 正方形的判定方法.

教学难点:平行四边形、矩形、菱形、正方形的综合应用。 教学过程: 一.知识梳理

1.叫正方形。 2.由定义得正方形的判定方法:

(1) 有 的矩形-叫正方形。 (2) 有 的菱形-叫正方形。 (3) 既是 又是 的四边形叫正方形。

二典型例题:

例1、如图,已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是∠C的平分线,交AB于D,作DE

A

⊥BC,DF⊥AC,垂足为E、F。 求证:四边形DECF是正方形

CB E

例2:以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE,四边形ADFE是平行

四边形。

(1)当∠BAC满足____时,四边形ADFE是矩形。 D(2)当∠BAC满足____时,平行四边形ADFE不存在。 (3)当△ABC分别满足什么条件时,平行四边形是菱形?是正方形?

D

F

例3、已知,如图,E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点,AF、BG、CH、DE分别两两相交于点A′B′C′D′。

A H D

求证:四边形A′B′C′D′是正方形。

三巩固练习

1、 已知,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列能判断它是正方形的条件

的是:----------------------------------------------------------------------------------------------( ) A、AO=BO=CO=DO AC⊥BD B、AC=BC=CD=DA C、AO=CO,BO=DO,AC⊥BD D、AB=BC CD⊥DA

E

C′A′

G

B F C

2四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开,大会会标如图1所示。它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积为13.每个直角三角形两直角边的和为5,求中间小正方形的面积。

1

3、已知:在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F。 求证:(1)△BDE≌△CDF

(2)∠A=90°时,四边形AEDF是正方形

四绝对挑战

①,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连结CP, 试说明:四边形CODP的形状。 ②如果题目中的矩形变为菱形 结论应变为什么?试说明。

③如果题目中的矩形变为正方形, 结论又应变为什么?

五 反馈与归纳

(1)正方形是怎样的平行四边形?,有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形;

(2)正方形是怎样的矩形?有一组邻边相等的矩形;

(3)正方形是怎样的菱形?有一个角是直角的菱形; (4)明确四者之间的关系!!!!

(5)判定一个平行四边形是正方形,还应具备什么条件?方法1 (6)判定一个矩形是正方形还应具备什么条件?方法2; (7)判定一个菱形是正方形还应具备什么条件?方法3; (8)小结:判定正方形的方法有三种 六布置作业

评价与 反思

范文二:如何判定正方形 投稿:李巁巂

如何判定正方形

一、依据“有一组邻边相等的矩形是正方形”判定

例1、如图:已知在△ABC中,ABAC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,

垂足分别为E、F。若∠A=90°,求证:四边形DFAE是正方形.

D F C

分析:由∠AED=∠AFD=∠A=90°,则四边形CEDF是矩形。根据△BED≌△CFD,有DE=DF,根据有一组邻边相等的矩形是正方形,所以四边形CEDF是正方形

证明:因为DE⊥AB,DF⊥AC,所以∠AED=∠AFD=90°,又因为∠A=90°,所以四边形DFAE为矩形。因为DE⊥AB,DF⊥AC,∠BED=∠CFD=90°,因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为D是BC的中点,所以BD=CD,所以△BED≌△CFD,所以DE=DF,所以四边形DFSE是正方形

二、依据“有一个角直角的菱形是正方形”判定

例2、如图,在正方形ABCD中,E、F、G、H分别是各边上的中点,且AE=BF=CG=DH,求证:四边形EFGH是正方形

分析:首先证明△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DHG,从而得出EH=EF=FG=GH,即四边形EFGH是菱形,然后再证明一个角是90°即可

证明:在正方形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD,因为AE=BF=CG=DH,所以BE=CF=DG=AH,所以△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DHG,所以EF=FG=GH=EH,所以四边形EFGH是菱形,因为△AEH≌△BEF,所以∠AHE=∠BEF,因为∠AEH+∠AHE=90°,所以∠AHE+∠AHE=90°,所以∠HEF=90°,所以四边形EFGH是正方形

范文三:9正方形的判定 投稿:顾趾趿

9正方形的判定

强立新

教学目的

1.掌握正方形的判定方法.

2.通过运用正方形的判定解题,培养学生的分析能力和观察能力. 3.通过正方形有关知识的学习,感受完美的正方形的图形美和语言美 教学重点:正方形的判定方法. 教学难点:正方形判定方法的应用. 一.设疑自探

1.矩形、菱形是怎样的特殊平行四边形,它们比平行四边形多些什么性质?

2.正方形是怎样的特殊平行四边形?正方形,菱形有什么关系?正方形有什么性质? 3 我们已经知道,正方形是一个中心对称图形,也是一个轴对称图形,具有如下的性质: ( 1). 四条边都相等; (2). 四个角都是直角.

因此,正方形可以看作为:有一个角是直角的菱形;有一组邻边相等的矩形. 你能象前面我们寻找的判定方法一样来探索正方形的判定吗.

判定定理一:、一组邻边相等的矩形是正方形; 判定定理二:有一个角是直角的菱形是正方形; 判别方法

1)先证是平行四边形; 2)再证是矩形或菱形; 3)再加菱形或矩形的特征

4)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形;

5)既是矩形又是菱形的四边形是正方形.

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种:①先证明它是矩形,再证它有一组

邻边相等;②先证明它是菱形,再证它有一个角是直角

如:1)①四边形ABCD为平行四边形ABCD②AB=AD或AB=BC或AD=DC或BC=CD, 平行四边形ABCD为菱形③

2)①四边形ABCD为平行四边形ABCD②AB=AD或AB=BC或AD=DC或BC=CD, 平行四边形ABCD为菱形③AC=BD

3)①四边形ABCD为平行四边形ABCD②AC⊥BD,平行四边形ABCD为菱形③ 4)①四边形ABCD为平行四边形ABCD②AC⊥BD,平行四边形ABCD为菱形③AC=BD 5)①四边形ABCD为平行四边形ABCD② ③AB=AD或AB=BC或AD=DC或BC=CD 6)①四边形ABCD为平行四边形ABCD②

,平行四边形ABCD为矩形③AC⊥BD ,平行四边形ABCD为矩形

7)①四边形ABCD为平行四边形ABCD②AC=BD,平行四边形ABCD为矩形③AB=AD或AB=BC或 AD=DC或BC=CD

8)①四边形ABCD为平行四边形ABCD②AC=BD,平行四边形ABCD为矩形③AC⊥BD 二、经典例题

类型一、一组邻边相等的矩形是正方形;

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例题1 (2014•湖里区模拟)已知:如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:四边形DEBF是正方形.

例2. 已知:如图,四边形ABCD是正方形,分别过A、C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P点.

求证:四边形PQMN是正方形.

思路分析:

1)题意分析:此题考查正方形的判定。

2)解题思路:由已知可以证出四边形PQMN是矩形,再证△ABM≌△DAN,证出AM=DN,用同样的方法证AN=DP,即可证出MN=NP.从而得出结论。

解答过程:

∵PN⊥l1,QM⊥l1,

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∴PN∥QM,∠PNM=90°. ∵PQ∥NM(l1//l2), ∴四边形PQMN是矩形. ∵四边形ABCD是正方形

∴∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC(正方形的四条边都相等,四个角都是直角). ∴∠1+∠2=90°. 又∵∠3+∠2=90°, ∴∠1=∠3.

∴△ABM≌△DAN.

∴AM=DN. 同理 AN=DP. ∴AM+AN=DN+DP 即MN=PN.

∴四边形PQMN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).

解题后的思考:本题考查对正方形判定的应用,即先判定一个四边形是矩形,再证明一组邻边相等,从而判定这个四边形是正方形。

【变式】 2014•温州一模)如图,AB是CD的垂直平分线,交CD于点M,过点M作ME⊥A C,MF⊥

AD,垂足分别为E、F. (1)求证:∠CAB=∠DAB;

(2)若∠CAD=90°,求证:四边形AEMF是正方形.

∠DAQ=∠DBP

BP=AQ

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∴△BPD≌△AQD(SAS), ∴PD=QD,∠ADQ=∠BDP, ∵∠BDP+∠ADP=90°

∴∠ADP+∠ADQ=90°,即∠PDQ=90°, ∴△PDQ为等腰直角三角形;

(2)解:当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形;理由如下:

BAC=90

°,AB=AC,D为BC中点, ∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠B=∠C=45°, ∴△ABD是等腰直角三角形,

当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°, 又∵∠A=90°,∠PDQ=90°, ∴四边形APDQ为矩形,

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【变式】(2014•牡丹江)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一

点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE. (1)求证:CE=AD;

(2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;

(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由.

∴DC=EC,

即得∠DCF=∠ECF, 又∵AD∥BC,AB=CD, ∴∠B=∠DCF,AB=EC, ∴∠B=∠ECF, ∴AB∥EC, 又∵AB=EC,

∴四边形ABEC是平行四边形,

∵BC=2AD, ∴AD=BG, 又∵AD∥BG,

∴四边形ABGD是平行四边形;

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(2)∵四边形ABGD是平行四边形, ∴AB∥DG,AB=DG, 又∵AB∥EC,AB=EC, ∴DG∥EC,DG=EC,

∴四边形DGEC是平行四边形, 又∵DC=EC,

∴四边形DGEC是菱形, ∴DG=DC,

∴DG2+DC2=CG2, ∴∠GDC=90°,

∵P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA边上的中点,

∴MN=PQ=NP=MQ ∴四边形PQMN为菱形 解题后的思考:

顺次连接任意四边形和平行四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形。如图一中图形。

顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所得的四边形是菱形, 如矩形、等腰梯形或图二中图形等。

顺次连接对角线垂直的四边形的四边中点所得的四边形是矩形, 如菱形或图三中图形等。

顺次连接对角线既相等又垂直的四边形的四边中点所得的四边形是正方形,如正方形或图四中图形等。

还要注意到:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质.要熟悉这些最基本的内容.

2. 对于怎样判定一个四边形是正方形,因为层次较多,不必分析的太具体,只要强调能判定一个四边形是矩形,进而判定这个矩形也是菱形,或先判定一个四边形是菱形,再判定这个菱形也是矩形,即可判定这个四边形是正方形,实际上就是根据正方形的定义来判定。

预习导学 一、预习新知:

下一讲我们将学习梯形,请同学们预习这部分内容。 二、预习点拨:

梯形是一种特殊的四边形,其与平行四边形的共同点:都是凸四边形;它们的区别:平行四边形有两组对边平行;梯形只有一组对边平行,而另一组对边不平行,即平行四边形平行的边是相等的,而梯形平行的边是不能相等的;梯形的上、下底是以长短来区分的,而不是指位置关系.那么特殊的梯形有哪些?它们各有什么性质?

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同步练习

(答题时间:60分钟) 一、选择题

1. 四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,能判别这个四边形是正方形的条件是( ) A. OA=OB=OC=OD,AC⊥BD B. AB∥CD,AC=BD

C. AD∥BC,∠A=∠C D. OA=OC

,OB=OD,AB=BC

2. 在正方形ABCD中,AB=12 cm,对角线AC、BD相交于O,则△ABO的周长是( )

3. 下列命题中的假命题是( ).

A. 有一角是直角的菱形是正方形 B. 两条对角线相等的菱形是正方形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 四条边都相等的四边形是正方形

二、填空题

4. 已知四边形ABCD是菱形,当满足条件_________时,它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).

5. 正方形的一条边长是3,那么它的对角线长是_______.

6. 如图,依次连接一个边长为1的正方形各边的中点,得到第二个正方形,再依次连接 第二个正方形各边的中点,得到第三个正方形,按此方法继续下去, 则第六个正方形 的面积是 .

9. 如图所示,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG.

并证明你的猜想.

证明:如图,设AE

与CG交点为M,AD与CG交点为N. ∵ △ADE≌△CDG, ∴ ∠DAE=∠DCG. 又∵ ∠ANM=∠CND,

∴ ∠AMN=∠ADC=90o.∴ AE⊥CG. 10. 解:. 证法1:连接,

正方形的判定练习

一、选择题(共21小题) 1、下列五个命题:

(1)若直角三角形的两条边长为5和12,则第三边长是13; (2)如果a≥0,那么

=a

(3)若点P(a,b)在第三象限,则点P(﹣a,﹣b+1)在第一象限; (4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;

(5)两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等. 其中不正确命题的个数是( ) A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 2、(1999•昆明)下列命题中,正确命题是( ) A、两条对角线相等的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形 D、两条对角线平分且相等的四边形是正方形 3、下列命题中,真命题是( ) A、两条对角线垂直的四边形是菱形 B、对角线垂直且相等的四边形是正方形 C、两条对角线相等的四边形是矩形 D、两条对角线相等的平行四边形是矩形 4、(2002•福州)下列说法中错误的是( ) A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D、两条对角线相等的菱形是正方形

C、对角线互相垂直的矩形是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、(2009•重庆)如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,F是AB边上的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且保持AD=CE.连接DE,DF,EF

.在此运动变化的过程中,下列结论:

①△DFE是等腰直角三角形; ②四边形CDFE不可能为正方形, ③DE长度的最小值为4;

④四边形CDFE的面积保持不变; ⑤△CDE面积的最大值为8. 其中正确的结论是( ) A、①②③ B、①④⑤ C、①③④ D、③④⑤ 7、(2008•扬州)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是( )

A、当AB=BC时,它是菱形 B、当AC⊥BD时,它是菱形 C、当∠ABC=90°时,它是矩形 D、当AC=BD时,它是正方形 8、(2008•辽宁)下列命题中正确的是( ) A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D、两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 9、(2007•上海)已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是( ) A、∠D=90° B、AB=CD C、AD=BC D、BC=CD 10、(2006•十堰)如图,将一张长方形纸片对折两次,然后剪下一个角,打开.如果要剪出一个正方形,那么剪口线与折痕成( )

A、22.5°角 B、30°角 C、45°角 D、60°角 11、(2005•天津)在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是( ) A、AC=BD,AB∥CD,AB=CD B、AD∥BC,∠A=∠C C、AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D、AO=CO,BO=DO,AB=BC 12、(2004•郑州)用两个全等的直角三角形拼下列图形:(1)平行四边形(不包含菱形、矩形、正方形);(2)矩形;(3)菱形;(4)正方形;(5)等腰三角形,一定可以拼成的图形是( ) A、(1)(2)(5) B、(2)(3)(5) C、(1)(4)(5) D、(1)(2)(3)

形 C、四个角都相等的四边形是矩形 D、邻边相等的菱形是正方形 14、(2002•东城区)下列说法中错误的是( ) A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B、每组邻边都相等的四边形是菱形 C、四个角都相等的四边形是矩形 D、对角线互相垂直平分的四边形是正方形 15、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,设有下列条件:①AB=AD;②∠DAB=90°;③AO=CO,BO=DO;④矩形ABCD;⑤菱形ABCD,⑥正方形ABCD,则下列推理不成立的是( ) A、①④⇒⑥ B、①③⇒⑤ C、①②⇒⑥ D、②③⇒④

16、在下列命题中,是真命题的是( ) A、两条对角线相等的四边形是矩形 B、两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 D、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

17、下列说法中错误的是( ) A、四个角相等的四边形是矩形 B、对角线互相垂直的矩形是正方形 C、对角线相等的菱形是正方形 D、四条边相等的四边形是正方形 18、下列说法正确的是( ) A、对角线相等的四边形是矩形 B、有一组邻边相等的矩形是正方形 C、菱形的四条边、四个角都相等 D、三角形一边上的中线等于这边的一半 19、下列说法错误的是( ) A、平行四边形的内角和与外角和相等 B、一组邻边相等的平行四边形是菱形 C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D、四条边都相等的四边形是正方形 20、矩形的四个内角平分线围成的四边形( ) A、一定是正方形 B、是矩形 C、菱形 D、只能是平行四边形 21、(2003•南宁)下列命题正确的是( ) A、一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 B、对角线互相垂直的四边形是菱形 C、对角线相等的四边形是矩形 D、一组邻边相等的矩形是正方形 二、填空题(共3小题) 22、(2009•天水)如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,若不增加任何字母与辅助线,要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是 _________ .

23、(2004•丰台区)要使一个菱形ABCD成为正方形,则需增加的条件是(填一个正确的条件即可)

24、把“直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形”填入下列相应的空格上. (1)正方形可以由两个能够完全重合的 _________ 拼合而成; (2)菱形可以由两个能够完全重合的 _________ 拼合而成; (3)矩形可以由两个能够完全重合的 _________ 拼合而成. 三、解答题(共6小题) 25、(2005•广州)如图,点D是线段AB的中点,点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点,DE⊥AC

于点E,DF⊥BC于点F.

(1)求证:CE=CF;

(2)点C运动到什么位置时,四边形CEDF成为正方形?请说明理由. 26、(2004•四川)已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E、F,

且BF=CE.

(1)求证:△ABC是等腰三角形; (2)当∠A=90°时,试判断四边形AFDE是怎样的四边形,证明你的结论.

27、如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.

(1)求证:四边形ABCD是菱形;

(2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形.

28、(2010•安顺)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM

的平分线,CE⊥AN,垂足为点E,

(1)求证:四边形ADCE为矩形;

(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明. 29、(2009•湖州)如图:已知在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.

(1)求证:△BED≌△CFD; (2)若∠A=90°,求证:四边形DFAE是正方形.

30、(2006•济南)如图,在Rt△ABC与Rt△ABD中,∠ABC=∠BAD=90°,AD=BC,AC,BD相交于点G,过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E,过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F,AE,BF相交于点H.

(1)图中有若干对三角形是全等的,请你任选一对进行证明;(不添加任何辅助线) (2)证明:四边形AHBG是菱形;

(3)若使四边形AHBG是正方形,还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件?请你写出这个条件.(不必证明)

正方形的判定练习答案与评分标准

一、选择题(共21小题) 1、下列五个命题:

(1)若直角三角形的两条边长为5和12,则第三边长是13; (2)如果a≥0,那么

=a

(3)若点P(a,b)在第三象限,则点P(﹣a,﹣b+1)在第一象限; (4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;

(5)两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等. 其中不正确命题的个数是( ) A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

考点:勾股定理;二次根式的性质与化简;点的坐标;全等三角形的判定;正方形的判定。 分析:(1)由于直角三角形的两条边长为5和12,这两条边没有确定谁是斜边谁是直角边,大的一条还可能是斜边,所以第三边长不唯一; (2)正确,符合二次根式的意义;

(3)由于点P(a,b)在第三象限,由此得到a、b的取值范围,然后利用它们的取值范围即可得到结果;正确

(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,所以对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形;

(5)可以利用全等三角形的判定定理证明是否正确. 解答:解:(1)由于直角三角形的两条边长为5和12,这两条边没有确定是否是直角边,所以第三边长不唯一,故命题错误;

(2)符合二次根式的意义,命题正确;

(3)∵点P(a,b)在第三象限,∴a<0、b<0,∴﹣a>0,﹣b+1>0,∴点P(﹣a,﹣b+1)在第一象限,故命题正确;

(4)正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形,故命题错误; (5)两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是正确的. 故选B.

点评:需注意没有明确告知两条边都是直角边,故大的一条还可能是斜边.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 2、(1999•昆明)下列命题中,正确命题是( ) A、两条对角线相等的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形 D、两条对角线平分且相等的四边形是正方形 考点:菱形的判定;平行四边形的判定;矩形的判定;正方形的判定。

分析:根据特殊平行四边形的性质进行判断,对角线平分的四边形是平行四边形; 对角线平分且相等的四边形是矩形; 对角线平分且垂直的四边形是菱形;

对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形.

解答:解:A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,故A错误; B、两条对角线平分且相等的四边形是矩形,故B错误; C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形,故C正确;

D、两条对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形,故D错误; 故选C.

点评:考查特殊平行四边形对角线的性质,一定要熟记. 3、下列命题中,真命题是( ) A、两条对角线垂直的四边形是菱形 B、对角线垂直且相等的四边形是正方形 C、两条对角线相等的四边形是矩形 D、两条对角线相等的平行四边形是矩形 考点:菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定。

分析:本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系. 解答:解:A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形,故选项A错误; B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形,故选项B错误; C、两条对角线相等的平行四边形是矩形,故选项C错误;

D、根据矩形的判定定理,两条对角线相等的平行四边形是矩形,为真命题,故选项D正确; 故选D.

点评:本题考查的是普通概念,熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备. 4、(2002•福州)下列说法中错误的是( ) A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D、两条对角线相等的菱形是正方形 考点:矩形的判定;平行四边形的判定;正方形的判定。

分析:根据矩形的对角线相等平分和正方形的对角线互相垂直相等平分进行判定即可得出结论.

解答:解:根据矩形的判定可知:A,C,D均是正确的,B中,等腰梯形也满足此条件,但不是矩形,故选B.

点评:平行四边形的判定方法共有五种,在四边形中如果有:①四边形的两组对边分别平行;②一组对边平行且相等;③两组对边分别相等;④对角线互相平分;⑤两组对角分别相等.则四边形是平行四边形.

5、下列说法中,不正确的是( ) A、有三个角是直角的四边形是矩形 B、对角线相等的四边形是矩形 C、对角线互相垂直的矩形是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 考点:矩形的判定;菱形的判定;正方形的判定。

分析:根据各四边形的性质对各个选项进行分析从而得出最后答案.

解答:解:A、正确,有三个角是直角的四边形是矩形是矩形的判定定理;

B、错误,对角线相等的四边形不一定是矩形,对角线相等的平行四边形才是矩形; C、正确,对角线互相垂直的矩形是正方形;

D、正确,对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 故选B.

点评:考查了对四边形性质与判定的综合运用,特殊四边形之间的相互关系是考查重点. 6、(2009•重庆)如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,F是AB边上的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且保持AD=CE.连接DE,DF,EF

.在此运动变化的过程中,下列结论:

①△DFE是等腰直角三角形;

④四边形CDFE的面积保持不变; ⑤△CDE面积的最大值为8. 其中正确的结论是( ) A、①②③ B、①④⑤ C、①③④ D、③④⑤ 考点:正方形的判定;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形。 专题:动点型。

分析:解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形,作常规辅助线连接CF,由SAS定理可证△CFE和△ADF全等,从而可证∠DFE=90°,DF=EF.所以△DEF是等腰直角三角形.可证①正确,②错误,再由割补法可知④是正确的;

判断③,⑤比较麻烦,因为△DEF是等腰直角三角形DE=DF,当DF与BC垂直,即DF最小时,DE取最小值4,故③错误,△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积,由③可知⑤是正确的.故只有①④⑤正确. 解答:解:连接CF;

∵△ABC是等腰直角三角形, ∴∠FCB=∠A=45°,CF=AF=FB; ∵AD=CE,

∴△ADF≌△CEF;

∴EF=DF,∠CFE=∠AFD; ∵∠AFD+∠CFD=90°,

∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°, ∴△EDF是等腰直角三角形. 因此①正确.

当D、E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形. 因此②错误.

∵△ADF≌△CEF,

∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC, 因此④正确.

由于△DEF是等腰直角三角形,因此当DE最小时,DF也最小; 即当DF⊥AC时,DE最小,此时

DF=BC=4.

∴DE=DF=4; 因此③错误.

当△CEF面积最大时,由④知,此时△DEF的面积最小. 此时S△CEF=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8; 因此⑤正确. 故选B.

点评:本题考查知识点较多,综合性强,能力要求全面,难度较大.但作为选择题可采用排除法等特有方法,使此题难度稍稍降低一些. 7、(2008•扬州)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是( )

A、当AB=BC时,它是菱形 B、当AC⊥BD时,它是菱形 C、当∠ABC=90°时,它是矩形 D、当AC=BD时,它是正方形 考点:正方形的判定;平行四边形的性质;菱形的判定;矩形的判定。

分析:根据已知及各个四边形的判定对各个选项进行分析从而得到最后答案. 解答:解:A:正确,一组邻边相等的平行四边形是菱形; B:正确,对角线互相垂直的平行四边形是菱形; C:正确,有一个角为90°的平行四边形是矩形;

D:不正确,对角线相等的平行四边形是矩形而不是正方形; 故选D.

点评:此题考查了菱形,矩形,正方形的判定方法.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 8、(2008•辽宁)下列命题中正确的是( ) A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D、两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 考点:正方形的判定;平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定。

分析:根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定,逐个进行验证,即可得出正确选项. 解答:解:A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,正确. B、两条对角线相等的四边形可能是梯形,不一定是矩形,错误.

C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形,仅垂直不一定是菱形,错误.

D、两条对角线互相垂直且平分的四边形只能说是菱形,不一定是正方形,错误. 故选A.

点评:本题是考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定.就每一个选项来说都是单一知识点,是比较基础的知识,而把四个选项置于一个试题之中,它涉及到四个知识点和四种图形的联系和区别,要求学生的思维必须缜密、全面. 9、(2007•上海)已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是( ) A、∠D=90° B、AB=CD C、AD=BC D、BC=CD 考点:正方形的判定。

分析:由已知可得该四边形为矩形,再添加条件:一组邻边相等,即可判定为正方形. 解答:解:由∠A=∠B=∠C=90°可判定为矩形,因此再添加条件:一组邻边相等,即可判定为正方形,故选D.

点评:本题是考查正方形的判别方法.判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念,途经有两种:①先说明它是矩形,再说明有一组邻边相等是菱形;②先说明它是菱形,再说明它有一个角为直角,是矩形. 10、(2006•十堰)如图,将一张长方形纸片对折两次,然后剪下一个角,打开.如果要剪出一个正方形,那么剪口线与折痕成( )

A、22.5°角 B、30°角 C、45°角 D、60°角 考点:正方形的判定;翻折变换(折叠问题)。

解答:解:一张长方形纸片对折两次后,剪下一个角,是菱形,而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线,所以当剪口线与折痕成45°角,菱形就变成了正方形.故选C. 点评:本题考查了菱形和正方形的判定及性质. 11、(2005•天津)在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是( ) A、AC=BD,AB∥CD,AB=CD B、AD∥BC,∠A=∠C C、AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D、AO=CO,BO=DO,AB=BC 考点:正方形的判定。 专题:证明题。

分析:根据正方形的判定:对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案. 解答:解:A,不能,只能判定为矩形; B,不能,只能判定为平行四边形; C,能;

D,不能,只能判定为菱形. 故选C.

点评:本题是考查正方形的判别方法,判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念,途经有两种:①先说明它是矩形,再说明有一组邻边相等;②先说明它是菱形,再说明它有一个角为直角. 12、(2004•郑州)用两个全等的直角三角形拼下列图形:(1)平行四边形(不包含菱形、矩形、正方形);(2)矩形;(3)菱形;(4)正方形;(5)等腰三角形,一定可以拼成的图形是( ) A、(1)(2)(5) B、(2)(3)(5) C、(1)(4)(5) D、(1)(2)(3) 考点:正方形的判定。 专题:证明题。

分析:两个全等的直角三角形直角边重合拼成的四边形一定是平行四边形;直角边重合拼成的三角形一定是等腰三角形;斜边重合拼成的四边形一定是长方形.拿两个全等的三角板动手试一试就能解决. 解答:解:拿两个“90°、60°、30°的三角板一试可得:(1)平行四边形(不包含菱形、矩形、正方形);(2)矩形;(5)等腰三角形.而菱形、正方形需特殊的直角三角形:等腰直角三角形. 故选A.

点评:本题考查学生的动手能力,有些题只要学生动手就能很快求解,注意题目的要求有“一定”二字. 13、(2004•四川)下列说法中,错误的是( ) A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C、四个角都相等的四边形是矩形 D、邻边相等的菱形是正方形 考点:正方形的判定;平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定。 专题:证明题。

分析:根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,对各个选项进行分析从而得到最后的答案. 解答:解:A正确,符合平行四边形的判定定理;

B正确,两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形; C正确,四个角都相等的四边形的内角和为360°,那么每个内角为90°,是矩形; D不正确,菱形的邻边本来就是相等的,等于没加条件. 故选D.

点评:本题考查特殊平行四边形的判定,需熟练掌握各特殊平行四边形的特点. 14、(2002•东城区)下列说法中错误的是( ) A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B、每组邻边都相等的四边形是菱形 C、四个角都相等的四边形是矩形 D、对角线互相垂直平分的四边形是正方形 考点:正方形的判定;平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定。 专题:证明题。

分析:根据特殊平行四边形的判定对各个选项进行分析,从而得到最后答案.

解答:解:A正确,一组对边平行且一组对角相等可推出两组对角分别相等,是平行四边形;

D不正确,应该是菱形,因为正方形的对角线相等且互相垂直平分; 故选D.

点评:本题考查特殊平行四边形的判定,需熟练掌握各特殊平行四边形的特点. 15、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,设有下列条件:①AB=AD;②∠DAB=90°;③AO=CO,BO=DO;④矩形ABCD;⑤菱形ABCD,⑥正方形ABCD,则下列推理不成立的是( ) A、①④⇒⑥ B、①③⇒⑤ C、①②⇒⑥ D、②③⇒④ 考点:正方形的判定;菱形的判定;矩形的判定。 专题:证明题。

分析:由对角线互相平分的四边形为平行四边形,再由邻边相等,得出是菱形,和一个角为直角得出是正方形,根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案. 解答:解:A、符合邻边相等的矩形是正方形;

B、可先由对角线互相平分,判断为平行四边形,再由邻边相等,得出是菱形; D、可先由对角线互相平分,判断为平行四边形,再由一个角为直角得出是矩形; 故选C.

点评:此题主要考查正方形、菱形、矩形的判定,应灵活掌握. 16、在下列命题中,是真命题的是( ) A、两条对角线相等的四边形是矩形 B、两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 D、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

考点:正方形的判定;平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定。

分析:本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的基本判定性质. 解答:解:A、两条对角线相等的平行四边形是矩形,故选项A错误; B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故选项B错误;

C、根据平行四边形的判定定理可知两条平行线相互平分的四边形是平行四边形,为真命题,故选项C是正确的;

D、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,故选项D错误; 故选C.

点评:基本的定义、概念以及一些性质是做题的根本条件,熟练地运用可以为解答更深奥的题目奠定基础.

17、下列说法中错误的是( ) A、四个角相等的四边形是矩形 B、对角线互相垂直的矩形是正方形 C、对角线相等的菱形是正方形 D、四条边相等的四边形是正方形 考点:正方形的判定;矩形的判定。 专题:证明题。

分析:根据正方形和矩形的判定对各个选项进行分析从而得到最后答案. 解答:解:A正确,符合矩形的定义; B正确,符合正方形的判定; C正确,符合正方形的判定; D不正确,也可能是菱形; 故选D.

点评:此题主要考查学生对矩形的判定及正方形的判定的理解. 18、下列说法正确的是( ) A、对角线相等的四边形是矩形 B、有一组邻边相等的矩形是正方形 C、菱形的四条边、四个角都相等 D、三角形一边上的中线等于这边的一半 考点:正方形的判定;菱形的性质;矩形的判定。 专题:证明题。

解答:解:A不正确,因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形; B正确,符合正方形的判定;

C不正确,菱形的四条边、对角都相等;

D不正确,直角三角形斜边上的中线等于这边的一半; 故选B.

点评:此题综合考查矩形、正方形、菱形的判定以及直角三角形的性质的理解及运用. 19、下列说法错误的是( ) A、平行四边形的内角和与外角和相等 B、一组邻边相等的平行四边形是菱形 C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D、四条边都相等的四边形是正方形 考点:正方形的判定;平行四边形的性质;菱形的判定;矩形的判定。 专题:证明题。

分析:根据四条边都相等的四边形一定是菱形,对角线互相平分且相等的四边形是矩形,对各个结论进行分析,从而得到最后答案.

解答:解:A正确,平行四边形的内角和与外角和都是360°; B正确,符合菱形的定义; C正确,符合矩形的判定;

D不正确,四条边都相等的四边形一定是菱形,不一定是正方形; 故选D.

点评:掌握特殊四边形的定义与判定.

20、矩形的四个内角平分线围成的四边形( ) A、一定是正方形 B、是矩形 C、菱形 D、只能是平行四边形 考点:正方形的判定;矩形的性质。 专题:证明题。

分析:根据矩形的性质及角平分线的性质进行分析即可. 解答:解:矩形的四个角平分线将矩形的四个角分成8个45°的角,因此形成的四边形每个角是90°.又知两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形,所以这个四边形邻边相等,根据有一组邻边相等的矩形是正方形,得到该四边形是正方形,故选A.

点评:本题是考查正方形的判别方法,判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念,途经有两种:①先说明它是矩形,再说明有一组邻边相等;②先说明它是菱形,再说明它有一个角为直角. 21、(2003•南宁)下列命题正确的是( ) A、一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 B、对角线互相垂直的四边形是菱形 C、对角线相等的四边形是矩形 D、一组邻边相等的矩形是正方形

考点:命题与定理;平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定。

分析:分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案. 解答:解:A、一组对边平行,另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形,错误; B、对角线互相垂直的四边形也可能是一般四边形,错误; C、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形,错误. D、正确. 故选D.

点评:本题考查特殊平行四边形的判定,需熟练掌握各特殊四边形的特点. 二、填空题(共3小题) 22、(2009•天水)如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,若不增加任何字母与辅助线,要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是 AC=BD或AB⊥BC .

考点:正方形的判定;菱形的判定。 专题:开放型。

分析:根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答. 解答:解:∵在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形

∴要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是:AC=BD或AB⊥BC.

点评:解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理,即有一个角是直角的菱形是正方形. 23、(2004•丰台区)要使一个菱形ABCD成为正方形,则需增加的条件是.(填一个正确的条件即可)

考点:正方形的判定;菱形的性质。 专题:开放型。

分析:根据正方形的判定定理即可解答.

解答:解:要使一个菱形ABCD成为正方形,则需增加的条件是∠A=90°或AC=BD. 点评:解答此题的关键是熟练掌握正方形和菱形的性质.

24、把“直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形”填入下列相应的空格上. (1)正方形可以由两个能够完全重合的 等腰直角三角形 拼合而成; (2)菱形可以由两个能够完全重合的 等腰三角形 拼合而成; (3)矩形可以由两个能够完全重合的 直角三角形 拼合而成. 考点:正方形的判定;菱形的判定;矩形的判定。 分析:根据正方形,菱形及矩形的判定进行分析即可.

解答:解:∵正方形的四边相等,四角为直角,∴正方形可以由两个能够完全重合的等腰直角三角形拼合而成,

∵菱形的四边相等,∴菱形可以由两个能够完全重合的等腰三角形拼合而成, ∵矩形的四角为直角,∴矩形可以由两个能够完全重合的直角三角形拼合而成. 点评:本题考查了图形的拼合. 三、解答题(共6小题) 25、(2005•广州)如图,点D是线段AB的中点,点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点,DE⊥

AC

于点E,DF⊥BC于点F. (1)求证:CE=CF;

(2)点C运动到什么位置时,四边形CEDF成为正方形?请说明理由. 考点:线段垂直平分线的性质;正方形的判定。 专题:证明题。

(2)因为有三个角是直角,且邻边相等的四边形是正方形.所以当CD=AB时,四边形CEDF为正方形. 解答:(1)证明:∵CD垂直平分线AB, ∴AC=CB. 又∵AC=CB,

∴∠ACD=∠BCD. ∵DE⊥AC,DF⊥BC, ∴∠DEC=∠DFC=90° ∵CD=CD,

∴△DEC≌△DFC.(AAS) ∴CE=CF.

(2)解:当CD=AB时,四边形CEDF为正方形.理由如下: ∵CD⊥AB,

∴∠CDB=∠CDA=90°, ∵CD=AB,

∴CD=BD=AD,

∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°, ∴∠ACB=90°,

∴四边形ECFD是矩形, ∵CE=CF,

∴四边形ECFD是正方形.

点评:此题主要考查线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定等知识点. 26、(2004•四川)已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E、F,且BF=CE.

(1)求证:△ABC是等腰三角形; (2)当∠A=90°时,试判断四边形AFDE是怎样的四边形,证明你的结论.

考点:等腰三角形的判定;正方形的判定。 专题:几何综合题。

分析:先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE,从而得到∠B=∠C,即△ABC是等腰三角形; 由已知可证明它是矩形,因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形. 解答:(1)证明:∵DE⊥AC,DF⊥AB, ∴∠BFD=∠CED=90°, 又∵BD=CD,BF=CE, ∴Rt△BDF≌Rt△CDE, ∴∠B=∠C.

故△ABC是等腰三角形;(3分)

∴四边形AFDE是矩形, 又∵Rt△BDF≌Rt△CDE, ∴DF=DE,

∴四边形AFDE是正方形.(8分)

点评:此题主要考查学生对等腰三角形的判定及正方形的判定方法的掌握情况.

27、如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.

(1)求证:四边形ABCD是菱形;

(2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形.

考点:菱形的判定;平行四边形的性质;正方形的判定。 专题:证明题。 分析:(1)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由题意易得△AOE≌△COE,∴∠AOE=∠COE=90°,∴BE⊥AC,∴四边形ABCD是菱形; (2)根据有一个角是90°的菱形是正方形.由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°,∵四边形ABCD是菱形,∴∠BAD=2∠DAO=90°,∴四边形ABCD是正方形. 解答:证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO.

∵△ACE是等边三角形, ∴EO⊥AC(三线合一) ∴四边形ABCD是菱形.

(2)从上易得:△AOE是直角三角形, ∴∠AED+∠EAO=90° ∵△ACE是等边三角形, ∴∠EAO=60°, ∴∠AED=30°

∵∠AED=2∠EAD ∴∠EAD=15°,

∴∠DAO=∠EAO﹣∠EAD=45° ∵四边形ABCD是菱形. ∴∠BAD=2∠DAO=90°

∴平行四边形ABCD是正方形.

点评:此题主要考查菱形和正方形的判定. 28、(2010•安顺)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM 的平分线,CE⊥AN,垂足为点E, (1)求证:四边形ADCE为矩形;

(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.

考点:矩形的判定;角平分线的性质;等腰三角形的性质;正方形的判定。 专题:证明题;开放型。 分析:(1)根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形,已知CE⊥AN,AD⊥BC,所以求证∠DAE=90°,我样可以证明四边形ADCE为矩形.

(2)根据正方形的判定,我们可以假设当AD=BC,由已知可得,DC=BC,由(1)的结论可知四边形ADCE为矩形,所以证得,四边形ADCE为正方形. 解答:(1)证明:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC, ∴∠BAD=∠DAC,

∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线, ∴∠MAE=∠CAE, ∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=又∵AD⊥BC,CE⊥AN, ∴∠ADC=∠CEA=90°, ∴四边形ADCE为矩形.

(2)解:给出正确条件即可.

例如,当AD=BC时,四边形ADCE是正方形. ∵AB=AC,AD⊥BC于D, ∴DC=BC, 又∵AD=BC,

∴DC=AD,

由(1)四边形ADCE为矩形, ∴矩形ADCE是正方形.

点评:本题是以开放型试题,主要考查了对矩形的判定,正方形的判定,等腰三角形的性质,及角平分线的性质等知识点的综合运用. 29、(2009•湖州)如图:已知在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.

(1)求证:△BED≌△CFD; (2)若∠A=90°,求证:四边形DFAE是正方形.

180°=90°,

考点:正方形的判定;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质。

(2)利用(1)的结论可知,DE=DF,再加上三个角都是直角,可证出四边形DFAE是正方形. 解答:证明:(1)∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°.(1分) ∵AB=AC, ∴∠B=∠C.(1分) ∵D是BC的中点, ∴BD=CD.(1分) ∴△BED≌△CFD.(1分) (2)∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠AED=∠AFD=90°. ∵∠A=90°,

∴四边形DFAE为矩形.(2分) ∵△BED≌△CFD, ∴DE=DF.

∴四边形DFAE为正方形.(2分)

点评:本题利用了全等三角形的判定和性质以及矩形、正方形的判定. 30、(2006•济南)如图,在Rt△ABC与Rt△ABD中,∠ABC=∠BAD=90°,AD=BC,AC,BD相交于点G,过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E,过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F,AE,BF相交于点H.

(1)图中有若干对三角形是全等的,请你任选一对进行证明;(不添加任何辅助线) (2)证明:四边形AHBG是菱形;

(3)若使四边形AHBG是正方形,还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件?

你写出这个条件.(不必证明)

考点:正方形的判定;全等三角形的判定与性质;菱形的判定。

专题:几何综合题。 分析:(1)可根据已知条件,或者图形的对称性合理选择全等三角形,如△ABC≌△BAD,利用SAS可证明.

(2)由已知可得四边形AHBG是平行四边形,由(1)可知∠ABD=∠BAC,得到△GAB为等腰三角形,▱AHBG的两邻边相等,从而得到平行四边形AHBG是菱形. 解答:(1)解:△ABC≌△BAD. 证明:∵AD=BC,∠ABC=∠BAD=90°,AB=BA, ∴△ABC≌△BAD(SAS).

(2)证明:∵AH∥GB,BH∥GA, ∴四边形AHBG是平行四边形. ∵△ABC≌△BAD, ∴∠ABD=∠BAC. ∴GA=GB.

∴平行四边形AHBG是菱形.

范文四:正方形的判定 投稿:覃蚿蛀

9上课题:正方形的判定,

教学目标:1.熟记正方形的判定方法,回判定一个四边形是正方形.

2.提高学生分析问题,解决问题的能力.

教学重点: 正方形的判定方法.

教学难点:平行四边形、矩形、菱形、正方形的综合应用。 教学过程: 一.知识梳理

1. 叫正方形。 2.由定义得正方形的判定方法:

(1) 有 的矩形-叫正方形。 (2) 有 的菱形-叫正方形。 (3) 既是 又是 的四边形叫正方形。

二典型例题:

例1、如图,已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是∠C的平分线,交AB于D,作DE

A

⊥BC,DF⊥AC,垂足为E、F。 求证:四边形DECF是正方形

CB E

例2:以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE,四边形ADFE是平行

D

F

四边形。

(1)当∠BAC满足____时,四边形ADFE是矩形。

(2)当∠BAC满足____时,平行四边形ADFE不存在。 (3)当△ABC分别满足什么条件时,平行四边形是菱形?是正方形?

D

B

例3、已知,如图,E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点,AF、BG、CH、DE分别两两相交于点A′B′C′D′。

A H D

求证:四边形A′B′C′D′是正方形。

三巩固练习

1、 已知,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列能判断它是正方形的条件

的是:----------------------------------------------------------------------------------------------( ) A、AO=BO=CO=DO AC⊥BD B、AC=BC=CD=DA C、AO=CO,BO=DO,AC⊥BD D、AB=BC CD⊥DA

E

B′

C′A′

G

B F C

2四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开,大会会标如图1所示。它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积为13.每个直角三角形两直角边的和为5,求中间小正方形的面积。

1

3、已知:在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F。 求证:(1)△BDE≌△CDF

(2)∠A=90°时,四边形AEDF是正方形

四绝对挑战

①,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连结CP, 试说明:四边形CODP的形状。 ②如果题目中的矩形变为菱形 结论应变为什么?试说明。

③如果题目中的矩形变为正方形, 结论又应变为什么?

五 反馈与归纳

(1)正方形是怎样的平行四边形?,有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形;

(2)正方形是怎样的矩形?有一组邻边相等的矩形;

(3)正方形是怎样的菱形?有一个角是直角的菱形;

(4)明确四者之间的关系!!!!

(5)判定一个平行四边形是正方形,还应具备什么条件?方法1 (6)判定一个矩形是正方形还应具备什么条件?方法2; (7)判定一个菱形是正方形还应具备什么条件?方法3; (8)小结:判定正方形的方法有三种 六布置作业

评价与 反思

范文五:正方形判定 投稿:叶糄糅

在数学的地天,重里的要不是我知道什么,们而 是们我么怎道知。—— 毕达拉斯哥

方形是特的殊行四平边形 ,是也殊特的矩形,也是 特的殊形菱。正方 的性形质=

形方的定

你觉

得么什样的 四形是正边方呢形?

1

要、一个使形成为正方形需

菱增加的条件是 (填上一条个件即可)

、要使一2矩个成为形正形方 需加的添件条 是填(上一个件条可即

有矩组一邻相等边

行四平形边

形方

个角一是直

菱角

判断对

错 . 1边四相的四边形是正方等形2 四.角等的四边相形正是形 方.对角线垂直3平行四的边是形方正 形.对角4线相垂直互分且相平的等边四形是正方 形5 四.条边等相且有一角是直角的个边四形是 正形方

练:习在△ABC,中BAAC,=是BD的C点,DE⊥A中B

,DFA⊥C,足分垂是别,E.F1) 试说明DE:DF

2=)添加只个一件,使四条形边DFA是E方形. 正你至请少写两种不出的添同加法.(方另不外 加辅助线添

)E B

A

FDC

演 稿

示1

23 后 等

打码赚

htt钱p://ww.dwmazahuaqnian.3com 嶅夻幷

:例在方形A正CB中,点AD`,B,C`, `` 分别是ABD,C,CDBDA的中点,, 边形A四``B`CD是正方形`吗为什?么?

A`DD

`A

C

`

BB

`

形方BCA中D点A,`B,`,`C,D分`别在A BBC,CD,,D上A,且A`=AB`B=CC =`DD`.边四形`B`C`D`是A正形方吗? 什么?

为练

:习方正A形CD中B对,角线A和BDC 于点交,点AO`,B,``CD,分`别AO,B O是CO,,D的中点O,断四边判A形`BC` `D的形状`说。明原

A因

` DA` D

O

B` BC

`C

正方形BAD中C对角,线CA和D交B于O, 点点A`B,,C``D,分`在别A、BDC, 且上AA`=BB=`C`=DC`D.判 断边四形A`BC`D``形状的

A A D``D

O BB C`

`C

习:练形矩ABDC,四个中内角平分的 线成四组边形MFNE,判 断边四形EMFN的状形并,明说因原

AN EM

D

F

B

C

范文六:正方形的判定 投稿:武顕顖

学习目标:1.知道正方形的判定方法,会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的

判定条件进行有关的论证和计算。

2.经历探究正方形判定条件的过程,发展学生初步的综合推理能力,主 动探究的学习习惯,逐步掌握说理的基本方法。

3.理解特殊的平行四边形之间的内在联系,培养学生辩证看问题的观点。 重点:掌握正方形的判定条件。

难点:合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算。 一、知识链接:

二、探究正方形的判定方法

我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形,那么思考一下,它们之间有怎样的包含关系?请填入右图中。

1、怎样判断一个四边形是平行四边形?

历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人精细。-------培根。 第11页2、怎样判断一个四边形是矩形?

3、怎样判断一个四边形是菱形?

4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形?

议一议:你有什么方法判定一个四边形是正方形?

小结:正方形的判定方法

三、学以致用

例1. 判断下列命题是真命题还是假命题?并说明理由。

(1) 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形; (2) 四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形; (3) 对角线互相垂直平分的四边形是正方形; (4) 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (5) 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

例2. 已知:如图,△ABC中,∠C=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F.求证:四边形CFDE是正方形.

四、目标回归

D

F

五、随堂检测 1.判断

① 正方形一定是矩形。( ) ② 正方形一定是菱形。( ) ③ 菱形一定是正方形。( ) ④ 矩形一定是正方形。( ) ⑤ 正方形、矩形、菱形都是平行四边形。( )

2.四条边都相等的四边形一定是( )

A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.以上结论都不对

3.下列判断中正确的是( )

A.四边相等的四边形是正方形 B.四角相等的四边形是正方形 C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

4.如图,将一张长方形纸片对折两次,然后剪下一个角,打开.如果要剪出一个正方形,那么剪口线与折痕成( ) A.22.5角

B.30角 C.45角 D.60角

5.在平行四边形、菱形、矩形、正方形中,能够找到一点,使该点到各边距离相等的图形是( )

A.平行四边形和菱形 B。菱形和矩形 C.矩形和正方形 D。菱形和正方形

6.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是( )

(A)AC=BD,AB∥CD,AB=CD (B)AD∥BC,∠A=∠C (C)AO=BO=CO=DO,AC⊥BD (D)AO=CO,BO=DO,AB=BC

7.如图,过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线,分别相交于E、F、G、H四点,则四边形EFGH为( )

A.平行四边形 B、矩形 C、菱形 D. 正方形

历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人精细。-------培根。 第12页

范文七:6正方形的形式与判定 投稿:方帄帅

四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形.

要点诠释:既是矩形又是菱形的四边形是正方形,它是特殊的菱形,又是特殊的矩形,更为特殊的平行四边形,正方形是有一组邻边相等的矩形,还是有一个角是直角的菱形.

要点二、正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行; 2.角——四个角都是直角;

3.对角线——①相等,②互相垂直平分,③每条对角线平分一组对角;

4.是轴对称图形,有4条对称轴;又是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心.

要点诠释:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质,其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.

要点三、正方形的判定

正方形的判定除定义外,判定思路有两条:或先证四边形是菱形,再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形);或先证四边形是矩形,再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形)

要点四、特殊平行四边形之间的关系

或者可表示为:

要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

(1)顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. (2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. (3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. (4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释:新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. (1)若原四边形的对角线互相垂直,则新四边形是矩形. (2)若原四边形的对角线相等,则新四边形是菱形. (3)若原四边形的对角线垂直且相等,则新四边形是正方形.

1、如图,在一正方形ABCD中.E为对角线AC上一点,连接EB、ED, (1)求证:△BEC≌△DEC;

(2)延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°.求∠AFE的度数.

答案与解析 举一反三

【思路点拨】先由正方形的性质得出CD=CB,∠DCA=∠BCA,根据SAS证出△BEC≌△DEC,再由全等三角形的对应角相等得出∠DEC=∠BEC=70°,然后根据对顶角相等求出∠AEF,根据正方形的性质求出∠DAC,最后根据三角形的内角和定理即可求出∠AFE的度数. 【答案与解析】

(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴CD=CB,∠DCA=∠BCA, ∵CE=CE, ∴△BEC≌△DEC. (2)解:∵∠DEB=140°, ∵△BEC≌△DEC, ∴∠DEC=∠BEC=70°, ∴∠AEF=∠BEC=70°, ∵∠DAB=90°, ∴∠DAC=∠BAC=45°,

∴∠AFE=180°-70°-45°=65°. 答:∠AFE的度数是65°.

【总结升华】本题主要考查对正方形的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,对顶角等知识点的理解和掌握,能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键.

【变式1】已知:如图,E为正方形ABCD的边BC延长线上的点,F是CD边上一点,且CE=CF,连接

DE,BF. 求证:DE=BF.

答案与解析

【答案】

证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴BC=DC,∠BCD=90° ∵E为BC延长线上的点, ∴∠DCE=90°, ∴∠BCD=∠DCE. 在△BCF和△DCE中,

∴△BCF≌△DCE(SAS), ∴BF=DE.

【变式2】如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,连接BE,则∠AEB的度数为( ) A.10° B.15° C.20° D.12.5°

答案与解析

【答案】B;

提示:根据等边三角形和正方形的性质可知AB=AE,∴∠BAE=90°+60°=150°, ∴∠AEB=(180°-150°)÷2=15°.

2、如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连接AG,点E、F分别在AG上,连接BE、DF,∠1=∠2,∠3=∠4.

(1)证明:△ABE≌△DAF; (2)若∠AGB=30°,求EF的长.

答案与解析 举一反三

【思路点拨】要证明△ABE≌△DAF,已知∠1=∠2,∠3=∠4,只要证一条边对应相等即可.要求EF的长,需要求出AF和AE的长.

【答案与解析】

(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=AB,

∵∠1=∠2,∠3=∠4, ∴△DAF≌△ABE.

(2)解:∵四边形ABCD是正方形,∠AGB=30°, ∴AD∥BC,

∴∠1=∠AGB=30°, ∵∠1+∠4=∠DAB=90°, ∵∠3=∠4, ∴∠1+∠3=90°,

∴∠AFD=180°-(∠1+∠3)=90°, ∴DF⊥AG,

∴DF= ∴AF=

∵△ABE≌△DAF, ∴AE=DF=1, ∴EF=

【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等,是有关四边形中证边角相等的最常用的方法.而正方形的四条边相等,四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件.

【变式】如图,A、B、C三点在同一条直线上,AB=2BC,分别以AB,BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN,EC.求证:FN=EC.

答案与解析

【答案】

证明:在正方形ABEF中和正方形BCMN中, AB=BE=EF,BC=BN,∠FEN=∠EBC=90°,

∵AB=2BC,即BC=BN=

∴BN=,即N为BE的中点,

∴EN=NB=BC, ∴△FNE≌△ECB, ∴FN=EC.

类型二、正方形的判定

3、如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC

、∠ABC的平分线相交于点D,且DE

⊥BC于点E,DF⊥AC于点F,那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由.

答案与解析 举一反三

【答案与解析】

解:是正方形,理由如下: 作DG⊥AB于点G.

∵ AD平分∠BAC,DF⊥AC,DG⊥AB, ∴ DF=DG.

同理可得:DG=DE.∴ DF=DE. ∵ DF⊥AC,DE⊥BC,∠C=90°, ∴ 四边形CEDF是矩形. ∵ DF=DE.

∴ 四边形CEDF是正方形.

【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形.(2)

证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形.

【变式】如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB, CF⊥OF于点F.

(1)求证:四边形CDOF是矩形;

(2)当∠AOC多少度时,四边形CDOF是正方形?并说明理由.

答案与解析

【答案】

(1)证明:∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB(已知), ∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF, ∵∠AOC+∠BOC=180°, ∴2∠COD+2∠COF=180°, ∴∠COD+∠COF=90°, ∴∠DOF=90°;

∵OA=OC,OD平分∠AOC(已知),

∴OD⊥AC,AD=DC(等腰三角形的“三线合一”的性质), ∴∠CDO=90°, ∵CF⊥OF, ∴∠CFO=90° ∴四边形CDOF是矩形;

(2)当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形;理由如下: ∵∠AOC=90°,AD=DC, ∴OD=DC;

又由(1)知四边形CDOF是矩形,则 四边形CDOF是正方形;

因此,当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.

类型三、正方形综合应用

4、如图,在平面直角坐标系

中,边长为(为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,轴正半轴上运动(轴的正半轴、

轴的正半轴都不包含原点O),顶点C、D

顶点A在轴正半轴上运动,顶点B在都在第一象限.

(1)当∠BAO=45°时,求点P的坐标;

(2)求证:无论点A在轴正半轴上、点B在轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上;

【答案与解析】

解:(1)当∠BAO=45°时,∠PAO=90°,

在Rt△AOB中,OA=AB=,在Rt△APB中,PA=AB=.

∴ 点P的坐标为

(2)如图过点P分别作轴、

轴的垂线垂足分别为M、N,

则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°, ∵∠BPN+∠BPM=∠APM+∠BPM=90° ∴∠APM=∠BPN,又PA=PB, ∴ △PAM≌△PBN, ∴ PM=PN, 又∵ PN⊥ON,PM⊥OM

于是,点P在∠AOB的平分线上.

【总结升华】根据题意作出辅助线,构造全等的直角三角形是解题关键.

巩固练习

一.选择题

1. 正方形是轴对称图形,它的对称轴共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

2. 下列说法中,不正确的是( )

A. 有三个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

3. 如图,正方形ABCD的边长为4

,则图中阴影部分的面积为( )

答案与解析

A. 6 B. 8 C. 16 D. 不能确定

4. 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点,所得的四边形是 ( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形

5.(2012•天津)如图,在边长为2的正方形ABCD中,M为边AD的中点,延长MD至点E,使ME=MC,以DE为边作正方形DEFG,点G在边CD上,则DG的长为( ) A.

B.

C.

D.

6.(2012•沈阳)如图,正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中的等腰三角形有( ) A.4个 B.6个 C.8个 D.10个

二.填空题

7.若正方形的边长为,则其对角线长为______,若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线,则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于______.

8. 如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,若不增加任何字母与辅助线,要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是_________.

9. 如图,将边长为2个三角形重叠部分的面积是1

的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△

,则它移动的距离

等于____

.

,若两

10. 如图,边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于E、F,则阴影部分的面积 是_______.

11. 如图.边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A顺时针旋转45°,则这两个正方形重叠部分的面积是______.

12.(2012•宜宾)如图,已知正方形ABCD的边长为1,连接AC、BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE=_______.

三.解答题

13.已知:如图,正方形ABCD中,点E、M、N分别在AB、BC、AD边上,CE=MN,∠MCE=35°,求∠ANM的度数.

14.已知:如图,E是正方形ABCD对角线AC上一点,且AE=AB,EF⊥AC,交BC于F.求证:(1)BF=EF; (2)BF=CE.

15.如图,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后,得到正方形EFCG,EF交AD于H,求DH的长.

答案与解析

【答案与解析】 一.选择题

1.【答案】D;

【解析】正方形的对称轴是两对角线所在的直线,两对边中点所在的直线,对称轴共4条. 2.【答案】B;

【解析】对角线互相平分且相等的四边形是矩形. 3.【答案】B;

【解析】阴影部分面积为正方形面积的一半. 4.【答案】A; 5.【答案】D;

【解析】利用勾股定理求出CM= 6.【答案】C; 二.填空题 7.【答案】

,2∶1 ;

.

,即ME的长,有DM=DE,所以可以求出DE=

,进而得到DG的长.

【解析】正方形ACEF与正方形ABCD的边长之比为 8.【答案】AC=BD或AB⊥BC;

【解析】∵在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形

∴要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是AC=BD或AB⊥BC. 9.【答案】1; 【解析】移动距离为 所以 10.【答案】1;

.

,重叠部分面积为CE×

,所以

,得

【解析】由题可知△DEO≌△BFO,阴影面积就等于三角形BOC面积.

11.【答案】;

【解析】 12.【答案】; ,重叠部分面积为.

【解析】过E作EF⊥DC于F,∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,∵CE平分∠ACD交BD于点E,∴EO=EF, ∵正方形ABCD的边长为1,∴CO=CF=,DF=EF=,∴DE=.

三.解答题

13.【解析】

解:作NF⊥BC于F.

∵ABCD是正方形,

∴CD=BC=FN

则在Rt△BEC和Rt△FMN中,∠B=∠NFM=90°,

∴Rt△BEC≌Rt△FMN

∴∠MNF=∠MCE=35°

∴∠ANM=90°-∠MNF=55°

14.【解析】

证明:(1)连结AF,

在Rt△AEF和Rt△ABF中,

∵AF=AF,AE=AB,

∴Rt△AEF≌Rt△ABF,

∴BF=EF;

(2)∵正方形ABCD

∴∠ACB=∠BCD=45°,

在Rt△CEF中,

∵∠ACB=45°,

∴∠CFE=45°,

∴∠ACB=∠CFE,

∴EC=EF,

∴BF=CE.

15.【解析】

解:如图,连接CH,

∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°, ∴∠BCF=30°,则∠DCF=60°,

在Rt△CDH和Rt△CFH中,

∴Rt△CDH≌Rt△CFH,

∴∠DCH=∠FCH=∠DCF=30°,

在Rt△CDH中,DH=,CH=2,CD=, ∴DH=.

范文八:菱形判定,正方形 投稿:曾盞盟

18.2.2菱形的判定

一、自主预习(10分钟)

1.复习

(1)菱形的定义:

(2)菱形的性质1

性质2

(3)运用菱形的定义进行菱形的判定,应具备几个条件?

2.【问题】要判定一个四边形是菱形,除根据定义判定外,还有其它的判定方法吗?

3.(1)求证: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

(2) 求证:四条边相等的四边形是菱形

菱形判定方法1

菱形判定方法2

二、合作解疑(25分钟))

1.判断题,对的画“√”错的画“×”

(1).对角线互相垂直的四边形是菱形( )

(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形( )

(3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形( )

(4).对角线相等的四边形是菱形( )

2.已知:如图

ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F. 求证:四边形AFCE是菱形.

3.如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分ABCD是菱形吗?

求证:(1)四边形ABCD是平行四边形

(2) 过A作AE⊥BC于E点, 过A作AF⊥CD于F.用等积法说明BC=CD.

(3) 求证:四边形ABCD是菱形.

综合应用拓展

如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,P,Q分别是AD,BC,BD,

AC的中点.

求证:MN与PQ互相垂直平分.

三、限时检测(10分钟)

1.填空:

(1)对角线互相平分的四边形是 ;

(2)对角线互相垂直平分的四边形是________;

(3)对角线相等且互相平分的四边形是________;

(4)两组对边分别平行,且对角线 的四边形是菱形.

2.画一个菱形,使它的两条对角线长分别为6cm、8cm.

3.如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,DE和CE相交于E,求证:四边形OCED是菱形。

正方形的性质及判定 学案

学习目标:掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算.

1、 知识回顾:____________________________叫做平行四边形,

2、 ____________________________叫做矩形,____________________________叫做菱形.

3、正方形定义:__________________________________________的平行四边形叫做正方形. .....

4、由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.正方形有如下性质:

边: ;

角: ;

对角线: .

【强调】正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质.

例题讲解:例1、正方形与平行四边形共同具有的性质为( )

A. 对角线平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分

例2、如图,在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使CE=AC,连结AE交

CD于F,则∠E= .

例3、如图,E为正方形ABCD内一点,且△EBC是等边三角形,求∠EAD、∠ AED、

∠ECD的度数.

随堂练习:

1、正方形具有而菱形没有的性质是( )

A、对角线互相平分 B、每条对角线平分一组对角 C、对角线相等 D、对边相等

2、正方形是轴对称图形,它的对称轴有( )

A、 1条 B、 2条 C、 4条 D、 无数条

3、如图所示,以正方形ABCD中AD边为一边向外作等边ΔADE,则∠AEB=( )

A、10° B、15° C、20° D、12.5°

4、如图,正方形ABCD中,∠DAF=25°,AF交对角线BD于点E,那么∠BEC等于( )

A、 45° B、60° C、70° D、75°

5、正方形的边长为4cm,则周长为 6、正方形的对角线与一边的夹角为 7、一个正方形的对角线长3cm,则它的面积为8、若正方形的面积为4

,则它的边长为

,对角线长为 .

9、以线段AB的两个端点A、B为顶点作位置不同的正方形,一共可作 个.

10、如图所示,E为正方形ABCD外一点,AE=AD,∠ADE=75°,则∠AEB= .

五、随堂检测:

1、如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是 ( )

A. 3∶4 B. 5∶8 C. 9∶16 D. 1∶2

2. 如图,在正方形ABCD内,以AB为边作等边ΔABE,连接DE且延长交BG于G,求∠EGB的度数.

3. 如图,已知点E为正方形ABCD的边BC上一点,连结AE,过点D作DG⊥AE,

垂足为G,延长DG交AB于点F. 求证:BF=CE.

范文九:正方形的判定定理1、2 投稿:顾鈊鈋

正方形的判定定理1、2

教学目的:

1、理解并掌握正方形的定义;它与矩形、菱形有什么关系?会用这些定理进行有关的论证和计算;

2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力;

3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。

教学重点:正方形的性质定理1、2。

教学难点:定理的证明方法及运用

教学程序

一、复习创情导入

1,平行四边形的性质和判定有哪些?

2,矩形的性质和判定有哪些?

3,菱形的性质和判定有哪些?那么正方形呢?

二、授新

1、提出问题

(1)正方形的定义是什么?正方形和矩形、菱形有什么关系?可以根据什么判定正方形?

(2)性质定理1、2的内容是什么?(正方形的角和边、对角线有什么性质?)

(3)例1的证明运用了哪些性质和判定?

2、自学质疑:自学课本P93-95页,完成预习题,并提出疑难问题。

3、分组讨论;讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。

4、反馈归纳

(1)定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形

(2)跟踪练习:1 A,根据:有一组邻边相等的矩形。B,木板的根据,雷同。

(3)性质定理1的内容:正方形的四个角都是直角,四条边都相等。

证明方法:邻边相等、有一个角是直角----四个角都是直角、四条边都相等(菱形、矩形)

(4)性质定理2的内容:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。

证明方法:从“矩形、菱形”的性质可得。

(5)小结:对比“矩形、菱形、正方形”正方形具备“矩形、菱形的一切性质”

5、尝试练习

(1)跟踪练习1---4;

(2)求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

已知:

求证:

证明:

解题制导:运用三种图形的性质,即可。

(3)达标练习:1---5。

6、深化创新

正方形的定义:

正方形有哪些性质,与矩形、菱形有何关系?

正方形可如何判定?

7、推荐作业

熟记定义、定理、判定;

完成练习卷;

预习:

(1)说出正方形三种判定方法;

(2)例2、例3的解答中,运用了哪些性质或判定?

预习思考题

(1)正方形的定义是什么?正方形和矩形、菱形有什么关系?可以根据什么判定正方形?

(2)性质定理1、2的内容是什么?(正方形的角和边、对角线有什么性质?)

(3)例1的证明运用了哪些性质和判定?

跟踪练习题

(1)有一个角是直角,并且有一组邻边相等的四边形是正方形( )

(2)正方形既不是矩形,又不是菱形。( )

(3)正方形的对角线 。

(4)若正方形的边长为1,则正方形的对角线为 ,面积为 , 若正方形的对角线为1,则正方形的边长为 面积为 。

创新练习题

(1)已知:矩形的长和宽分别为9cm和4cm,是它面积4倍的正方形的对角线长是( )

(2)在下列四个图形中,( )图形内的一点到四个顶点的距离相等。

⑴平行四边形 ⑵矩形 ⑶菱形 ⑷正方形

(A) ⑴ ⑵ (B) ⑵ ⑶ (C) ⑶ ⑷ (D) ⑵ ⑷

达标练习题

(1)如果正方形的对角线长为3cm ,那么它的边长为 ,面积为 ,如果正方形的对角线长为acm ,那么它的边长为 ,面积为 。

(2)以面积为12cm2 的正方形的对角线为边长的正方形的面积为 。

(3)已知正方形的一条边长为2cm ,求这个正方形的周长、对角线和正方形的面积。

(4)正方形的对角线和它的边所成的角是多少度?为什么?

(5)已知正方形的一条对角线为4cm ,求它的边长和面积。

综合应用练习

(1)如图:正方形ABCD的边长为,E为边AD上的一点,且AE=1,求∠DBE的度数。

(2)已知:E是正方形ABCD内一点,并且EA=AB=BE,求∠DBE的度数。

推荐作业

1、熟记定义、定理、判定;

2、完成练习卷;

3、预习:

(1)说出正方形三种判定方法;

(2)例2、例3的解答中,运用了哪些性质或判定?

范文十:正五边形判定方法的探究 投稿:李擉擊

2 0 1 3 年第 1 期

数 学教学

1 - 2 5

正 五边 形 判 定方 法 的探 究

3 1 5 3 0 0 浙江省 慈溪实验 中学 华漫天

今年 暑假, 笔者有 幸聆听 了潘 小梅老 师的  讲座 《 初 中数 学综合 与实践研 究》, 其 中提 到  了一个课例 《 正五边 形的判定方 法》, 获益 匪  浅.潘 老 师 从正 三 角形 与 正方 形 的判 定定 理  出发, 进 而提 出: 我们 知道, 五条边相等且 五个  内角 也 相 等 的五 边 形 是 正 五 边 形 , 那 么, 能 否  把其 中的条件弱化 , 得 出 正 五 边 形 的 判 定 方 法  呢 ?潘老师 的结论 是: 五条边相 等且三条对角  线相等的五边 形是正五边形 或者五个 内角相等

且三条对角线相等 的五边形是正五边形.   潘老师 是从对角线 的角度 去探 究 的, 笔者

想 ,能否 直 接 弱 化 其 中 的边 角 条 件 呢 ? 于 是 有  了下 面 的思 考 过 程 .

先弱 化 内角条 件, 很 显然, 有 五条 边相 等  且 四个 内角相 等 的五边形 是正五边 形, 如果把  相 等 内角个 数减 少为三 个 呢 ?答 案是 肯定 的.

可分下列两种情形:

而  _ O P Q=

该是一道错题, 但 能提 出 问题 应 该 是 了不 起 的 ,   提 出 问题 往 往 比解 决 问题 更 难 .   至 此, 对 本题 的探 究还在 继续 , 有 的同学

t 3 ( 0 ≤   ≤   3   /

探究5 如图6 ,四 面 体 ABCD 是 边 长 为  2的 正 四面 体 , 设 点 B 到 垂 直 于 底 面 BCD 的

在 思考, 再添 加什么样 的条件 就 能使答 案确定

了呢 ?

截面 / k O PQ的距离 为 t , 截面 右侧 的图形 的体  积为 f ( t ) . 试求函数 ㈤ 的解析式 .

图6

当 问题提 出来 以后, 很多 同学马上投入 到  紧张 的探 究之 中, 大 约过 了 1 5 分钟左 右, 有几  位 同学做 出来 了, 但结 果却 不一样 , 有 的 同学  在 下 面 小 声 的 嘀 咕 着 :“ 我 没 有解 错 呀” ,“ 为  什 么 我 们 的 答 案 不 一 样 呢 ?” ,“ 难 道 是 题 目错

了 ?”

为 了 能达 到 探 究 的 目的 , 笔 者 进 行 了适 时  的 引 导 :我 们 先 来 分 析 一 下 实 际 上 , 垂 直 于

底面且 到点 B 的距离为 t 的截面应该是不 固定

的, 因此函数 f ( t ) 是不确定的, 因此本题是没

有确 定答 案 的.从命 题学 的角度来 说, 此题 应

最 后 两个 问题 是在 老 师 的引 导下 学生 自   己提 出的, 这 样不仅可 以培养 学 生提 出问题 的  能力, 还 能 提 高 学 生 类 比能 力 .上 述 两

问题 不  只是平面 到空 间的简单类 比, 而且在 问题解决  过程 中会 遇到不少 新 问题, 如面积计算 到体积  计算 的转 化, 特 别是 最后一 个 问题 的提 出, 对  学 生 的探 究 能 力 要 求 较 高 , 而 这 些 问题 的解 决  又有利于提高学生的探究能力和创 新意识等 .   从 以上 的探 究过 程 中, 还 可 根 据 学 生 的  实 际情况 , 继 续 设 计 一 些 问题 探 究 , 如 改 变 截  面/ X O PQ的位 置等 , 这 些可 以让 学 生在课 余  时 间加 以解 决 .   参 考 文 献  f 1 ]刘 瑞 美. 对 课 本 习 题 的数 学 探 究 个  案『 J ] . 数学教学, 2 0 1 1 ( 7 ) : 1 4 — 1 7 .   f 2 1黄 元 华. 圆锥 曲线 的一 组 生 成 方 式  道 课本 习题 引发 的探 究性学 习   . 数 学  通报 , 2 0 1 1 ( 6 ) :2 4 —2 6 .   『 3 1 魏俊. 课 本例题 的变 式设计及 思考  .

中学数学 教学参考 , 2 0 1 1 ( 7 ) : 5 0 — 5 1 .

1 — 2 6

数 学教 学

2 0 1 3 年第 1 期

情形一: 相等的三个 内角顺次相邻.   如图 l 。 在五边 形 A BCDE中,   B = BC   CD = DE = EA, 且 B =  C =   D, 则  五边 形  B DE是 正 五 边 形 .   证 明 : 连 结 AD,并 延 长 AB、D  交 于  点  , 由 已知 即得 BM =CM , 由于  B=CD,

所以  M = DM ,则A D/ / B C,即 四 边 形

A BC D 是 等 腰 梯 形,故 四边 形 AB CD 内接  于 圆. 同理,四边 形 BC  E也 内接 于 圆, 所  以 五 边 形 B  D  内 接 于 圆,于 是 五 边 形  ABCD  是 正 五 边 形 .   情 形 二: 相 等 的三 个 内角 只有两 个是相  邻的.   如 图2 ,在 五 边 形 BC DE 中,A B :

B  :   D = D E = E , 且 A =   C =  D ,

图3

图4

若 ZB = ZE = 1 0 8 。 ,则 利 用 图 4 可 得  △AB   与 △  D 均 为 等 腰 三 角 形 ,且 顶 角

均为 1 0 8 。 . 若令五边形边长为a ,由黄 金 等  腰 三 角 形性 质 得 C : AD =   :   0 ,即

、 / 5— 1

:  D : C D=1 : 1 :   金等腰三角形 , 所 以

, 故 AA CO是黄  D:3 6 。 , 则Z BA E:

则 五 边 形 ABCDE 是 正 五边 形 .

1 0 8 。 , 即有 三个 角相 等, 所 以五边形 B  DE   是正五边形.   接下来弱化边 的条 件, 易证有 五个

内角相  等 且 四 条 边 相 等 的五 边 形 是 正 五边 形 , 同样 可  以把 四条边弱化为三条边, 即:   定理 2 五个 内角相等且三 条边相 等的五  边 形 是 正 五边 形 .   证明: 分两种情形.   ( 1 ) 若 相等 的三条边顺 次相邻, 如 图4 , 在  五 边 形 AB DE 中,   A =  B =   C=  D =

ZE, 且  B = BC =   D, 连 结  、   D,于

= … = ,   … _ f   . 一 一

D ’

图1

图2

证 明:   连 结  、BD,易 得 △   E   △ BD, 则  AEB =   CDB, BE = BD, 故  ED =   BDE, 于 是  ED =  CDE.同  理  BC= Z BCD, 即五个角都相等, 所 以五  边 形  BCDE 是 正 五边 形 . 于是得到:   定理 1 五条边相等且 三个 内角也相等 的  五 边 形 是 正 五边 形 .   仅有 两个 内角 相等 且五条 边相 等 的五边  形不 一定 是正五 边形, 可 以构造 反例 , 如图3 ,   △A BE是正三角 形, 四边形 B  D   是正方形,   显 然 满 足  B = BC = CD = DE = EA, 且  D. 但 五边 形  B DE 不是 正 五 边 形 .   利 用 定理 1 , 不难得到:

是 四边 形 B  D是等 腰梯 形 , 由题 意 知五 边  形五个 内角均为 1 0 8 。 , 所 以Z A DC=7 2 。 , 易得  B=3 6 。 ,故  D =7 2 。 ,即  DC :

D, 所 以  D = AC, 而  EDA = 1 0 8 。 一   D  = 3 6 。 = ZBCA. 因 此 △DE   △ B ,所 以 AE =   B,   D = BC,故 五  边 形 ABG   E 是 正 五边 形 .

( 2 )若 相 等 的三 条 边 仅 两 边 相 邻 , 如 图  5 , 在 五 边 形  B DE 中 ,   A=  B=  C=

D =   E,且  B = AE : CD,分 别 延 长  B、AE 交 直 线  D 于 M 、Ⅳ ,则  B  =   M  B = 7 2 。 , 得  M = 3 6 。 .同理 N = 3 6 。 ,

推 论 1 五 条 边相 等 且有 两 个 内角 等 于  1 0 8 。 的 五 边 形 是正 五 边 形 .

事 实 上 ,如 图 4 ,若 Z B =  C = 1 0 8 。 ,连  结  、   D,由前 面 证 明 可 知 四 边 形 . A B D

是等腰 梯形, 于是  DC = 7 2 。 , 同时 Z BC A   BA C=3 6  ̄ , 得  D=7 2 。 , 于是  D   ACD, 则  C = AD, 故 △ B   丝△ ED,   所 以Z B = Z E,即 有 三 个 内角 相 等,由定

=   =

即 △ MⅣ 是 顶 角 为 1 0 8 。 的 等 腰 三 角 形,   —   B = AN — AE  于是 M = B   =EⅣ = DⅣ, 不妨令 B :

且  M =  Ⅳ,则

E = CD : a , C M = B M =  Ⅳ = D N = b ,

则 由 黄 金 等 腰 三 角 形 性 质 得  =   ≠   :

( 下转 第 1 — 4 1 页)

理1 可 知 五 边 形

DE 是 正 五边 形 .

2 0 1 3 年第 1 期

数 学教 学

个 整 圆 ,如 图 1 1 所 示 ,则 很 显 然 点 ( = ) 到点( = ) 1   的运 动 路 线 是线 段 O01 .

最 后 一 段 是 以 点  为 圆 心 , 1 0为 半 径 , 圆 心 角

为9 0 。 的弧, 从而得 出答案 .   9 0   + 解:  点 ( = ) 所 经 过 的路 线 长 : 9 — 0+

3 6

×

bU

2 1 r× 1 0= 1 2 7 r .

故选 f A) .

感 悟: 本 题 在 原 题 的基 础 上 , 改 变 了 问题

的载 体 , 将 等 边 三 角 形 换 成 了扇 形,点 O的

演 变 5 扇 形 的旋 转

例 7 如图 1 2 , 在 扇 形 纸 片 AO B中, OA=

1 0 ,   DB = 3 6 。 ,O B在 桌面 内 的直 线 f 上.   现将 此扇 形 沿 f 按顺 时针 方 向旋 转 f 旋转 过程  中无 滑 动) , 当O A落 在 z 上 时, 停 止 旋 转.则  点( 二 ) 所经过的路线长为 f  1

运 动路 线类 似 于原 题但 是又 与 原题 不完 全相  同, 特 别是第二段运 动路径 的求解可 以类 似于  例 6的方 法 .

3 .小 结  上述 问题, 表面 上有 所不 同, 但 它 们 所 蕴

含 的思 想 是统 一 的, 解 决 问题 的方 法 是类 似

( A) 1 2 7 r ;

( C)1 0 丌 ;

( B) 1 1 7 r ;

( D)1 0 7 r +5   一5 .

的. 总 之, 只要 我 们 掌握 了一 类 问题 的基 本特  征, 则能 以不变应 万变, 使 问题迎刃而解.   纵观近 几年 的中考题, 发现 数 学 探 究 活 动

的考 查 是 一个 亮 点, 考 查 学 生 的 自主 探 究 能

力 是 近 几 年 中考 命 题 的 一 大 特 色 , 所 以在 我 们

图1 2

平 时的教学 中, 要重 视典型例 、习题 的解题 思  路. 特别要 重视这些题 目的演变过程 , 拓展 学生  的解 题视野. 在教 学中训练 学生一题多变 、克  服 思维定势的影响, 不局 限于某 一方面 的思考,   多角度 多方位 分析 问题 、解决 问题 . 有利 于培  养 学 生思维 的灵 活性, 增 强其应 变 能力, 提 高  发散思维能力.

分 析 :点 《 = ) 所 经 过 的 路 线 是

两 段 弧 和 一  条 线段 , 第 一 次旋 转 得 到 的是 以点B为 圆心,

1 0 为半 径, 圆心 角 为 9 0 。 的弧  第 二段 是线 段,   其 长等 于 l 0为 半 径 ,圆 心 角 为 3 6 。 的 弧 的长 ,

(   接第1 - 2 6百)

点 F作 C D 的平行 线交 DE于 G, 显 然五边

— —

得  :   x / 5-1 , 1 哥   =— —   , 而 … J △M △』  B   疋j 是项角为   — H j / , J 、

形 ABFGE满 足 题 设 条 件 但 不 是 正 五边 形 .

3 6 。 的等腰三 角形, 故  B   C

BC

=丁

B  D  是『 F 五 边 形 .定 珲 得 证 .

%   ,

图6

所 以 BC = a , 同 理 DE = a ,故 五 边 形

若继续探究 , 类似可 得正六边形 的判定方  法, 限于篇幅, 本 文不再赘述, 现给 出两个判定

方法 , 仅供参考.

图5

仅 有两 边相 等且 五 个 内角 都相 等 的五边  形 不 一 定 是 正 五 边 形,可 以构 造 反 例 如 下 :   如 图6 ,过 正 五 边 形  B D  的 一 边 BC上 任

结论 1 有六条边相 等且顺次相邻 的四个  内角也相等 的六边形是正六边形.   结论 2 有六个 内角相等且顺 次相 邻的 四   条边 也相等 的六边形是正六边形.

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