垂线段的定义_范文大全

垂线段的定义

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范文一:垂线段定义 投稿:郝椈椉

5.1.2《垂线》同步练习题(3)

知识点:

1、垂直:因为∠AOC,所以AB⊥CD

2、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3、垂线段最短

4、点到直线的距离:直线外一点到已知直线的垂线段的长度

同步练习: X k B 1 . c o m

一、选择题:(每小题3分,共18分)

1.如图1所示,下列说法不正确的是( )

A.点B到AC的垂线段是线段AB; B.点C到AB的垂线段是线段AC

C.线段AD是点D到BC的垂线段; D.线段BD是点B到AD的垂线段

A

A

D

A

B

C

B

C

D

DC

(1) (2) (3) 2.如图1所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 3.下列说法正确的有( )

①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.如图2所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=a cm, BC=b cm,则BD的范围是( ) A.大于a cm B.小于b cm

C.大于a cm或小于b cm D.大于b cm且小于a cm 5.到直线L的距离等于2cm的点有( )

A.0个 B.1个; C.无数个 D.无法确定

6.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到 直

线m的距离为( )

A.4cm B.2cm; C.小于2cm D.不大于2cm 二、填空题:(每小题3分,共12分) X k B 1 . c o m

1.如图3所示,直线AB与直线CD的位置关系是_______,记作_______,此时,•∠AO D=∠

_______=∠_______=∠_______=90°.

2.过一点有且只有________直线与已知直线垂直.

3.画一条线段或射线的垂线,就是画它们________的垂线. 4.直线外一点到这条直线的_________,叫做点到直线的距离. 三、训练平台:(共15分)

如图所示,直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70°,•求∠DOG的度数.

EAC

F

四、提高训练:(共15分)

如图所示,村庄A要从河流L引水入庄, 需修筑一水渠,请你画出修筑水渠的路线图.

五、探索发现:(共20分) 如图6所示,O为直线AB上一点,∠AOC=

G

DB

A

l

1

∠BOC,OC是∠AOD的平分线. 3

(1)求∠COD的度数;(2)判断OD与AB的位置关系,并说明理由.

D

CA

B

六、中考题与竞赛题:(共20分)

(2001.杭州)如图7所示,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N•分别是 位于公路AB两侧的村庄,设汽车行驶到P点位置时,离村庄M最近,行驶到Q点位置时,•离村庄N最近,请你在AB上分别画出P,Q两点的位置.

A

N

答案:

一、1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.D

二、1.垂直 AB⊥CD DOB BOC COA 2.一条 3.所在直线 4.•垂线段的长度 三、∠DOG=55°

四、解:如图3所示. X k B 1 . c o m

B

五、解:(1)∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=180°,

1

3∠BOC+∠BOC=180°, ∴ 4

3

∠BOC=•1 80°,

∴∠BOC=135°,∠AOC=45°, 又∵OC是∠AOD的平分线, ∴∠COD=∠AOC=45°.• (2)∵∠AOD=∠AOC+∠COD=90°,

∴OD⊥AB.

六、解:如图4所示.

A

N

l

范文二:5.1.2垂线的定义 投稿:毛痫痬

第五章 相交线与平行线 5.1.2 垂线

一、知识回顾

如图,直线AB与CD相交于点O。

则∠AOD的对顶角是 ,邻补角是 ; ∠DOB的对顶角是; ∠EOB的邻补角是。

二、知识探究

1、垂直的概念:当两条直线相交所成的四个角中,有时,这两条直线互相垂直,其中一条直线叫另一条直线的垂线,它们的交点叫 。 2、垂直的表示方法:用符号表示垂直。 如图表示为:3、几何语言表示,如图:

垂线的定义: ∵ ∠ = °

∴ ⊥

反之: ∵ ⊥ ∴ ∠

练习:1、下面四种判断两条直线垂直的方法正确的有___个 [ ] (1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,则这两条直线互相垂直. (2)两条直线相交,有一组邻补角相等,则这两条直线互相垂直. (3)两条直线相交,所成的四个角相等,这两条直线互相垂直. (4)两条直线相交,有一组对顶角互补,则这两条直线互相垂直. A.4 B.3 C.2 D.1 2、如图,点O是直线AB上一点。

(1)若OC⊥OD,∠AOC=35°,则∠BOD= (2)若∠AOC=40°,∠BOD=50°,则OC OD。

三、例题点拨

例1:如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB,∠1=125°,求∠COE的度数.

例2:如图,OC⊥AB于点O,∠AOE=∠COF,则射线OE、OF有什么位置关系?请说明理由。

例3:如图,直线AB、CD相交于O点,∠AOC与∠AOD的度数比为4:5,OE⊥AB,OF平分∠DOB,求∠EOF的度数.

四、课堂练习

1、如图,已知点O在直线AB上,CO⊥DO于点O,若∠1=145°,则∠3的度数为2、如图,直线AB与直线CD相交于点O,OE⊥AB,垂足为O,∠EOD=∠AOC,则∠BOC=

3

、如图,已知AB、CD相交于O,OE⊥CD于O,∠AOC=30°,则∠BOE=

(1) (2) (3)

4、如图,直线PQ⊥MN,垂足为O,AB是过点O的直线,∠1=50°,则∠2的度数为5、如图,AB、CD交于点O,OE⊥AB,则∠1与∠2一定满足关系是

6、如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB于O,若∠BOD=40°,则不正确的结论是( )

(4) (5) (6)

7、如图,直线AB、CD、EF相交于点O,且AB⊥CD,OB平分∠EOG,若∠FOD=60°.则∠BOG的度数为

8、如图,AO⊥BO,CO⊥DO,∠AOC=35°,则∠BOD的度数为 9、如图,AO⊥BO,CO⊥DO,∠AOC:∠BOC=1:5,则∠10如图,∠1=15°,∠AOC=90°,点B,O,D在同一直线上,则∠2的度数为

13、如图,∠1=30°,AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O.求∠2、∠3的度数.

14、如图所示,OA⊥OB,OC⊥OD,OE为∠BOD的平分线,∠BOE=17°.求∠AOC的度数.

(7) (8) (9) (10) 11、如图所示,O是直线AB上一点,∠AOC=∠BOC,OC是∠AOD的平分线. (1)求∠COD的度数.

(2)判断OD与AB的位置关系,并说出理由.

12、如图,点O是直线AB上一点,∠AOC=40°,OD平分∠AOC,∠COE=70°. (1)请你说明DO⊥OE;

(2)OE平分∠BOC吗?为什么?

范文三:线段中垂线定理1 投稿:程六兮

线段中垂线定理

主备人:邵燕枝 协同备课人:刘维红 课标解读:

一、 理解线段垂直平分线的概念,探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分

线上的点到线段两端的距离相等;反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。情景引入:

1C,使AC=BC.

1. ?——在线段AB的中垂线上。

求证:C在AB的中垂线上。

2.

O说明点O的位置。 四、习题

B

1:在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.

2、 已知:在△ABC中,ON是AB的垂直平分线,

B

E

OA=OC.

求证:点O在BC的垂直平分线上。

3、

B

E

D

A

变式1:如图1,在△ABC中, AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若∠AEC=70°,则∠A=? 4、

变式2:

如图,在Rt△ABC中,AB的垂直平分线交BC边于点E。若BE=2,∠B =15° 求:AC的长。 5

求:AC的长. 6

A

D

C

E

B

A

C

E

B

如图,在Rt△ABC中,AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2,∠B =22.5°

M

B

E

如图,在△ABC中,AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求△AEN的周长. (2) 求∠EAN的度数.

(3) 判断△AEN的形状 7、 B

D

A

E图5

在△ABC中,AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.

(1) 求△AEN的周长. (2) 求∠EAN的度数. (3) 判断△AEN的形状.

课堂检测:、

图7

在△ABC中, BC=12,∠BAC =100°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.

(1) 求△AEN的周长. (2) 求∠EAN的度数.

五、 课堂小结:本节课你有哪些收获

范文四:线段中垂线定理 投稿:严稽稾

22.5 (2) 线段中垂线定理

一、情景引入:

1. 指定某排的两位同学,请学生指认班中哪几位同学和这两位同学的距离相等?这几

位同学的位置有何特点?

2. 已知:A(-3,0),B(3,0),在直角坐标平面内找点C,使AC=BC.

这样的点有几个?(引出点的集合)

引入别致

二、证明定理:

1. 到线段AB两个端点距离相等的点在哪里?——在线段AB的中垂线上。 已知:CA=CB

A

B

利用等腰三角形的性质:等腰

三角形三线合一。

B

求证:C在AB的中垂线上。

得到定理:和线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

2. 出这条定理的逆命题:线段垂直平分线上的点和线段两个端点的距离相等。 请学生指出此命题中的条件和结论:好

已知:直线L垂直平分线段AB,F是垂足,点

C是AB上的任意一点。

求证:CA=CB

请学生证明。 得到逆定理:线段垂直平分线上的点和线段两个端点的距离相等。

比较两条定理:好

(1)∵ ON是AB的垂直平分线(已知) ∴ OA=OB (线段垂直平分线上的点和线段

两个端点的距离相等)

B

(2)∵ OA=OC (已知)

∴ O在AC的垂直平分线上(和线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)

三、定理的运用:

1.已知:在△ABC中,ON是AB的垂直平分线, OA=OC.

求证:点O在BC的垂直平分线上。

结合上述(1)(2)进行证明。 BC

在已知△ABC所在平面内找出点O,使

OA=OB=OC.

B

说明点O的位置。

2.

(1) 在直线L上找点P,使AP=BP.

(2) 在直线L上找点P,使AP+BP最短。

L

范文五:垂直平分线的定义 投稿:于漖漗

《线段垂直平分线的性质与判定》学习指南

课前预习导学(看书P32---P33页完成下列填空题) 1,线段垂直平分线定义:

经过线段 并且 这条线段的直线 ,叫做这条线段的垂直平分线。 2,线段垂直平分线性质

线段垂直平分线上的点与这条线段 的距离相等。 书写格式:

∵L为线段AB的垂直平分线,P在L上 ∴ =

3,线段垂直平分线的判定:

与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 上.

4, 有一条线段AB,怎样用直尺和圆规作出它的垂直平分线? ....你能说说其道理吗?

A

课中互动导学

考点一 线段垂直平分线的性质应用

例1, △ABC中,DE是AC的垂直平分线,垂足为E,交AB于点D,AE=5cm,△CBD

的周长为24cm,求△ABC的周长。

B

考点二 线段垂直平分线的判定应用,

例2,如下图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗?

考点三 利用线段垂直平分线性质确定位置(选用)

例3,某地有两所大学和两条相交叉的公路,如图所示(点M,N表示大学,AO,BO表示公路).现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相等,到两条公路的距离也相等.

(1)你能确定仓库应该建在什么位置吗?在所给的图形中画出你的设计方案; (2)阐述你设计的理由.

A M·

O

当堂检测题(时间10分钟)

1

,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,求△ABC的周长。

B

2,如图,点P在∠AOB的内部,点M、N分别是点P关于直

线OA、OB•的对称点线段MN交OA、OB于点E、F,若△PEF的周长是20cm ,求线段MN的长。

ME

P

BA

N

3,如下图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上,AB、AC、CE的长度有什么关系?AB+BD与DE有什么关系?

范文六:2013年中考数学分类自定义之线段垂直平分线的性质 投稿:秦騱騲

2013年中考数学分类汇编之线段垂直平分线的性质

一.选择题 10.(2013遂宁)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )

①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:S△ABC=1:3.

A.1 B.2 C.3 D.4

考点:角平分线的性质;线段垂直平分线的性质;作图—基本作图. 分析:①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线;

②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°,则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数; ③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形,由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上;

④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比. 解答:解:①根据作图的过程可知,AD是∠BAC的平分线. 故①正确;

②如图,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°, ∴∠CAB=60°.

又∵AD是∠BAC的平分线,

∴∠1=∠2=∠CAB=30°,

∴∠3=90°﹣∠2=60°,即∠ADC=60°. 故②正确;

③∵∠1=∠B=30°, ∴AD=BD,

∴点D在AB的中垂线上. 故③正确;

④∵如图,在直角△ACD中,∠2=30°, ∴CD=AD,

∴BC=CD+BD=AD+AD=AD,S△DAC=AC•CD=AC•AD. ∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD, ∴S△DAC:S△ABC=AC•AD:AC•AD=1:3. 故④正确.

综上所述,正确的结论是:①②③④,共有4个. 故选D.

点评:本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图.解题时,需要熟悉等腰三角形的判定与性质. 10.(2013威海)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )

A.BC=AC B.CF⊥BF C.BD=DF D.AC=BF 考点:正方形的判定;线段垂直平分线的性质.

分析:根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等,有BE=EC,BF=FC进而得出四边形BECF是菱形;由菱形的性质知,以及菱形与正方形的关系,进而分别分析得出即可. 解答:解:∵EF垂直平分BC, ∴BE=EC,BF=CF, ∵CF=BE,

∴BE=EC=CF=BF,

∴四边形BECF是菱形; 当BC=AC时, ∵∠ACB=90°,

则∠A=45°时,菱形BECF是正方形. ∵∠A=45°,∠ACB=90°, ∴∠EBC=45°

∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90° ∴菱形BECF是正方形.

故选项A正确,但不符合题意;

当CF⊥BF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故选项B正确,但不符合题意; 当BD=DF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故选项C正确,但不符合题意; 当AC=BD时,无法得出菱形BECF是正方形,故选项D错误,符合题意. 故选:D.

点评:本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识,熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键. 8.(2013威海)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,AB的垂直平分线OD交AB于点O,交AC于点D,连接BD,下列结论错误的是( )

A.∠C=2∠A

B.BD平分∠ABC

C.S△BCD=S△BOD D.点D为线段AC的黄金分割点

考点:线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;黄金分割.

分析:求出∠C的度数即可判断A;求出∠ABC和∠ABD的度数,求出∠DBC的度数,即可判断B;根

2

据三角形面积即可判断C;求出△DBC∽△CAB,得出BC=BC•AC,求出AD=BC,即可判断D. 解答:解:A.∵∠A=36°,AB=AC, ∴∠C=∠ABC=72°,

∴∠C=2∠A,正确,故本选项错误; B.∵DO是AB垂直平分线, ∴AD=BD,

∴∠A=∠ABD=36°,

∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD,

∴BD是∠ABC的角平分线,正确,故本选项错误;

C,根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等,错误,故本选项正确; D.∵∠C=∠C,∠DBC=∠A=36°, ∴△DBC∽△CAB, ∴

=

2

∴BC=BC•AC,

∵∠C=72°,∠DBC=36°, ∴∠BDC=72°=∠C, ∴BC=BD, ∵AD=BD, ∴AD=BC,

∴AD=CD•AC,

即点D是AC的黄金分割点,正确,故本选项错误; 故选C.

点评:本题考查了相似三角形的性质和判定,等腰三角形性质,黄金分割点,线段垂直平分线性质的应用,主要考查学生的推理能力. 23.(2013泰安)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则BE的长是 .

2

考点:含30度角的直角三角形;线段垂直平分线的性质.

分析:根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°,则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度. 解答:解:∵∠ACB=90°,FD⊥AB, ∴∠∠ACB=∠FDB=90°, ∵∠F=30°,

∴∠A=∠F=30°(同角的余角相等). 又AB的垂直平分线DE交AC于E, ∴∠EBA=∠A=30°,

∴直角△DBE中,BE=2DE=2. 故答案是:2.

点评:本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形.解题的难点是推知∠EBA=30°. 10.(2013临沂)如图,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是( )

A.AB=AD B.AC平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC 考点:线段垂直平分线的性质.

分析:根据线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等可得AB=AD,BC=CD,再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD,平分∠BCD,EB=DE,进而可证明△BEC≌△DEC. 解答:解:∵AC垂直平分BD, ∴AB=AD,BC=CD,

∴AC平分∠BCD,平分∠BCD,EB=DE, ∴∠BCE=∠DCE, 在Rt△BCE和Rt△DCE中

∴Rt△BCE≌Rt△DCE(HL), 故选:C.

点评:此题主要考查了线段垂直平分线的性质,以及等腰三角形的性质,关键是掌握线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等. 7.(2013扬州)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于( )

A.50° B.60° C.70° D.80°

考点:菱形的性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;几何综合题. 分析:连接BF,根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC,∠BCF=∠DCF,四条边都相等可得BC=CD,再根据菱形的邻角互补求出∠ABC,然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得

AF=BF,根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC,从而求出∠CBF,再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF. 解答:解:如图,连接BF,

在菱形ABCD中,∠BAC=∠BAD=×80°=40°,∠BCF=∠DCF,BC=CD, ∵∠BAD=80°,

∴∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°, ∵EF是线段AB的垂直平分线, ∴AF=BF,∠ABF=∠BAC=40°,

∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°, ∵在△BCF和△DCF中,

∴△BCF≌△DCF(SAS), ∴∠CDF=∠CBF=60°. 故选B.

点评:本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,综合题,但难度不大,熟记各性质是解题的关键. 9.(2013天门)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为( )

A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm

考点:线段垂直平分线的性质;等边三角形的判定与性质.

分析:连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D,求出AB、AC值,求出BE、CF值,求出BM、CN值,代入MN=BC﹣BMCN求出即可. 解答:解:

连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D,

∵在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6cm, ∴∠B=∠C=30°,BD=CD=3cm, ∴AB=

=2

cm=AC,

∵AB的垂直平分线EM, ∴BE=AB=同理

CF=∴BM=

cm

cm,

=2cm,

同理CN=2cm,

∴MN=BC﹣BM﹣CN=2cm, 故选C.

点评:本题考查了线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质,喊30度角的直角三角形性质,解直角三角形等知识点的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力.

二.填空题 15.(2013义乌)如图,AD⊥BC于点D,D为BC的中点,连接AB,∠ABC的平分线交AD于点O,连结OC,若∠AOC=125°,则∠ABC= .

考点:线段垂直平分线的性质;角平分线的性质;等腰三角形的性质.

分析:先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OB=OC,根据等边对等角的性质求出∠OBC=∠C,然后根据角平分线的定义解答即可.

解答:解:∵AD⊥BC,∠AOC=125°, ∴∠C=∠AOC﹣∠ADC=125°﹣90°=35°, ∵D为BC的中点,AD⊥BC, ∴OB=OC,

∴∠OBC=∠C=35°,

∵OB平分∠ABC,

∴∠A∠=2∠OBC=2×35°=70°. 故答案为:70°.

点评:本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,等边对等角的性质,角平分线的定义,是基础题,准确识图并熟记各性质是解题的关键. 15.(2013百色)如图,菱形ABCD的周长为12cm,BC的垂直平分线EF经过点A,则对角线BD的长是 cm.

考点:菱形的性质;线段垂直平分线的性质;等边三角形的判定与性质.

分析:首先连接AC,由BC的垂直平分线EF经过点A,根据线段垂直平分线的性质,可得AC的长,由菱形的性质,可求得AC=AB=3,然后由勾股定理,求得OB的长,继而求得答案. 解答:解:连接AC,

∵菱形ABCD的周长为12cm, ∴AB=6,AC⊥BD,

∵BC的垂直平分线EF经过点A, ∴AC=AB=3, ∴OA=AC=, ∴OB=

∴BD=2OB=3故答案为:3

. .

=

点评:此题考查了菱形的性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用. 15.(2013淄博)在△ABC中,P是AB上的动点(P异于A,B),过点P的一条直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线.如图,∠A=36°,AB=AC,当点P在AC的垂直平分线上时,过点P的△ABC的相似线最多有 条.

考点:相似三角形的判定;线段垂直平分线的性质;新定义.

分析:根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出. 解答:解:当PD∥BC时,△APD∽△ABC, 当PE∥AC时,△BPE∽△BAC, 连接PC,

∵∠A=36°,AB=AC,点P在AC的垂直平分线上, ∴AP=PC,∠ABC=∠ACB=72°, ∴∠ACP=∠PAC=36°, ∴∠PCB=36°,

∴∠B=∠B,∠PCB=∠A, ∴△CPB∽△ACB,

故过点P的△ABC的相似线最多有3条. 故答案为:3.

点评:此题主要考查了相似三角形的判定,正确掌握相似三角形的判定方法作出辅助线是解题关键. 17.(2013烟台)如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则∠OEC为

考点:线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;翻折变换(折叠问题).

分析:连接OB、OC,根据角平分线的定义求出∠BAO,根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB,根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO,再求出∠OBC,然后判断出点O是△ABC的外心,根据三角形外心的性质可得OB=OC,再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC,根据翻折的性质可得OE=CE,然后根据等边对等角求出∠COE,再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.

解答:解:如图,连接OB、OC,

∵∠BAC=54°,AO为∠BAC的平分线, ∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°, 又∵AB=AC,

∴∠ABC=(180°﹣∠BAC)=(180°﹣54°)=63°,

∵DO是AB的垂直平分线, ∴OA=OB,

∴∠ABO=∠BAO=27°,

∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°,

∵DO是AB的垂直平分线,AO为∠BAC的平分线, ∴点O是△ABC的外心, ∴OB=OC,

∴∠OCB=∠OBC=36°,

∵将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合, ∴OE=CE,

∴∠COE=∠OCB=36°,

在△OCE中,∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°. 故答案为:108.

点评:本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,等腰三角形三线合一的性质,等边对等角的性质,以及翻折变换的性质,综合性较强,难度较大,作辅助线,构造出等腰三角形是解题的关键. 15.(2013锦州)在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E,垂足为D,连接BE.已知AE=5,tan∠AED=,则BE+CE= .

考点:线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;解直角三角形;分类讨论;和差倍分. 分析:本题有两种情形,需要分类讨论.

首先根据题意画出图形,由线段垂直平分线的性质,即可求得AE=BE,又由三角函数的性质,求得AD的长,继而求得答案.

解答:解:①若∠BAC为锐角,如答图1所示:

∵AB的垂直平分线是DE, ∴AE=BE,ED⊥AB,AD=AB, ∵AE=5,tan∠AED=, ∴sin∠AED=,

∴AD=AE•sin∠AED=3, ∴AB=6,

∴BE+CE=AE+CE=AC=AB=6;

②若∠BAC为钝角,如答图2所示:

同理可求得:BE+CE=16. 故答案为:6或16.

点评:本题考查了线段垂直平分线、等腰三角形、解直角三角形等知识点,着重考查了分类讨论的数学思想. 16.(2013无锡)如图,△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,BE⊥AC,AF⊥BC,则∠.

考点:等腰三角形的性质;线段垂直平分线的性质.

分析:根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE,然后求出△ABE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC=∠ABE=45°,再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC,然后求出∠CBE,根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=EF,根据等边对等角求出∠BEF=∠CBE,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.

解答:解:∵DE垂直平分AB, ∴AE=BE, ∵BE⊥AC,

∴△ABE是等腰直角三角形, ∴∠BAC=∠ABE=45°, 又∵AB=AC,

∴∠ABC=(180°﹣∠BAC)=(180°﹣45°)=67.5°,

∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=67.5°﹣45°=22.5°, ∵AB=AC,AF⊥BC, ∴BF=CF, ∴BF=EF,

∴∠BEF=∠CBE=22.5°,

∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°. 故答案为:45.

点评:本题考查了等腰三角形三线合一的性质,等腰三角形两底角相等的性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,熟记各性质并求出△ABE是等腰直角三角形是解题的关键. 14.(2013泰州)如图,△ABC中,AB+AC=6cm,BC的垂直平分线l与AC相交于点D,则△ABD的周长为 cm.

考点:线段垂直平分线的性质. 专题:数形结合.

分析:根据中垂线的性质,可得DC=DB,继而可确定△ABD的周长. 解答:解:∵l垂直平分BC, ∴DB=DC,

∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm. 故答案为:6.

点评:本题考查了线段垂直平分线的性质,注意掌握线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等. 15.(2013荆门)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点

E,BC=6,sinA=,则

考点:解直角三角形;线段垂直平分线的性质;勾股定理.

分析:在Rt△ABC中,先求出AB,AC继而得出AD,再由△ADE∽△ACB,利用对应边成比例可求出DE.

解答:解:∵BC=6,sinA=, ∴AB=10, ∴AC=

=8,

∵D是AB的中点, ∴AD=AB=5, ∵△ADE∽△ACB, ∴

=

,即

. . =,

解得:DE=故答案为:

点评:本题考查了解直角三角形的知识,解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义及勾股定理的表达式. 20.(2013哈尔滨)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AB于E,若BC=4,△AOE的面积为5,则sin∠BOE的值为 .

考点:矩形的性质;线段垂直平分线的性质;勾股定理;圆周角定理;锐角三角函数的定义.

分析:由题意可知,OE为对角线AC的中垂线,则CE=AE=5,S△AEC=2S△AOE=10,由S△AEC求出线段AE的长度,进而在Rt△BCE中,由勾股定理求出线段BE的长度;然后证明∠BOE=∠BCE,从而可求得结果.

解答:解:如图,连接EC.

由题意可得,OE为对角线AC的垂直平分线, ∴CE=AE,S△AOE=S△COE=5, ∴S△AEC=2S△AOE=10. ∴AE•BC=10,又BC=4,

∴AE=5, ∴EC=5.

在Rt△BCE中,由勾股定理得:BE=

=

=3.

∵∠EBC+∠EOC=90°+90°=180°, ∴B、C、O、E四点共圆, ∴∠BOE=∠BCE.

(另解:∵∠AEO+∠EAO=90°,∠AEO=∠BOE+∠ABO,

∴∠BOE+∠ABO+∠EAO=90°,又∠ABO=90°﹣∠OBC=90°﹣(∠BCE+∠ECO) ∴∠BOE+(90°﹣(∠BCE+∠ECO))+∠EAO=90°, 化简得:∠BOE﹣∠BCE﹣∠ECO+∠EAO=0 ∵OE为AC中垂线, ∴∠EAO=∠ECO.

代入上式得:∠BOE=∠BCE.) ∴sin∠BOE=sin∠BCE=. 故答案为:.

点评:本题是几何综合题,考查了矩形性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆周角、三角函数的定义等知识点,有一定的难度.解题要点有两个:(1)求出线段AE的长度;(2)证明∠BOE=∠BCE. 15.(2013六盘水)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=10,CD的垂直平分线交BC于E,连接DE,则四边形ABED的周长等于.

考点:梯形;线段垂直平分线的性质.

分析:根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DE=CE,然后求出四边形ABED的周长=AD+AB+BC,然后代入数据进行计算即可得解. 解答:解:∵CD的垂直平分线交BC于E, ∴DE=CE,

∴四边形ABED的周长=AD+AB+BE+DE=AD+AB+BC, ∵AD=4,AB=5,BC=10,

∴四边形ABED的周长=4+5+10=19. 故答案为:19.

点评:本题考查了梯形,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键.

11.(2013广州)点P在线段AB的垂直平分线上,PA=7,则. 考点:线段垂直平分线的性质.

分析:根据线段垂直平分线的性质得出PA=PB,代入即可求出答案. 解答:解:∵点P在线段AB的垂直平分线上,PA=7, ∴PB=PA=7, 故答案为:7.

点评:本题考查了对线段垂直平分线性质的应用,注意:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 15.(2013三明)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,按以下步骤作图:①分别以A,B为圆心,以大于AB的长为半径做弧,两弧相交于点P和Q.

②作直线PQ交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若CE=4,则AE= .

考点:作图—复杂作图;线段垂直平分线的性质;含30度角的直角三角形.

分析:根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线,进而得出∠EAB=∠CAE=30°,即可得出AE的长.

解答:解:由题意可得出:PQ是AB的垂直平分线, ∴AE=BE,

∵在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°, ∴∠CBA=30°,

∴∠EAB=∠CAE=30°, ∴CE=AE=4,

∴AE=8.

故答案为:8.

点评:此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中,30°所对直角边等于斜边的一半,根据已知得出∠EAB=∠CAE=30°是解题关键.

三.解答题 22.(2013义乌)已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B,PD交⊙O于点C、D,PE是⊙O的切线,E为切点,连结AE,交CD于点F. (1)若⊙O的半径为8,求CD的长; (2)证明:PE=PF; (3)若PF=13,sinA=

,求EF的长.

考点:切线的性质;线段垂直平分线的性质;勾股定理;解直角三角形. 分析:(1)首先连接OD,由直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B,⊙O的半径为8,可求得OB的长,又由勾股定理,可求得BD的长,然后由垂径定理,求得CD的长;

(2)由PE是⊙O的切线,易证得∠PEF=90°﹣∠AEO,∠PFE=∠AFB=90°﹣∠A,继而可证得∠PEF=∠PFE,根据等角对等边的性质,可得PE=PF;

(3)首先过点P作PG⊥EF于点G,易得∠FPG=∠A,即可得FG=PF•sinA=13×的性质,求得答案. 解答:解:(1)连接OD,

∵直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B,⊙O的半径为8, ∴OB=OA=4,BC=BD=CD, ∴在Rt△OBD中,BD=

=4

=5,又由等腰三角形

∴CD=2BD=8;

(2)∵PE是⊙O的切线, ∴∠PEO=90°,

∴∠PEF=90°﹣∠AEO,∠PFE=∠AFB=90°﹣∠A, ∵OE=OA, ∴∠A=∠AEO, ∴∠PEF=∠PFE, ∴PE=PF;

(2)过点P作PG⊥EF于点G, ∴∠PGF=∠ABF=90°, ∵∠PFG=∠AFB, ∴∠FPG=∠A, ∴FG=PF•sinA=13×∵PE=PF,

∴EF=2FG=10.

=5,

点评:此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.

18.(2013乐山)如图,已知线段AB.

(1)用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线l(保留作图痕迹,不要求写出作法); (2)在(1)中所作的直线l上任意取两点M,N(线段AB的上方).连结AM,AN,BM,BN.求证:∠MAN=∠MBN. 考点:作图—基本作图;线段垂直平分线的性质. 分析:(1)根据线段垂直平分线的方法作图即可; (2)根据线段垂直平分线的性质可得AM=BM,AN=BN,再根据等边对等角可得∠MAB=∠MBA,∠NAB=∠NBA,进而可得∠MAN=∠MBN. 解答:解:(1)如图所示: (2)∵l是AB的垂直平分线, ∴AM=BM,AN=BN,

∴∠MAB=∠MBA,∠NAB=∠NBA, ∴∠MAB﹣∠NAB=∠MBA﹣∠NBA, 即:∠MAN=∠MBN.

点评:此题主要考查了线段垂直平分线的作法以及性质,关键是掌握垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等. 25.(2013上海市)在矩形ABCD中,点P是边AD上的动点,连接BP,线段BP的垂直平分线交边BC于点Q,垂足为点M,联结QP(如图).已知AD=13,AB=5,设AP=x,BQ=y. (1)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;

(2)当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时,求x的值;

(3)点E在边CD上,过点E作直线QP的垂线,垂足为F,如果EF=EC=4,求x的值.

考点:相似三角形的判定与性质;矩形的性质;勾股定理;直线与圆的位置关系;角平分线的性质;线段垂直平分线的性质. 分析:(1)利用相似三角形△ABP∽△MQB,求出y关于x的函数解析式;注意求x的取值范围时,需考虑计算x最大值与最小值的情形;

(2)如答图1所示,利用相外切两圆的性质,求出PQ的长;利用垂直平分线的性质PQ=BQ,列方程求出x的值;

(3)如答图2所示,关键是证明△CEQ∽△ABP,据此列方程求出x的值. 解答:解:(1)在Rt△ABP中,由勾股定理得:BP=AP+AB=x+25. ∵MQ是线段BP的垂直平分线, ∴BQ=PQ,BM=BP,∠BMQ=90°,

2

2

2

2

∴∠MBQ+∠BQM=90°,

∵∠ABP+∠MBQ=90°,∴∠ABP=∠BQM, 又∵∠A=∠BMQ=90°, ∴△ABP∽△MQB, ∴

,即

,化简得:y=

BP=

2

(x+25).

2

2

2

2

2

2

当点Q与C重合时,BQ=PQ=13,在Rt△PQD中,由勾股定理定理得:PQ=QD+PD,即13=5+(13

2

﹣x),解得x=1;

又AP≤AD=13,∴x的取值范围为:1≤x≤13. ∴

y=

(x+25)(1≤x≤13).

2

(2)当⊙P与⊙Q相外切时,如答图1所示:

设切点为M,则PQ=PM+QM=AP+QC=AP+(BC﹣BQ)=x+(13﹣y)=13+x﹣y; ∵PQ=BQ,

∴13+x﹣y=y,即2y﹣x﹣13=0 将

y=

(x+25)代入上式得:(x+25)﹣x﹣13=0,

2

2

解此分式方程得:x=经检验,x=∴x=

是原方程的解且符合题意.

(3)按照题意画出图形,如答图2所示,连接QE.

∵EF=EC,EF⊥PQ,EC⊥QC,∴∠1=∠2(角平分线性质).

∵PQ=BQ,∴∠3=∠4,

而∠1+∠2=∠3+∠4(三角形外角性质),∴∠1=∠3. 又∵矩形ABCD,∴AD∥BC,∴∠3=∠5, ∴∠1=∠5,又∵∠C=∠A=90°, ∴△CEQ∽△ABP, ∴将

y=

,即

2

,化简得:4x+5y=65,

(x+25)=65,

2

(x+25)代入上式得:4x+

解此分式方程得:x=经检验,x=∴x=

是原方程的解且符合题意,

点评:本题是中考压轴题,难度较大.试题的难点在于:其一,所考查的知识点众多,包括相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、圆的位置关系、角平分线的性质、垂直平分线的性质、解分式方程与一元二次方程等,对数学能力要求很高;其二,试题计算量较大,需要仔细认真计算,避免出错. 21.(2013梅州)如图,在四边形ABFC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB与点E,且CF=AE,

(1)求证:四边形BECF是菱形;

(2)若四边形BECF为正方形,求∠A的度数.

考点:菱形的判定;线段垂直平分线的性质;正方形的性质. 分析:(1)根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等,有BE=EC,BF=FC,根据四边相等的四边形是菱形即可判断;

(2)正方形的性质知,对角线平分一组对角,即∠ABC=45°,进而求出∠A=45度. 解答:(1)证明:∵EF垂直平分BC,

∴CF=BF,BE=CE,∠BDE=90°,BD=CD, 又∵∠ACB=90°, ∴EF∥AC,

∴BE:AB=DB:BC, ∵D为BC中点, ∴DB:BC=1:2, ∴BE:AB=1:2, ∴E为AB中点, 即BE=AE, ∵CF=AE,

∴CF=BE,

∴CF=FB=BE=CE,

∴四边形BECF是菱形.

(2)解:∵四边形BECF是正方形, ∴∠CBA=45°, ∵∠ACB=90°, ∴∠A=45°.

点评:此题主要考查了菱形的判定方法以及正方形的判定和中垂线的性质、直角三角形的性质等知识,根据已知得出∠CBA=45°是解题关键.

范文七:16.2(2)线段垂直平分线性判定 投稿:阎揨揩

教案序号: 14

滦县海阳私立学校导学案

16.2.(2)线段的垂直平分线判定定理

班级____________组别____________姓名____________成绩_____________

1:到三角形三个顶点距离相等的点是( )

A三条中线的交点 B三条高的交点 C:三条角平分线的交点 D三条边的垂直平分线的交点 2:如图所示,点P是∠AOB内一点,且OP平分∠AOB,OC=OD,连接PC PD,求证OP是CD的垂直平分线

1 6.2.(2)线段的垂直平分线判定定理

班级____________组别____________姓名____________成绩_____________

1:到三角形三个顶点距离相等的点是( )

A三条中线的交点 B三条高的交点 C:三条角平分线的交点 D三条边的垂直平分线的交点 2:如图所示,点P是∠AOB内一点,且OP平分∠AOB,OC=OD,连接PC PD,求证OP是CD的垂直平分线

范文八:线段垂直平分线性质和判定 投稿:范豶豷

13.1.2线段垂直平分线的性质

学习目标:掌握垂直平分线的性质与判定。会应用性质和判定解决问题。

学习重点:线段的垂直平分线的性质与判定。

学习难点:线段垂直平分线的集合描述。

教学过程:

一、温故知新

复习回顾

(1)什么是轴对称图形?联系实际,你能举出一个轴对称图形的例子吗?

(2)轴对称的概念是什么?轴对称和全等有什么关系?

(3)说说轴对称和轴对称图形的区别和联系

(4)垂直平分线的定义:经过线段并且这条线段的直线,叫做

这条线段的垂直平分线

(5)轴对称的性质:①如果两个图形关于某条直线对称,那么 是任何一

对对应点所连线段的 。②类似地,轴对称图形的对称轴

是 。 。

二、自主学习,合作探究

活动1探究线段垂直平分线的性质

探究(1)、如下图,木条L与AB钉在一起,L垂直平分AB,P1,P2,P3,……

是L上的点,分别量一量点P1,P2,P3,……到A与B的距离,你有什么发现?

归纳: 线段垂直平分线的性质

(2)你能证明这个性质吗?

如上图,直线L⊥AB,垂足是C,AC=CB,,点P在L上,求证:PA=PB

证明:∵⊥AB. ∴∠ .

又AC= , PC= .

∴△PCA≌ ( ). ∴PA=

活动2探究线段垂直平分线的判定

(1)垂直平分线的判定:与一条线段 的点,在这条线段的

(2)你能证明这个结论吗?

三、典型例题 尺规作图:经过已知直线外一点作这条直

的垂线.

已知:直线AB和AB外一点C(图3-45).

求作:AB的垂线,使它经过点C.

作法:1.任意取一点K,使K和C在AB的两旁.

2.以C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D和E.

线

3.分别以D和E为圆心,大于 的长为半径作弧,两弧交于点F.

4.作直线CF.

直线CF就是所求的垂线.

四、学以致用,能力提升

1、如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上,AB,AC,CE的长度有什么关系?AB+BD与DE有什么关系?

2、如图,△ABC中,边AB,BC的垂直平分线交与点P.

求证:(1)PA=PB=PC

(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上呢?由此你能得出什么结论?

3、如图AB=AC,MB=MC,直线AM是线段BC的垂直平分线吗?

4、如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高。求证AD垂直平分EF

5、如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,求△ABC的周长

五、小结

线段垂直平分线的性质和判定。

六、作业

习题

13.1

范文九:线段中垂线性质定理 投稿:张笎笏

迁安市木厂口中学八年级数学“471”导学案

课题:16.2 线段的垂直平分线 课型:预习展示课 领导审批 学生 使用时间 主备: 贺秀丽 审核: 互动策略 展示方案

课前 5 分钟 完成, 组长负 责组织

学习 流程 知识 链接 明确 目标 1分 钟

自学内容*学法指导*随堂笔记 1、 线段垂直平分线的定义: 2、线段是否为轴对称图形? 他的对称轴是什么?

1、初步掌握线段的垂直平分线的定理。(重点) 2、会运用线段垂直平分线的性质定理解决有关问题。(难点) 3、体会合情推理和演绎推理的不同作用 1.已知线段AB和它的中垂线 l ,在 l 上任取一点M,连结MA、MB;量一量:MA、 MB的长,你能发现什么? 在 l 上任取一点N,连结NA、NB;量一量:NA、NB的长, 你能发现什么? 如果再有其它点呢? 由此你能得出什么规律? 2.事实上,因为AB是轴对称 图形,中垂线 l 是它的对称轴,所以线段AB沿对称轴 l 对折后,点A和点B重 合,线段MA和线段MB , 从而 MA MB l 3.事实上,因为AB是图形,中垂线 是它的对称轴,所以线段AB沿对称轴 l 对 折后,点A和点B重合,线段MA和线段MB , 从而 MA MB 4.试着证明吧(演绎推理) 已知:线段AB和它的垂直平分线 l ,垂足为C,点P为直线 l 上任意一点,连接PA,PB 求证:PA=PB

齐读目标

独立思考, 动 手操作, 自主 完成, 然后对 子之间相互 检查, 有问题 的组内解决

独学 预习 10 分 钟

合作 交流 15 分 钟 总结:

线段垂直平分线的性质定理: 几何语言:∵ l 是线段AB的线段垂直平分线(已知) ∴ 练习 1、如图,在△ABC中,AB=AC,ED垂直平分AB, (1)若∠A=50°,则∠ABD= . (2)若BD=10,则AD= 。 (3)若AB=14,△BCD的周长为24,则BC=

各组先预

展示 提升 30 分钟

1.如下图所示,在△ABC中,BC的垂直平分线交AC于E,垂足为D,△ABE的周 长是15cm,BD=6cm,求△ABC的周长.

展;确立展 示组;展示 时,他组质 疑、补充。

2.已知:如图,点A,B是直线 l 外的任意两点,在直线 l 上,试确定一点P,使 AP+BP最短。说明理由

B A

l

总结 反馈

1.如下图,Rt△ABC中,∠C=90°,斜边AB的垂直平分线交AB于点D, 交BC于点E,AE平分∠BAC,那么下列关系不成立的是( ) A.∠B=∠CAE B.∠DEA=∠CEA C.∠B=∠BAE D.AC=2EC 达

标 检

3.如图,MN垂直平分线段AB、CD,垂足分别为E、F,

学生独立 完成; 出示 答案; 对子 互判, 疑问 展示。

测 9 分 钟

求证:AC=BD,∠ACD=∠BDC。

范文十:线段中垂线的性质定理 投稿:马纜纝

线段中垂线的性质定理

教学目的:1、掌握线段中垂线的性质定理;

2、学会线段中垂线的性质定理在几何证明及计算中的应用。

教学重点:线段中垂线的性质定理

教学难点:例2教学

教学过程:

一、复习引入:

1、 什么叫轴对称图形? M2、 已知线段AB,如何作出其对称轴?(学生口述,

教师作图如图1)

这条对称轴就是线段AB的中垂线。

3、 提出问题:MN是线段AB的中垂线,则C为垂足,

C也是中点,故CA=CB。 AC现在,在MN上任取一点P,是否也有PA=PB呢?本

节课我们要进一步研究线段的中垂线。(揭示课题:线段中N垂线的性质定理)

图1二、新课讲授:

1、 线段中垂线的性质定理:

在线段的中垂线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

证明方法:⑴全等证法;(学生口述简证)⑵利用轴对称证法。(学生了解)

2、 线段中垂线的性质定理的应用

Ⅰ图形认识强化: A

⑴如图2,已知DF,EH分别为AB,AB的中垂

线,所能得到的结论是:

⑵如图3,已知AE是BC的中垂线,所能得到

BED的结论是:

⑶如图4,已知DE是AB的中垂线,所能得到图2的结论是:

ABC

A

D

BE

图3CBE图4C

Ⅱ例题教学

例1分析:

⑴从已知出发考虑问题,AE垂直平分CF能推出什么?AC=AF,从而能更进一步推出什么?∠AFC=∠ACF.

⑵再从已知考虑问题,由CD⊥AB,能推出∠1与∠AFC有什么关系?由∠ACB=90,能推出∠2和哪个角互余?

⑶由∠AFC=∠ACF能推出∠1=∠2吗?根据什么?

写出规范证明过程.

例2分析:

4

三、练习巩固:

1、P66练习1;

2、P66练习2;

四、课堂小结:

1、线段中垂线的性质定理;

2、要避免在已知线段中垂线条件下不用性质避免而用全等繁证一些结论,例如:上图3中若要证∠DEC=∠DCE,有同学通过证明△DEC≌△DCE来证,虽能证得,但方法很繁。

3、在已知中垂线的条件下,注意适当添线可创造中垂线性质定理的使用条件,如例2。

五、作业布置:

六、课后记录:

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