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正弦交流电路

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范文一:第3章正弦交流电路 投稿:李惡惢

学习目标:

1.掌握正弦交流电路的基本概念,正弦量的表示方法。

2.掌握R、L、C三种元件的电压、电流的关系;掌握R、L、C串联和RL与C并联电路的相量分析法;了解用相量分析法分析复杂电路.

3.掌握正弦交流电路中的功率计算,熟悉功率因数的提高的方法。了解正弦交流电路负载获得最大功率的条件。

4.了解谐振现象的研究意义;掌握串、并联谐振条件、主要特点及典型应用。

3.1 正弦交流电路的基本概念

3.1.1 正弦电流及其三要素

随时间按正弦规律变化的电流称为正弦电流,同样地有正弦电压等。这些按正弦规律变化的物理量统称为正弦量。

设图3.1中通过元件的电流i是正弦电流,其参考方向如图所示。正弦电流的一般表达式为:

i(t)=Imsin(ωt+ψ) (3-1)

图3.1电路元件 图3.2正弦电流波形图

它表示电流i是时间t的正弦函数,不同的时间有不同的量值,称为瞬时值,用小写字母表示。电流i的时间函数曲线如图3.2所示,称为波形图。

在式(3-1)中,Im为正弦电流的最大值(幅值),即正弦量的振幅,用大写字母加下标m表示正弦量的最大值,例如Im、Um、Em等,它反映了正弦量变化的幅度。(t+ψ)随时间变化,称为正弦量的相位,它描述了正弦量变化的进程或状态。ψ为t=0时刻的相位,

称为初相位(初相角),简称初相。习惯上取≤180°。图3.3(a)、(b)分别表示初相位

为正和负值时正弦电流的波形图。

图3.3 正弦电流的初相位

正弦电流每重复变化一次所经历的时间间隔即为它的周期,用T表示,周期的单位为秒(s)。正弦电流每经过一个周期T,对应的角度变化了2π弧度,所以

T2

2

ω= T =2f (3-2) 式中ω为角频率,表示正弦量在单位时间内变化的角度,反映正弦量变化的快慢。用弧度/秒(rad/s)作为角频率的单位;f=1/T是频率,表示单位时间内正弦量变化的循环次数,用1/秒(1/s)作为频率的单位,称为赫兹(Hz)。我国电力系统用的交流电的频率(工频)为50Hz。

最大值、角频率和初相位称为正弦量的三要素。

3.1.2 相位差

任意两个同频率的正弦电流

i1(t)=Im1sin(t1)

i2(t)= Im2sin(t2)

的相位差是

12= (t+ψ1)-(t+ψ2) =ψ1-ψ2 (3-3)

相位差在任何瞬间都是一个与时间无关的常量,等于它们初相位之差。习惯上取∣12∣≤180°。若两个同频率正弦电流的相位差为零,即12=0,则称这两个正弦量为同相位。如图3-4中的i1与i3,否则称为不同相位,如i1与i2。如果ψ1-ψ2>0,则称i1超前i2,意指i1比i2先到达正峰值,反过来也可以说i2滞后i1。超前或滞后有时也需指明超前或滞后多少角度或时间,以角度表示时为ψ1-ψ2,若以时间表示,则为(ψ1-ψ2)/ω。如果两个正弦电流的相位差为12=,则称这两个正弦量为反相。如果12=2,则称这两个正弦量为正交。

图3.4正弦量的相位关系

3.1.3 有效值

周期电流i流过电阻R在一个周期所产生的能量与直流电流I流过电阻R在时间T内所产生的能量相等,则此直流电流的量值为此周期性电流的有效值。

周期性电流i流过电阻R,在时间T内,电流i所产生的能量为

W1= 0T2iRdt

直流电流I流过电阻R在时间T内所产生的能量为

2WIRT 2

当两个电流在一个周期T内所作的功相等时,有

IRT =02T2iRdt

于是,得

1T2idt0 I=T (3-4)

对正弦电流则有

1T21idt0=T I=T

Im

=

同理可得 T0Imsin2(t)dt2 2≈0.707Im (3-5) UUm/2 EEm/2

在工程上凡谈到周期性电流或电压、电动势等量值时,凡无特殊说明总是指有效值,一般电气设备铭牌上所标明的额定电压和电流值都是指有效值。

3.2 正弦量的相量表示法

由于在正弦交流电路中,所有的电压、电流都是同频率的正弦量,所以要确定这些正弦量,只要确定它们的有效值和初相就可以了。相量法就是用复数来表示正弦量。

3.2.1 复数及其表示形式

设A是一个复数,并设a和b分别为它的实部和虚部,则有

Aajb (3-6) 式(2-6)表示形式称为复数的代数形式。

复数可以用复平面上所对应的点表示。

图3.5复数在复平面上的表示 图3.6复数的矢量表示 A=ab 22

复数A的矢量与实轴正向间的夹角ψ称为A的辐角,记作

b

ψ=arctga

从图3.6中可得如下关系: aAcosbAsin A复数 Aajb=(cosψ+jsinψ)

称为复数的三角形式。

jψ再利用欧拉公式 e=cosψ+jsinψ

又得 A=

3.2.2复数运算

1.复数的加减

设有两个复数:

A1a1jb1

A2a2jb2

A1A2(a1jb1)(a2jb2)

=(a1a2)j(b1b2)

两个复数相加的运算在复平面上是符合平行四边形的求和法则的;如图3.7所示。

图3.7 复数的加减 Aejψ (3-7) A/ψ。 称为复数的指数形式。在工程上简写为A=

2.复数的乘除

复数的乘除运算,一般采用指数形式。设有两个复数

A A1a1jb1=

A A2a2jb2=2/ψ2

A1A2=

A1A2A2A1·

AA1/ψ1-ψ2

即复数相乘时,将模和模相乘,辐角相加;复数相除时,将模相除,辐角相减。

3.共轭复数

等于 j

2jj1eAeA/ψ1+ψ Ae jjAAej1e1 复数/ψ是一个模等于1,而辐角等于ψ的复数。任意复数乘以e

即复数的模不变,辐角变化了ψ角,此时复数矢量按逆时针方向旋转了ψ角。所以e

°°j称为旋转因子。使用最多的旋转因子是ej90=j和ej(-90)=-j。任何一个复数乘以j(或除以j),相当

于将该复数矢量按逆时针旋转90°;而乘以-j则相当于将该复数矢量按顺时针旋转90°。

3.2.3正弦量的相量表示法

正弦量 u=Umsin(tψ)

j(t)可以写作 u=Umsin(tψ)=Im[2Ue]

jjt =Im[2Uee] (3-8)

j式(3-8)中,符号Im是虚数的缩写。其中复常数部分Ue是包含了正弦量的有效值U

和初相角ψ的复数,我们把这复数称为正弦量的相量,并用符号U表示,上面的小圆点是

用来表示相量。则

j U=Ue

简写为 U=U/ψ

相量和复数一样,可以在复平面上用矢量表示,这种表示相量的图,称为相量图。如图3.8所示。

图2.8 电压相量图

例3.1 已知正弦电压

u1=2100sin(314t+60°) V

u2=250sin(314t-60°) V

写出表示u1和u2的相量表示式,并画出相量图。

解:U1=100/60°V

 U2=50/-60°V

相量图如图3.9所示。

图3.9 例3.1 电压的相量图

 例3.2 已知两频率均为50Hz的电压,表示它们的相量分别为U1=380/30°V,

U2=220/-60°V,试写出这两个电压的解析式。

解:ω=2πf=2π50=314 rad/s

u1=3802sin(314t+30°) V

u2=2202sin(314t-60°) V

i2=1002sin(t-120°) 例3.3 已知i1=1002sint A,A,试用相量法求i1+i2 。

解: I=100/0°

A 1

I2=100/-120°A

I+I=100/0°+ 100/-120°

12 i1+i2t-60°)A

由此可见,正弦量用相量表示,可以使正弦量的运算简化。

3.3 电阻、电感和电容元件电压与电流的相

量关系

学习目标:

1.掌握正弦交流电路的基本概念,正弦量的表示方法。

2.掌握R、L、C三种元件的电压、电流的关系;掌握R、L、C串联和RL与C并联电路的相量分析法;了解用相量分析法分析复杂电路.

3.掌握正弦交流电路中的功率计算,熟悉功率因数的提高的方法。了解正弦交流电路负载获得最大功率的条件。

4.了解谐振现象的研究意义;掌握串、并联谐振条件、主要特点及典型应用。

电阻R、电感L、电容C是交流电路中的基本电路元件。本节着重研究三种元件上的电压与电流关系,能量的转换及功率问题。

3.3.1电阻元件

1.电阻元件上电压与电流的关系

当电阻两端加上正弦交流电压时,电阻中就有交流电

流通过,电压与电流的瞬时值仍然遵循欧姆定律。在图

3.10中,电压与电流为关联参考方向,则电阻上的电流为

uR

iR=R (3-9)

图3.10 电阻元件 上式是交流电路中电阻元件的电压与电流的基本关系。

如加在电阻两端的是正弦交流电压

uR=

则电路中的电流为 URmsin(tu)

uRURmsin(tu)IRmsin(ti)iR

R R = (3-10)

式中

写成有效值关系为: IRmURmR iu IRUR

R 或 URRIR (3-11)

从以上分析可知:

(1) 电阻两端的电压与电流同频率、同相位;

(2) 电阻两端的电压与电流的数值上成正比.

其波形图如3.11所示(设

图3.11 电阻元件的电压、电流波形图 i0)。

电阻元件上电压与电流的相量关系为

RIURR/ψu =RIR/ψi IR=IR/ψi

则 URRIR (3-12)

式(3-12)就是电阻元件上电压与电流的相量关系,也就是相量形式的欧姆定律。 图3.12给出了电阻元件的相量模型及相量图。

2.电阻元件的功率

在交流电路中,任意电路元件上的电压瞬时值与电流瞬时值的乘积称作该元件的瞬时功率。用小写字母P表示。

当uR,iR为关联参考方向时,

(a)相量模型 (b)相量图

图3.12 电阻元件的相量模型及相量图

PuRiR (3-13) 若电阻两端的电压、电流为(设初相角为0°)

uRURmsint

i

IRmsint R

则正弦交流电路中电阻元件上的瞬时功率为

Isint P=uRiR=URmsintRm

=URmIRmsint

=URIR(1cos2t) (3-14) 其电压、电流、功率的波形图如图2.13所示。

从图中可知:只要有电流流过电阻,电阻R上的2

瞬时功率P≥0,即总是吸收功率(消耗功率)。其吸

收功率的大小在工程上都用平均功率来表示。周期性

交流电路中的平均功率就是瞬时功率在一个周期的平

均值。

平均功率

1T1TpdtURIR(1cos2t)dt00P=T=T=URIR

又因 UR=RIR 图3.13 电阻元件的功率波形图

22UIIRU/R (3-15) RRRRP所以 ==

由于平均功率反映了元件实际消耗电能的情况,所以又称有功功率。习惯上常简称功率。

例3.4 一额定电压为220V、功率为100W的电烙铁,误接在380V的交流电源上,问此时它消耗的功率是多少?会出现什么现象。

解:已知额定电压和功率,可求出电烙铁的等效电阻 2UR2202

RP100=484Ω

当误接在380V电源上时,电烙铁实际消耗的功率为 3802

P1300W484

此时,电烙铁内的电阻很可能被烧断。

3.3.2电感元件

1.电感元件上电压和电流的关系

设一电感L中通入正弦电流,其参考方向如图3.14所示。

设iLILmsin(ti)

则电感两端的电压为 uLLdIsin(ti)diLLLm

dtdt

=ILmLcos(ti) ULmsin(ti)2 图2.14 电感元件 =

=ULmsin(tu) (3-16) 式中 ULm

LILm Ψu=Ψi+2

ULL

写成有效值为 ULLIL 或 IL (3-17)

从以上分析可知:

(1) 电感两端的电压与电流同频率;

(2) 电感两端的电压在相位上超前电流90°;

(3) 电感两端的电压与电流有效值(或最大值)之比为L。

令 XL=L =2fL (3-18) XL称为感抗,它用来表示电感元件对电流阻碍作用的一个物理量。它与角频率成正比。单位是欧姆。

在直流电路中,ω=0,XL=0,所以电感在直流电路中视为短路。

将式(3-18)代入式(3-17)得

ULXLIL (3-19) 电感元件的电压、电流波形图如3.15所示(设ψi=0)。

图3.15 电感元件的电压、电流波形图

电感元件上电压与电流的相量关系为  IL=IL/ψi  ULLIL/ψi+90°=jLIL=jXLIL  即 ULjXLIL (3-20) 图3.16给出了电感元件的相量模型及相量图。

(a)相量模型 (b)相量图

图3.16 电感元件的相量模型及相量图

2.电感元件的功率

在电压与电流参考方向一致的情况下电感元件的瞬时功率

p=uLiL

若电感两端的电流、电压为(设Ψi=0)

iLILmsint

u

则正弦交流电路中电感元件上的瞬时功率为 LULmsin(t)2

ULmsin(t)2ILmsint p=uLiL=

=ULmILmsintcost

=ULILsin2t (3-21) 其电压、电流、功率的波形图如图3.17所示。由上式或波形图都可以看出,此功率是以两倍角频率作正弦变化的。

图3.17电感元件的功率波形图

电感在通以正弦电流时,所吸收的平均功率为 P1T1TpdtULILsin2tdt0T0T0 (3-22) 上式表明电感元件是不消耗能量的,它是储能元件。电感吸收的瞬时功率不为零,在第一和第三个1/4周期内,瞬时功率为正值,电感吸取电源的电能,并将其转换成磁场能量储存起来;在第二和第四个1/4周期内,瞬时功率为负值,将储存的磁场能量转换成电能返送给电源。

为了衡量电源与电感元件间的能量交换的大小,把电感元件瞬时功率的最大值称为无功功率,用QL表示。 U2LQLULILILXLXL

(3-23) 2

无功功率的单位为乏(var),工程中有时也用千乏(kvar)。

1kvar=10 var

例3.5 若将L=20mH的电感元件,接在UL=110V的正弦电源上,

则通过的电流是1mA,求(1)电感元件的感抗及电源的频率;

(2)若把该元件接在直流110V电源上,会出现什么现象?

U110XLL1103I110L解:(1)k 3

XL11010358.7610Hz3f2L22010 电源频率

(2)在直流电路中,XL=0,电流很大,电感元件可能烧坏。

3.3.3 电容元件

1.电容元件上电压和电流的关系

设一电容C中通入正弦交流电,其参考方向如图3.18所示。设外接正弦交流电压为

ucUcmsin(tu)

则电路中电流

cC

i

ducdUcmsin(tu)

Cdtdt

=UcmCcos(tu) 图3.18 电容元件

Icmsin(tu)

2 =

=Icmsin(ti) (3-24)

式中 ICmUCmC Ψi=Ψu+2

UC1

C (3-25)写成有效值为 ICCUC 或 IC

从以上分析可知:

(1)电容两端的电压与电流同频率;

(2) 电容两端的电压在相位上滞后电流90°;1

(3) 电容两端的电压与电流有效值之比为C。

11

令 XC=C=2fC (3-26)

XC称为容抗,它用来表示电容元件对电流阻碍作用的一个物理量。它与角频率成反

比,单位是欧姆。

将式(3-26)代入式(3-25),得

UCXCIC (3-27) 电容元件的电压、电流波形图如3.19所示。 (设Ψu=0)

图3.19 电容元件的电压、电流波形图

电容元件上电压与电流的相量关系为

UCUC/ψu

UC



ICCUC/ψu+90°=jCUC=jXC



即 UCjXCIC (3-28)

图3.20给出了电容元件的相量模型及相量图。

(a)相量模型 (b)相量图

图3.20 电容元件的相量模型及相量图

2.电容元件的功率

在电压与电流参考方向一致的情况下,设u则电容元件的瞬时功率为

C

UCmsint

ICmsin(t)

2 p=uCiC =UCmsint

=UCmICmsintcost

=UCICsin2t (3-29) 其电压、电流、功率的波形图如图3.21所示。由上式或波形图都可以看出,此功率是以两倍角频率作正弦变化的。

电容在通以正弦电流时,所吸收的平均功率为

1T1T

pdtULILsin2t000

P=T=T (3-30)

与电感元件相同,电容元件也是不消耗能量的,它也是储能元件。电容吸收的瞬时功率不为零,在第一和第三个1/4周期内,瞬时功率为正值,电容吸取电源的电能,并将其转换成电场能量储存起来;在第二和第四个1/4周期内,瞬时功率为负

值, 图3.21 电容元件的功率波形图 将储存的电场能量转换成电能返送给电源。

用无功功率QC表示电源与电容间的能量交换

2UC

QCUCIC

XC (3-31)

例3.6 设加在一电容器上的电压u(t)62sin(1000t60)V,其电容C为10μF,求

2

ICXC

(1)流过电容的电流i(t)并画出电压、电流的相量图。 (2)若接在直流6V的电源上,则电流为多少?

解:(1) U6/-60° V

XC

U6ICC0.06

jxj100c /-60°+ 90°

=0.06/30°A

11

100C100010106

t30)V 电容电流 i(t)=0.062sin(1000

电容电压、电流的相量图如图2.22。 图3.22 例3.6

电压、电流的相量图

(2)若接在直流6V电源上,XC=∞,I=0。

3.4 基尔霍夫定律的相量形式

1.掌握正弦交流电路的基本概念,正弦量的表示方法。

2.掌握R、L、C三种元件的电压、电流的关系;掌握R、L、C串联和RL与C并联电路的相量分析法;了解用相量分析法分析复杂电路.

3.掌握正弦交流电路中的功率计算,熟悉功率因数的提高的方法。了解正弦交流电路负载获得最大功率的条件。

4.了解谐振现象的研究意义;掌握串、并联谐振条件、主要特点及典型应用。

基尔霍夫电流定律是电流连续性的表现。在交流电路中,任一瞬间的电流总是连续的,因此基尔霍夫电流定律适用于交流电路的任一瞬间。即任一瞬间,流入电路任一节点的各电流瞬时值的代数和恒等于零。即 为

i0 (3-32)

正弦交流电路中,各电流都是与电源同频率的正弦量,把这些同频率的正弦量用相量表示即 量的代数和恒等于零。

同理可得基尔霍夫电压定律的相量形式为

0I (3-33)

这就是基尔霍夫电流定律的相量形式。它表明在正弦交流电路中,流入任一节点的各电流相

0U (3-34)

它表明在正弦交流电路中,沿着电路中任一回路所有支路的电压相量和恒等于零。

3.5 正弦交流电路的相量分析

1.掌握正弦交流电路的基本概念,正弦量的表示方法。

2.掌握R、L、C三种元件的电压、电流的关系;掌握R、L、C串联和RL与C并联电路的相量分析法;了解用相量分析法分析复杂电路

.

3.掌握正弦交流电路中的功率计算,熟悉功率因数的提高的方法。了解正弦交流电路负载获得最大功率的条件。

4.了解谐振现象的研究意义;掌握串、并联谐振条件、主要特点及典型应用。

3.5.1 电阻、电感和电容串联电路及复阻抗

电阻、电感和电容串联电路如图3.23所示。 根据相量形式的KVL可得



UURULUC

jLI1IRI

jC =

(RjL

=

1)I

jC 图3.23 R、L、C串联电路

[Rj(XLXC)]I

 (3-35) =ZI

式中 ZRj(XLXC) (3-36) 令 XXLXC

UZRjX

I 则有

可见,在R、L、C串联电路中,电压相量U与电流相量I之比为一复数Z,它的实部为电路的电阻R,虚部为电路中的感抗XL与电容XC之差,X称为电路的电抗,Z称为

电路的复阻抗。将复阻抗写成指数形式,则为

ZR2X2

X

Z/,

2222

ZRXR(XX)LC 其中 (3-37)

XXCX

L

RR (3-38)

Z以上两式表明:复阻抗的模(也可称阻抗)及辐角的大小,只与参数及角频率有关,

而与电压及电流无关。式(3-37)还说明,复阻抗的模

Z和R及X构成一个直角三角形。

如图3.24所示,称为阻抗三角形,辐角又称为阻抗角。

Zcos

Z X=sin

R=由式(2-35)可得

uUZ

=I/i I

UZ/ 图3.24 阻抗三角形

I/ψu -ψi =

Z可见复阻抗的模等于电压的有效值与电流的有效值之比,辐角

等于电压与电流的相位

U/

差角,即

UZ =I =ui (3-39)

由此可见,复阻抗Z决定了电压、电流的有效值大小和相位间的关系。所以复阻抗是

正弦交流电路中一个十分重要的概念,为了简明,复阻抗可简称为阻抗。

例3.7 某RLC串联电路中,R=3 Ω,XL=3 Ω,XC=7 Ω,正弦电压U=100 V,试求电路的复阻抗,电路中的电流和各元件上的电压,并作出相量图。

解:复阻抗 Z=Rj(XLXC)=3j(37)=3j4=5/-53.1°Ω

设电压 U100/0°

100UI

Z=5=20/53.1°(A) 则



URRI320/53.1°=60/53.1° (V) 

ULjXLIj320/53.1°=60/143.1° (V)



UCjXCIj720=140/-36.9° (V)

/53.1

°

相量图如图3.25。

图3.25 例3.7 电压、电流相量图

下面我们讨论电路参数对电路性质的影响。

XCXC 根据电路参数可得出R、L、串联电路的性质: L

R(1)当XL>XC时,=>0,即电压超前电流角;电路呈感性;

(2)当XL

(3)当XL=XC时,=0,即电压与电流同相位,电路呈阻性。 三种情况的相量图如图3.26所示:

图3.26 R、L、C串联电路相量图

由上面分析可知:90



从图3.26的相量图还可看出,电阻电压UR、电抗电压UXULUC和端电压U的三

222

U

R

(ULUC)2RUX

= 其中 UX=|ULUC|

in

例3.8 电路如图3.27(a)图所示是一移相电路,已知输入电压U=1V, f=1000Hz, C=0.01f,欲使输出电压uo较输入电压uin的相位滞后60,试求电路的电阻。

(a)移相电路 (b)相量图

图3.27 例3.8

11

15.9k2fC210000.01106

jIXUC O

UinI(RjXC)

XC

XUjIjXC0C

UinI(RjXC)RjXC

XC2

R2XC/arctan(XC/R)

XC

60

R =-90°+

欲使输出电压uo较输入电压uin的相位滞后60

XC

30R

XC3

3 即 R

R3XC315.927.6k

例3.9 电路如图3.28(a)图所示为正弦交流电路中的一部分,已知电压表V1的读数为6V,V2的读数为8V,试求端口电压U。

(a)电路图 (b)相量图

图3.28 例3.9图

解:以电流为参考相量,画出相量图如图3.28(b)所示。



由相量图可见,UR、

UL、U三者组成一直角三角形,故得

2222

UU6810 V RL

本例也可用相量法计算:

I/0° 设电流相量为I

则 UR6/0°=6 V

UL8/90° =j8 V

 由KVL UURUL6j810/53.1°V

3.5.2 电阻、电感和电容并联的电路及复导纳

电阻、电感和电容并联电路如图3.29所示,对于这种并联电路,应用所谓

11

GBL

R;电感元件的感纳为L;电容元件复导纳分析比较方便。电阻元件的电导为

BC

的容纳为

率求得。

1

CXC

;它们均可由给定的参数及

根据相量形式的KCL得

 IIRICIL

UUU

1RjL

jc =

=[Gj(BCBL)]U 

=(GjB)U

图3.29 R、L、C并联电路

=YU (3-40) 式(3-40)中, BBCBL称电纳,YGj(BCBL)称复导纳 ,可简称导纳。

单位为西门子(S)。

YGjB (3-41) 将Y写成指数形式,则

BY

G /ˊ

Barctan22YG (3-42) =GB =

YY

YG2B2

是复导纳

的模,它等于此电路中电流的有效值与电压的有效值之比;

是复导纳的辐

角,称为导纳角,它等于电流与电压的相位差角。

I即 =U, =i-u (3-43) 由此可见,复导纳Y决定了电流、电压的有效值大小和相位间的关系。复导纳的模

G及B也构成一个直角三角形,如图3.30所示,称为导纳三角形。

根据电路参数可得出RLC并联电路的性质:

(1)当BC>BL时,>0 ,电流超前电压,电路呈容性; (2)当BC

Y和

(3)当BC=BL时,=0 ,电流与电压同相,电路呈阻性。

三种情况的相量图如图2.31所示:

图3.30 导纳三角形

图3.31 R、L、C并联电路的相量图



从图3.31可知,R、L、C并联电路,电流IR、IL+IC及I三个相量组成一个直角

(3-44)

例3.10 某R、L、C并联电路,已知R=50Ω,L=2mH,C=10f, ω=5000rad/s,端口电流I=0.5A,试求端电压及各元件电流。

11G

R50=0.02 S 解:

2IIR(ICIL)2

11

L50002103=0.1 S

6

BCC500010100.05 S YGj(BCBL)

BL

0.02j(0.050.1) 0.02j0.05

0.054/-68.2° (S)

设 I0.5/0° A

0.5/0

IU

Y=0.054=9.26/68.2° (V) 则



IGGU0.029.26/68.2°=0.185/68.2° (A)



ILjBLUj0.19.26/68.2°=0.926/-21.8°(A)



ICjBCUj0.059.26/68.2°=0.463/158.2°(A)

例3.11 电路如图3.32(a)所示为正弦交流电路的一部分,已知电流表I1的读数为3A,I2的读数为4A ,求电流表A的读数。

(a)电路图 (b)相量图

图3.32 例3.11

解:以电压为参考相量,画出相量图如图3.32(b)所示。



由相量图可见,IR、IC、I三者组成一直角三角形,故得

2222

III345 A RC

本例也可用相量法计算:

设电压相量为UU/0°

则 IR3/0°=3 A

IC4/90° =j4 A

由KCL IIRIC3j45/53.1°A 电流表的读数为5A。

3.5.3 复阻抗与复导纳的等效变换

在R、L、C串联和并联电路中,引入了复阻抗、复导纳的概念对正弦交流电路中的任一不含独立电源的二端网络,都可引用复阻抗和复导纳,并有着进一步的意义。 1.复阻抗

一个不含独立源的线性二端网络的入端复阻抗Z(图3.33)定义为该电路的二端间的

电压相量U与流入此电路的电流相量I之比,即

UZZI / = RjX

(a)线性二端网络 (b)二端网络的复阻抗

图3.33



一个二端网络的复阻抗ZRjX可等效地看作是由电阻R与电

抗X串联组成。复阻抗中的电阻一般为正值,如果X0,则0,称该阻抗为电感性阻抗,可用RL元件串联来表示;如果X0则0,称该阻抗为电容性阻抗,可用RC元件串联来表示。

例3.12 已知某网络N的端电压与电流波形如图3.34(a)、(b)所示,试画出网络N的一种串联等值电路,并求出等值电路各元件的参数。设电源频率f=50Hz。

解:按照波形图可写出u、i的瞬间表达式 i=0.52sin(t30)A u=2sin(t15)V

相量形式为

I0.5/30°(A)

U220/-15°(V)

220/15UZ

0.5/30311j311 Ω I

其等值参数为R311Ω,XC311Ω,

C

1

10.2f

2fXC

网络N的一种等值电路如图3.34(C)所示。

(a)二端网络N (b)电压、电流波形图 (c)串联等值电路

图3.34 例3.12

2.复导纳

一个不含独立电源的二端网络的复导纳定义为流入该电路的电流相量I与该电路的端

电压U之比,即

IY

/ˊ=GjB U

一个二端网络的复导纳Y=GjB可等效地看作是电导G与电纳B并联组合的电路,如图3.35所示:

 如果B0,则0,电路呈容性,则此电路可用R与C并联电路来表示;

如果B0, 则0,电路呈感性,则此电路可用R与L并联电路来表示。

图3.35 电导与电纳的并联电路

3.复阻抗与复导纳的等效互换

同一个不含独立源的二端网络,既可用电阻、电抗串联组合等效代替,又可用电导、电纳并联组合等效代替。这也意味着这两种组合可以等效互换,并称之复阻抗与复导纳的等效变互换。

U

Z

I电路的复阻抗

IY

U电路的复导纳

11ZY

Y 或Z (3-45)

由此可得

例3.13 已知一并联电路如图3.36(a)所示,其电阻为R16,电感为40mH,314rad/s,求等效串联电路的参数。 解:并联电路的电导G及电纳B分别为:

11G0.0625

R16 S

BBL

Z

11

0.08L31440103 S

11

YGjB

10.06250.08

j

0.0625j0.080.062520.0820.062520.082

6.06j7.76 (Ω)

X7.76R6.06

L

X

7.76

0.025314H

即可等效成电阻为6.06Ω与电感为0.025H相串联的电路。如图3.36(b)所示。

(a)并联电路 (b)等效串联电路

图3.36 例3.13

2.5.4 阻抗的连接

1.阻抗的串联

阻抗串联电路如图2.37所示,根据相量形式的KVL可得,

UUUU123(Z1Z2Z3)I

ZI

(2-46)

式中 ZZ1Z2Z3 (3-47)

图3.37 阻抗串联电路

Z为全电路的等效阻抗,它等于各复阻抗之和。

如果把各阻抗用R与X串联来表示,

即 Z1R1jX1,Z2R2jX2,Z3R3jX3 则 Z(R1R2R3)j(X1X2X3)RjX 式中 RR1R2R3 XX1X2X3

因此,串联阻抗的等效电阻等于各电阻之和,等效电抗等于各电抗的代数和。故等效阻抗的模为

22

Z(RRR)(XXX)123123

阻抗角为

X1X2X3

R1R2R3

Z1UU1

Z 阻抗串联时的分压公式

其公式与直流电路相似,所不同的是电压、电流均为相量,Z为复数。

Z210j15, 例3.14 设三个复阻抗串联电路如图3.37所示,已知Z15j10,

40/30°V,试求等效复阻抗Z,电流I和电压UZ3j9,电源电压U1,U2,U3,

并画出相量图。

解:复阻抗 ZZ1Z2Z3

5j1010j15j9 15j14

20.5/-43°

40/30UI

20.5=1.95/73°A Z

图3.38 例3.14 相量图

ZIU11=(5+j10)1.95/73°

=21.8/136.4° V

 U2Z2I(10-j15) 1.95/73°=35.2/16.7° V 

U3Z3I=-j91.95/73°=17.6/-17° V

相量图如图3.38所示 。 2.阻抗的并联

阻抗并联电路如图3.39,根据相量形式的KCL得 II1I2I3

111U()UZ1Z2Z3Z

图3.39阻抗并联电路



1111



式中 ZZ1Z2Z3 (3-48)

几个复阻抗并联时,全电路的等效复阻抗的倒数等于各复阻抗的倒数之和。 若用导纳表示,则为

YY1Y2Y3 (3-49) 也就是说,几个复导纳并联时,等效复导纳等于各复导纳之和。当两个复阻抗并联时,其等效阻抗也可用下式计算:

ZZZ12

Z1Z2

例3.15 电路如图3.40(a)所示。已知R13,XL4,XC2,R

310,

20/0°V,试求电路的等效复阻抗,总电流I和支路电流I1、IU2、I3,并画出相量图。

解: YY1Y2Y3

111

Z1Z2Z3

111



3j4j210

3411jj

25210 251117j

50 50

0.22j0.34 S

Z

111.34j2.17Y0.22j0.14=2.46/-57.1°Ω

U20I8.1Z2.46/57.1 /57.1° A U20I1Z3j41 4/-53.1° A 20/0UI2Z2j210/90° A

U20I3Z3102/0° A

相量图如图3.40(b)所示。

(a)电路图 (b)相量图

图3.40 例3.15图

3.阻抗混联电路

阻抗混联的电路的分析方法可按照直流电路的方法进行。

U 例3.16 在图3 .41中,已知R10,L40mH,C10uf,R150,100/0°

V,1000rads,试求各支路电流。

解:(1)首先计算全电路的等效阻抗Z XLL10004010

3

40

XC

11

100

C100010106

R1(jXC)R1jXC

50(j100)

10j40

50j100

10j4040j20

50j20=53.9/21.8°Ω 图3.41 例3.16

ZRjXL

(2)计算电路总电流

U100/0IZ53.9/21.8 1.86/-21.8°A

(3)利用分流公式计算各支路电流 jXCIj100I1

R1jXC50j1001.86/21.8°=1.66/-48.4°A

I2

R150IR1jXC50j1001.86/21.8°=0.83/41.6°A



或 I2II1=1.86/21.8°-1.66/-48.4°=0.83/41.6°A

从上例可以看出,阻抗串、并联交流电路的计算同直流电路的电阻串、并联方法相同,所不同的是电阻用复阻抗来代替,电压、电流用相量代替,且计算比较复杂。读者可借助于函数计算器中的复数计算(CPLX)功能来进行。

3.6用相量法分析复杂交流电路

1.掌握正弦交流电路的基本概念,正弦量的表示方法。

2.掌握R、L、C三种元件的电压、电流的关系;掌握R、L、C串联和RL与C并联电路的相量分析法;了解用相量分析法分析复杂电路.

3.掌握正弦交流电路中的功率计算,熟悉功率因数的提高的方法。了解正弦交流电路负载获得最大功率的条件。

4.了解谐振现象的研究意义;掌握串、并联谐振条件、主要特点及典型应用。

分析直流电路的各种方法和定理在形式上同样能适用于分析复杂交流电路。本节通过例题说明如何应用支路电流法、戴维南定理等来分析复杂正弦交流电路。

例3.17 在图2.42所示电路中,已知US1100V,US2

100/90°V,R5,XL5,XC2,试用支路电流法求支路电流。

解:选定支路电流参考方向如图3.42所示。 列出回路电流方程



II0I123RIU(jXC)I13S1URI(jX)I3L2S2 

代入数据得:

II0I1235I100(j2)I13100905I3(j5)I2 

I127.8/-56.3°A

I232.3/-115.4°A 29.9I 3/-11.9°A

对以上方程求解得: 图3.42 例3.17

例3.18 电路如图2.42所示,用戴维南定理求支路电流I3。

解:将待求支路(R3支路)引出,其余部分用戴维南等效电路(即等效电压源)来代替,整理后电路如图3.43(a)所示。

(a)电路图 (b)等效电路

图3.43 例3.18

(1) 先求开路电压Uabo

UUS1S2179.7UabojXLUS2j(XX)LC /-21.8°V

(2)求入端阻抗(将电压源US1,US2短路处理) jXL(jXC)j5(j2)j3.33ZjXjXj5j2LC i

Uabo179.7/21.8I3

ZiRj3.33529.9/11.9°A(3)求电流

例3.19 如图3.44所示为交流电桥测试线圈的电阻

Rx和电感LX的线路,RA、RB、Rn、Cn均已知,试求交流电桥平衡时的Rx和LX值。



1jCnRn 解:与直流电桥类似,1一般交流电桥平衡的条件是;1

jCnZ2RnRn Z1Z4Z2Z3

式中 Z1RA

Z3RxjLx

图3.44 例3.19交流电桥测量原理图

Z4RB

Rn

)(RxjLx)RARB

所以 1jCnRn

RnRxjLxRnRARBjCnRnRARB

(

上式等号两边的实部和虚部应分别相等,

RxRARBRn

LCnRARB

得 x

2.7 正弦交流电路中的功率及功率因数的提高

1.掌握正弦交流电路的基本概念,正弦量的表示方法。

2.掌握R、L、C三种元件的电压、电流的关系;掌握R、L、C串联和RL与C并联电路的相量分析法;了解用相量分析法分析复杂电路.

3.掌握正弦交流电路中的功率计算,熟悉功率因数的提高的方法。了解正弦交流电路负载获得最大功率的条件。

4.了解谐振现象的研究意义;掌握串、并联谐振条件、主要特点及典型应用。

在2.3中分析了电阻、电感及电容单一元件的功率,本节将分析正弦交流电路中功率的一般情况。

3.7.1 有功功率、无功功率、视在功率和功率因数 设有一个二端网络,取电压、电流参考方向如图2.45所示,则网络在任一瞬间时吸收的功率即瞬时功率为 pu(t)i(t)

设 u(t)2Usin(t)

i(t)2Isint 图3.45

其中为电压与电流的相位差。

p(t)u(t)i(t)

2Usin(t)2Isint

UIcosUIcos(2t)

(2-49)

其波形图如图3.46所示。

瞬时功率有时为正值,有时为负值,表示网络有时从

图3.46 瞬时功率波形图

外部接受能量,有时向外部发出能量。如果所考虑的二端网络内不含有独立源,这种能量交换的现象就是网络内储能元件所引起的。二端网络所吸收的平均功率P为瞬时功率

p(t)在一个周期内的平均值,

将式(2-49)代入上式得

1T

PUIcosUIcostUIcos

dtT0 (3-50) 可见,正弦交流电路的有功功率等于电压、电流的有效值和电压、电流相位差角余弦的乘积。

cos称为二端网络的功率因数,用表示,即cos,称为功率因数角。在二端

网络为纯电阻情况下,0,功率因数cos1,网络吸收的有功功率 PRUI;当二端网络为纯电抗情况下,90,功率因数cos0,则网络吸收的有功功率 PX0 ,这与前面2.3节的结果完全一致。

在一般情况下,二端网络的ZRjX,

P

1T

T

pdt

arctg

X

R,cos0,即PUIcos。

二端网络两端的电压U和电流I的乘积UI也是功率的量纲,因此,把乘积UI称为该网络的视在功率,用符号S来表示,即

SUI (3-51) 为与有功功率区别,视在功率的单位用伏安(VA)。视在功率也称容量,例如一台变压器的容量为4000kVA,而此变压器能输出多少有功功率,要视负载的功率因数而定。

在正弦交流电路中,除了有功功率和视在功率外,无功功率也是一个重要的量。即 QUxI

而 UXUsin

所以无功功率QUIsin (3-52) 当=0时,二端网络为一等效电阻,电阻总是从电源获得能量,没有能量的交换; 当0时,说明二端网络中必有储能元件,因此,二端网络与电源间有能量的交换。

0,Q0;0,Q0。对于感性负载,电压超前电流,对于容性负载,电压滞后电流, 2.7.2 功率因数的提高

电源的额定输出功率为PNSNcos,它除了决定于本身容量(即额定视在功率)外,还与负载功率因数有关。若负载功率因数低,电源输出功率将减小,这显然是不利的。因此为了充分利用电源设备的容量,应该设法提高负载网络的功率因数。

另外,若负载功率因数低,电源在供给有功功率的同时,还要提供足够的无功功率,致使供电线路电流增大,从而造成线路上能耗增大。可见,提高功率因数有很大的经济意义。 功率因数不高的原因,主要是由于大量电感性负载的存在。工厂生产中广泛使用的三相异步电动机就相当于电感性负载。为了提高功率因数,可以从两个基本方面来着手:一方面是改进用电设备的功率因数,但这主要涉及更换或改进设备;另一方面是在感性负载的两端并联适当大小的电容器。

下面分析利用并联电容器来提高功率因数的方法。

原负载为感性负载,其功率因数为cos,电流为I1,在其两端并联电容器C,电路如图3.47所示,并联电容以后,并不影响原负载的工作状态。从相量图可知由于电容电流

补偿了负载中的无功电流。使总电流减小,电路的总功率因数提高了。

(a)电路图 (b)相量图

图3.47

设有一感性负载的端电压为U,功率为P,功率因数cos1,为了使功率因数提高到cos,可推导所需并联电容C的计算公式:

I1cos1Icos

PU

流过电容的电流 又因 ICUC

ICI1sin1Isin

P

(tg1tg)U

C

所以

P

(tg1tg)2

U (2-53)

1=2.8kW,功率因 例3.20两个负载并联,接到220V、50Hz的电源上。一个负载的功率P

数cos1=0.8(感性),另一个负载的功率P2=2.42kW,功率因数cos2=0.5(感性)。试求: (1)电路的总电流和总功率因数; (2)电路消耗的总功率;

(3)要使电路的功率因数提高到0.92,需并联多大的电容?此时,电路的总电流为多少? (4)再把电路的功率因数从0.92提高到1, 需并联多大的电容?

P12800

15.9

Ucos12200.8解:(1) A

cos1=0.8 1=36.9°

I1

P22420

22

Ucos22200.5(2) A

cos1=0.5 1=60°

I2

设电源电压 U=220/0°V,

则 I1=15.9/-36.9°A

I 2=22/-60°A

I=37.1A

 I=I1+I2=15.9/-36.9°+22/-60°=37.1/-50.3°A

=50.3° cos=0.64

1P2=2.8+2.42=5.22 kW PP

(3)

cos0.92 23.1

cos=0.64 =50.3°

C

 =0.00034(1.2-0.426)=263F

P

(tg50.3tg23.1)2

U

P5220

25.8

Ucos2200.92 A

(4) cos0.92 23.1

I

cos1 0 C

=0.00034(0.426-0)=144.8F

由上例计算可以看出,将功率因数从0.92提高到1,仅提高了0.08,补偿电容需要144.8F,将增大设备的投资。

在实际生产中并不要把功率因数提高到1,因为这样做需要并联的电容较大,功率因数提高到什么程度为宜,只能在作具体的技术经济比较之后才能决定。通常只将功率因数提高到0.9~0.95之间。

P

(tg23.1tg0)2

U

3.8正弦交流电路负载获得最大功率的条件

在图3.48所示电路中,US为信号源的电压相量,

Zi=Ri+jXi为信号源的内阻抗,ZRjX为负载阻抗。 负载中的电流

US

USI

ZiZ(RiR)j(XiX)

于是,电流的有效值为

图3.48

I

US

(RiR)2(XiX)2

2USR

负载吸取的平均功率

PIR

2

(RiR)2(XiX)2 (3-54)

2USR

如果负载的电抗X和电阻R均可调,则首先选择负载电抗X=-Xi

P

使功率P为

(RiR)2

其次是确定R值,将P对R求导数得

dP12R2US

23dR(RR)(RR)ii

dP0dR令

解得 RRi

因而负载能获得最大功率的条件为 XXi RRi

*

即 ZZi (3-55)

当上式成立时,我们也称负载阻抗与电源阻抗匹配。 负载所得最大功率为

2

US

4Ri (3-56)

Pmax

在阻抗匹配电路中,负载得到的最大功率仅是电源输出功率的一半。即阻抗匹配电路的传输效率为50%,所以阻抗匹配电路只能用于一些小功率电路,而对于电力系统来说,首要的问题是效率,则不能考虑匹配。

范文二:第2章正弦交流电路 投稿:赖疎疏

学时) 第 2 章 正弦交流电路 (讲课共 6 学时) 第 1 次课 正弦量及其相量表示法 学时: 一、学时:2 学时 目的与要求: 二、目的与要求: 1、交流电路不仅是交流电机和变压器的理论基础,而且要为电子电路作 、交流电路不仅是交流电机和变压器的理论基础, 好理论基础,故这章是本课程的重要内容之一。 好理论基础,故这章是本课程的重要内容之一。 2、深刻理解正弦交流电的三要素、相位差及有效值概念。 、深刻理解正弦交流电的三要素、相位差及有效值概念。 3、熟悉正弦量的各种表示方法及相互间的关系。 、熟悉正弦量的各种表示方法及相互间的关系。 重点: 三、重点: 1、正弦量的特征及各种表示法。 、正弦量的特征及各种表示法。 2、 R、L、C 的相量图和相位关系。 、 、 、 的相量图和相位关系。 难点: 四、难点: 相量计算中的相量图、相位关系。 相量计算中的相量图、相位关系。 教学方式:多媒体或传统方法。 五、教学方式:多媒体或传统方法。 习题安排: 六、习题安排: 教学内容: 七、教学内容: 2.1 正弦量与正弦电路 正弦量与正弦电路 2.2.1 正弦量的时域表示方法 1、正弦量三要素 、 i=Imsin(ωt+ψ) (下图是ψ=0 时波形图)

i

0

ωt

(1)Im:幅值(最大值)等于有效值 I 的根号 2 倍; 有效值 I 等于发热效应等价的直流电流数值。 (2)角频率ω:等于 2πf(频率)=2π/T(周期); 单位时间转过的弧度数 (3)初相位ψ:t=0 时,正弦量的起始相位角度; 相位(ωt+ψ):反映正弦量的变化进程。 2.相位差 相位差

ϕ =ψ1-ψ2

不随计时起点而变,反映同频率正弦量相位差,有超前、滞后等问题。 2.2.1 正弦量的相量表示法 正弦量的相量表示法 1、相量 、 (1)定义: 正弦量除了用波形图及瞬时表达式表示外,还可用一个与之 时应的复数表示,这个表示正弦量的复数称为相量。即

ɺ I =I∠ψ

1

(2)按复数的运算法则计算 加减用直角坐标或三角函数形式,乘除用指数形式或极坐标形式。

ψ ɺ I =I∠ψ=Iej =I(cosψ+jsinψ)

2、相量图: 、相量图 (1)画法:把正弦量用一有向线段表示,同一量纲的相量采用相同的比 例尺寸。 (2)加法减法运算:按平行四边形法则计算 例题讨论 已知工频正弦量为 50Hz,试求其周期 T 和角频率。 【解】 T= 1 = 1 =0.02s,ω=2πf=2×3.14×50rad/s,即工频正

f

50Hz

弦量的周期为 0.02s,角频率为 314rad/s。 已知两个正弦电流 i1=4sin(ωt+30°)A,i2=5sin(ωt-60°)A。试求 i=i1+i2。 已知 uA=220 2 sin314tV,uB=220 2 sin(314t-120˚)V 和 uC=220 2 sin(314t+120˚ )V,试用相量法表示正弦量,并画出相量 图。 已知 i1=100

2 sin(ωt+45˚)A,i

2=60

2 sin(ωt-30˚)A。

试求总电流 i=i1+i2,并做出相量图。 【解】由正弦电流 i1 和 i2 的频率相同,可用相量求得 (1)先作最大值相量

ɺ I1m =100 2 /45˚A ɺ I 2m =60 2 /-30˚A

(2)用相量法求和电流的最大值相量

ɺ ɺ ɺ I m = I1m + I 2m =100 2 /45˚+60 2 /-30˚=129 2 /18.4˚

(A)

(3)将和电流的最大值相量变换成电流的瞬时值表达式 i=129 2 sin(ωt+18.4˚) (A) (4)做出相量图,如右图所示。 也可以用有效值相量进行计算,方法如下 (1)先作有效值相量

ɺ I1 =100/45˚A ɺ I 2 =60/-30˚A

(2)用相量法求和电流的有效值相量,相量图如图 2.2.5所示。

ɺ ɺ ɺ I = I1 + I 2 =100/45˚+60/-30˚=129/18.4˚ (A)

2

(3)将和电流的有效值相量变换成电流的瞬时值表达式 i=129 2 sin(ωt+18.4˚) (A) 由此可见,无论用最大值相量还是用有效值相量进行求和运算,其计 算结果是一样的。

3

第 2 -3 次课 正弦交流电路分析 学时: 一、学时:4 学时 目的和要求: 二、目的和要求: 重点: 、 、 元件的特性、 三、重点: R、L、C 元件的特性、功率的计算方法 难点: 、 、 元件的特性、功率的计算方法五 教学方式: 四、难点:R、L、C 元件的特性、功率的计算方法五、教学方式:多媒体或 传统方法。 传统方法。 习题安排: 六、习题安排: 教学内容: 七、教学内容: 2.2 正弦交流电路分析 2.2.1 单一参数的交流电路 1、电阻元件及其交流电路 、 (1)电压电流关系

瞬时关系:u =iR

②相量关系:令 i = I m sin(ωt + ψ i ) 即 I m = I m ∠ψ i u = RI m sin(ωt + ψ i )

U m = R I m = RI m ∠ψ i = U m ∠ψ u U m= RI m 即

• •

Um U = =R Im I

ψu =ψi

u、i 波形与相量如图(b)(c)所示。 (2)功率

①瞬时功率 p = ui = U m I m sin 2 ωt = UI (1 − cos 2 ωt ) ②平均功率 P =

1 T

T

0

UI (1 − cos 2 ωt )dt = UI = RI 2 =

U2 R

(3)结论 在电阻元件的交流电路中,电流和电压是同相的;电压的幅值(或 有效值)与电流的幅值(或有效值)的比值,就是电阻 R。 2、电感元件的交流电路 、 ⑴电压电流关系

4

① 瞬时关系:

u=L

di dt

② 相量关系:

u=L

令 i = I m sin(ωt + ψ i ) 即 I m = I m ∠ψ i 如图(c)

dI m sin(ωt + ψ i ) dt

= ωLI m cos(ωt + ψ i ) π  = ωLI m sin  + ω t + ψ i  2  U m = U m ∠ψ u = ωLI m ∠

π

2

+ψ i

U m = ωLI m

ψu =

π

2

+ψ i

Um U = = ωL = X L = 2πfL (称 X L 为感抗) Im I

u、I 的波形图与相量图,如图(b)、(c)所示。 ⑵ 功率 ①瞬时功率为 p =ui=UmImsinωt.sin(ωt+90º) =UmImsinωt.cosωt= U m I m sin2ωt=UIsin2ωt

2

②平均功率为 P= 1 ∫ pdt = 1 ∫ UI sin 2ωtdt =0 0 0

T T

T

T

(3)结论 ;电压有效值等于

电流有效值与 2 感抗的乘积;平均功率为零,但存在着电源与电感元件之间的能量交换,所 以瞬时功率不为零。为了衡量这种能量交换的规模,取瞬时功率的最大值, 即电压和电流有效值的乘积,称为无功功率用大写字母 Q 表示,即 Q=UI=I2XL=U2/ XL (VAR) 电感元件交流电路中, u 比 i 超前

π

5

3、电容元件交流电路 、

⑴ 电压电流关系 ①瞬时关系: 如图(a)所示 i=C du

dt

② 相量关系:在正弦交流电路中

ɺ 令 u=Umsin(ωt +ψ u )即 U m = U m ∠ψ u

则 i= C du =C dU m sin(ωt + ψ u )

dt

dt

=ωCUmcos(ωt+ψ u )= ωCUmsin(ωt+ψ u +90 º)=Imsin(ωt+ψ u +90º)

ɺ I m=Im∠ψi=ωCUm∠900+ψ u

可见,Im=ωCUm =Um/XC (XC=1/ωC 称为电容的容抗)

ϕ =ψu-ψi= --900

u、i 的波形图和相量图,如图(b)(c) 。 ⑵功率 ①瞬时功率 p =u i =UmImsinωt.sin(ωt+90º)=UmImsinωt.cosωt= U m I m sin2ωt

2

=UIsin2ωt ②平均功率 P= 1 ∫ pdt = 1 ∫ UI sin 2ωtdt =0 0 0

T T

T

T

(3)结论 在电容元件电路中,在相位上电流比电压超前 900;电压的幅值(或 有效值)与电流的幅值(或有效值)的比值为容抗 XC ;电容元件是储能元 件,瞬时功率的最大值(即电压和电流有效值的乘积),称为无功功率,为 了与电感元件的区别,电容的无功功率取负值,用大写字母 Q 表示,即 Q=-UI=-I2XC=-U2/ XC 注:1 XC、XL 与 R 一样,有阻碍电流的作用。

6

2 适用欧姆定律,等于电压、电流有效值之比。 3 XL 与 f 成正比,XC 与 f 成反比,R 与 f 无关。 对直流电 f=0,L 可视为短路,XC= ∞ ,可视为开路。 对交流电 f 愈高,XL 愈大,XC 愈小。 例题讨论 把一个 100Ω 的电阻元件接到频率为 50Hz ,电压有效值为 10V 的正弦 电源上,问电流是多少?如保持电压值不变,而电源频率改变为 5000 Hz,这 时电流将为多少? 解: 因为电阻与频率无关,所以电压有效值保持不变时,频率虽然改 变但电流有效值不变。 即 I=U/R=(10/100)A=0.1=100mA 若把上题中的,100Ω 的电阻元件改为 25µF 的电容元件,这时电流又 将如何变化? 【解】当 f=50Hz 时 XC= 1 =

1 =127.4( ) 2πfC 2 × 3.14 × 50 × ( 25 × 10 − 6 ) I= U = 10 =0.078(A)=78(mA) X C 127.4 1 =1.274( ) 2 × 3.14 × 5000 × ( 25 × 10 − 6 )

当 f=5000Hz 时 XC=

I= 10 =7.8(A)

1.274

可见,在电压有效值一定时,频率越高,则通过电容元件的电流有效值越 大。 2.2.2-2.2.3 阻抗的概念与正弦交流电路的分析、功率 阻抗的概念与正弦交流电路的分析、 1.电路分析

(1) 电压与电流的关系 uR=RImsinωt=URmsinωt ①瞬时值计算:设 i=Imsinωt 则 u= uR+ uL+ uC= RImsinωt+XL Imsin(ωt + 90º)+XC Imsin(ωt - 90º) =Umsin(ωt+φ) 其幅值为 Um,与电流的相位差为 φ。 ②

相量计算:

7

如果用相量表示电压与电流的关系,则为

ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ U = U R + U L + U C =R I +jXL I -jXC I =[R+j(XL-XC)] I

此即为基尔霍夫定律的相量形式。 令 Z=

ɺ U =R+j(XL-XC) =|Z| / φ ɺ I

ɺ ɺ ɺ ɺ 由(b)图可见 U R 、 U L — U C 、 U 组成一个三角形,称电压三角形,电

压 u 与电流 i 之间的相位差可以从电压三角形中得出, φ=arctan U L − U C = arctan X L − X C

UR

R

|Z|、R 和(XL-XC)也可以组成一个直角三角形,称为阻抗三角形。 ⑵ 功率 ① 瞬时功率: p=ui=UmIm sin(ωt+φ) sinωt=UIcosφ-UIcos(2ωt+φ) ② 平均功率: P= 1 ∫ pdt = 1 ∫T [UI cos ϕ − UI cos( 2ωt + ϕ )]dt =UIcosφ 0 0

T

T

T

又称为有功功率,其中 cosφ 称为功率因数。 ③ 无功功率: Q=ULI-UCI= I2(XL-XC)=UIsinφ ④ 视在功率: S=UI 称为视在功率 可见 S = P 2 + Q 2 2.2.4 电路中的谐振 由上图的电压三角形可看出,当 XL=XC 时 即电源电压 u 与电路中的电 流 i 同相。这时电路中发生谐振现象。 1、串联谐振 、 谐振发生在串联电路中,称为串联谐振。

8

⑴ 发生串联谐振的条件,XL=XC 或 2πfL= 1 并由此得出谐振频率 f=f0= ⑵ 串联谐振的特征

1 2π LC

2πfC

① 电路的阻抗最小, Z = R 2 + ( X L − X C ) 2 =R。 ② 由于电源电压与电路中电流同相(φ=0),电路对电源呈现电阻性。

ɺ ɺ ③ 由于 XL=XC,于是 UL=UC。而 U L 与 U C 在相位上相反,互相抵

ɺ ɺ 消,因此电源电压 U = U R 。

⑶ 应用:常用在收音机的调谐回路中。 2、并联谐振 、 谐振发生并联电路中,称为并联谐振。 ⑴ 并联谐振频率为 f = f0 = ⑵ 并联谐振的特征: ① 谐振时电路的阻抗为

1 L = RC RC L 其值最大,即比非谐振情况下的阻抗要大。因此在电源电压 U 一定的情况 下,电路的电流 I 将在谐振时达到最小值。 ② 由于电源电压与电路中电流同相(φ=0),因此,电路对电源呈现电 阻性。 ③ 当 R

1 2π LC

9

⑵ 并联电容器的作用: 并联电容器后,电感性负载的电流和功率因数均未发生变化,这时因 为所加的电压和电路参数没有改变。但电路的总电流变小了;总电压和电路 总电流之间的相位差 φ 变小了,即 cosφ 变大了。 ① 并联电容器后,减小了电源与负载之间的能量互换。 ② 并联电容器后,线路电流也减小了(电流相量相加)

,因而减小了 功率损耗。 ③ 应该注意,并联电容器以后有功功率并未改变,因为电容器是不消 耗电能的。 问题讨论 有一电感性负载,共功率 P=10KW,功率因数 cosφ1=0.6,接在电压 U=220V 的电源上,电源频率 f=50Hz。(1)如果将功率因数提高到 cosφ=0.95,试求与负载并联的电容器的电容值和电容器并联前后的线路电 流。(2)如要将功率因数从 0.95 再提高到 1,试问并联电容器的电容值还需 增加多少?

10

11

范文三:正弦交流电路 投稿:黄滶滷

第6章 正弦交流电路

学习指导与题解

一、 基 本 要 求

1. 深刻理解正弦交流电压和电流波形图和瞬时值表示式中的三要素,频率f、角频 和周期T的关系。熟练掌握从波形图写出正弦量的瞬时值表示式,和从正弦量的瞬时值表示式绘出它的波形图。

1. 熟练掌握两同频率正弦量的相位关系,包括相位差、超前与滞后的概念,及相位差 的计算。

2.

倍关系。 3. 熟练掌握进行复数的直角坐标形式与极坐标形式之间的互相变换,和复数的四则 运算。

5.深刻理解正弦电压和电流的相量的概念。熟练掌握正弦电压、电流的瞬时值表示式与频域相量之间的对应变换与反变换关系。即能从正弦电压、电流的瞬时值表示式写出它们的相量。也能从正弦电压、电流的相量写出它们的瞬时值表示式。

6. 熟练掌握正弦交流电路中,KCL,KVL的相量形式。能用相量写出正弦交流电路中的KVL方程和KCL方程。

7. 掌握电感元件和电容元件伏安关系的两种形式和储能公式。熟练掌握R,L,C元件伏安关系相量形式,明确这三种元件电压与电流的相位关系。交接电感、电容元件的电压和电流有效值的大小与频率有关,以及电感和电容在直流作用下的稳态表现。

8. 熟练掌握阻抗与导纳的定义,R,L,C三种元件的阻抗与导纳,即电感的感抗和电容的容抗,并会进行计算。会把正弦交流电路交换为它的相量模型。

掌握无源二端网络的阻抗与导纳,及阻抗与导纳的等效变换关系。能作出无源二端网络的等效相量模型。

9. 能用相量和相量图法求解串、并联简单的正弦交流电路。 10. 熟练掌握应用相量法分析计算正弦交流电路。包括用阻抗串、并联及分压、分流公式计算不含受控源电路某一支路的电压和电流;用节点分析法和网孔分析法求解含受控源复杂正弦交流电路中各支路的电压和电流;用戴维南定理求解正弦交流电路中某一支路的电压和电流;应用叠加定理求解多电源正弦交流电路中的电压和电流。

11.熟练掌握电路中R,L,C元件的功率特性。能根据电阻电压和电流的有效值计算它们的平均功率。了解电感和电容元件的能量与外电路不断往返交换的特点,能根据电感和电容电压和电流的有效值计算它们的无功功率,掌握无功功率与储能平均值的关系。 12.熟练掌握根据端口电压和电流的有效值和功率因数及无功因数计算二端网络的平均(有功)功率和无功功率。能运用平均功率守恒和无功功率守恒来计算二端网络的平均功率和无功功率。掌握功率因数和视在功率的计算。能利用功率三角形掌握P,Q,S和功率因数之间的关系。

13.掌握二端网络无功功率与网络储能的关系。

14.明确提高功率因数的意义,掌握提高功率因数问题的计算。

15.能根据电压相量和电流相量计算复功率。运用复功率电视塔恒处理多负载的功率

分析问题。

二、学 习 指 导

正弦交流电路有广泛的实际应用,从电路理论本身也具有重要意义,是本课程的重要组成部分。本章是整个正弦交流电路分析的基础和重要内容,教学内容可以分为如下三部分: 1. 正弦量的表示形式;

2. 相量法的基础;

3. 正弦交流电路的分析计算

着重讨论正弦量的基本概念,正弦量的相量,阻抗与导纳,RLC元件伏安关系和基尔霍夫定律的相量形式,正弦交流电路的相量模型和应用相量法分析计算正弦交流电路中的电压和电流。

现就教学内容中的几个问题分述如下: (一) 关于正弦量的基本概念

正弦量如正弦电压和正弦电流,都是以时间t为变量,其瞬时值按正弦规律变化的周期函数。正弦量的基本概念包括如下三个方面,应予深刻理解。

1. 正弦量的表示法和它的三要素 正弦量用三角函数表示的瞬时值表示式和波形图来描述。正弦电压u和电流i的瞬时值函数表示式分别为

uUmsin(tu) iImsin(ti)

一个正弦量可以用它的最大值Um,Im,角频率和初相角u,i三个要素唯一地

确定。

(1)最大值Um,Im是正弦量u和i的振幅,正弦量瞬时值中的最大量值,也就是

sin(tu)1和sin(ti)1时的正弦电压和电流值。其单位分别是伏特(V)和安培

(A)。

(2)角频率 从正弦量瞬时值表示式可以看出,正弦量随时间变化的部分是式中的

(t),它反映了正弦电压和电流随时间t变化的进程,称为正弦量的相角或相位。就

是相角随时间变化的速度,即 单位是弧度/秒(rad/s)。

正弦量随时间变化正、负一周所需要的时间T称为周期,单位是秒(s)。单位时间内正弦量重复变化一周的次数f,称为频率,f

1T

d(t)

dt



,单位是赫兹(Hz)。正弦量变化一周,

相当与正弦函数变化2弧度的电角度,正弦量的角频率就是单位时间变化的弧度数。即



2T

2f

上式就是角频率与周期T和频率f的关系式。

(3)初相角(即u,i) 它是t0时刻正弦电压和电流的相角。即

(t)t0

初相角的单位可以用弧度(rad)或(deg)来表示,两者的对应关系为(rad)180(deg)。通常初相角应在≤的范围内取主值,即一般限定在≤≤的范围。如果>

时,则应以2进行替换。例如



32

2

12

32

(270),应替换成

(90);又如1.2(216)时,则应替换为

。 1.220(.144)

正弦量初相角的大小和正负,与选择正弦量的计时起点有关。在波形图上,与

t0相应的点,即正弦量瞬时值由负变正的零值点,称为零值起点,用s表示,计时起点是t0的点,即坐标原点0。初相角就是计时起点对零值起点(即以零值起点为参考)的点角度。

顺便指出,如果正弦量是余弦函数如uUmcos(t)时,则正弦量的起点s是

t0,即uUm对应的横坐标点。

一个正弦量当计时起点选定后,初相角便是已知量,则某一给定时刻,相角(t) 便决定了该时刻正弦量瞬时值的大小、方向(正值或是负值),也可以决定正弦量该时的变 化趋势,即正弦量的数值是趋于增加抑或趋于减小。由此可见,正弦量的相位角也是一个重 要的物理量。

以上就是正弦量的三要素和相位的概念。

(4)由正弦量的瞬时值表示式绘出它的波形图时,图中纵坐标是正弦量的瞬时值,横坐标表示正弦量变化进程的弧度t(rad)或时间t(s)。纵、横坐标按正弦量和相角或时间的

单位选定一顶比例尺。从给定正弦量的瞬时值表示式,即可找出它的三个要素振幅Um或Im、角频率和初相角。从而可以确定正弦量的零值起点s和计时起点(即坐标原点0)的位2置。分别计算出在一个周期内正弦量的相角(t)为特殊角如0,

6

4

2

3

)的

数值,并在坐标图上标出对应各点,将正弦量瞬时值各点,用曲线板连接成连续曲线,便绘出了正弦量的波形图。

34

,

56

,,, 2时正弦量的瞬时值u及对应的横坐标t()或t(



例如,正弦电压u10sin(2t

4

)V,绘出它的波形图。从瞬时值表示式可知它的振

幅是10V,角频率2 rad/s,初相角

4

rad,它的周期为

22

T

4

2

1s

由于初相角为正值,故正弦电压波形的零值起点s在计时起点(坐标原点0)之前。

4)0,

分别计算出当相角(2tt值或时间t值。

4

,

2

,,2 时正弦电压u的瞬时值及对应的相角

如当(2t

4

4

)0时,u0,t

4

,t

124

0.125s;

当(2t)

4

时,u7.07V,t0,t0;

4

当(2t表。

4

)

2

时,u10V,t,t0.125s,如此继续计算,其结果列于下

将上数据表中横坐标t或t各值在坐标图横坐标找出它的点,然后标出对应的正弦电 压瞬时值的坐标位置,最后用曲线板将各电压瞬时值坐标点连接成连续的正弦函数波形图。

于是,正弦电压u10sin(2t)V的波形图,便绘出波形。

4

(5)由正弦量的波形图写出它的瞬时值函数表示式时,只要找出最大值Um或Im、角频率和初相角即可。从波形图中易于直接找出正弦量的最大值Um或Im;确定角频率时,先要从波形图的横坐标上,找到一个完整的周期T(s),再按式2

1T

计算出角频率

的值;确定初相角时,在波形图的坐标原点0左右或

T2

范围内,找出正弦量瞬

时值从负变正的零值起点s,从s点到坐标原点0(即计时起点)之间的点角度数,就是该 正弦量的初相角。按正弦量变化的进程方向,如果s点先于坐标原点0出现时,如图5-2(a)所示情况,则初相角为正值,这时正弦量的相角为(t);若s点后于坐标原点0出现时,如图5-2(c)所示情况,则初相角为负值,这时正弦量的相角为(t)。显然,从波形图中找到了正弦量的振幅Um或Im、角频率和初相角之后,他的瞬时值表示式即可写出。

(6)正弦量的三角函数瞬时值表示法和波形图表示法,各有它的特点。瞬时值函数表示式能完整和准确的描述正弦量特征,既表示了正弦量的三要素,又表示了瞬时值,它是正弦量解析表达式,是正弦交流电路分析的基础。但是利用正弦量的瞬时值表示式进行加、减、微分和积分运算时很不方便,这就是这一表示法的缺点。正弦量的波形图能直观、形象的表示它的变化进程,特别是便于对几个正弦量之间的比较,明显看出它们的大小和相位的关系。其缺点是它不能准确的描述正弦量的特征,更不便于进行加、减等运算。为了便于在正弦交流电路中,对正弦电压和电流进行分析计算,正弦量需要有便于计算的第三种表示法,即正弦量的向量表示法。

2.正弦量的有效值

在相同的时间里,一个正弦量的做功(如正弦电流i通过一电阻元件R)与某一支流量(如直流I通过同一电阻元件R)的做功相等,则支流量就是正弦交流量的有效值。如正弦电流i的有效值为

I

同理,正弦电压u的有效值为

U

U

倍。 3.两同频率正弦量的相位差,及相位超前与滞后的概念

两同频率正弦量的相位差,就是它们的初相角之差。 一般规定在180电角度范围内取主值。如正弦电压u1U1msin(t1),u2U2msin(t2)如果选取u2为参考量时,则u1对u2的相位差为12

若1>2,则>0表示u1超前u2的相位角为,或者说u2滞后u1的相位角为;若1<2 ,则<0表示u1滞后u2的相位角为,或者说u2超前u1的相位角为;若12,

则0表示u1与u2同相;若90时,则u1与u2正交;若180时,则u1与u2反相。

如果,选取u1为参考量时,则u2对u1的相位差为

'

21

这表明两同频率正弦量之间相位关系的相对性。

应该指出,在进行两个正弦量相位关系的比较时,两正弦量必须是同频率、同正负和是

sin函数或同是cos函数。如果其中之一是cos(t)函数时,则应转换为sin函数形式,

cos(t)sin(t90)

如果两同频率的sin函数,其中 之一是负值函数sin(t)时,则应转换为正值函数形式,即

sin(t)sin(t180)

例如,若u100sin(10t5)V,i6cos(10t20)A.进行相位关系比较时,应将正弦电流i转换成sin函数的形式,即

cos(10t20)sin(10t2090)



sin(10t70)

故电压u对电流i的相位差为

57065

表明,电压u滞后电流i相位角65

又如,u100sin(10t95)V,i6sin(10t96)A

进行相位关系比较时,应将正弦电压u的sin函数形式转换为sin函数形式,即 100sin(10t95)100sin(10t95180)

100sin(10t85) 故电压u对电流i的相位差为

8596181

应在<180范围取值为

180360179

表明:电压u超前电流i相位角为179。 (二)关于相量法的基础

相量法是分析计算正弦交流电路的有效方法。因此,必须深刻理解和掌握相量法的基础。相量法的基础包括如下基本问题:

1. 正弦量的相量表示法;

2. R,L,C元件伏安关系的相量形式; 3. 基尔霍夫电流定律和电压定律的相量形式; 4. 阻抗与导纳;

5. 正弦交流电路的相量模型。 (三)关于正弦量的相量表示法

1. 正弦量的相量 根据欧拉公式

ejcosjsin

其虚部为 sinIm[ej]

若正弦电压u(t)sin(t)

即 t

sin(t)Imej(t)]

Im(Uejejt)]

Imejt]

上式中,UUe

j

U,称为正弦电压的相量。

同理,若正弦电流i(t)sin(t),则它的相量为:II



由此可见,一个正弦量的相量,就是在给定角频率条件下,用它的有效值(也可用最大值)和初相角两个要素的表征量。在概念上关于相量应明确如下几点:

(1)正弦量的相量,用有效值和初相角表示时,称为效相量;用最大值和初相角表示时,称为最大值相量或振幅相量。本课程在教学中是采用有效值相量。因此,不特别说明相量是指有效值相量。

(2)正弦量的相量是用有效值的初相角表征的量,它不是时间t的函数,而是一个复数。

(3)相量是正弦量的交换量,它与时域正弦函数之间,有确定的对应变换关系,如

sin(tu)

Uu

sin(ti)

I

如果正弦量是余弦函数时,它对应的相量形式与正弦函数是相同的,即

cos(tu)

Uu

cos(ti)

I

因此,要区分sin函数相量与cos函数相量。在进行电路分析时,必须是相同函数的相量。如果电路中有正弦函数和余弦函数电量时,必须转化为一种函数,如 函数的电量,才可以进行分析计算。

(4)相量是时域正弦量变换为频域的变换量,不能把相量误认为是正弦量。 (5)相量只能用来进行同频率正弦电源电路的分析计算。 (6)非正弦周期函数电量不能用相量来表征。

(7)由于电量是复数,可以在复平面上用矢量来表示,即相量图,而且可以按平行四边形法则求相量之和或差。但是,应该明确的是,相量在复平面上是一种几何表示,与物理学中所介绍的空间矢量的物理内容不同的,应加以区别。

2.相量表示正弦量的几个性质 (1)同频率正弦量代数和的相量表示

如正弦电压u1

1sin(t

1),u2

2sin(t2). 则它们的代数和为

u1u2u

Im1e

jt

]Im2e

jt



]ImU1U2)e

jt

]

Ime

jt

]

式中 U1U2U

由此可见,同频率正弦量的代数和仍是一个同频率的正弦量,其相量是各正弦量相量的代数和。表明:同频率正弦量的代数运算可以转变为对应相量的代数运算

(2)正弦量微分的相量表示

正弦量u

t),它的微分为

dudt

ddt

[Ime

jt

)]Im

ddt

e

jt

]

ImUejt]

由此可见,正弦量的一介导数仍是一个同频率的正弦量,其相量等于正弦量的相量乘以j。表明:

dudt

的相量为

jUU90

它的模是正弦量相量模的倍,初相角超前于正弦量相量相位90。 (3)正弦量积分的相量表示

正弦量u

sin(t),则它的积分为

udt

sin(t)dt

e

jt

]dt

Im

e

jt

dt

Uj

)e

jt

]

由此可见,正弦量的积分仍是一个同频率的正弦量,其相量等于正弦量的相量除以j。表明:udt的相量为

Uj

U

90

它的模是正弦量相量模的

1

倍,初相角滞后于正弦量相量相位90。

由上述分析可以看出,利用相量法,能够将正弦交流电路分析求解微分方程特解问题,转变为求解相量代数方程问题。后者比前者要易于进行。因此,在单一频率激励正弦交流电路中相量法成为分析计算有效的工具。

(四)关于电容元件和电感元件

本章介绍了两种重要的基本电路元件:电容和电感。关于这两种电路元件应深刻理解与掌握如下概念和表达公式。

1.电容元件

(1)电容元件的性质与定义 电容元件是实际电容器的理想模型,它只具有储存电场能量的功能,是电荷q与电压uc想约束的元件。线性电容元件的定义是:若电荷q与电压uc 的关系是通过qu平面坐标原点位于第Ⅰ,Ⅲ象限的一条直线。直线的斜率C是一个正常数,称为电容。元件定义表达式为

q(t)Cuc(t)

式中电容C表示元件储存电荷的能力,在数值上等于单位电压加上电容元件两端时储存的电荷电量值。电容的单位是法拉(F),通常用微法F(1F106F)或皮法pF(1pF1012F)。应该指出,“电容”这个术语及其代表符号C。一方面表示电荷(用正体C),另一方面(用斜体C)表示电容元件的参数—电容量。

(2)电容元件的伏安关系 在关联参考方向下,电容元件伏安关系的两种形式是 ic(t)C

duc(t)dt

uc(t)uc(t0)

2C

t

i

t0

c

()d

表明:任一时刻的电容电流,取决于该时刻电容变化率,而与该时刻电容电压的数值和电压过去的历史无关。若电容电压是支流电压,这时电压的变化率为零,则电容电流为零,电容相当于开路,故电容有隔直作用。又表明任一时刻的电容电压,取决于从一 到该时刻的所以电容电流值,即与电容电流的全部历史有关。因此,电容有记忆电流作用。由于电容元件的VAR是微分和积分关系,故又称为动态元件。

(3)电容元件的功率与储能 在关联参考方向下,电容元件的功率为 pc(t)uc(t)ic(t)

电容元件瞬时功率有时为正值,有时为负值。正值表示电容从电路中吸收能量储存于电场中;负值表示电容向电场释放出电场能量,而本身不消耗功率。

电容元件储能的表达式为

c(t)

12

Cuc(t)

2

表明:电容在某一时刻的储能,只取决于该时刻的电容值,而于电容电流值无关。 2.电感元件

(1)电感元件的性质与定义 电感元件是实际电感器的理想化模型,它只具有储存磁场能量的功能,是磁链与电流iL相约束的元件。线性电感元件的定义是:磁链与电流iL的关系是通过i平面坐标原点位于第Ⅰ,Ⅲ象限的一条直线。直线的斜率L是一个正值常数,称为电感。元件定义表达式为

(t)LiL(t)

式中电感L表示电感元件通过电流时产生磁链的能力,在数值上等于单位电流通过元件时产生磁链的数值。电感的单位是亨利(H),通常用豪亨mH(1mH103H)和微亨H(1H106H)。应该指出,“电感”这个术语及其代表符号L,一方面表示电感元件(用正体L),另一方面(用斜体L)表示电感元件的参数—电感量。

(2)电感元件的伏安关系 在关联的参考方向下,电感元件伏安关系的两种形式是 uL(t)L

diL(t)dt

iL(t)iL(t0)

1L

t

u

t0

L

()d

表明:任一时刻的电感电压,取决于该时刻电感电流的变化率,而与该时刻电感电流的数值和电流的全部历史无关。若电感电流是直流电流,这时电感电流的变化率为零,则电感电压为零,电感相当与短路。又表明任一时刻的电感电流,取决于从到该时刻所有电感电压,即与电感电压的全部历史无关。因此,电感有记忆电压作用。由于电感元件的VAR是微分和积分关系,故称为动态元件。

(3)电感元件的功率和储能 在关联参考方向下,电感元件的功率为 pL(t)uL(t)iL(t)

电感元件瞬时功率有时为正值,有时为负值。正值表示电感从电路中吸收能量,储存在磁场

中;负值表示电感向电路释放能量,而本身不消耗功率。

电感元件储能的表达式为

L(t)

12

LiL(t)

2

表明:电感在某一时刻的储能,只取决于该时刻的电感电流值,而与电感电压值无关. (五) 关于基尔霍夫定律的相量形式

1. KVL的相量形式

正弦交流电路中,通过任一节点电流相量的代数和等于零,即 I0

特别要注意的是,正弦电流的有效值一般都不满足KVL的关系,即 I0 2. KVL的相量形式

正弦交流电路中,任一闭合回路电压相量的代数和等于零,即



U0

特别要注意的是,正弦电压的有效值一般都不满足KVL的关系,即 U0 (六) R,L,C元件伏安关系的相量形式 1. 电阻元件R

在关联参考方向下,电阻元件的VAR相量形式为

R

U数值关系是:URRIR,或

RIR,或IRGUR

IGU.

I相同。 相位关系是:ui,URR

2.电感元件L

在关联参考方向下,电感元件的VAR 相量形式为

jLI,或Ij ULLL

1

L

 UL

数值关系:ULLIL,或IL

UL

L

,与角频率有关。

o超前I相角90o. 相位关系是: ul90,ULL

3.电容元件C

在关联参考方向下,电容元件的VAR相量形式为

j UC

1

C

=jCUIC,或ILC

数值关系是:UC

IC

C

,或ICCUC,与角频率有关。

泻后I相角90O。 相位关系是:ui90o,UCC

(七)关于阻抗与导纳的概念

在正弦交流电路分析的相量法中,对时域电路中的R,L,C元件,引入重要的阻抗与导纳的

概念。

1. 阻抗与导纳的定义

与电流相量I之比,阻抗的定义:在关联参考方向下,元件或二端网络端口的电阻相量U

U

ZI

单位是欧姆()

之比,即 导纳的定义:是端口电流相量I与电压相量U

I YU

单位是西门子(S)

阻抗Z与导纳Y的关系是互为倒数,即

Z

1Y,Y

1Z

2.R,L,C元件的阻抗与导纳 (1)电阻元件R的阻抗为

ZR

U

RR I

R

仍为电阻R,其值与角频率无关。导纳为

IR1YRG

URR

为电导值G,其值与角频率无关。 (2)电感元件L的阻抗为

U

ZLLjLjXL

I

L

XLL称为感抗,其值与角频率有关。导纳为

IL1

YLjjBL

ULL

1

L

(3)电容元件C的阻抗为

BL

称为感纳,其值与角频率有关。

1

ZC

U1CjjXC ICC

XC

C

称为容抗,其值与角频率有关。导纳为

IC

YCjCjBC

U

C

BCC称为容纳,其值与角频率有关。

2. 无源二端网络的阻抗与导纳

无源二端网络端口的输入阻抗为

UZRjXZZ

I

式中:阻抗模ZXR

阻抗角zuiarctg

1

电抗 XXLXCL

C

无端二源网络的导纳则为

式中:

导纳模Y

BG

I

GjBYY YU

导纳角Yiuarctg

电纳 BBCBLC

1

L

4. 阻抗与导纳的性质

(1)除电阻元件外,动态元件和无源二端网络的阻抗与导纳,都是角频率的函数。因此,在不同的角频率时,阻抗与导纳的数值不同。

(2)阻抗与导纳都是复数,它们与正弦量的向量,虽然都是复数,但是两者有本质的不同。阻抗与导纳不随时间作周期性变化正弦量的代表量,故不叫“相量”。

I,而在复为了区别这种不同性质的复数量,在正弦电压和电流的符号上加上“”号,U

数阻抗与导纳符号Z,Y上不加“”号。

(3)阻抗与导纳反映了正弦交流电路端口电压与电流相量之间的关系。阻抗与导纳的模,反映了正弦稳态元件和无源二端网络端口电压和电流有效值及最大值之比,即

Z

UIIU

UmImImUm

y

阻抗角于导纳角反映了正弦电压与电流之间的相位差,即 Zui,Yiu

因此掌握了元件和无源二端网络端口正弦稳态的阻抗和导纳,就掌握正弦稳态端口电压和电

ZI,IYU,流的表现。使元件和二端网络端口的VAR具有欧姆定律的向量形式,即U

这将给正弦交流电路的分析计算带来方便,更重要的意义是在于使正弦电流电路的分析方法统一。

(4)阻抗与导纳只与单一频率正弦激励稳态电路分析联系,是正弦稳态分析电路中元件的重要参数,它们属于正弦稳态电路分析的概念。

5,关于正弦交流电路的等效模型

由于正弦交流电路有阻抗与导纳两种形式,即对已个复杂的无源二端网络端口的输入阻抗为

ZRjX,导纳为YGjB。因此一个无源二端网络,就有串联和并联两种有效模型。

在给定角频率的情况下,一个复杂的无源二端网络,就可有串联和并联两种简单的等效电路。

一个无源二端网络的两种等效相量模型之间可以进行等效转换。即 (1)已知串联等效向量模型ZRjX,则并联等效相量模型为

1Z

1RjX

Y

RRX

2

2

GjB

式中:G,B

XRX

2

2

根据并联等效相量模型YGjB,便可以作出复杂无源二端网络的并联等效电路。 (2)已知并联等效相量模型YGjB,则串联等效相量模型为

Z

GGB

2

2

1Y

1GjB

Rjx

式中:R,X

BGB

2

2

根据串联等效相量模型ZRjX,便可以作出复杂无源二端网络串联等效电路。 (八)关于正弦交流电路的相量模型 一个单一频率正弦激励的动态电路,应用相量法进行正弦稳态分析时,要作出时域电路的相量模型。将时域电路中的R,L,C元件分别用它们的阻抗R,jL和

1jC

或导纳G,

1jL

和jC代替;电路中的激励和各支路变量正弦电压和电流分别用它的相量表示,便作出了相量模型。关于相量模型从概率上应明确以下几点:

(1) 作相量模型时,时域电路各正弦电压和电流,必须是同频率的正弦量,而且正弦交流电源又必须是正弦(sin)函数,或者同是余弦(cos)函数。否则必须转换为同一种函数。

(2) 相量模型中的正弦电压u和电流i的相量通常是用有效值向量表示,即

UII;也可以用振幅向量表示,即UU,II。两

Ummmmmmu,i

(3) 任何一个时域电路的相量模型,可以有以阻抗表示的相量模型和以导纳表示的相量模型两种形式。因此,对于某一电路的正弦稳态分析,就有两种相量模型可以选择,

应视电路结构特点的不同,选择有利于分析计算的相量模型,以简化分析计算。一般而言,对于元件串联电路,宜采用阻抗相量模型;对于元件并联模型,宜采用导纳

向量模型。

(4) 对于不含耦合电感元件的正弦交流电路,其相量模型的结构与时域电路的结构是相

同的,不同的只是正弦电压和电流分别用它的相量表示,R,L,C元件分别用它们的阻抗和导纳表示。而对于含耦合电感元件的正弦交流电路,它的相量模型中,应包含有成对互感电压的电流控制电压源的相量模型。

(5) 对于阻抗与导纳一般都是角频率的函数,所以在不同正弦电源角频率时,就有

不同的相量模型。也就是说,对于某一确定的电源角频率下,只有一种阻抗相量模型和一种导纳相量模型。

(6) 相量模型不是时域电路的等效电路,而是用来进行正弦稳态分析的计算的频域电路,

即变换域电路。所以,相量模型是与正弦稳态分析相联系的,它只能用来进行正弦

交流电路稳态的分析计算。

(九)关于R,L,C串,并联简单正弦交流电路的计算

对于R,L,C串,并联简单正弦交流电路,可以应用相量解析法和相量图解法进行分析计算。 1. 相量解析法

(1) 已知R,L,C

串联电路的参数和输入端电压u

sin(tu)时,求回路

电流i和各元件的电压uR,uL和uC。分析计算的步骤是:

① 作出R,L,C串联电路的相量模型,其中

U 输入端电压相量为 Uu

电感元件的阻抗为 ZLjXLjL

电容元件的阻抗为 ZCjXCj

1

C

,U和U,回路电流相量为I;三元件电压相量分别为U与电流相量I均为关联参考方向。 RLC

② 计算器电路的总阻抗

ZRjLj

1

RjLCC1

L

1

Z

arctg

R

式中:阻抗模

L

阻抗角arctg

2

1

R

③ 按欧姆定律的相量形式计算出回路电流相量I,即

L

I

UZUu

1

uarctgu

IZ

式中I

iuz

④ 计算各元件电压的相量,根据各元件的VAR得出: RIRIuz 电阻元件电压为:URjLILI电感元件电压为:UL

uz90

o

j电容元件电压为:UC

1

C

I

I

C

uz90

o

⑤ 将电流电压的相量变换为实域电路的正弦量,即

iuR

sin

tuzsin

tUZ

O

uLuC

LIsin

tUZ90I

O

C

sintUZ90

⑵已知RLC

并联电路的参数和输入电流i件中的电流iG,iL,iC,分析计算的步骤是: ① 作出RLC并联电路的相量模型,其中 输入电流相量为:IIi 电阻元件R用电导表示为G 电感元件L的导纳为:YLj

1

sinti,求输入端电压u和各元

L

电容元件C的导纳为:YCjC*

,I,I和I。 端电压和各支路电流的相量分别为UGLC

② 计算电器的输入电导为 YGj

1

jCYr

LL

1

Y式中:导纳模为

C

导纳角为Yarctg

1

G

③ 计算端电压u的相量为

L

U

IY

IY

iY

C

1

arctgL

U

u

式中:U

uiY

④计算各之路电流的相量分别为

GUiY

IGGUIj

1U

U

iY90

LL

CUICjCU

iY90

⑤根据电压和电流相量变换为時域的电压和电流值分别为

uiGiLiC

sin

tiY



O

Usin

tiYL

sin

tiY90

O

CUsintiY90

RLC并联电路的分析,也可以利用分流关系先分别计算出各支路电流的相量。端电压相量则可利用任一支路元件的VAR求出。

2.相量图法

相量图法是根据元件电路电流的相量关系,作出电压与电流的相量图,再利用相量图中电压电流相量之间的几何,三角关系来分析计算正弦稳态响应。这种分析方法,对于求相位差、有效值和定性分析,

显得方便直观。也可以进行定量计算,能避免繁琐的运算。 (1) 作电压电流的相量图。

① 因串联电路,以电流II0为参考相量按一定比例尺在图中作出相量I;

与I; 同相,URI,按比例尺在图中作出相量U② 根据电感元件R的VRA,URRR 超前I相位900,ULI,按比例尺在图中作出相③ 根据电感元件L的VAR,ULL

; 量UL

UU,作出以相量U和U为两边的平行四边形,连接对角线做出④ 根据USLRRL

。 相量US

对U的相位差。 (2) 根据向量图的几何,三角关系求U0,US和U0SURI00,故得出 u的有效值为 因输出电压U0Ro

UORI

,U和U构成的直角三角形关系,求出相角为 利用U0LS

tg

ULUO

LI

RI

L

R

故arctg

L

R

(由于,L,R均为已知量,即可算出)

根据直角三角形的关系,输入电压有效值为 US

UOcos

从向量图中可见,输入电压uo对输入电压us的相位差为

0

o

即输出电压uo滞后于输入电压us,相位为。 (十)关于复杂正弦交流电路的分析计算 1.应用相量法进行分析

复杂正弦交流电路,应用相量法进行分析计算。相量法就是应用正弦量的相量表示R,L,C元件的阻抗遇导纳形式,将时域正弦交流电路变换为相量模型。在相量模型的基础上,根据两

ZI,IYU;KVL:U0,KCL:I0)类约束的相量形式(U,正弦相量交流电路响

亮模型中的电压和电流相量就可以仿照直流电阻电路中分析方法来进行分析计算,如应用等效化简的方法、结点分析法、网孔分析法、戴维南定理和诺顿定理的方法和叠加定理的方法等。通过分析计算,得出相量形式的待求响应量,最后反变换为以t为函数的正弦电压和正弦电流,从而正弦交流电路中的电压和电流得以解出。

应该指出,等效化简法、结点分析法、网孔分析法、戴维南定理和诺顿定理应用和叠加定理应用等电路的基本分析方法,在电阻电路分析应用中的概念,原则和注意问题,在相量法中同样适用。

2.相量法分析计算中的复数运算

应用相量法列出的电路方程是复数代数方程,电压和电流的相量是复数,阻抗和导纳也是负数。因此,运用相量法分析正弦交流电路时,不可避免要进行复数计算。熟练的掌握复数及其运算,成为学习正弦交流电路分析的基础。进行复数计算时,必须备配一个能进行三角函数计算的计算器,最好是能直接将复数的直角坐标形式转换为极坐标形式数值的计算器。 对于电路分析而言,复数运算要求掌握的内容,有如下两方面。

(1)复数的直角坐标形式与极坐标形式的互换,一个复数A的直角坐标形式为

Aa1ja2,其中a1为实部,a2为虚部

,j

。复数A另一种极坐标形式为

AA,其中A为模,为幅角。 两种形式的关系如下:

Aa1ja2a

a1Acos,a2Asin;

A

arctg

a2a1

(2)复数的加、减、乘、除四则运算

a.两复数的加、减运算,应采用复数的直角坐标形式来进行。运算的方法是:分别将两复数的实部向加、减,虚部相加、减。 例如,A13

40

O

,A215J6。则

O

A3A1A23

40

(15j6)

(2.298j1.928)(15j6)

o

17.298j7.92819.03

24.62

A4A1A23

40

O

(15j6)

(2.298j1.928)(15j6)

(12.7j4.072)

13.37

13.37

17.78

o

o

162.22

b.两复数的乘、除运算,应采用复数的极坐标形式来进行。运算方法是:分别将两复数的模相乘、除,幅角相加、减。 例如,复数

A13

40

O

,A215J6。则

(十一)关于瞬时功率、平均功率、无功功率和视在功率的概念

由于正弦交流电路中,电压和电流是随时间变化的正弦函数,它们都有相位角。因此,交流电路中的功率比直流电阻电路中的功率要复杂得多。正弦交流电路有瞬时功率,更有平均功率、无功功率和视在功率,以及功率因数和平均储能等概念。我们首先必须明确这些功率及有关的概念。

若元件或二端网络端口关联参与方向的电压和电流分别为

u

sin(t

u) isin(ti)

1.瞬时功率p(t)

p(t)u(t)i(t)2UIsin(tu)sin(ti)

UIcos(ui)cos(2tui)

UIcos(ui)UIcos(2t2i)cos(ui)sin(2t2i)sin(ui)UIcos(ui)1cos(2t2i)UIsin(ui)sin(2t2i)pR(t)pX(t)

上式导出应用的三角公式有

2sinsincos()cos()cos()coscossinsin

可见瞬时功率p(t)包括两部分。前一项pR(t)UIcos1cos(2t2i),因

cos(2t2i)1,则1cos(2t2i)0,即pR(t)0,故这一分量任何时刻都是

被电路吸收,为电阻元件发热消耗或转换为其他形式的能量(如通过电动机转换为机械能等),故称为有功分量;而后一项

pX(t)UIsin(ui)sin(2t2i),是以振幅为

UIsin(ui),角频率为2变化的正弦函数,在一个周期内它的平均值为零,瞬时值

半周期为正值,另半周期为负值。pX(t)0正值时,电路吸收电磁能量,储存在电感或电容中;pX(t)0负值时,电路向电源释放出电磁能量。如此往复循环,形成电路与电源之间的功率交换。这一分量的平均值为零,不是实际消耗的功率,故称为无功分量。 2.平均功率(有功功率)P

定义为:一周期内瞬时功率(pt)的平均值,即

T

P

1T

p(t)dtUIcos(

u

i)

UIcos

表明平均功率是正弦电压和电流有效值的乘积再乘以两者相位差角的余弦。cos称为功率

因数,只有电压与电流的相位差为 90才有平均功率。平均功率是电路中实际消耗的功率,又称有功功率,单位是瓦特(W),可以用功率表(瓦特表)来测量。 3.无功功率Q

定义为:瞬时功率中无功分量pX(t)的最大值,用Q表示,即

QUIsin(ui)UIsin

表明无功功率是电压与电流有效值的乘积,再乘以两者相位差角的正弦。sin称为无功因数。无功功率不是电路中实际消耗的功率,而是电路与电源之间交换功率的最大速率,它的量纲与平均功率相同,但为了两者为区别,无功功率的单位为乏(var)。无功功率的数值可用无功功率表进行测量。 4.视在功率S

定义为:电压和电流有效值的乘积,即 S

UI

为了与平均功率和无功功率相区别,视在功率的单位定为伏安(VA)。在电工技术中,是以视在功率来定义电气设备的容量,即将额定电压UN和额定电流IN的乘积SNUNIN为设置的额定容量。

(十二)关于基本元件的功率与能量特性

在正弦交流电路中,基本元件R,L,C的功率一能量特性,是正弦交流电路功率分析计算的基础,从电路的理论和实际工程都具有重要意义。

1.电阻元件R

由于电阻元件两端的电压U与通过它的电流I同相,ui,0,则有: (1)瞬时功率 p(t)UI1cos(2t2i)pR(t)表明电阻元件的瞬时功率只有有功分量,而无无功分量,反映了电阻元件的耗能性质。 (2)平均功率 由于cos0,则

PUIIR

2

U

2

R

表明正弦交流电路中电阻元件的功率用正弦电压或正弦电流的有效值来计算,与直流电阻电路的计算是相同的。

(3)无功功率 因sin0,则

QUIsin0

(4)电阻元件消耗的能量是有功功率P与时间t的乘积,即

2

WPtIRt [单位焦耳(J)] 2.电感元件L

由于电感元件两端电压UL超前IL相位90,ui90,即90。则有:

(1)瞬时功率 pL(t)ULILsin(2t2i)pX(t),表明电感元件瞬时功率中只有无功分量pX(t),它是

2

的正弦函数。当pL(t)0的瞬时,电感元件吸收能量,储存于

磁场中;当pL(t)0的瞬时,电感元件释放出能量给外电路。

(2)有功功率 由于90,cos0,故有功功率为

PLULILcos0

表明电感元件不消耗功率。

(3)无功功率 由于90,sin1,故无功功率为

2

QLULILsinULILXLIL

表明电感元件与外电路功率交换的规模是电感电压与电流有效值的乘积,也等于感抗XL乘以电流有效值的平方IL.

2

(4) 储能特性 储能的瞬时值为 L(t)

12

LiL(t)

2

12

LIL1cos(22i)

2

平均储能,是瞬时储能的平均值,即上式在一周期时间的积分,得出 WL

12

LIL

2

无功功率QL与平均储能的关系:由于ULLIL,则无功功率为

12

2 QLULILLIL2(

LIL)2WL

2

表明电感元件的平均储能是电感量乘电流有效值平方的一半;电感元件的无功功率是平均储能的2倍。

3. 电容元件C

由于电容元件元件两端的电压UC滞后于电流IC相位90,ui90,即

90。则有

(1)瞬时功率 pC(t)UCICsin(2t2i)pX(t)

表明电容元件瞬时功率是只有无功分量pX(t),它是2的正弦函数。当pC(t)0的瞬时,电容元件释放出能量给外电路。

(2)有功功率 由于90,cos0,故有功功率为

PCUCICcos0 表明电容元件不消耗功率。

(3) 无功功率 由于90,sin1,故无功功率为

2 QCUCICsinUCICXCIC

表明电容元件与外电路功率交换的规模是电容电压与电流有效值的乘积,也等于容抗XC乘

2

以电流前效值的平方IC,式中并冠以“”号,表示在电容与电感元件在两端电压和电流

及两者参与方向均为相同的情况下,电容中的无功功率与电感中的无功功率方向相反。

(4)储能特性 储能的瞬时值为 C(t)

12

CuC(t)

2

12

CUC1cos(2t2i)

2

平均储能是瞬时储能的平均值,即上式在一个周期时间的积分,得出 C

12CUC

2

无功功率QC与平均储能的关系:由于ICCUC,则无功功率为

1

QCUCICUC(CUC)2(CUC)2WC

2

2

表明电容元件的平均储能是电容量乘电压有效值平方的一半,且冠以“”号;电容元件的无功功率是平均储能的2倍。 (十三) 关于二端网络的功率计算

1.根据二端网络端口的电压和电流有效值来计算功率

若已二端网络端口的电压UUu和电流IIi,且它们为关联参考方向时,则网络中P,Q,S按如下公式进行计算:

有功功率 PUIcos

无功功率 QUIsin 视在功率 SUI 功率因数 cos

式中ui,是二端网络的阻抗角。 2.根据功率守恒原理来计算二端网络的功率

(1)若二端网络中有多个电阻元件,它们消耗的功率分别为P1,

P2,,Pn,则根

据平均功率守恒原理,网络中消耗的总功率为 P

P1P2Pn

P

k

(2)若二端网络中,含有多个电感和电容元件,它们的无功功率分别为

Q1,Q2,,Qn,则根据无功功率守恒原理,网络中总的无功功率为

QQ1Q2Qn (3)二端网络无功功率与内部储能的关系为 Q2(WLWC) 3.利用功率三角形的关系来计算功率

已知正弦交流电路的功率三角形,则有

SUIPScos

Q

k

QSsin

arctg

QP

(十四)关于复功率及复功率守恒 1.复功率的定义

二端网络端口或元件两端的电压相量U与电流相量I的共轭相量I的乘积,即





SUIUIui

UIcos(ui)jUIsin(ui) PjQ

表明复功率S是一复数,它的实部是有功功率P,虚部则是无功功率Q,模是视在功率S;

幅角是二端网络或元件的阻抗角ui,S虽然是复数,但它不是正弦量的相量。因此,应加以区别。

2.复功率与阻抗、导纳及电压、电流有效值的关系

SPjQRIjXI(RjX)I

222

ZI

2

SPjQGUjBU(GjB)U

222

YU

2

式中Y是Y的共轭导纳。

表明复功率是阻抗与电流有效值平方的乘积;或是共轭导纳与电压有效值平方的乘积。

3.复功率守恒

KCL的相量形式为:I0,则KCL共轭相量形式为:

I0

因此,如图6-1所示正弦交流电路的相量模型KCL共轭相量形式的方程为

Z3



I1I2I3

图题 6-1 复功率守恒的说明电路模型

上式乘以各支路两端的电压相量U,得出







UI1UI2UI30

即 S1S2S30

写为一般形式为

S

k

0

设SkPkjQk,则上式可以写为

S

P

k

k

P

k

jQk0

0, Qk0

表明正弦交流电路中的复功率守恒,即同频率正弦交流电路中,各电源发生的复功率之和等于电路中各支路吸收的复功率之和。也表明正弦交流电路中平均功率守恒和无功率守恒。 但是,应该指出,只有复功率、平均功率和无功功率的守恒,而无视在功率的守恒,即 S1S2S30 4.复功率在正弦交流电路分析中的应用

复功率是正弦交流分析相量法中的一个辅助计算量,它实际上是功率三角形的算数表示式,用来分析计算正弦交流电路中的有功功率和无功功率。在工程实际中,如电力系统中电力网络的功率分布的分析计算,就是应用复功率来进行的。 (十五)关于功率因数及负载功率因数的提高 1.功率因数的定义

二端网络的平均功率P与视在功率S之比,定义为该网络的功率因数,用希腊字母表示,即



PS

cos(ui)

网络的阻抗角决定功率因数的数值,称为功率因数角。对于负载的功率因数,决定于负载的阻抗角;对于电源的功率因数,则决定于电源端口外部电路的阻抗角。由于

cos()cos,故不论

是正值,还是负值,功率因数恒为正值。

2.感性和容性负载的功率因数

由于无论负载阻抗角是正值还是负值,总有cos0。因此,从功率因数的数值上分

辨不出电路是感性负载还是容性负载。所以,我们对于这两种不同性质负载的功率因数,就应该加以注明。对于感性负载,是电流滞后电压,故称为滞后功率因数,一般认为“cos(超前)”。

3.提高功率因数的意义

在电工技术中,功率因数是一个重要的导出参数。特别在电力系统中,功率因数是重要的技术指标,有其重要的技术经济意义。

(1)发电设备的利用率与供电网络的功率因数有关。提高功率因数,能提高发民设备的利用率。

例如电力变压器的额定容量,是它的额定伏安数视在功率SNUNIN.如果它在功率因数0.7情况下运行时,提供的负载功率0.7SN;如果它是在功率因数0.85情况下运行时,提供的负载功率是0.85SN。

由此可见,在高功率因数运行时,能向负载提供较多的功率,从而提高发电设备的利用率。

(2)电力输电线路上的功率损耗与功率因数有关。提高功率因数,能减少线路的损耗,提高输电的能力。

在电力系统中,发电厂发出的正弦交流电能,通过输电线路输送到用户,线路中的电流为

I

PUcos

可见,在同一输电电压U以及输送相同的功率P的条件下,若负载的功率因数越低,则输电电流I就越大,输电线路中的功率损耗就越大。因此,为了减少输电线路的功绩损耗,就需要提高负载的轴功率因数。

同时,若在允许的输电线路的功率范围内,在输电电压一定的情况下,提高负载的功率因数,就可以增大输电的能力。

由此可见,为了提高发电设备的利用率,减少输电线路的功率损耗,提高输电能力,就必须提高负载的功率因数。通常一般感性负载的功率因数都在0.6左右,要求提高到0.9以上。

4.提高功率因数的措施

在供电系统中,提高负载的功率因数,就是在感性负载的两端并联电容器。负载所需的感性无功功率,由就地的并联电容器产生的容性无功功率进行补偿,从而减少了由电源通

过输电线路传输的无功功率,使输电线路中的电流减少,并使感性负载电流滞后电压的相位减小,从而提高了负载的功率因数。这种提高功率因数的方法,称为无功补偿,并联的电容器则称为补偿电容。

设感性负载的平均功率P,功率因数为cos1,工作电压为U,电网的角频率

314rads。为了提高功率因数到cos2值,这时所需并联的补偿电容量为C .补偿前

负载的复功率为

SPjQ1 现并联电容器的复功率为

SCjQC 则补偿后的复功率为

S2S1SCPj(Q1QC)PjQ2 这时Q2Q1,而保持负载的平均功率P不变。

5. 补偿电容量C值的计算

Q1Ptg1, Q2Ptg2 则补偿无功功率为

QCQ1Q2P(tg1tg2)

CU

2

移项后得出补偿电容C值的计算公式为 C

(2j)

P

U

2

(tg1tg2)

106

12j3617j4

37.95108.4317.4613.24

2.17121.67V

U2

j3

17j4

U22.17V

三、解 题 指 导

(一)例题分析

[例5-1] 正弦量的相量表示及相位差的计算。已知三个正弦电流分别为

i1i2i3

sin(314t30)Acos(314t30)A sin(314t30)A



求各电流以正弦函数标准形式的相量,计算各电流之间的相位差并绘出电流相量图。

解: [解题思路] 首先将i2和i3变换为sin函数标准形式,然后写出各电流的相量,再计算出各电流之间的相位差,最后绘出各电流的相量图。

[解题方法] (1)将i2和i3变换为sin函数标准形式

i2 

cos(314t30)

sin(314t120)A



sin(314t3090)



i3sin(314t30) 

sin(314t150)A

sin(314t30180)



(2)将正弦电流变换为相量

i1 i2 i3



sin(314t30)I1530



sin(314t120)I26120A



sin(314t150)I34150A

(3)计算各电流之间的相位差 a.i1对i2的相位差为



12123012090

表明电流i1滞后i2相位90,或者说电流i2超前i1相位90. b.i2对i3的相位差为



2323120(150)27090



表明电流i2滞后i3相位90,或者说电流i3超前i2相位90。 c.i3对i1的相位差为



313115030180 表明电流i3与i1反相。

(3) 绘出电流的相量图,如图5-7所示。

图5-7 电流的相量图

[例5-2] 电容元件伏安关系、功率及储能的计算。图5-8(a)所示为一个0.5F的电容元件,接入电压源u(t)。u(t)的波形图如图5-8(b)所示。求(1)电容电流i(t)并绘出波形图;(2)绘出电容的瞬时功率pc(t)的波形图;计算电容的储能并绘出波形图。

s)

(a)电路图

(b)

u(t) 波形图

(c)i(t)波形图

s)

(d)

功率波形图

(e)储能特性曲线

图5-8 例5-2电路及波形图

解: [解题思路] 在给定电容电压条件下,按电容元件VAR式ic(t)C

duc(t)dt

计算

电容电流。根据电容电压u(t)波形图按时间分段计算电容电流,并绘出波形图。电容元件

的瞬时功率pc(t)=uC(t)iC(t),故将u(t)和i(t)波形图逐点对应相乘,便得出功率曲线

pc(t),电容的储能按公式C(t)

12Cu

2C

(t)分段进行计算,并绘出储能的波形图。

du(t)dt

[解题方法] (1)计算电容电流i(t),根据式i(t)C,按时间分段进行:

在0~1s期间,电压u(t)从0V上升到10V,其变化率为 故在此期间的电容电流为 iC

dudt

0.510

6

dudt

10110

6

1010

6

10105A

0.故在此期间电容电流为

6

在13s期间,电压u10V,

dudt

i0

在35s期间,电压u从10V下降为-10V,其变化率为

dudt

(10)(10)210

6

202

101010

66

故在此期间电容电流为

iC

dudt

0.510

6

(1010)5A

6

按以上方法继续计算,便可得出电容电流随时间变化曲线如图5-8(c)所示。 (2)作电容元件瞬时功率曲线,将电容电压u(t)波形图5-8(b)与电容电流i(t)波形图5-8(c)逐点的电压、电流同一时刻瞬时值相乘,得出功率曲线pc(t),波形图如图5-8(d)所示。从波形图可以看出,电容瞬时功率有时为正值,有时为负值。正值表示电容从电路中吸收功率,储存于电场中;负值表示电容向电路释放出功率。

(3)电容储能的计算,按公式C(t)

12Cu

2C

(t)进行。先写出电压u(t)的表示式为

10tV

10V

u(t)4010tV

10V8010tV

(0t1s)(1t3s)(3t5s) (5t7s)(7t8s)

按时间分段计算电容的储能

0t1s:

C(t)

12

0.510

6

(10t)2510t25tJ

2622

C(1s)25J

1t3s:

C(t)

3t5s:

12

0.510

6

(10)25J

2

C(t)

12

0.510

6

(4010t)400200t25t

3

22

c(3s)400200325325JC(4s)40020042540

2

④5t7s:

ct

12

0.510(10)25J

6

2

⑤7t8s:

Ct

12

0.510

6

8010t

2

1600400t25tJ

2

C7s16004007257225J

C8s160040082580

2

按以上计算的结果,将电容的储能特性曲线绘出如图58 所示,它表示每一时刻电容的储能,单位是J。从波形图中可见,电容的储能总是正值,但有时增长,有事为定值,有时减少。当储能增长时,瞬时功率为正值,电容充电,这时电容吸收能量储存在电场中;当储能减少时,瞬时功率为负,电容放电,这时电容释放能量;当储能为恒定值时,瞬时功率为零值,这时电容不充电也不放电,保持一定的储能。

[例5-3] 电感元件VAR及储能的计算。如图5-9(a)所示一元储能电感元件L,于t=0时刻接入如图5-9(b)所示波形的电压u(t)。求(1)t0时的电感电流i(t)并绘出波形图;(2)计算t=1,2s时刻的储能。

解:[解题思路]首先根据电压u(t)的波形图按时间分段写出它的表达式,按电感元件的VAR式:iLtiL0

L

1

t

0uL

d 分段计算出电感电流i(t), 本题

12

LiLt来计算储能。

2

iL00。最后按电感元件的储能公式Lt

[解题方法] (1)写出电压u(t)的表达式为

0tV

ut

1V0V

t00t1s1t2st2s

(a)(a) 电路图

(s)

t(s)

(b) 波形图

u(t)

图5-9 例5-3电路及波形图

i(t)(c) 波形图

(2)计算电流it,按时间分段进行。 ①0t1s:由于i00,则

it

1214

t

i1

d

14

A

2

A

②1t1s:

it

141412A

t

1d

1

1311

ttA42242

i2

③t2s: it

1412

t

0d

2

14

A

⑶绘出it波形图如5-9(C)所示。在0t1s期间,i从0增长到dutdt

dutdu

dit

2

14

A。其中间由于

0,且L

dt

2

,故有

dit

2

dt

2

0,所以it 曲线是向上凹图形;在14

1t2s期间,ut为负数,it是线性下降,从

A下降到

14

A,当t2s时,it

保持为

14

A。

⑷计算t=1,2s时刻的储能 t=1s时刻,i1

14

A.。故该时刻电感中的储能为

11

L2J

2164

1

2

T=2S时刻,i2

14

A。故该时刻电感中的储能为

11

L22J

2416

1

2

[例5-4] 电路元件阻抗和电路的 等效相量模型的计算。如图5-10(a)所示电路,2rad/s。试求电路ab端口的输入阻抗Zab和输入导纳Yab,并求出串联等效电路。

解:[解题思路] ⑴首先计算电路中各元件的阻抗,并作出相量模型;⑵计算端口ab的输入阻抗Zab,并根据Zab求出串联等效电路;⑶根据Zab计算出导纳Yab,并求出并联

等效电路。

[解题方法] ⑴计算各元件的阻抗,作出相量模型,如图5-10(b)所示。

⑵计算ab端口的 输入阻抗为

Zab2j2

12

j

12

2.5j1.5

R2.5

于是便得出2.5电阻与j1.5电抗串联的等效相量模型。由于

L

XL

1.52

0.75H

故作出串联等效电路,如图5-10(c)所示。 ⑶计算a b端口的输入导纳为 Yab

1Zab

12.5j1.5

0.29j0.1765S

于是便得出0.29S电导与-j0.1765S感纳并联的等效相量模型。由于

R

1G1

10.29

3.448120.1765

L

2.8328H

BL

故作出并联等效电路如图5-10(d)所示。

[例5-5]复杂正弦交流电路的分析计算。如图5-12(a)所示电路,电路

uS10sin314tV,R12,R21,L6.37mH,C637F。求电流i1,i2和uC。

解;[解题思路]应用相量法解题。首先作出相量模型,然后可以分别用计算总阻抗总电流I1和用分流关系计算I2的方法,网孔分析法,节点分析法进行计算。

[解题方法]首先将图5-12(a)时域电路变换为如图5-12(b)所示相量模型。其中,正弦10量用振幅相量表示: Usm

V,I1m,I2m; 和UCm

3

Z2jLj3146.7310j2j5

ZCj

1

C

j

1

31463710

6

+

+

uC

-

Ucm

-

(a

)

图5-12 例5-5电路图

(b)

 方法之一 先计算总阻抗Z,计算I1m,I2m,和UCm

Z2

(1j2)(j5)

1j3

105.15

4.5j2.55.15

29.05

I1m

UsmZ

29.05

1.94

29.05

A

按分流公式计算出I2m,即

I2m

1j2(1j2)(j5)

105.94

2.236I1m

3.16

63.43

71.56

1.94

29.05

1.372A

按元

,即 VAR计算UCm

j5I2Mj5(1.372 UCM

105.94

)6086

15.94

V

变换时域瞬时值表示式分别为 最后,将相量I1m,I2m,和UCm

i11.94sin(314t29.05)A

i21.372sin(314t105.94)A

uc6.86sin(314t15.94)V

方法之二用网孔法解题。设绕行方向按顺时针方向,列网孔方程为

(3j2)I1m(1j2)I2m10

(1j2)I1m

(1j3)I2m0

应用克拉姆法则求解I1m,I2m,,即



(3j2)(1j2)0

(1j2)(1j3)

12j1116.28

42.51

12

(1j2)(1j3)

100

10(1j3)31.62

71.56

(3j2)(1j2)

10(1j2)22.36

63.43

I1m

1

31.6216.28

71.5642.5163.43

1.94

29.05

A

I2m

2

22.3616.28

42.51

1.372

105.94

A

j5(1.372105.94)6.86Ucm

15.94

V

i1,i2和uc的瞬间值表示式同方法之一。

列上节方程为 方法之三用节点法解题。以节点电压UCm

(

12

11j2

1j5

10

)UCm

2

5

 (0.7j0.2)U5Cm

5

UCm

5

0.7j0.2

0.728

15.94

6.86

15.94

V

I1m

UUsmcm

2

53.43

15.94

53.302j0.94371.698j0.9437

29.05

AI计算电流1.94

6.86

5

15.94

I2m

Ucmj5

90

1.372

105.94

A

的瞬间值表示式同方法之一。 相量I1m,I2m,和UCm

[例5-6] 应用戴维南定理和叠加定理分析正弦交流电流的计算。如图5-13(a)所示正弦交流电路的相量模型,求10电阻之路中的电流I。

90A

90A

(a)

(b)

Z02j6

j10

10

90A

(C)(d)

图5-13 例5-7电路图

(e)

解: [ 解题思路] 本题是含有两个正弦交流电源的复杂电路,提供电路的相量模

型,要求计算某一支路的电流相量。因此,在相量模型基础上,可以应用戴维南定理化简为单回路电路模型来计算,也可以应用叠加定理来进行计算。

[解题方法] 方法之一 应用戴维南定理解题。

,电路如图5-13(b)⑴将待求支路中10电阻元件拆除,求ab端口的开路电压Uoc

所示。以下节点参考节点,对上节点以100A10为变量列节点方程,为

12j4

100.5901j0.5 U

解出节点电压相量为

(1j0.5)(2j4)j5V U

应该特别注意的是,在节点方程中与100A电流源串联支路的阻抗(3j10)应置零,即在节点方程中该导纳为零值。

在根据KVL求出开路电压为

j101Uoc

U

j10j5j5V

⑵求戴维南电路中的等效阻抗Z0。当两电流源置零后,ab端口的输入阻抗,即

Z0j102j42j6

应用戴维南定理化简得求I的等效电路,如图5-13(c)所示。 ⑶根据图5-13(c)等效电路计算I,即

I

Uoc10Z0

513.42

j5102j6

j512j663.44

90

A

26.56

0.37

方法之二 应用叠加定理解题。

⑴当10A电流源单独作用时,电路的相量模型如图5-13(d)所示。列KVL方程为

(j102j4)(1

''

I)10I0

'

(2j6)(12j6)I0

I

'

2j612j6

6.32413.42

71.5626.56

0.47

45

A

⑵当0.5

90

A电流源单独作用时,电路的相量模型如图5-13(e)所示。按分流关

I

''

2j412j6

0.5

90

4.4713.42

63.43

系计算得出

26.56

0.5

90

0.1665

180

0.1665A

⑶进行叠加求出I,即

450'''

III0.470.1665

0.332j0.3320.1665

0.1665j0.3320.37

63.5

A

例5-7二端网络功率和平均储能的计算。如图5-14所示正弦交流电路,已知

R115,R210,R320,L15H,L22H,C9983F,电源电压U220V,3.14rads;求(1)电路中的平均功率P、无功功率Q和视在功率S;(2)

各储能元件的平均储能和二端网络平均储能。

例5-7 电路图

解:[解题思路] 本题是二端网络功率的计算问题,要求计算二端网络的平均功率P、无功功率Q、视在功率S和电感元件、电容元件及二端网络的平均储能。计算二端网络的功

率需计算出端口的输入电流的相量I,在已知输入电压的条件下,需计算出二端网络的总阻抗即可。二端网络的功率因数角就是该总阻抗角,从而便可计算P,Q和S。也可以各电阻元件的平均功率和各储能元件的无功功率按有功功率守恒和无功功率守恒计算出总平均功

率和无功功率,这时必须先计算出各支路的电流;计算各储能元件的平均储能按公式计算出,二端网络的平均储能可按各储能元件平均储能之和或通过无功功率Q来计算得出。

[解题方法] (1) 计算二端网络总阻抗

X1L13.14515.7

X2L23.1426.28

X3

1

6

C



1

3.14998310

31.9

则二端网络的总阻抗为

(R2jX2)(R3jX3)(R2jX2)(R3jX3)(10j6.28)(20j31.9)(10j6.28)(20j31.9)

Z(R1jX1)

(15j15.7)

25.87j18.6131.8735.7

可知二端网络的功率因数角为 35.7 (2)计算总电流各支路电流相量

I

UZ

220031.8735.7R3jX3

6.935.7A

I1

(RjX2)(R3jX3)

R2jX2

(RjX2)(R3jX3)

I

(20j31.9)(10j6.28)(20j31.9)

6.935.7

6.653.1A

I2I

(10j6.28)

(10j6.28)(20j31.9)

6.935.7

2.0636.9A

(3)计算二端网络的功率

方法之一:按端口电压和电流有效值和功率因数角进行计算。 平均功率 PUIcos2206.9cos35.71234W

无功功率 QUIsin2206.9sin35.7885.8var

视在功率 SUI2206.91518VA 方法之二:按有功功率和无功功率守恒计算功率。

(a)计算平均功率

电阻元件 R1:P1R1I215.76.92714.15W

电阻元件 R2:P2R2I12106.62435.6W

电阻元件 R3:P3R3I22202.06284.8W

总功率为

PP1P2P3714.15435.684.81234.6W

(b)计算无功功率

22

电感元件 L1:Q1X1I15.76.9747.48var

22

电感元件 L2:Q2X2I16.286.6273.56var

22

电感元件 L3:Q3X3I231.92.06135.37var

总无功功率 QQ1Q2Q3747.48273.56135.37885.6var (4)计算平均储能

电感元件 L1:WL1

1212L1I

2

12

56.9119.03J

2

电感元件 L2:WL2L2I1

2

12

26.643.56J

2

电容元件 C:UCX3I231.92.0665.7V

WC

12

CUC

2

12

998310

6

65.7

2

21.55J

二端网络的平均储能为

WWL1WL2WC

119.0343.5621.55 141.05J

或按无功功率与平均功率储能的关系来计算。因 Q

W2

885.623.14

则 W

Q2

141.02J

例5-8 复功率的计算。试运用复功率计算上例中各支路及二端网络的平均功率和无功功率。

解:[解题思路] 由各支路的阻抗和电流的有效值计算出各支路的复功率

SZI

2

,因SPjQ,故从复功率中直接得出各支路的有功功率和无功功率。

[解题方法] (1)引用上例中已计算出的总阻抗和各支路的电流相量分别为

Z31.8735.7

I6.935.7A

I16.653.1A

I22.0636.9A

(2)计算各支路的阻抗

Z1R1jX115j15.721.7146.3

Z2R2jX210j6.2811.832.13

Z3R3jX320j31.937.6557.9

(3)计算各支路的复功率

S1Z1I21.7146.36.91033.6146.3

714.1j747.26VA

22

得出 P1714.1W,Q1747.26var

S2Z2I111.832.136.651432.13

435.3j273.36VA

22

得出 P2435.3W,Q2273.36var

S3Z3I237.6557.92.06159.7757.984.8j135.34VA

22

得出 P384.8W,Q3135.34var

计算二端口网络的复功率为

SS1S2S3

1234j885.28VA

得出 P1234W,Q885.28var

按端口电压和电流相量计算



SUI22006.935.7151835.7

1234j885.8VA

结果相同

从本例可以证明,在正弦交流电路中,复功率、平均功率和无功功率都守恒;可以看出复功率是单一频率正弦交流电路中应用相量法分析电路的辅助计算量,它本身没有物理意义。

例5-9 提高负载功率因数问题的计算。有一由电力线路供电的感性负载,其额定功率PN2.64kW,功率因数cos0.6(滞后),工作电压是工频正弦电压,为220V。(1)为提高负载的功率因数达cos0.9,求所需补偿电容器的电容量C;(2)计算补偿前后输电线路中的电流。

解:[解题思路] 计算提高感性负载功率因数并联电容器的容量,首先需将补偿前后的功率

/

因数角和计算出来,然后按C

P

2

U

的功率因数,按有功功率PUIcos公式便可计算出补偿后输电线路中的电流。

tgtg公式进行计算即可。根据补偿前后

/

[解题方法] (1)计算补偿电容器的电容量C

补偿前 cos0.6,则arccos0.653.130 补偿后 cos/0.9,则/arccos0.925.840 故将功率因数从0.6提高到0.9所需补偿电容的电容量为 C

P

U

2

tg

3

tg

/

2.6410

250220

2

tg53.13

tg25.84

147.84uF

(2)计算补偿前后输电线路中的电流 补偿前 I

PUcos

PUcos

/

L

2.6410

3

2200.62.6410

3

20A

补偿后 I

/L



2200.9

10.11A

例5-10 负载获得最大功率的计算。如图6-3所示下正弦交流电路的相量模型。求负载ZL获得最大功率的条件及最大功率值:(1)负载阻抗角L可改变;(2)阻抗角保持L=36.870不变。

图6-3 例6-4电路图

解: [解题思路] 首先求出将ZL从ab端口断开后电路的戴维南等效电路模型,然后按两种情况来确定负获得最大功率的条件并计算最大功率值。若ZL中的实部和虚部可以分别自由改变,即L可以改变时,则按共轭匹配来确定负载获得最大功率的条件并计算负载最大功率值;若ZL中的实部和虚部不能分别自由改变,即L保持不变时,则按模匹配来确定负载获得最大功率的条件并计算最大功率值。

[解题方法] (1)求ZL从ab端口断开后电路的戴维南等效电路。

,列回路KVL方程,得出 求开路电压UOC

3

00

j8j4I6903I200

6j6I60069006j6

6j60

I10A

6j6

j2I2900故 UV oc

求ab端口输入阻抗Z0,将独立电源置零,则有 Z0

6j8j2

6j8j2

13

j

73

(2) 若负载ZL中实部和虚部均可分别自由改变,即负载阻抗角L可以改变,则按共轭匹配来确定负载获得最大功率的条件为

*

ZLZ0

13

j

73

这时负载ZL所获得最大功率为

US

2

PLm

ax

4R0

2

2

4

13

3W

(3)若保持L36.87不变时,按模匹配来确定,负载获得最大功率的条件是

ZLZ0

2.357 0

这时负载的阻抗为 ZL2.35736.871.886j1.414,因此负载ZL获得最大功率为

PLm

ax

RLI

2

2

2

2

2

1.8860.7W

71

1.8861.414

33

(二)部分习题解答

5-4 计算下列正弦波的相位差。

(1)u10sin(314t45)V和i20sin(314t20)A

ooo

解:ui45(20)65

oo

范文四:§5-7RL正弦交流电路 投稿:廖滅滆

RL正弦交流电路

讲授课

空调01/02

1、掌握单相交流电的RL电路

重点:单相交流电的RL电路 难点:单相交流电的RL电路

措施:以理论的讲解、例题的演算,生活实例说明

《电工基础参考书》

习题册P 55-56

1

§5-7 RL正弦交流电路

1、含义:交流电路中既有电阻又有电感线

圈作负载的电路。 2、电流与电压的关系

电路中的电流: i= 电阻两端的电压: uR=电感线圈两端的电压: uL=根据基尔霍夫第二定律: u=uR+uL=

2

2Isint

22

URsinωt ULsin(ωt+)

2

URsinωt+

2

ULsin(ωt+)

2

总电压相量:U=UR+UL

U

U

2R

U

2

L

(IR)(IXL)

22

IR

2

XL

2

总电压在相位上比电流超前,比电感电压滞后.总电压比电流超前的相位角φ为:

arctan

ULUR

arctan

IXLIR

arctan

XLR

总电压的解析式:

u=

2

2Usin(t)

2IRXLsin(tarctan

22

XLR

)

3、阻抗

U

U

2R

UZ

2

L

可以看出,电流和总电压的最大值及有效值之间符

R

2

合欧姆定律.

XL

2

在阻抗三角形中,Z和R的夹角称为阻角,它就是总电压与电流的相位差。

4、电路的功率和功率因数:

1)、有功功率:整个电路消耗的有功功率等于电阻消耗的有功功率。

P=I2R=UIcosφ

2)、无功功率:整个电路的无功功率也就是电感上的无功功率。

QL=I2XL=UIsinφ

3)、视在功率:电源输出的总电流与总电压有效值的乘积。用S表示。

S=UI=

PQL

2

2

4)、功率因数:有功功率与视在功率之比。

Cosφ=

PSRZ

5、讲解P119例5-10、5-11。

3

范文五:正弦交流电路中的电感 投稿:秦屹屺

正弦交流电路中的电感

1.电压与电流的关系

纯电感线圈电路如图3.10(a)所示。

(a) (b)

图3.10 纯电感电路中电流与电压关系

设电路正弦电流为

iImsint 在电压、电流关联参考方向下,根据uLLdi,电感元件两端电压为 dt

uLLdi2L(ti)2LIsin(ti)dt2

uL2ULsin(tu)

比较电压和电流的关系式可见:电感两端电压u和电流 i 也是同频率的正弦量,电压的相位超前电流

,电压与电流在数值上满足关系式 2

ULLI,ui

2

表示电感电压、电流的波形如图3.10(b)所示。写成相量形式

UujLi

2.感抗的概念

由式(3-15)可知,令 2或ULjLI (3-15) ..

XLLUL I

XL称为感抗,感抗表示线圈对交流电流阻碍作用的大小。当f0时XL0,表明线圈对直流电流相当于短路。这就是线圈本身所固有的“直流畅通,高频受阻”作用。L的单位是H(亨利),XL的单位是欧姆()。

电感元件的电压、电流相量图如图3.11所示。

图3.11 电感中电流与电压关系

3.功率

1)瞬时功率 设i2Isint,则uL

瞬时功率为 2ULsin(t2)

pLuLi2ULsin(t)2Isint 2

2ULIsintcost

ULIsin2t

(3-16)

2)平均功率

由式(3-16)可见,在0~之间,pL为正值,表示电感吸收能量,在~之22

间,pL为负值,说明电感提供能量,把之前储存在磁场中的能量释放出来,所以,电感在一个周期内的平均功率为0,说明

电感是一个储能元件,不消耗能量。即

p1

TT

0pLdt0

工程中为了表示能量交换的规模大小,将电感瞬时功率的最大值定义为电感的无功功率,简称感性无功功率,用QL表示。即 2UL QLULIIXL (3-17) XL2

QL的单位是乏(var)。

[例3.8] 设电感L1.65H,314rad/s,uL2sin(t20)V,求XL、iL、QL。

解:XLL518.1,IL

电感中电流UL190A0.367A XL518.1落后电压90º,所以i0.2sint20900.2sint70

QLULIL1900.367var69.73var



范文六:§纯电感正弦交流电路 投稿:傅蔄蔅

纯电感正弦交流电路

1、含义:交流电路中只有电感线圈作负载的电路。

2、电流与电压的关系

在电感线圈两端加上交流电UL,线圈中必定

产生交流电流i,因而线圈中将产生感生电动势,

其大小:

e L=-Li t

i t则线圈两端的电压uL=- e L=-L

通过线圈的电流i= Imsint

在0-即第一个周期内:

电流从0→Im,

214214i>0且最大→0,电压e Lm→0。 t在-π即第二个周期内:

电流从Im→0,

在π-i

i电流从0→-Im,

31在-2π即第四个周期内: 24

i电流从-Im→0,>0且0→最大,电压0→e Lm。 t

结论: 在纯电感电路中,电感两端的电压超前电流90度,或电流滞

后电压90度. i= Imsint

u=ULmsin(ωt+)

电流一电压最大值之间的关系:

ImUlmU2得:IL或ULLI LL2

设XL=ωL 代入上式:IUL XL

在纯电感正弦交流电路中,电流和电压的最大值及有效值之间符合欧姆定律.

3、感抗:

1)、计算:XL=ωL=2πfL

2)、特点:“通直阻交”

3)、注意:XL

xLUL只表示电压与电流的最大值或有效值之比。 IuL不是瞬时值之比 i

4、电路的功率:

1)、瞬时功率

电压瞬时值u和电流

瞬时值i的乘积,称为瞬时功率。用P表示。 即:

p= ULmsin(ωt+)Imsint= ULmsinωtImsint=ULmImsin2ωt = ULIsin2ωt

电感元件的瞬时功率P是按正弦规律变化的,其频率为电流频率的2倍。

在電流变化一个周期内,瞬时功率变化两周,平均功率为0 纯电感元件在交流电流中不消耗电能。

2)、无功功率:

在0-即第一个周期内:在π-21431即第三个周期内 24212

电流从0→Im,i和u同方向,p>0,电感线圈吸取电能转换成磁场能,贮存在线圈中。 在-π即第二个周期内:在

21431-2π即第四个周期内: 24

电流从Im→0,i和u反向,p

瞬时功率的最大值称为电感元件的无功功率。用QL表示. P= ULI=I2 XL =UL

XL2

单位:伏安(var)和千伏安(kvar)

“无功”是指“交换”

5、讲解P113例5-8。

范文七:§5-5纯电感正弦交流电路 投稿:丁恇恈

单相交流电路

讲授课

空凋01/02

1、掌握单相交流电的纯电感电路

重点:单相交流电的纯电感电路 难点:单相交流电的纯电感电路

措施:以理论的讲解、例题的演算,生活实例说明

《电工基础教学参考书》

习题册P 53-54

§5-5 纯电感正弦交流电路

1、含义:交流电路中只有电感线圈作负载的电路。 2、电流与电压的关系

在电感线圈两端加上交流电UL,线圈中必定产生交流电流i,因而线圈中将产生感生电动势,其大小:

e L=-L

it

it

则线圈两端的电压uL=- e L=-L 通过线圈的电流i=

1

Imsint

在0-即第一个周期内:

2

4

电流从0→Im,

1

it

>0且最大→0,电压e Lm→0。

在-π即第二个周期内:

2

4

电流从Im→0,在π-32

14

it

即第三个周期内:

it

电流从0→-Im,在

32

14

-2π即第四个周期内: 电流从-Im→0,

it

>0且0→最大,电压0→e Lm。

结论: 在纯电感电路中,电感两端的电压超前电流90度,或电流滞

后电压90度. i=

Imsint

u=ULmsin(ωt+)

2

电流一电压最大值之间的关系:

Im

Ulm

两边同除于

2得:I

UL

或ULLI

LL

设XL=ωL 代入上式:I

ULXL

在纯电感正弦交流电路中,电流和电压的最大值及有效值之间符合欧姆定律. 3、感抗:

1)、计算:XL=ωL=2πfL 2)、特点:“通直阻交” 3)、注意:XL

xL

uLi

ULI

只表示电压与电流的最大值或有效值之比。

不是瞬时值之比

4、电路的功率:

1)、瞬时功率

电压瞬时值u和电流

瞬时值i的乘积,称为瞬时功率。用P表示。 即:

p= ULmsin(ωt+)Imsint= ULmsinωtImsint=ULmImsin2ωt

2

2

1

= ULIsin2ωt

电感元件的瞬时功率P是按正弦规律变化的,其频率为电流频率的2倍。

在電流变化一个周期内,瞬时功率变化两周,平均功率为0 纯电感元件在交流电流中不消耗电能。 2)、无功功率:

在0-即第一个周期内:在π-2

4

132

即第三个周期内

4

1

电流从0→Im,i和u同方向,p>0,电感线圈吸取电能转换成磁场能,贮存在线圈中。 在-π即第二个周期内:在

2

4

132

-2π即第四个周期内:

4

1

电流从Im→0,i和u反向,p

瞬时功率的最大值称为电感元件的无功功率。用QL表示. P= ULI=I XL =

2

UX

2LL

单位:伏安(var)和千伏安(kvar) “无功”是指“交换” 5、讲解P113例5-8。

范文八:正弦交流电(一) 投稿:罗濋濌

三相正弦交流电(一)

1、 交流电的优点

¦Ψt

图一 交流、直流电波形图

现在我们广泛地使用着交流电,主要原因是与直流电相比,交流电在产生、输送和使用方面具有明显的优点和经济意义。例如:

(1)、电压的改变,通过变压器很方便就能实现。

a 在远距离输电时,采用较高的电压可以减少线路上的损失。

b 对于用户来说,采用较低的电压既安全又可降低电器设备的绝缘要

求。

(2)、交流设备的使用优点。

如异步电动机比起直流电动机来,具有构造简单、性价比高,使用方

便等优点。

(3)、 在一些非用直流电不可的场合,如工业上的电解和电镀,直流马达等,

也可利用整流设备,将交流电转化为直流电。

2、交流电的分类

(1)正弦交流电和非正弦交流电

交流电有正弦和非正弦之分。

正弦交流电的优点:

a,变化平滑

b.不易产生高次谐波

非正弦交流电:各种非正弦交流电都可由不同频率的正弦交流电叠加而

成(用傅里叶分析法),因此可用正弦交流电的分析方

法来分析非正弦交流电。

(2)正弦交流电的分类:以相的数目来分,有两相,三相,六相等。对

称三相因为有很多优点,所以应用最为广泛。

例如:

a,在输送电能上,输电距离,输送功率,线间电压,输电材料都相同的条件下,则三相输电所用的铜线(或铝线),比单相节约25%;

b、同功率的三相发电机比单相发电机体积小,节约材料。

c、三相发电机的结构简单,维护和使用都其它为方便。

所以,目前世界上电力系统所采用的供电方式,绝大多数是属于三相制的。

3 正弦交流电的三要素:

随时间按照规律变化的电压和电流。由于交流电的大小和方向

都是随时间不断变化的,也就是说,每一瞬间电压(电动势)和电流的数值都不相同,所以在分析和计算交流电路时,必须标明它的正方向。

确定一个正弦量必须具备三个要素,即振幅值,角频率和初相。也就是说知道了三要素,一个正弦量就可以完全确定的表现出来。

¦Π¦Π

图二 正弦电动势波形图

正弦交流电的三要素:

(1)最大值(振幅值)

¦Π2¦

Π

图三 振幅值不同的正弦量

(2)角频率

ω:表示在单位时间内正弦量所经历的电角度,单位为弧度/秒(rad/s)。

图四 频率不同的正弦量

在一个周期T内,正弦量经历的电角度为2π弧度,所以:

ω=2π/T=2πf 2-3-1

把角频率ω代入e=Em sina,正弦量的解析式就能以时间为变量。

当T=0时,a=ωt

正弦量的解析式: e=Em sin ωt 2-3-2

例1、已知工频频率是50HZ,求ω。

解:ω=2πf=2×3.14×50=314 rad/s

(3)初相位(初相)

从2-3-2公式中,我们可以看出,正弦交流的起点为0,即电角度a=0,这是一种特殊情况,一般情况下,起点都有一个角度,这个角度我们用ψ来表示,也就是a=ψ。这时2-3-2式就变为:

e=Em sin( ωt+ψ) 2-3-3 ¦Π

¦Χ 2¦Π¦tΨ

图五 初相角不为零的感应电动势

通过2-3-2式的波形图,我们可以看出:ωt+ψ这个电角度是随时间变化

的。它每增加2π,e又重复原来的变化规律。正弦量任一时刻的瞬时值及变化趋势都与ωt+ψ有关,这个电角度称为正弦量的相位或相位角。

相位意义:表示正弦量在某一时刻所处的状态的物理量,它不仅确定瞬

时值的大小和方向,还能表现出正弦量的变化趋势。

在2-3-3式中, ψ是正弦量在计时起点即t=0时的相位,叫做初相位,简

称初相。

初相的意义:确定了初相,也就知道了正弦量在计时起点的状态。规定│ψ│不能超过π的弧度,也就是180度。

I1=Im sin¦tΨI2=Imsin(¦tΨ+¦/Π2)¦tΨΠ/¦tΨ

I3=Imsin(¦tΨ+¦Π/6)I4=Imsin(¦tΨ-¦Π/6)

¦Π/6¦Ψt¦/Π6¦Ψ

t

图六 几种不同计时起点的正弦电流

例1 :已知选定参考方向下的波形图如下图所示,试写出正弦量的解析式。

¦Π2¦Π

¦tΨ-¦/Π3¦/Π6

图七 例题1图

解:e1=250sin(ωt-π/6)v

e2=200sin(ωt+π/3)v

例2:在选定的参考方向下,已知两正弦量的解析式为:i=-15sinωt

A,u=400sin(ωt+240°)V,求每个正弦量的振幅值和初相。

解:i=-15sinωt= 15sin(ωt+π)A,其振幅值Im=15A,初相ψ=1π=180°。 注:振幅只取绝对值。

u=400sin(ωt+240°)V=400sin(ωt-120°)V,其振幅值U吗、Um=400,初相Ψ=-120°

注:在上式中,初相值为什么不是240°而是负120度呢?因为初相不能超过1π。 例3 已知电路中a,b部分的电压是正弦量,其频率F=50HZ,在选定电压参考方

向由a到b的情况下,它的解析式为Uab=311sin(ωt-π/4)V。求:1)T=2S时,2)ωt=π时,3)ωt=90°时,电压的大小、实际方向和相位角。

解:1)当T=2S时,

ω=2πF=2π×50=100π=314rad/s

Uab=311sin(ωt-π/4)=311sin(100π×2-π/4)=311sin(200π-π/4) =-311sinπ/4=-311×√2/2=-220V

Uab为负值,电压的实际方向与参考方向方向相反,即由B到A。电压的大小为220V,相位角为(200π-π/4)。

2)当ωt=π时,

Uab=311sin(ωt- sin /4)= 311sin(π-π/4)=311×(+√2/2)=220V 电压实际方向为由A到B,其大小为220,相位角为(π-π/4)。

3)ωt=90°时,

Uab=311sin(ωt-π/4)=311 sin(π/2-π/4)=311 sin π/4=220V 电压大小为220V,实际方向是由A到B,相位角为(π/2-π/4)=π/4。

4、相位差

(1)定义:两个同频率正弦量的相位之差,称为相位差。正弦量的相位是随时间变化的,但同频率正弦量的相位差是不随时间变化的,等于它们的初相之差。 一个正弦量比另一个正弦量早到零值或振幅值时,称前者超前后,或后者滞后前者。如图示八,U1比U2超前(Ψ1-Ψ2),或者说U2比U1滞后(Ψ1-Ψ2)。所以相位差计算式Φ12=Ψ1-Ψ2中的Φ12是一个超前或滞后的角度。对于这个角度,我们规定其绝对值不超过180°。例如:滞后40度用超越320度来表示就易引起表意上的混乱。

¦·1¦1µ22

·

图八 两个同频率正弦电势波形图

¦Π¦Π¦tΨ

图九 例1波形图

例1 试作Ur=Urm sin ωt,Ir=Irm sin ωt ,UL=ULm sin (ωt+90°),e=Em sin (ωt-180°)波形图,并说明其相位关系。

解:先画出各解析式的波形图,因为Ir的初相为零,故选它作为参考量。

正弦量Ur初相为零,所以与Ir同相。

正弦量UL较Ir的相位超前90度,所以两个正弦量的波形正交。

正弦量e较Ir的相位差为180度,所以与Ir反相。

5、交流电的有效值

电功率的计量采用有效值来计算的,如果用振幅值来计算的话,前面我们有讲过,在一个周期内交流电只有两个瞬间才能达到最大值,这样的话我们就会多交1.414倍的电能费用。下面我们来具体分析一下:

(1) 定义:任何交流电的有效值都是根据它的热效应确定的。交流电流I

通过电阻R在一个周期内所产生的热量和直流电I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量相等,则这个直流电流I的数值就叫这个交

流电的I的有效值。

在等于交流电一个周期时间内直流通过电阻R所产生的热量为:

Q=I2RT

交流电能过同样电阻R,在同一周期内所产生的热量为:

Q=∫i2Rdt

(2)、正弦量的有效值

正弦电压和电动势的有效值为:U=Um/√2=0.707Um

E=Em/√2=0.707Em

常用的仪器如电表等所指示的值均为有效值,我们所说的家用电器的电压是220伏,也是指有效值,如果要计算它的最大值,乘√2就可以得到。

(3)例题分析 :

例题1:有一电容器,耐压为250V,问能否在市电电压220V电源上使用? 解:Um=220×√2=311V

这超过了电容器的耐压,有可能电容被击穿,所以不能使用。

例题2:一正弦电压的初相为30°,在t=T/2时的值为-268,7V,试求它的有效值。

解:正弦电压的解析式:U=Um sin( ωt+ψu)

已知ψu=30度,t=T/2时,

ωt=2π/T×T/2=π

代入得

-268.7= Um sin(180°+30°)

=-1/2 Um

Um=537.4V

有效值: U=537.4/√2=380V

6、正弦量的复数表达式

正弦量的表达式形式除了前面的波形图和简谐表达式之外还有第三种表达方式——相量表达法。

复数的四种表示形式:1)、代数式 A=a+jb(a=r cosθ, b=r sinθ

2)三角式A= r cosθ+r sinθ

据欧拉公式 Ejθ= cosθ+j sinθ 可得

3)指数式:A=rejθ

4)极坐标式:A=r

范文九:第五章正弦交流电路(教案) 投稿:夏袖袗

四川省仁寿县职业中专学校理论教学教案

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本章小结

【本章重点内容】

1、单相正弦交流电的三要素及电压与电流间的相位关系分析。 2、正弦交流电的表示法。

3、RLC串联电路及RLC串联谐振的分析和计算。 4、功率及功率因数的概念及计算。

【本章内容提要】

一、交流电的产生 1、交流发电机 2、正弦交流电的正弦函数式

e=Emsin(ωt+φe0) (V) u=Umsin(ωt+φu0) (V) i=Imsin(ωt+φi0) (A) 二、正弦交流电的三要素

描述交流电的物理量有瞬时值、最大值、有效值、周期、角频率、频率、相位和初相等。其中有效值(或最大值)、频率(或周期、角频率)、初相称为正弦交流电的三要素,交流电的有效值和最大值之间的关系为:

角频率.频率和周期三间的关系为:

两个交流电的相位之差叫做相位差。如果它们的频率相同,相位差就等于初相之差,即:

相位差确立了两个正弦量之间的相位关系,一般的相位关系是超前、滞后;特殊的相位关系有同相、反相和正交。 三、正弦交流电的表示法

1、解析式表示法 2、波形图表示法 3、相量图表示法

电阻是耗能元件,电感、电容是储能元件。 五、串联电路中的电压、电流和功率的关系比较

在R—L—C串联电路中,当XL>XC时,端电压超前电流,电路呈现电感性;当XL

六、并联电路中的电压、电流和功率关系的比较

在R—L—C并联电路中,当XL>XC时,端电压滞后总电流,电路呈现电容性;当XL

时,端电压超前总电流,电路呈现电感性;当XL=XC时,端电压与总电流同相,电路呈现电阻性,即并联谐振。

七、串联与并联谐振电路不同特点比较

八、电路的功率及功率因数

1、纯电阻电路的功率:P

1

PmURI 2

2、纯电容电路的功率:PUCIsin2t 无功功率为QC,即: QCUCI 3、纯电感电路的功率:PULIsin2t 无功功率为QL,即: QLULI 4、RLC串联电路功率:有功功率:PUIcos 无功功率:QUIsin 视在功率:SUI 由功率三角形得:S

P2Q2

5、功率因数:电路中的有功功率与视在功率的比值称为电路的功率因数,即:

cos

P

。 为提高发电设备的利用率,减少电能损耗,提高经济效益,必须提高电S

路的功率因数,方法是在电感负载两端并联一只电容量适当的电容器。

第五章 正弦交流电路练习题一

1、照明用交流电的电压是220V,动力供电线路的电压是380V,试求它们的有效值和最大值各是多少?

2、一正弦交流电的频率是50Hz,有效值是5A,初相是-π/2,写出它的瞬时值表达式,并且画出它的波形图。

3、已知交流电压u=14.1sin(100πt+π/6)v,求:(1)交流电压的有效值、初相位;(2)t=0.1s时,交流电压的瞬时值。

4、已知交流电流i=sin(314t+π/4)A,求交流电流的有效值、初相位和频率,并画出它的波形图。

5、下图是一个按正弦规律变化的交流电的波形图, 根据波形图求出它的周期、频率、角频率、初相位、 有效值,并写出它的解析式。

6、求交流电压u1=100sin(314t)V和u2=100sin(314t+π/2)V之间的相位差,并画出它们的波形图和相量图。

7、已知交流电压u1=220sin(100πt+π/6)V, u2=380sin(100πt+π/3)V,求各交流电压的最大值、有效值、角频率、频率、周期、初相位和它们之间的相位差,指出它们之间的“超前”或“滞后”关系,并画出它们的相量图。

8、已知两个同频率的正弦交流电,它们的频率是50Hz,电压的有效值分别是12V和6V,前者的初相位为零,而且前者超前后者π/2的相位角,试写出它们的电压瞬时值表达式,并在同一坐标系中画出它们的波形图,作出相量图。

9、下图所示的相量图中,已知U=220V,I1=10A,I2=7.07A, 频率均为50Hz,写出它们的解析式。

10、运用相量图分别求出下列两个正弦交流电的和与差。 (1)i1=6sin(314t)A,i2=6sin(341t+π/2)A

(2)u1=1002sin(314t+π/3)V,u2=1002sin(341t-π/3)

V

(3) i1=102sin(314t+π/6)A,i2=52sin(341t-5π/6)A

11、一个1000Ω的纯电阻负载,接到u=311sin(314t+π/6)V的电源上,求出负载中电流瞬时值表达式,并画出电压和电流的相量图。

12、一个线圈的自感系数为0.5H,电阻可忽略,把它接到频率为50Hz、电压为220V的交流电源上,求通过线圈的电流。若以电压作为参考量,写出电流瞬时值的表达式,并画出电压和电流的相量图。

13、有一线圈,其电阻可忽略不计,把它接到220V、50Hz的交流电源上,测的通过线圈的电流为2A、求线圈的自感系数。

63

14、试计算电容是100pF的电容器,对频率是10Hz的高频电流和频率是10Hz的音频电流的容抗各是多少?

15、把电容为5μF的电容器接到220V、50Hz的交流电源上,通过电容器的电流是多大?把电容器改为0.05μF时,通过的电流是多大?

16、已知加在2μF的电容器上的电压为u=311sin314tV,求通过电容器的电流,写出电流瞬时值的表达式,并画出电流和电压的相量图。

17、在一个R-L-C串联电路中,已知电阻为8Ω,感抗为10Ω,容抗为4Ω,电路的端电压为220V,初相位为零,求电路中的总阻抗、电流、各元件两端的电压以及电流和电压的相位关系,并画出电压、电流的相量图。

18、日光灯电路可以看成是一个R-L串联电路,若已知灯管电阻为300Ω,镇流器感抗为520Ω,电源电压为220V,初相位为零。(1)求出电路中的电流;(2)求出灯管两端和镇流器两端的电压;(3)求电流和电压的相位差;(4)画出电流和电压的相量图。

19、一个电感线圈接到电压为120V的直流电源上,测得电流为20A,接到频率为50Hz、电压为220V的交流电源上,测得电流为28.2A,求线圈的电阻和电感。

20、交流接触器电感线圈的电阻为220Ω,电感为10H,接到电压为220V、频率为50Hz的交流电源上,问线圈中的电流多大?如果不小心将此接触器接到220V的直流电源上,问线圈中的电流又将多大?若线圈允许通过的电流为0.1A,会出现什么后果?

21、为了使一个36V、0.3A的灯泡接到220V、50Hz的交流电源上能正常工作,可以串联一个电容器限流,问应该串联多大的电容器才能达到目的?

22、如图所示的移相电路,已知电容为0.01μF,输入电压

u=sin1200πtV,欲使输出电压的相位向落后方向移动60, 问应配多大的电阻?此时的输出电压是多大?

23、收音机的输入调谐回路为R-L-C串联谐振电路,当电容为150pF,电感为250μH,电阻为20Ω时,求谐振频率和品质因数。

24、在R-L-C串联谐振电路中,已知信号源电压为1V,频率为1MHz,现调节电容器使回路达到谐振,这时回路中的电流为100mA,电容器两端的电压为100V,求电路元件的参数R、L、C和品质因数Q。 25、有一个电容为170pF的串联谐振电路中,已测出谐振频率为600KHz,通频带宽度为15KHz,求回路中的品质因数和线圈的电感。

26、在R-L-C并联电路中,已知电阻为10Ω,感抗为8Ω,容抗为15Ω,接到电压为120V,初相位为零的交流电源上,求电路中的总电流和总阻抗,并画出电流和电压的相量图。

27、在R-L并联电路中,已知电阻为110Ω,感抗为55Ω,接到电压为110V,初相位为零的交流电源上,求电路中的总电流和总阻抗,并画出电流和电压的相量图。

28、在R -C并联电路中,已知电阻为12.5Ω,容抗为20Ω,接到电压为100V,初相位为零的交流电源上,求电路中的总电流和总阻抗,并画出电流和电压的相量图。

29、在如图所示的并联谐振电路中,已知电阻为50Ω,电感 为0.25mH,电容为10pF,求电路的谐振频率、谐振时的阻抗 和品质因数。

30、在如图所示的并联谐振电路中,若已知谐振是的阻抗是 10KΩ,电感是0.02mH,电容是200pF,求电阻和电路的品 质因数。

31、已知某交流电路,电源电压u=141sinωtV,i=1.41sin(ωt-60)A,求电路的功率因数、有功功率、无功功率和视在功率。

32、有一电动机,其输入功率为1.21KW,接到220V的交流电源上,通入电动机的电流为11A,求电动机的功率因数。

33、某变电所输出的电压为220V,额定视在功率为220KVA。如果给电压为220V、功率因数为0.75、额定功率为33KW的单位供电,问能供给几个这样的单位?若把功率因数提高到0.9,又能供给几个这样的单位?

34、为了求出一个线圈的参数,在线圈的两端接上频率为50Hz的交流电源,测得线圈两端的电压为150V,通过线圈的电流为3A,线圈消耗的有功功率为360W,问此线圈的电感和电阻是多大?

35、在50Hz、220V的交流电路中,接40W的日光灯一盏,测得功率因数为0.5,若并联一只4.75μF的电容器,问功率因数可提高到多大?

36、判断题

(1)用交流电压表测得交流电压是220V,则此交流电压的最大值是220V。

(2)一只额定电压为220V的灯泡,可以接到最大值为311V的交流电源上。 (3)用交流电表测得交流电的数值是平均值。

(4)如果将一只额定电压为220V、额定功率为100W的白炽灯,接到电压为220V、输出功率为2000W的电源上,则灯泡会烧坏。

(5)电感性负载并联一只适当数值的电容器后,可使线路中的总电流减小。 (6)只有在纯电阻电路中,端电压与电流的相位差才为零。 (7)某电路两端的端电压为u=220

2sin(314t+300)V,电路中的总电流为

i=102sin(314t-30)A,则该电路为电感性电路。

(8)在RLC串联电路中,若XL>XC,则该电路为电感性电路。

(9)在RLC串联电路中,若XL=XC,这时电路的端电压与电流的相位差为零。 (10)谐振电路的品质因数越高,则电路的通频带也就越宽。

(11)在RLC并联电路中,若XL

第五章 正弦交流电路练习题二

一、选择题

1、两个正弦交流电电流的解析是:i1=10sin(314t+π/6)A,i2=14.1sin(314t+π/4)A。这两个式中两个交流电流相同的量是____________。 A、最大值 B、有效值 C、周期 D、初相位

2、已知一交流电流,当t=0时的值i0=1A,初相位为30,则这个交流电的有效值为__________。 A、0.5A B、1.414A C、1A D、2A

3、白炽灯与电容器组成的电路如图所示,由交流电源供电, 如果交流电的频率减小,则电容器的_________。

A、电容增大 B、电容减小 C、容抗增大 D、容抗减小 4、白炽灯与线圈组成的电路如图所示,由交流电源供电, 如果交流电的频率增大,则线圈的_________。

A、电感增大 B、电感减小C、感抗增大 D、感抗减小

5、一个电热器接在10V的直流电源上,产生一定的热功率。把它改接到交流电源上,使产生的热功率是直流时的一半,则交流电源电压的最大值应是__________。 A、7.07V B、5V C、14V D、10V 6、在纯电感电路中,下列各式正确的是__________。 A、I=U/L B、I=U/ωL C、I=ωLU D、I=u/XL 7、如图所示,当交流电源的电压为220V,频率为 50Hz时,三只白炽灯的亮度相同。现将交流电的频率 改为100Hz,则下列情况正确的应是___________。

A、A灯比原来暗 B、B灯比原来亮 C、C灯比原来亮 D、C灯和原来一样亮 8、在如图所示电路中,交流电压的读数分别是 V为10V,V1为8V,则V2的读数是_________。 A、6V B、2V C、10V D、4V 9、在如图所示电路中,交流电流表的读数分 别是A1为6A,A2为2A,A3为10A,则A的读 数是____________。

A、10A B、18A C、2A D、6 A 10、如图所示,电路在开关S断开时的谐振 频率为f0,在开关S合上后电路的谐振频率为 ___________。

A、2f0 B、1/2f0 C、f0 D、1/4f0

11、要使RLC串联电路的谐振频率增大,采用的方法是___________。

范文十:第2章正弦交流电路教案 投稿:何腝腞

第2章 正弦交流电路

【教学目的要求】

1. 掌握正弦交流电的三要素及表示方式;

2. 建立起“阻抗”的概念并掌握其计算方法;

3. 掌握R、L、C及串联电路电压与电流的关系和对各种功率理解与计算;

4. 掌握功率因数概念;

5. 了解电路的谐振知识。

【教学内容】

1. 交流电概念、三要素;

2. 相量表示法;

3. 单一参数交流电路

4. 正弦交流电路分析(RLC串联电路,阻抗串并联)

5. 电路谐振及复杂电路的分析与计算。

【教学重点】

建立“阻抗”的概念;理解功率因数;理解有功、无功及视在三种功率及其应用。

【本章学时】 8

第一次课:

2.1 正弦交流电的基本概念及相量表示法

2.1.1正弦交流电的基本概念——三要素

在正弦交流电路中,电压u或电流i都可以用时间t的正弦函数来表示

u=Um sin(ωt+ϕu) V⎫⎬ (2-1) i=Im sin(ωt+ϕi) A⎭

在式(2-1)中,u、i表示在某一瞬时正弦交流电量的值,称为瞬时值,(2-1)式称为瞬时表达式;Um和Im表示变化过程中出现的最大瞬时值,称为最大值,或称幅值;ω为正弦交流电的角频率;φu、φi 为正弦交流电的初相位。

正弦交流电的三个特征量——三要素。

波形图如图2-1所示。

图2-1 正弦交流电的波形图

1.正弦交流电的周期、频率和角频率——表示交流电变化快慢

周期:正弦交流电量重复变化一次所需的时间,单位是秒(s),或者是毫秒(ms)和微秒(µs)。1ms=10-3s,1µs=10-6s。

频率:正弦交流电在每秒钟内变化的周期数,用f表示,单位是赫[兹](Hz),1Hz表示每秒变化一个周期,周期和频率的关系是

f=1 (2-2) T

角频率:每秒钟内正弦交流电变化的电角度,用ω表示,单位是弧度每秒(rad / s)。 2π=2πf T (2-3) ω=

图2-1正弦交流电的周期正弦交流电的波形图中,可以用时间t作横坐标,也可用电角度ωt作横坐标。

提醒学生应记住以下数据:

我国工农业生产及人民生活用正弦交流电的频率为50Hz

f=50Hz,则

T=11=s=0.02s f50

ω=2πf=(2×3.14×50) rad/s=314 rad/s

2.正弦交流电的相位与相位差

相位:(ωt+ϕi)称为正弦交流电的相位,它是正弦交流电随时间变化的电角度。相位的单位是弧度(rad),也可以用度表示。对于每一个给定的时间,都对应一个一定的相位。

初相位:对应于t=0时(即开始计时瞬间)的相位就称为初相位ϕ。计时起点不同,同一正弦量的初相位不同,例如在图2-2中,图 a ~ 图d的初相位不同。

图2-2 不同初相的正弦交流电

初相位:任何两个同频率正弦量之间的相位之差简称为初相位,用字母φ表示。相位差是表达两个同频率正弦量相互之间的相位关系的重要物理量,任何两个同频率正弦量的相位差在任何时刻都是不变的。初相位不同,即相位不同,说明它们随时间变化的步调不一致。例如当0

图2-3 同频率正弦量的相位关系

【例2-2

】已知i1=t+

π)A,i2=t−π

46,

试求i1与i2的相位差,并求t=20ms时两交流电的瞬时值。

【解】 iπ

1的相位是 314t+4,i 的相位是314t−π26, 两者的相位差为

(314t+π

4)−(314−πππ5

6)=4+6=12π

可见相位差,实际就等于初相位之差。

依题意,ω=314rad/s,f=ω

2π=50Hz

当t=20ms时,

iπ×50t+π

4=π×50×20×10−3+

π

1=4

=(2π+π⎛

4A=⎜⎜⎞A=

10A

⎝2⎟⎟

iπ×50t−π)A=×50π×20×10−3π

2=6−6

π1(2π−A=−≈−3.535A =62

3. 正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值

交流电的瞬时值:用小写字母表示,如i、u和e等,它是随时间在变化的。

最大值:又称幅值,用带有下标m的大写字母来表示,如 Im、Um和 Em等。

有效值:是用电流的热效应来规定的,即:如果一个交流电流i通过某一电阻R在一个周期内产生的热量,与一个恒定的直流电流I通过同一电阻在相同的时间内产生的热量相等,就用这个直流电的量值I作为交流电的量值,称为交流电的有效值。

根据焦耳 — 楞次定律,在一个周期T内正弦交流电i=Imsinωt通过电阻产生的热量为

2T22∫T

0Ridt=∫0RImsinωtdt

1−cos2ωtdt 2

12T=RIm−0=RIm2T 22=RIm2∫T0

而在相同的时间内直流I通过R产生的热量为RI2T

根据定义有 RI2T=

I=12RImT 2m=0.707Im (2-4) m=0.707Um (2-5) 同理

U=

式(2-4)和式(2-5)说明正弦交流电的有效值等于它的最大值的0.707倍。通常所说的交流电压多少伏、交流电流多少安,都是指有效值。例如交流电压220V或380V,交流电流5A、10A等都是有效值。

【例2-3】已知交流电压有效值U1=220V,U2=380V,试求其最大值。

【解】根据式(2-5)

U1m=1=(1.41×220)V≈

311V

U2m=2=(1.41×380)V≈536V

2.1.2 正弦交流电的相量表示

1.正弦交流电的旋转矢量表示法

从直角坐标的原点画一矢量,其长度等于正弦交流电最大值Im(或Um),它与横轴的正

,以坐标横轴逆时钟方向旋转为正,顺方向所夹的角等于正弦交流电的初相位ψi(或ψu)

时针方向旋转为负,这个矢量绕原点按逆时针方向旋转的角速度等于正弦交流电的角频率ω。显然,这个矢量任何时刻在纵轴的投影就等于这个正弦交流电压同一时刻的瞬时值,正

弦量的旋转矢量表示如图2-4所示。

图2-4 正弦量的旋转矢量表示

矢量图也可以用有效值来画,这样只不过使所有矢量的长度都缩小了,并不影响它们的相对关系。

2.正弦交流电的相量表示法

设一个复数的实部为a,虚部为b,则该复数可以写成

A=a+jb (2-6)

式中,算符

j=

数的代数形式。

i,为区别于电流i而改用j。式(2-6)称为复

图2-5 复数图示

复数可以用复数平面内一个几何有向线段A(即矢量)来表示,如图2-5所示。显然,矢量A的模(即矢量A的长度)A

为。

A= (2-7)

式中,a为A在实轴上的投影;b为A在虚轴上的投影,显然有

⎨⎧a=Acosϕ (2-8) ⎩b=Asinϕ

由此式(2-6)可写成 A=Acosϕ+jAsinϕ=A(cosϕ+jsinϕ) (2-9)

这是复数的三角型表示式。φ为复数A的幅角,根据欧拉公式,

cosϕ+jsinϕ=ejϕ (2-10)

故式(2-9)可写成

A=Aejϕ (2-11)

这是复数的指数型表示式。在电工技术中习惯上将╱ϕ 代替 ejϕ,这样(2-11)式可写成

A=A∠ϕ (2-12)

式(2-12)复数的极坐标型表示式。该式的特点是采用复数的模和幅角这两个要素来表示一个复数。

要表示一个正弦量,通常需要表述其三要素,即幅值(或有效值)、初相位和角频率。但是,在同一个正弦交流电路中,电源频率确定后,电路中各处的电流电压都是同一频率,因此频率可视为已知。这样,只要能表示出幅值(或有效值)和相位,一个正弦量的特征就可表示出来了。因为复数不但可以表示正弦量的这两个要素,而且还能将矢量和正弦量的代数式联系起来,因此可以用复数表示正弦交流电。复数的模即为正弦量的幅值(或有效值),复数的幅角是正弦交流电的初相位。例如,将正弦电流

i=Imsin(ωt+ϕ)

写成复数形式为 Im=Ime

或 I=Ie••jϕ=Im∠ϕ jϕ=I∠ϕ

表示正弦交流电量的复数称为相量;在复平面内的矢量表示称为相量图,只有同频的周期正弦量才能画在同一复平面内。几个同频率正弦量相加减,可以表示成相量后用相量(复数)的加减规则进行加减,也可以表示成相量图,按矢量的加减规则进行加减。

【例2-4

】已知两个正弦电流i1=ωt+30󰁄

) A,i2=ωt−45󰁄) A

求合成电流 i=i1+i2 。

【解】方法1。用相量式求合成电流的幅值和幅角。

先将两个正弦量表示成相量

I1= 5=(5cos30º+5jsin30º)A=(4.33+j 2.5)A

I2= 10╱-45ºA=[10cos(- 45º)+10jsin(- 45º)]A=(7.07–j7.07 )A

合成电流的相量为

I= I1+I2=(5+10A=[(4.33+7.07)+j(2.5–7.07)]A

••••• 即合成电流的有效值为12.27A,初相位为-21.65º,而合成电流的角频率不会变,故可写出其瞬时值表示式。

i=ωt-21.65󰁄)A

需要说明的是,在求出幅角后要判断它所在的象限。本例因 tan ϕ和sinϕ 均为负值,故在第四象限内,即ϕ=360º-21.65º=338.35º或ϕ= -21.65º,电工学中ϕ的主值区间在±1800之间,故采用后一角度。

方法2。用相量图求合成电流的幅值和幅角,作图如图2-6所示,合成电流是I1和I2,

两相量所作平行四边形的对角线,它与横轴正方向的夹角即为初相位。

••

图2-6 例2-4相量图

第二次课:

2.2 单一参数交流电路

2.2.1 纯电阻电路

如果电路中电阻作用突出,其他参数的影响可忽略不计,则此电路称为纯电阻电路。

1. 电压和电流的关系

将纯电阻接入交流电源,并设电流和电压的正方向相同,如图2-7所示。为方便起见,现选择电流为参考量,即设

i=Imsinωt

由欧姆定律,在图2-7 a 所示参考方向一致的情况下,电阻两端电压为

u=Ri=RImsinωt=Umsinωt

式中,

Um=RIm得有效值关系

U=RI 或 I=UR (2-13) R

式2-13表明,在纯电阻电路中,电压与电流的幅值或有效值符合欧姆定律关系;在相位上,电压与电流同相。用相量式表示为

•⎧••⎪I=U⎧•

⎪⎪U=RIR 或 ⎨⎨•••⎪•Um⎪⎩Um=RIm⎪Im=R⎩

波形图和相量图如图2-7 b和图2-7 c所示。

2.功率

电路在某一瞬时消耗或产生的功率称为瞬时功率。

p=ui=UmImsin2ωt=2UIsin2ωt (2-14)

式2-14表明电阻上消耗的功率是变化的,且在一个周期两次出现最大值,在整个周期内任何瞬间p均为正值,即电阻是一个耗能元件。

电阻上瞬时功率和平均功率的波形如图2-7 d 所示。

电路中通常所说的功率是指瞬时功率在一个周期内的平均值,称为平均功率,简称功率,又称有功功率,单位为瓦[特](W)。

纯电阻电路的平均功率为

P=1T12∫0pdt=∫T

0UI(1−cos2ωt)dt=UI=RI (2-15) TT

式(2-15)表明,交流电路中电阻上消耗功率与电流电压有效值的关系同直流电路中的完全一样。

图2-7 纯电阻电路

【例2-5】一个额定功率为100W,额定电压为220V的白炽灯,试求该灯的额定电流及在额定工作状态下的电阻R。

【解】额定电流

IN=

在额定工作状态下的电阻 PN100A≈0.455A =UN220

2UN2202

=Ω=484Ω R=100PN

2.2.2 纯电感电路

1.电压和电流的关系

电路如图2-8 a所示。选择电流为参考量,设

i=Imsinωt

则在图示参考方向下,有

u==Ldid=L(Imsinωt)dtdt

=ωLImsin(ωt+=Umsin(ωt+900)2

从式(2-16)可以看出,纯电感电路中的电流i、端电压u都是同频率的正弦量,但是它们的相位不同,u超前i900。

电感线圈的电流

i及电压u

的波形图及相量图如图2-8 b和c所示。 π (2-16)

图2-8 纯电感电路

式(2-16中),Um=ωLIm=

XLIm得

U=ωLI=XLI 或 I=

式中

U

(2-17) XL

XL=ωL=2πfL (2-18)

比较式(2-13)与式(2-17),它们具有相似的形式,XL与R相对应,两者具有同一量纲(伏/安=欧)。但两者在性质上有所区别,称XL为感抗,单位欧[姆]。L是自感系数,单位是亨利(H)或毫亨[利](mH)。f是频率,单位是赫[兹](Hz)。

用相量表示电压和电流的关系为

UL=XLI∠90=jXLI 或 I=

2.功率

纯电感的瞬时功率为

󰁄

••

UU

(2-19) =−j

jXLXL

••

p=ui=Umsin(ωt+)Imsinωt=UIsin2ωt (2-20)

2

式(2-20)说明,纯电感电路中的功率以两倍于电流的频率变化着,如图2-8 d 所示。从图2-8 d中可以看到,在第一及第三个1/4周期中,p>0,即电感从电源吸取能量;在第二和第四个1/4周期中,p

π

P=

1T12∫0pdt=∫T0XLIsin2ωtdt=0 TT

可见,在交流电路中,纯电感不消耗电能,它只是不断地和电源“交换”着电能,所

以电感被称储能元件。即在第一和第三个1/4周期中将从电源吸收的电能转换成磁场能;而在第二和第四个1/4周期中将磁场能变为电能送回给电源。因此,电感与电源之间有能量的往返互换,其能量互换的规模就用电路中瞬时功率的最大值表示,把它定义为无功功率

U2

Q=UI=XLI=

XL

2

(2-21)

无功功率的基本单位用乏(var)表示,较大单位为千乏(kvar)。

【例2-6】一个电感量L=35mH的线圈接于 u L =

314 t V 电源上,求流过线圈的电流i及线圈的无功功率。

【解】 将电压写成相量

UL=220V

电感线圈的感抗为

XL=ωL=314×35×10-3Ω≈11Ω

根据(2-19)式

UL220∠0󰁄󰁄

2090A I===∠−󰁄

jXL11∠90

所以

i=t−90°)A

QL=I2XL=202×11=4400var

电感的无功功率

2.2.3 纯电容电路

1.电压和电流的关系 电路如图

2-9 a所示。

图2-9 纯电容电路

选择电压为参考量,设

u=Umsinωt

则在图2-9a所示参考方向下,有

i=C

duπ

=ωCUmsin(ωt+=Imsin(ωt+900) (2-22) dt2

电压u与电流i波形图及相量图示于图2-9 b、c中。电流i是由于电容的充放电形成的:在

第一个和第三个1/4周期中,电压上升,极板上电荷增加,电容器被充电,导线中有充电电流;在第二个和第四个1/4周期中,电压下降,极板上电荷减少,电容器放电,导线中有放电电流,充放电电流的方向是相反的。

由式(2-22)可以看出,纯电容电路施加正弦电压时,其电流是同频率的正弦波,且它的相位超前电压π2弧度,因为电流正比于电压的变化率。

为了便于与电感电路进行比较,根据式(2-22)推出电压与电流的关系为

Um=

两边除以 2得

1

Im=XCImωC

U=

式中

XC=

1U

(2-23) I=XCI 或 I=

ωCXC

11= (2-24) ωC2πfC

比较式(2-13)与式(2-24),它们具有相似的形式,XC与R相对应,两者具有同一量纲(伏/安=欧),Xc称为容抗单位为Ω,容抗与频率f及电容量C有关,引入容抗后,电容上的电压与电流有效值的关系,也具有欧姆定律的形式。用相量式表示为:

••

UU

或 U=−jXCI (2-25) I==jXC−jXC•

2.功率

纯电容电路中瞬时功率为

p=ui=UmsinωtImsin(ωt+90°)=UIsin2ωt (2-26)

与电感电路中的功率相似,也以两倍于电源的频率交变着。其平均功率为

P=

1T1∫0pdt=∫T0Isin2ωtdt=0 TT

由图2-9 d 图可知,在第一和第三个1/4周期中电容器被充电,P>0;在第二和第四个

1/4周期中,电容器放电,P

U2

Q=UI=XCI=

XC

2

(2-27)

Q称为电容的无功功率,表示电容器电场能与电源电能相互转换的最大规模,单位也是乏(var)。

【例2-7】一只0.2µF的电容器接于电压有效值都是10V而频率分别为50Hz和5KHz的电源上,试计算两种情况下的电流有效值及电容的无功功率。

【解】依题意UC=10V

XC1=

11

Ω≈15.9 kΩ =−6

2πf1c2×3.14×50×0.2×10

XC2=

11

Ω≈159 Ω =3−6

2πf2c2×3.14×50×10×0.2×10

I1=

UC10 V

=≈0.63 mA XC115.9 KΩ

UC10 V

=≈63 mA X159 Ω

I2=

C2Qc1=UCI1=10×0.63×10−3var=0.63×10−2var

Q3c2=UCI2=10×63×10−=63×10−2var

第三次课:

2.3 交流电路的分析

从串联电路入手,重点是分析方法,从而能分析并联等交流电路。

2.3.1 RLC串联交流电路

图2-10 串联交流电路

1. 分析电压与电流关系的方法

方法1.根据KVL,列方程

u=uR+uL+uC

用相量表示,则

U.

=U.

.

.

R+UL+UC 根据单一参数交流电路的性质,可以写出各元件上的电压相量,它们分别为U.

.

R=IR

⎫⎪

U.=jX.⎪

LLI⎬ U.jX.⎪C=−CI⎪

⎭2-28)2-29) (

将式(2-29)代入式(2-28)中,则

U=UR+UL+UC=IR+jXLI−jXCI=I[R+j(XL−XC)]=I(R+jX)=IZ

式2-30中

.

.

..

.

.

....

(2-30)

X=XL−XC称为串联交流电路的电抗,

(它只是一般的复数计算量,不是相量,Z=R+jX称为串联交流电路的复阻抗

因此注意它的写法仅是大写字母,顶部不加小园点。)

复阻抗Z也可以写成如下的形式

Z=R+jX=Z(cosϕ+jsinϕ)=Zcosϕ+Zsinϕ

式(2-30)非常完整地表明了这个交流电路中电压电流之间的关系,即在大小和相位上的关系,此式称为相量形式的欧姆定律。

方法2:画相量图

非常重要的分析工具,它可以使抽象的问题变得直观,并能使复杂的问题变得简单。 在画图之前,应先选定一个参考相量,如果没有明确要求,一般在串联电路中习惯于选支路电流为参考相量(设电流的初相位为零),而在交流电路中显然就应选并联支路的电压为参考相量。

根据单一参数正弦电路的性质可知,电阻电压UR与电流I同相;电感电压UL超前电流I 90°;电容电压UC滞后于电流I90°。假设UL>UC,则总电压U与各部分电压之间的关系如图2-10 a所示。

.

.

.

..

..

a)相量图及电压三角形 b)阻抗三角形 c)功率三角形

图2-10 RLC串联电路

2.电路参数复阻抗Z的讨论

由式(2-30)可得

󰀅U∠ψUUu

Z===Z∠ϕ=∠ψu−ψi

II∠ψiI

Z的模Z为电路总电压和总电流有效值之比,简称阻抗,而Z的幅角ϕ则为总电压和

总电流的相位差,又称阻抗角,如图2-10 b

所示为一阻抗三角形,由图可见,

ψ=ψu−ψi=arctan

XL−XC

R

2

Z=R2+XL−XC

由式Z=Z∠ϕ=R+j(XL−XC)可知,当ω一定时,电路的性质由电路的参数Z决定,当XL>XC,此时ϕ>0,电压超前电流ϕ角,即电感作用大于电容作用,整个电路为电感性负载,称为电感性电路;当XL

3.功率计算

通过单一参数交流电路的分析已经知道,电阻是消耗能量的,而电感和电容是不消耗能量的,电源和电感、电容之间进行能量的交换,因此有下面的结论

(1)瞬时功率。在任一瞬间,电路中都有

p=u⋅i=pR+pL+pC

(2)有功功率。瞬时功率在一个周期内的平均值即为平均功率,又名有功功率,单位是瓦[特](W)

1T

P=∫pdt

T01T

=∫(pR+pL+pC)dt (2-31) T0

=PR=URI=I2R

(3)无功功率。在R、L、C串联的电路中,储能元件L、C虽然不消耗能量,但它们与电源之间存在能量吞吐,吞吐的规模用无功功率来表示。其大小为

Q=QL+QC

(−UCI)=ULI+(UL−UC)I=

(2-32)

=IUsinϕ

无功功率的单位是乏(Var)。

(4)视在功率。视在功率是电路中总电压与总电流有效值的乘积,它可以用来衡量发电机或变压器可能提供的最大功率,是电源输出的重要指标。视在功率用S来表示,单位是伏安(VA)或千伏安(kVA)。

S=UI (2-33)

有功功率、无功功率和视在功率之间的关系构成了一个功率三角形,如图2-11c所示,阻抗三角形、电压三角形和功率三角形都是直角三角形,且都有一个角是ϕ,因此三个三角形相似,如图2-11

所示,这一点对于正弦交流电路的分析极为有用。

图2-11 阻抗三角形、电压三角形和功率三角形的相似关系

第四次课:

2.3.2 交流电路的一般分析方法

交流电路的分析方法其实与直流电路的分析思路相同,因此在直流电路中用于分析电路的方法在交流电路的分析中同样适用,但应注意,在交流电路中的各物理量与直流不同,它们既有大小的变化,又有相位的变化,因此直流中的实数运算,在交流电路中就得是复数的运算。

1. 简单的阻抗串并联电路

图2-12 简单的串联电路

如图2-12所示,这是一个简单的阻抗串联电路,为便于计算,将电路中的电压、电流用相量表示,根据分压公式,Z2上的电压U2为

.Z2

U2=U=U2∠ϕ

Z1+Z2.

.

最后可根据电压的相量形式写出其瞬时值表达式。

u2=U2msin(ωt+ϕ)

如图2-13所示,这是一个简单的阻抗并联电路,为便于计算,将电路中的电压、电流用相量表示,根据电压电流的关系为

.UU11

I=

I1+I2=+=U(+)

Z1Z2Z1Z2.

.

.

..

图2-13 简单的阻抗并联电路

2.一般正弦交流电路的解题步骤

(1)据原电路图画出相量模型图(电路结构不变)。

R→R、 L→jXL、 C→−jXC;

u→U󰀅、 i→I󰀅、 e→E󰀅。

(2)根据相量模型列出相量方程式或画相量图。

(3)用相量法或相量图求解。 (4)将结果变换成要求的形式。

【例2-8】由图2-14已知I1=10A,UAB =100V,求:电流表PA 和电压表PV的读数。

图2-14 例2-8的电路

【解】解题方法有两种。

(1)用相量法进行运算。设U󰀅AB为参考相量,即U󰀅

AB

=100∠0󰁄V 则:I󰀅2

=+j5

=−45󰁄A

I󰀅1

=10∠90󰁄=j10A I󰀅=I󰀅1+I󰀅2

=10∠0󰁄A 电流表PA的读数是有效值,因此读数为 10A。

U󰀅C1

=(

I󰀅−j10)=−j100V U󰀅o=U󰀅C1+U󰀅AB

=100−j100=−45󰁄

V

因此PV读数为141V。

(2)利用相量图求结果。

图2-15 相量图

󰀅=100∠0󰁄V为参考相量,相量图如图2-15所示。 设UAB

由已知条件得

I1=10A 、

超前参考电压90°,I1和I构成一个等腰直角三角形,所以

I

=10A I2==

󰀅滞后于U󰀅 45° I2AB

UC1=I XC1=10×10 V =100V

UC1落后于I 90°

由图2-15可见:UC1=UAB ,因此UO =141V 所以PA 、PV的读数分别为10 A和141V。

【例2-9】在图2-16 a所示交流电路中,已知U=200 V,R1=20 Ω,R2=40 Ω,

XL=157 114Ω,XC= Ω,试求电路的总电流。

图2-16 例2-9 图

解】(1)方法1。由支路电流求总电流

i

选择总电压为参考相量,即U=200∠00

V,由此求得

Ui

Ii

1=Z=220∠00220∠0020−j114A=116∠−80

0A=1.90∠800

A 1i

Ii

U220∠00220∠002=Z=A=A=1.36∠−75.700A240+j157162∠75.7

Ii=Iii

1+I2=1.90∠800+1.36∠−75.70

=(0.33+j1.87)+(0.334−j1.32) =0.664+j0.55A=0.862∠39.60A

2)方法2。由并联等效阻抗求总电流

Z=

Z1Z2116∠−800×162∠75.70Z=−j114+40+j157Ω1+Z22000

=

18800∠−4.360+j43Ω=18800∠−4.30

73.8∠35.3

Ω=255∠−39.6Ωi

Ui

220∠00I=Z=255∠−39.6

0A=0.862∠39.60A 分析与思考】(可做为课后思考题)

1)在并联交流电路中,支路电流是否有可能大于总电流?

2)在R、L、C三者并联的交流电路中,下列各式或说法是否正确:

1)并联等效阻抗Z=R+j⎜⎛ωL−

1⎞

ωC⎟⎠

; 2

)并联等效阻抗的阻抗模

3)XC>XL时,电路呈电容性;XC

【 (【((

4)两阻抗串联时,在什么情况下Z=Z1+Z2? 两个阻抗并联时,在什么情况下111=+? ZZ1Z2

2.4 电路的功率因数

电路的功率因数,即

λ=P=cosϕ S

电压与电流的相位差ϕ称为功率因数角,它是由电路的参数决定的。在纯电容和纯电感电路中,P=0,Q=S,λ=0,功率因数最低;在纯电阻电路中,Q=0,P=S,λ=1,功率因数最高。

功率因数是一项重要的电能经济指标。当电网的电压一定时,功率因数太低,会引起下述三方面的问题:

(1)降低了供电设备的利用率。

容量S一定的供电设备能够输出的有功功率为

P=Scosϕ

cosϕ越低,P越小,设备越得不到充分利用。

(2)增加了供电设备和输电线路的功率损耗。

负载从电源取用的电流为

I=P Ucosϕ

在P和U一定的情况下,cosϕ越低,I就越大,供电设备和输电线路的功率损耗也就越多。

(3)输电线上的线路压降大,因此负载端的电压低,从而使线路上的用电设备不能正常工作,甚至损坏。

电路的功率因数低,是因为无功功率多,使得有功功率与视在功率的比值小。由于电感性无功功率可以由电容性无功功率来补偿,所以提高电感性电路的功率因数除尽量提高负载本身的功率因数外,还可以采取与电感性负载并联适当电容的办法。这时电路的工作情况可以通过图2-17所示电路图和相量图来说明。并联电容前,电路的总电流就是负载的电流IL,电路的功率因数就是负载的功率因数cosϕL。并联电容后,电路总电流为I,电路的功率因数变为cosϕ,cosϕ>cosϕL。只要C值选得恰当,便可将电路的功率因数提高到希望的数值。并联电容后,负载的工作未受影响,它本身的功率因数并没有提高,提高的是整个电路的功率因数。 ii

图2-17 功率因数的提高

由图2-17 b的相量图,可得到电流的有效值关系为

IC=ILsinϕL−Isinϕ

因为 P=UILcosϕL=UIcosϕ

IC=U

所以 UωC=

故所需补偿的电容为 C=UωC PPsinϕL−sinϕ UcosϕLUcosϕ

P(tanϕL−tanϕ) (2-34) 2ωUC=

式2-34可以作为公式直接使用。

2.5 电路的谐振现象

在含有电感和电容的电路中,如果出现了总电流与总电压同相位现象,就称电路发生了谐振。谐振发生在串联电路中称为串联谐振,谐振发生在并联电路中称为并联谐振。

留给学生自学。

【本章作业题目】《建筑电工学》P45 2-1、2、4、5、6、7、9、11

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