垂直度定义_范文大全

垂直度定义

【范文精选】垂直度定义

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【专家解析】垂直度定义

【优秀范文】垂直度定义

范文一:垂直的定义 投稿:赵眬眭

垂直和平行的定义、性质

垂直

一、定义

两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么称这两条直线互相垂直, 其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。

用符号⊥表示。如果a垂直于b,记作a⊥b,读作:a垂直于b。

二、性质

①:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

②:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。

简单说成:垂线段最短。

③点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。

④:过一点可以画无数条直线。

⑤:过两点能而且只能画一条直线。

平行

一、定义

在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。平行线一定要在同一平面内。 如果a平行于b,可以用符号∥表示。记作:a∥b,读作:a平行于b。

二、性质

1.经过直线外一点,能且只能画一条直线与已知直线平行。

2、两条直线平行于第三条直线时,这两条直线平行。

范文二:面垂直的定义 投稿:杜獦獧

面垂直的定义: 如果一条直线l和一个平面α内的任何一条直线垂直,就说这条直线

l和这个平面α互相垂直,记作直线l

叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足。

线面垂直的画法:

画线面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示:

线面垂直的判定定理:

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。(线线垂直

符号表示:

如图所示, 线面垂直)

线面垂直的性质定理:

如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

(线面垂直线线平行)

线面垂直的判定定理的理解:

(1)判定定理的条件中,“平面内的两条相交直线”是关键性语句,一定要记准.

(2)如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面,这个结论是错误的.

(3)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线垂直于这个平面,这个结论也错误,因为这无数条直线可能平行.

证明线面垂直的方法:

(1)线面垂直的定义拓展了线线垂直的范围,线垂直于面,线就垂直于面内所有直线,这也是线面垂直的必备条件,利用这个条件可将线线垂直与线面垂直互相转化,这样就完成了空间问题与平面问题的转化.

(2)证线面垂直的方法①利用定义:若一直线垂直于平面内任一直线,则这条直线垂直于该平面.②利用线面垂直的判定定理:证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直,③利用线面垂直的性质:两平行线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直于这个平面,④用面面垂直的性质定理:两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.⑤用面面平行的性质定理:一直线垂直于两平行平面中的一个,那么它必定垂直于另一个平面.⑥用面面垂直的性质:两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两平面的交线垂直于第三个平面.⑦利用向量证明.

1-------连结BC1,交B1C于O

2------连结AO.因为侧面BB1C1C为菱形,

3------所以B1CBC1,且O为B1C与BC1的中点. 4------又ABB1C,AB交BO于B 所以B1C平面ABO---线面垂直的判定定理

5------故B1CAO又 B1OCO

6-------故AC

AB1 ………6分

1因为ACAB1且O为B1C的中

点,

2所以AO=CO 又因为

AB=BC,所以3

BOABOC

故OA⊥OB,从而OA,OB,OB1两两互相垂直.

以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,OB为单位长建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.

因为CBB1600,所以CBB1为等边三角形.

又AB=BC

则A,B

1,0,0,B1,C 0,







,AB1ABAB1,0,,BCBC1,1111 线面平行的判定定理

设nx,y,z是平面的法向量,则

yz0nAB10,即所以可取nx0n

A1B10



设m是平面的法向量,

mA1B10则,同理可取m1,n

B1C10 nm11则cosn,m,所以二面角AA1B1C1的余弦值为. 7nm7

范文三:重新定义“重度垂直” 投稿:陈阄阅

“垂直”这个词汇,在互联网领域并不算什么新概念,早在综合门户网站蓬勃发展阶段便有“垂直门户”这一说法。不同于综合门户网站基于全方位资讯产品横向铺开的架构,“垂直门户”主要致力于垂直人群、垂直需求、垂直行业,在该“垂直”范畴内提供产品。最初的门户网站均基于内容采编形成用户资讯满足用户需求,而“垂直门户”存在的价值在于其规避了综合门户“高大全”的形象,一门心思钻进某个垂直领域力求深耕。不难想象,“综合门户”力求全面而广泛的资讯采编机制,无论在资源投入还是专业程度上,与垂直门户专注于某一垂直领域的机制均有较大差异。因而在短短数年内,立足于不同垂直领域的“垂直门户”风生水起,其特征是专注且仅专注于垂直领域,使该领域内的资讯、观点、数据等产品均比综合门户更为深入透彻,从而获得该垂直领域深度用户的认可。

定义重度垂直

“垂直”似乎一直是互联网领域的一个特殊定义,但此特殊定义的内涵又相当奇怪,奇怪到迄今为止没有任何权威文献能诠释互联网知识体系中的“垂直”究竟是指什么,但“垂直”这个词一旦被提出,具有互联网从业经验的聆听者的脑海中就会立刻勾勒出“垂直”的含义。回过头看“垂直”在互联网范畴内的延展,抛开上文提及的“垂直门户”,互联网领域还出现过“垂直搜索”“垂直社交”“垂直电商”等概念,对应到产品范畴,依次对应的是搜索引擎、社交工具、电商平台等。

虽然“垂直”在互联网领域内算得上是新鲜事物,可在商业探索上却得到了广泛应用,而“垂直”商业价值的探索涉及商业价值的本源。尽管商业领域的创新以及挖掘方式在不断的突破过程中,可从古至今,归根结底一共只有五种核心路径能寻找到商业利益增值的可能性。

第一种:集聚更多的用户。

大量中国企业改变商业命运的核心通道就是扩大市场份额。我并不准备在这里评判,只是希望借此来说明:获取到更多用户的确是商业利益增值的有效方式,这种方式不仅被全球商学领域所认可,也是战略管理的基础出发点。

第二种:获取更多溢价。

假设在用户数量大致相同的背景情况下,竞争双方或者多方均在向同一人群输送同质化商品,在这样的局面下,赢取溢价是有效的商业利益增值方式。而这种“溢价”并不能简单地被看作是价格差异,而应该直视本源,认知到这是源于差异化价值输出导致的差异化利益回报。

第三种:让同一批消费者,为更多横向商品买单。

任何消费者都不是处在真空环境下的生命体,他们具有明显的社会学特征。事实上,做宽用户贡献商业利润的产品线――这是战略管理范畴内必然会做的事情,达到一定地步就搭建平台,平台达到一定规模就升级为开放生态。万物归宗,商业的本源挖掘远远没有想象中那么复杂,只需真实还原商业竞争过程中的中远程战略,具体套路百变不离其宗。

第四种:消费者生命周期控制。

一名消费者在购买某个商品之后,下一次购买会是什么时间?这个问题如果放在快消类企业眼中,可能会是一个月或者两个月,如果放在房地产企业眼中,可能会是5年或者10年。这并不重要,重要的是,所有企业都清醒认识到吸引消费者购买需要支付一定的市场成本,而这种市场成本的投入并不一定遵循企业希望的规模,更多的是与宏观市场环境以及竞争对抗的激烈程度有关。

第五种:寻找管道,或互为管道。

赢得用户认可需要一定体量的市场成本投入,每一个用户的获取都意味着背后市场成本换回的成果。与此同时,企业还清晰地认识到,再精细的工作,仍难逃营销漏斗逻辑的底层规则。换句话说,提升营销漏斗坡度,将帮助企业事半功倍赢得用户。于是,很多企业都会正视已拥有的消费者数据。正如每个人都知道的,有能力购买游艇的消费者,应该也有能力购买百万元级信托产品。在这样的逻辑指引下,企业通过自身消费者与其他存在价值交集的企业消费者进行交互,形成双向或者多向的消费者价值挖掘满足需求。

笔者不得不花费篇幅先从战略角度梳理商业价值挖掘路径,梳理这部分信息的目的是使读者了解到,“重度垂直”并不是简单依赖于上述的任何一条路径,而是一项同时兼容五大路径的整合之路,而这种“整合”也谈不上是“重度垂直”的专利。应该说,在20世纪90年代初期的发达国家财团的战略探索过程中,这种“整合”早就被循序渐进地摸索渐进,是企业寻求发展的必经道路。

因此,“重度垂直”指的是在垂直行业、人群、需求等方向的商业价值探索全过程。这一过程包括界定、挖掘、试错、扩展等全商业探索的各个环节。不能简单理解为“垂直商业”,“重度垂直”更具有深度挖掘与过程控制的特质。

我们对重度垂直有了基本的概念,那么,为何很多企业会选择这种战略进行商业探索呢?它的优势体现在哪里?

重度垂直战略的六大竞争优势

在某个蓝海市场的最初阶段,首先被圈入领地的一定是泛义市场,当泛义市场形成核心战略集团并构建起防御壁垒时,后入者会更为理性地选择差异化细分市场,并且聚焦有限资源以获取到回报最大化。类似的发展趋势在互联网的不同商业方向均呈现出统一的验证结果,当搜索引擎中出现核心战略集团时,垂直搜索便会应运而生;当社交业务中出现核心战略集团时,垂直社交便会顺势问世。

在不同的互联网商业竞争阶段,宏观与微观的竞争层面同样会构成战略制定的重要考量因素。当泛义的垂直领域被互联网化到一定层级,进一步被挖掘的势必是更强调深耕的“重度垂直战略”。需要标注的是,“重度垂直”符合一些特质:

其一,不满足于解决资讯问题,会聚焦于更深层次的需求。以新闻资讯信息、第三方评测信息、消费者评测信息的三大基础资讯构建商业模式,是基于图文产品的互联网科技阶段常见的手段。而互联网科技始终都在高速发展中,而今的互联网能满足更多资讯之外的需求。“资讯”这种信息的传递只是互联网科技的最底层交互,基于信息传递后续的交易关系正在满足深层次的需求,并且广泛被认可。   其二,不满足于“群雄逐鹿”,垂直市场规模小于泛义市场规模。既然是在有限规模的垂直市场中寻求商业利益,就容不下数百个企业切割商业利益,惨烈竞争的背后会存在倒闭风潮,通常最多只有前5名企业可以幸免。打车APP市场就是一个具有代表性的案例。中国互联网市场上最初的打车软件问世时,一共有不少于37个团队在开发打车APP产品,力图赢得胜利。最终,获取到更强资本支援的滴滴打车与快的打车撑到了最后。一模一样的竞争也发生在2010―2012年的“千团大战”,6200家团购网站角逐,幸存者屈指可数。

其三,不会满足于先流量后变现。如果说互联网1.0时代和2.0时代秉承的商业思路是先做流量,再逐步摸索流量变现的方法的话,那么移动互联网时代的重度垂直战略强调的就是在勾勒商业模式的初期,如何使形成商业收入的思路更为清晰,且这种“商业收入”不再局限于数字广告,更多将聚焦于用户付费或者流量分成模式。从具备鲜明特征的“重度垂直战略”上观察,不难发现,尽管此战略寻求差异化市场且能聚焦资源还力图解决垂直行业深度问题并寻求商业价值的回报,具有相当强大的竞争力。对比泛义互联网市场的商业模式,重度垂直战略拥有六大竞争优势,能保障创新者商业利益的顺利获得。

1. 规避后发劣势

战略管理领域,有一个词汇叫“先发优势”。但在战略管理的商业理念中,从来不会去界定“先发优势”或者“先发劣势”的优先级,因为“先发”和“后发”本无高下之分,无非是在准确的时间节点做应该做的事情而已。先发拥有更强大的构建壁垒能力,但同样可能需要支付更多的试错成本;后发错失了杀入某一个市场的最早时机,但能够规避很多前者碰到过的创新陷阱。“重度垂直战略”的实施,说明创新者已经避开了泛义竞争市场,不再尝试与成型的战略集团掰手腕,而更注重于寻找适合自己商业基础的路径,以及寻找垂直领域实现商业价值的可能性。

2. 范围与精准边界

杀入泛义市场分一杯羹可能需要的资源量是20亿货币单位(无论是人民币还是美元),聚焦在垂直市场(人群、需求、行业等)将有助于创新者更科学地界定自己的商业价值实现范围。需要理性地认识到,互联网商业时代99%的创新者并不具备数千万元的创业资本,即便拥有一笔数十万元的种子轮或者数百万元的天使轮资金,仍然远远不够撬动泛义市场。重度垂直战略将从确立创新战略目标的角度,帮助创新者清晰认知到商业价值范围,有效降低资源消耗与战略偏差。

3. 壁垒性价比

在商业实战中,垂直领域的竞争同样残酷且不存在侥幸生存的可能性,但需要清醒地认识到,垂直领域的防御壁垒一旦成型,其防御能力会更为强大;用户惯性一旦在垂直领域中被培养成为习惯,忠诚度与使用习惯将为壁垒构建者提供事半功倍的保护效果。不妨如此定义,垂直领域的壁垒构建成本未必低于泛义市场,可垂直领域的壁垒一旦被搭建起来,被击破的难度就会更大,竞争对手需要支付更为高昂的成本才可能扭转现有局面。

4. 用户生命周期

垂直领域的用户形成稳定的使用习惯后,“退出”行为也会形成一定的壁垒,多数用户并不愿意背离自己的使用习惯。如果“重度垂直战略”的创新包括垂直社交关系的话,那么多数用户会更具有依赖性(除非该垂直兴趣社交是伪需求)。在此基础上,用户在重度垂直生态内的活跃周期也会相对较长,尽管这种“活跃”并不简单等同于“触发频次”或者“交互频次”。

5. 纵向一体化

所有的“重度垂直战略”战略布局都会从某一个环节或者某几个连贯环节的过程入手,先从该环节或过程开始与用户发生交互,进而开始在环节上下游或者过程上下游延展,从而达到纵向一体化控制的“重度垂直”商业目标,也能同步达到“重度垂直”商业价值最大化。

6. 上下游入口控制

我们能清晰了解到,无论哪个环节构建的过程控制,前后向一体化的延展,最终的边界碰壁点,将接触到上下游(上游为客户,下游为供应商)。无论流量存在于上下游中的哪一端,都意味着重度垂直战略进入到了更为强大的竞争阶段,即通过上游流量或者下游资源量,均可从容构建全新的事业线,谋求垂直领域之外的平行事业线。

范文四:垂直平分线的定义 投稿:于漖漗

《线段垂直平分线的性质与判定》学习指南

课前预习导学(看书P32---P33页完成下列填空题) 1,线段垂直平分线定义:

经过线段 并且 这条线段的直线 ,叫做这条线段的垂直平分线。 2,线段垂直平分线性质

线段垂直平分线上的点与这条线段 的距离相等。 书写格式:

∵L为线段AB的垂直平分线,P在L上 ∴ =

3,线段垂直平分线的判定:

与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 上.

4, 有一条线段AB,怎样用直尺和圆规作出它的垂直平分线? ....你能说说其道理吗?

A

课中互动导学

考点一 线段垂直平分线的性质应用

例1, △ABC中,DE是AC的垂直平分线,垂足为E,交AB于点D,AE=5cm,△CBD

的周长为24cm,求△ABC的周长。

B

考点二 线段垂直平分线的判定应用,

例2,如下图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗?

考点三 利用线段垂直平分线性质确定位置(选用)

例3,某地有两所大学和两条相交叉的公路,如图所示(点M,N表示大学,AO,BO表示公路).现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相等,到两条公路的距离也相等.

(1)你能确定仓库应该建在什么位置吗?在所给的图形中画出你的设计方案; (2)阐述你设计的理由.

A M·

O

当堂检测题(时间10分钟)

1

,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,求△ABC的周长。

B

2,如图,点P在∠AOB的内部,点M、N分别是点P关于直

线OA、OB•的对称点线段MN交OA、OB于点E、F,若△PEF的周长是20cm ,求线段MN的长。

ME

P

BA

N

3,如下图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上,AB、AC、CE的长度有什么关系?AB+BD与DE有什么关系?

范文五:自定义seekbar和垂直seekbar 投稿:杜溶溷

从网上下载的demo,自己修改了一下。效果图:

main.xml:

android:layout_height=

android:background=

android:orientation=

android:paddingLeft=

android:paddingRight=

android:id=

android:layout_width=

android:layout_height=

android:layout_marginLeft=

android:layout_marginRight=

android:background=

android:max=

android:progressDrawable=

android:thumb=

android:id=

android:layout_width=

android:layout_height=

android:layout_centerHorizontal=

android:background=

android:max=

android:progressDrawable=

android:thumb=

图片:

progress_buffering.png:

progress_playing.png:

thumb_f.png:

thumb_normal.png:

voice_progress_buffering.png:

seekbar_style.xml:进度的style

范文六:垂直定义练习 投稿:孔餟餠

垂直定义练习

垂直的定义及应用

1.如图,直线AB,CD相交于点O,下列条件中,不能说明AB⊥CD的是(

)

A.∠AOD=90° B.∠AOC=∠BOC

C.∠BOC+∠BOD=180° D.∠AOC+∠BOD=180°

2.如图所示,O是直线AB上一点,DO⊥AB,OC⊥OE,则下列各式中错误的是(

A.∠AOC=∠DOE B.∠COD=∠EOB

C.∠BOC+∠DOE=180° D.∠AOC=∠BOE

【变式训练】如图,已知AB,CD相交于点O,OE⊥CD于点O,∠AOC=36°,则∠BOE=(

)

A.36° B.64° C.126° D.54°

3.(2013·淮安中考)如图,三角板的直角顶点在直线l上,若∠1=40°,

- 1 - )

则∠2=

.

4.如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥OC,若∠1=50°,则∠2= , ∠3+∠1=

.

5.如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=70°,∠BOE=35°

.

(1)求∠DOE的度数.

(2)若OF平分∠AOD,射线OE与OF之间有什么位置关系?为什么?

6.如图,射线OA,OB,OC,OD有公共端点O,且∠AOB=90°,∠COD=90°, ∠AOD=∠AOC.求∠BOC的度数

.

7.如图,AB,CD相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,猜想射线OE与直线AB的位置关系,并说明理由.

- 2 -

垂线的性质及其应用

1.如图,∠C=90°,AC=3,点P是边BC上的动点,则AP长不可能是(

)

A.2.5 B.3 C.4 D.5

2.下列说法正确的有( )

①在同一平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在同一平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;

④在同一平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.如图,要把水渠中的水引到水池C中,需要在渠岸AB

处开挖.为了使所挖水渠最短,工人过C点作CD⊥AB于

点D,此时,他们将CD作为水渠,其做法的道理

.

- 3 -

4.说出日常生活现象中的数学原理:

.

点到直线的距离

1.观察图形,下列说法正确的个数是( )

①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线BD;

②线段AC的长是点A到直线BD的距离;

③线段AB,AC,AD中,线段AC最短,根据是垂线段最短;

④线段AB,AC,AD中,线段AC最短,根据是两点之间线段最短.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.A,B,C是直线l上的三点,P是直线l外一点.若PA=5cm

,PB=6cm,PC=8cm.由此可知,点P到直线l的距离是( )

A.5 cm B.不小于5 cm

C.不大于5 cm D.在6 cm与8 cm之间

【变式训练】如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm,BC=bcm,则BD的范围是( ) - 4 -

A.大于acm

B.小于bcm

C.大于acm或小于bcm

D.大于bcm且小于acm

3.根据下列语句画出图形:

(1)过图甲线段AB的中点C,作CD⊥AB.

(2)点P到直线AB的距离是1.5cm,在图乙中过点P作直线AB的垂线PC.

- 5 -

【错在哪?】作业错例 课堂实拍

如图,AC⊥CB,CD⊥AB,垂足分别是点C,点D,能表示点到直线距离的线段有

(

)

A.2条 B.3条

C.4条 D.5条

(1)错因: .

(2)纠错: .

- 6 -

范文七:直线与平面垂直的定义及判定 投稿:陈狜狝

直线与平面垂直的定义及判定

江苏省睢宁高级中学 黄安成

一、教案例描述

教学目标

1.从熟知的生活中的事物中提炼、概括出直线与平面垂直的定义和判定定理,进而结合图形用抽象化的数学语言总结、表述出这些内容;

2.培养学生的抽象概括、思辩论证的理性精神和迅速认识事物本质的直观能力;

3.通过数学知识的形成与实际应用使学生认识到真理来源于实践,并应用于实践的这一哲学理念;

4.培养学生的数学观念,能自觉地运用“数学地”思维方式观察世界、分析事物、解决问题,并在此过程中提高学习数学的兴趣.

教学目标是教师预期的,在教学过程中自然实现的内容.掩盖教育意图是实现教育意图最好的途径,也是科学加艺术的教育技艺的体现,所以笔者一向不采用在进行新课前将这些内容展示给学生的做法,而是在教学过程中于不知不觉间实现这些目标.

教学过程

1.引言

我们生活在三维空间中,对直线和平面是非常熟悉的,就拿学校旗坛中的旗杆来说,它与地面的关系给我们的印象是“互相垂直”的,请大家再列举一些生活中“直线与平面垂直”的具体事例,….

不过我们现在要用数学的眼光来观察、分析、研究这些事物,将旗杆(是许多事物的代表)看成直线l ,将地面(也是许多事物的代表)看成平面,今天就来研究直线l与

平面垂直的有关知识.

2.进行新课

如图1,直线l代表旗杆,平面代表地面,那么你

认为l与内的直线有什么关系?

学生利用生活经验和以前的知识完全可以判断是“互相垂直”关系.在引言部分指出将“旗杆看成直线l,将地面看成平面”,但现在面对抽象图形反过又来又将直线l看成旗杆,将平面看成地面,意图是运用抽象与具体的结合,引导学生平稳而迅速地完成抽象与具体之间的相互转换.在教学中,教者试图用三角板来度量从而判断l与内的直线是否垂直,学生往往会发出会意的笑声,教者说:“是的,立体几何中直线的互相垂直在大多数情况下是‘看’不出来的,也是度量不出来的,而是用心‘想’出来的.”这既复习了直线与直线互相垂直(特别是异面垂直)的观察、想象、判断、识别和论证,又为后继

的学习准备了条件.

反过来,如果l(旗杆)与(地面)内的直线都垂直,那么l与是什么关系?

要求学生在不看课本的前提下总结出直线与平面垂直的定义,尽管总结的语言很可能不太理想,教者也不要“着急地”去照本宣科或越俎代庖,相信学生在经历了一番“挫折”后会逐步完善他们的表述语言,这样形成的知识也就能形成更加牢固的记忆.

麻烦大了,要判断直线l与平面垂直,必须确定直线l与平面内的所有(或任意一条)直线垂直.人们在研究和解决问题的过程中总是想采取简便的方式,现在我们追求的就是找到一种简易可行的判断直线与平面垂直的方法.

下面我们来模拟植树的活动,请一位学生上来演示,其他学生在课桌上同时演示,观察判断如何确定“树”是否与地面垂直,既充分又逐步体验简化了的判断直线与平面垂直方法的形成过程.

提出下面的系列问题:

(1)直线与平面内的一条直线垂直,能判定这条直线与这个平面垂直吗?

(2)直线与平面内的两条直线垂直,能判定这条直线与这个平面垂直吗?

(3)直线与平面内的一万条直线垂直,能判定这条直线与这个平面垂直吗?

(4)直线与平面内的无数条直线垂直,能判定这条直线与这个平面垂直吗?

(5)要想让直线与平面垂直,这条直线至少要与平面内的几条直线垂直?

(6)要想让直线与平面垂直,这条直线要与平面内的两条什么样的直线垂直?

在上述研究的基础上提出猜想:如果直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面.

通过演示和对上述系列问题的研讨,学生会慢慢领悟判定直线与平面垂直的本质:如果直线垂直于平面内无数条直线,也不能判定这条直线与这个平面垂直.因为这无数条直线有可能是互相平行的,这时这无数条直线只代表着一个方向,它只“相当于一条直线”.但是如果与平面内两条相交直线垂直,情况就完全不同了,虽然只有两条,而它们是相交的,它们代表着不同的两个方向,人们在植树时判定树是否与地面垂直运用的就这个原理.

猜想不能代替证明,我们还要用严密的逻辑推理来证明这个结论.…通过转化问题归结为:若直线l与平面内的两条直线垂直,证明直线l与平面内的任意直线垂直,进而转化为(如图2):由 l⊥m

l⊥n

m n l⊥g m∩n=A g是内的 任意直线

这样处理的意图是:抓住本质,排除干扰,使下面的目标能集中浓缩于证明l⊥g.具体过程略.在教学时必须指出,这里应用的是构造全等三角形法和最简单的平面几何知识,消除学生的神秘感.

3.小结:

(1)直线与平面垂直的定义;

(2)直线与平面垂直的判定定理(编成诙谐的口诀:“线不在多,相交就行”,传神地点出问题的实质);

(3)将和(1)与(2)综合起来,得右面的

重要数学模式:

若l⊥m ,l⊥n,相交直线m、 n确定平面,则l⊥.又 g是内的任意直线,则l⊥g

所谓数学模式,就是揭示事物本质的,具有相对固定格式的数学形式.模式由于它形式的简洁性,内容的深刻性,所以十分有利于理解、记忆、掌握、组装、检索、提取和运用.上述模式在以后的教学中,还要多次重复、强化,并与有关知识融合组装成有机的知识系统.该模式将成为立体几何中最重要、应用最频繁的得力“武器”.用方框围起来意在突出它的重要地位,再结合三种外显语言和大脑中的内部语言努力使该模式成为学生直观上的显然,以便运用时更加灵活自如、游刃有余.

4.A组练习

(1)将一本书掀开一点,直立在桌上(图略),那么书脊与桌面是什么关系?为什么?

(2)屋面是由两个矩形组成的(图略),那么屋脊与山墙所在的平面是什么关系?为什么?

(3)设△ABC,若直线l⊥AB,l⊥BC,求证:l⊥CA.

(4)做一个三角架,使三条腿中的任意两条腿都互相垂直(如图3),那么PA与BC、PB与CA、PC与AB分别是什么关系?为什么?

以上系列练习由浅入深,从具体到抽象,环环相扣,

层层递进,组成了一个使学生能力稳步增长的训练链条.

在教学中,运用多样化的手段增强训练的效果.如先口

述,继而写出规范的论证过程,再用黑板擦将图形擦得 图3 模糊一些,要求在这种不十分清晰的情况下说出论证过程.若学生的基础较好,还可以将图形和字母全部擦去,借助于想象,运用动作和语言表述出论证过程.还可以运用“双簧”的表演形式,一个学生做动作,另一个学生口述.总之让上面的模式牢牢地在学生脑中扎下根来,并逐步能熟练的写出规范化的思辩论证过程,使《立体几何》的学习从这里走上阳光大道.虽然从本质看,这些都是重复性练习,但由于运用了多样化的形式,学生仍然乐于投入这样的教学活动,且能取得极佳的教学效果.

4.B组练习

(5)在(4)的条件下,作PH⊥平面ABC于H,则H是△ABC的什么心?为什么?

(6)如图3,若PA⊥BC,PB⊥CA,则PC与AB是什么关系?为什么?

(7)如图3,若PA⊥BC,PB⊥CA,作PH⊥平面于H,则H是△ABC的什么心?为什么?

A组练习是以B组练习为铺垫,同时又是B组练习的拓展延伸.在(5)中,将上述模式重复运用了两次,题中给出了平面ABC的垂线PH,正好给(6)的证明以一定的暗示量.但在解决(6)时,应先将PH擦去,让学生感到有一定的困难.这时教者问:“估计到结论是PC⊥AB,问题是如何证明.关键是如何建立几条线段之间的联系,„”经思考后,在上题的启示下,学生定会感悟到作PH⊥面ABC于H,那么问题便迎刃而解.教者说:“我们在学习《平面几何》时,感到最为困难的是作辅助线,似乎辅助线是从天而降,非常神秘,难以捉摸.怎么样,现在在《立体几何》中,我们不是顺利地作出了一条关键性辅助线,从而使解题取得重大突破了吗!将已知与欲证分析透彻了,辅助线就能自己‘蹦’出来,一点也不神秘,我们完全可以熟练驾驭它.辅助线PH好似一座桥,架桥铺路是解数学题的永恒的法则.除了辅助线外,我们以前曾引进过,今后还将引许多辅助‘角色’,如辅助圆、辅助体、辅助球、辅助角、辅助元、辅助函数、辅助数列、辅助不等式„等等这些辅助‘角色’都将成为我们的好朋友和合作伙伴.”为今后的教学设下了良好的伏笔.做了这番工作后,解决(7)已是水到渠成之事.学生通过积极的活动取得了丰硕的成果,课堂气氛越来越热烈,学生的情绪越来越高涨,最终达到高潮,在获得成功感、满足感、喜悦感中下课,并对未来的学习充满了信心,热切地盼望着再上下一节课.

二、教案分析

《高中数学课程标准(实验)》在《立体几何》部分有独特的要求:“通过直观感知、操作确认、思辩论证,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.”这是确定这部分教学理念、内容、方法和程序的重要指导原则.直线与平面垂直是人们在生活中司空见惯的事实,充分利用学生在生活中已有的经验和感悟,经过提炼、概括形成抽象化的数学语言,并准确运用这些语言进行逻辑推理或计算,以解决数学和现实中的问题,是这节课的主线.这部分内容中,既有严密的、理性化的思辩论证,又需要利用数学悟性实现直观判断、猜想,所以这部分内容是理性与悟性完美结合的交汇点,是培养学生数学素养,发展学生数学综合能力的大好时机.学生开始学习立体几何往往有各种障碍,尤其是空间想象能力,画图、识图、辩图能力,三种数学语言(自然语言、图形语言、符号语言)的运用转化能力的不理想,严重地阻碍着前进的脚步.而学习《直线与平面垂直》应该是扫除这些障碍,从根本上提高这些能力的转折点.从这个意义上说,科学地设计并合理地实施这节课的教学程序,是学生从此走向《立体几何》学习的阳光大道的关键.

依据上述原则与精神,笔者设计和实施了如上的教学方案,并在有关之处作必要的剖析或说明.

此节课可算是“最普通、最平凡”的一节课,如何“出新”又“出彩”,确实是不容易的. 笔者在四十多年的教学实践中,孜孜以求的就是用科学加艺术的教学方式努力提高

[1]

课堂教学的效率.这一节课也上过几十遍,特别是在学习、执行《高中数学课程标准(试验)》的过程中 ,更是投入更多的精力和智慧来思考,从而在新教学理念的指导下,逐步形成了自己的一些想法和做法.下面就这一节课再提出一些个人的见解,供方家参考,并请教正.

(1)理性与悟性

数学文化最光辉灿烂的就是其理性精神,但这种理性精神应该与悟性思维方式融合,才能全方位地提高学生的数学素养.文[1]中,除了上面所引外,还在许多地方提到“领悟、内化”、“猜想”、“几何直观能力”等词语,可见新教学理念决不排斥悟性.这里所说的“悟性”应该是指“数学悟性”,笔者在文[2]中将其描述为“逻辑简约、直观洞察、预见猜想、灵感顿悟”,这在《立体几何》中体现得更加充分.直线与平面垂直的定义及判定,如果没有数学悟性的参与就不可能使学生形成“直觉上的显然”(德国著名数学家克莱因语).解立几问题时,最终依靠的当然是思辩论证,但在探索、突破的过程中,却处处离不开悟性思考.因此,在本教案的设计和实施过程中,将数学悟性思维能力的培养与应用放在相当显著的位置上.

(2)模式与创新

提到“模式”,很可能使人联想到“思维定势”,认为它是创造思维的障碍.这种认识是不全面的.文[1]说:“形式化是数学的基本特征之一.在数学教学中,学习形式化的表达是一项基本要求”.当然“全盘形式化是不可能的”,也是不可取的.数学模式就是揭示数学对象的本质特征及其普遍规律的,具有相对固定样式的形式.它具有两重性,对创造思维确会产生一些束缚作用,但它又是创造思维的原型.每一项发明创造都是在某个原型的启发下实现的,这就叫“原型启发”(巴甫洛夫的经典理论).问题的关键是处理好模式与创新两者间的辨证关系.上面方框中的模式是解决千百道立几问题的“利器”,从本质上掌握它,再处理好立几图形的变形和变位问题,就可以出神入化地解决要求较高的问题.

(3)课堂容量

课堂容量大好还是小好?其实这是不言而喻的,在学生基础较好、教案设计科学合理、教师启发引导得法、师生关系融洽、课堂气氛活跃、学生的潜智得到充分开掘、现代化教学技术的加盟等条件下,课堂容量就是越大越好.上述教学内容,在过去是用两个课时完成的,但现在只用一个课时,从知识的发生、发展到应用,一切都显得十分自然、流畅与和谐,学生感到学得轻松、学得愉快、学得实在.

(4)主体与主导

笔者在这里提出一个“启发量”的概念.用字母“”表示启发量,则有“∈[0,1]”,“=1”表示完全靠教师讲解,“=0”表示完全让学生活动,教师必须寻求的最佳值使教学取得最佳效果.但的值并不是越小越好,要根据教材的具体情况合理确定

的值.如果片面强调学生的主体地位,完全忽视教师的主导作用,还要你教师干什么?像本节课中(图2),运用构造全等三角形的方法由“l⊥m ,l⊥n”证明“l⊥ g”,的值就要适当地大一些,完全让学生去探索、发现、证明是不现实的.

(5)例题练习

例题的讲解与练习的训练,都是尽量让学生活动,也就是尽量减小的值,所以没有必要将两者截然分开,而是实行例题与练习的一体化.这样也可使教案在层次和结构上显得简洁明快.

(6)现代化教学技术的应用

计算机走进课堂是大势所趋,它在许多方面为提高教学效益起到了其他教学方式不可替代的作用.但必须认识到,多媒体课件永远是教学的辅助手段,它永远也不能取代黑板和粉笔.这一节课在一些地方也运用了课件,如图1、图2、图3就充分发挥了多媒体课件动画演示的优越性,取得了超乎寻常的效果.但在其他地方除了利用实物外,灵活机动地利用黑板和粉笔的特长也是取得教学效果的不可或缺的条件.

参考文献

[1]《普通高中数学课程标准(实验)》 中华人民共和国教育部制定 人民教育出版社 2003,4

[2]《谈数学悟性》 黄安成 数学教学(沪) 1999,3

作者简介

黄安成,1941年7月出生于江苏省兴化市,1962年毕业于徐州师范大学,分配至睢宁县任教至今,曾任徐州市中学数学教学专业委员会副理事长、睢宁中学数学教研组组长,1988年被评聘为中学高级教师,1990年被江苏省人民政府授予“中学特级教师”称号,现仍在睢宁县高级中学任教。在四十多年的中学数学教学实践与研究中,逐步形成了“纵横联系,情趣盎然,培养能力,教书育人”的教学风格,取得丰硕的教学成果,至今发表了近140篇教研论文, 2001年正式出版个人专著《黄安成数学教学论文选集》,应邀在省内外的几十所大、中、小学讲学,获得一致好评。

范文八:直线与平面垂直的定义及判定 投稿:段臿舀

直线与平面垂直的定义及判定

一、教案例描述

教学目标

1.从熟知的生活中的事物中提炼、概括出直线与平面垂直的定义和判定定理,进而结合图形用抽象化的数学语言总结、表述出这些内容;

2.培养学生的抽象概括、思辩论证的理性精神和迅速认识事物本质的直观能力;

3.通过数学知识的形成与实际应用使学生认识到真理来源于实践,并应用于实践的这一哲学理念;

4.培养学生的数学观念,能自觉地运用“数学地”思维方式观察世界、分析事物、解决问题,并在此过程中提高学习数学的兴趣.

教学目标是教师预期的,在教学过程中自然实现的内容.掩盖教育意图是实现教育意图最好的途径,也是科学加艺术的教育技艺的体现,所以笔者一向不采用在进行新课前将这些内容展示给学生的做法,而是在教学过程中于不知不觉间实现这些目标.

教学过程

1.引言

我们生活在三维空间中,对直线和平面是非常熟悉的,就拿学校旗坛中的旗杆来说,它与地面的关系给我们的印象是“互相垂直”的,请大家再列举一些生活中“直线与平面垂直”的具体事例,….

不过我们现在要用数学的眼光来观察、分析、研究这些事物,将旗杆(是许多事物的代表)看成直线l ,将地面(也是许多事物的代表)看成平面,今天就来研究直线l与

平面垂直的有关知识.

2.进行新课

如图1,直线l代表旗杆,平面代表地面,那么你

认为l与内的直线有什么关系?

学生利用生活经验和以前的知识完全可以判断是“互相垂直”关系.在引言部分指出将“旗杆看成直线l,将地面看成平面”,但现在面对抽象图形反过又来又将直线l看成旗杆,将平面看成地面,意图是运用抽象与具体的结合,引导学生平稳而迅速地完成抽象与具体之间的相互转换.在教学中,教者试图用三角板来度量从而判断l与内的直线是否垂直,学生往往会发出会意的笑声,教者说:“是的,立体几何中直线的互相垂直在大多数情况下是‘看’不出来的,也是度量不出来的,而是用心‘想’出来的.”这既复习了直线与直线互相垂直(特别是异面垂直)的观察、想象、判断、识别和论证,又为后继

的学习准备了条件.

反过来,如果l(旗杆)与(地面)内的直线都垂直,那么l与是什么关系?

要求学生在不看课本的前提下总结出直线与平面垂直的定义,尽管总结的语言很可能不太理想,教者也不要“着急地”去照本宣科或越俎代庖,相信学生在经历了一番“挫折”后会逐步完善他们的表述语言,这样形成的知识也就能形成更加牢固的记忆.

麻烦大了,要判断直线l与平面垂直,必须确定直线l与平面内的所有(或任意一条)直线垂直.人们在研究和解决问题的过程中总是想采取简便的方式,现在我们追求的就是找到一种简易可行的判断直线与平面垂直的方法.

下面我们来模拟植树的活动,请一位学生上来演示,其他学生在课桌上同时演示,观察判断如何确定“树”是否与地面垂直,既充分又逐步体验简化了的判断直线与平面垂直方法的形成过程.

提出下面的系列问题:

(1)直线与平面内的一条直线垂直,能判定这条直线与这个平面垂直吗?

(2)直线与平面内的两条直线垂直,能判定这条直线与这个平面垂直吗?

(3)直线与平面内的一万条直线垂直,能判定这条直线与这个平面垂直吗?

(4)直线与平面内的无数条直线垂直,能判定这条直线与这个平面垂直吗?

(5)要想让直线与平面垂直,这条直线至少要与平面内的几条直线垂直?

(6)要想让直线与平面垂直,这条直线要与平面内的两条什么样的直线垂直?

在上述研究的基础上提出猜想:如果直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面.

通过演示和对上述系列问题的研讨,学生会慢慢领悟判定直线与平面垂直的本质:如果直线垂直于平面内无数条直线,也不能判定这条直线与这个平面垂直.因为这无数条直线有可能是互相平行的,这时这无数条直线只代表着一个方向,它只“相当于一条直线”.但是如果与平面内两条相交直线垂直,情况就完全不同了,虽然只有两条,而它们是相交的,它们代表着不同的两个方向,人们在植树时判定树是否与地面垂直运用的就这个原理.

猜想不能代替证明,我们还要用严密的逻辑推理来证明这个结论.…通过转化问题归结为:若直线l与平面内的两条直线垂直,证明直线l与平面内的任意直线垂直,进而转化为(如图2):由 l⊥m

l⊥n

m n l⊥g m∩n=A g是内的 任意直线

这样处理的意图是:抓住本质,排除干扰,使下面的目标能集中浓缩于证明l⊥g.具体过程略.在教学时必须指出,这里应用的是构造全等三角形法和最简单的平面几何知识,消除学生的神秘感.

3.小结:

(1)直线与平面垂直的定义;

(2)直线与平面垂直的判定定理(编成诙谐的口诀:“线不在多,相交就行”,传神地点出问题的实质);

(3)将和(1)与(2)综合起来,得右面的

重要数学模式:

若l⊥m ,l⊥n,相交直线m、 n确定平面,则l⊥.又 g是内的任意直线,则l⊥g

所谓数学模式,就是揭示事物本质的,具有相对固定格式的数学形式.模式由于它形式的简洁性,内容的深刻性,所以十分有利于理解、记忆、掌握、组装、检索、提取和运用.上述模式在以后的教学中,还要多次重复、强化,并与有关知识融合组装成有机的知识系统.该模式将成为立体几何中最重要、应用最频繁的得力“武器”.用方框围起来意在突出它的重要地位,再结合三种外显语言和大脑中的内部语言努力使该模式成为学生直观上的显然,以便运用时更加灵活自如、游刃有余.

4.A组练习

(1)将一本书掀开一点,直立在桌上(图略),那么书脊与桌面是什么关系?为什么?

(2)屋面是由两个矩形组成的(图略),那么屋脊与山墙所在的平面是什么关系?为什么?

(3)设△ABC,若直线l⊥AB,l⊥BC,求证:l⊥CA.

(4)做一个三角架,使三条腿中的任意两条腿都互相垂直(如图3),那么PA与BC、PB与CA、PC与AB分别是什么关系?为什么?

以上系列练习由浅入深,从具体到抽象,环环相扣,

层层递进,组成了一个使学生能力稳步增长的训练链条.

在教学中,运用多样化的手段增强训练的效果.如先口

述,继而写出规范的论证过程,再用黑板擦将图形擦得 图3 模糊一些,要求在这种不十分清晰的情况下说出论证过程.若学生的基础较好,还可以将图形和字母全部擦去,借助于想象,运用动作和语言表述出论证过程.还可以运用“双簧”的表演形式,一个学生做动作,另一个学生口述.总之让上面的模式牢牢地在学生脑中扎下根来,并逐步能熟练的写出规范化的思辩论证过程,使《立体几何》的学习从这里走上阳光大道.虽然从本质看,这些都是重复性练习,但由于运用了多样化的形式,学生仍然乐于投入这样的教学活动,且能取得极佳的教学效果.

4.B组练习

(5)在(4)的条件下,作PH⊥平面ABC于H,则H是△ABC的什么心?为什么?

(6)如图3,若PA⊥BC,PB⊥CA,则PC与AB是什么关系?为什么?

(7)如图3,若PA⊥BC,PB⊥CA,作PH⊥平面于H,则H是△ABC的什么心?为什么?

A组练习是以B组练习为铺垫,同时又是B组练习的拓展延伸.在(5)中,将上述模式重复运用了两次,题中给出了平面ABC的垂线PH,正好给(6)的证明以一定的暗示量.但在解决(6)时,应先将PH擦去,让学生感到有一定的困难.这时教者问:“估计到结论是PC⊥AB,问题是如何证明.关键是如何建立几条线段之间的联系,„”经思考后,在上题的启示下,学生定会感悟到作PH⊥面ABC于H,那么问题便迎刃而解.教者说:“我们在学习《平面几何》时,感到最为困难的是作辅助线,似乎辅助线是从天而降,非常神秘,难以捉摸.怎么样,现在在《立体几何》中,我们不是顺利地作出了一条关键性辅助线,从而使解题取得重大突破了吗!将已知与欲证分析透彻了,辅助线就能自己‘蹦’出来,一点也不神秘,我们完全可以熟练驾驭它.辅助线PH好似一座桥,架桥铺路是解数学题的永恒的法则.除了辅助线外,我们以前曾引进过,今后还将引许多辅助‘角色’,如辅助圆、辅助体、辅助球、辅助角、辅助元、辅助函数、辅助数列、辅助不等式„等等这些辅助‘角色’都将成为我们的好朋友和合作伙伴.”为今后的教学设下了良好的伏笔.做了这番工作后,解决(7)已是水到渠成之事.学生通过积极的活动取得了丰硕的成果,课堂气氛越来越热烈,学生的情绪越来越高涨,最终达到高潮,在获得成功感、满足感、喜悦感中下课,并对未来的学习充满了信心,热切地盼望着再上下一节课.

二、教案分析

《高中数学课程标准(实验)》在《立体几何》部分有独特的要求:“通过直观感知、操作确认、思辩论证,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.”这是确定这部分教学理念、内容、方法和程序的重要指导原则.直线与平面垂直是人们在生活中司空见惯的事实,充分利用学生在生活中已有的经验和感悟,经过提炼、概括形成抽象化的数学语言,并准确运用这些语言进行逻辑推理或计算,以解决数学和现实中的问题,是这节课的主线.这部分内容中,既有严密的、理性化的思辩论证,又需要利用数学悟性实现直观判断、猜想,所以这部分内容是理性与悟性完美结合的交汇点,是培养学生数学素养,发展学生数学综合能力的大好时机.学生开始学习立体几何往往有各种障碍,尤其是空间想象能力,画图、识图、辩图能力,三种数学语言(自然语言、图形语言、符号语言)的运用转化能力的不理想,严重地阻碍着前进的脚步.而学习《直线与平面垂直》应该是扫除这些障碍,从根本上提高这些能力的转折点.从这个意义上说,科学地设计并合理地实施这节课的教学程序,是学生从此走向《立体几何》学习的阳光大道的关键.

依据上述原则与精神,笔者设计和实施了如上的教学方案,并在有关之处作必要的剖析或说明.

此节课可算是“最普通、最平凡”的一节课,如何“出新”又“出彩”,确实是不容易的. 笔者在四十多年的教学实践中,孜孜以求的就是用科学加艺术的教学方式努力提高

[1]

课堂教学的效率.这一节课也上过几十遍,特别是在学习、执行《高中数学课程标准(试验)》的过程中 ,更是投入更多的精力和智慧来思考,从而在新教学理念的指导下,逐步形成了自己的一些想法和做法.下面就这一节课再提出一些个人的见解,供方家参考,并请教正.

(1)理性与悟性

数学文化最光辉灿烂的就是其理性精神,但这种理性精神应该与悟性思维方式融合,才能全方位地提高学生的数学素养.文[1]中,除了上面所引外,还在许多地方提到“领悟、内化”、“猜想”、“几何直观能力”等词语,可见新教学理念决不排斥悟性.这里所说的“悟性”应该是指“数学悟性”,笔者在文[2]中将其描述为“逻辑简约、直观洞察、预见猜想、灵感顿悟”,这在《立体几何》中体现得更加充分.直线与平面垂直的定义及判定,如果没有数学悟性的参与就不可能使学生形成“直觉上的显然”(德国著名数学家克莱因语).解立几问题时,最终依靠的当然是思辩论证,但在探索、突破的过程中,却处处离不开悟性思考.因此,在本教案的设计和实施过程中,将数学悟性思维能力的培养与应用放在相当显著的位置上.

(2)模式与创新

提到“模式”,很可能使人联想到“思维定势”,认为它是创造思维的障碍.这种认识是不全面的.文[1]说:“形式化是数学的基本特征之一.在数学教学中,学习形式化的表达是一项基本要求”.当然“全盘形式化是不可能的”,也是不可取的.数学模式就是揭示数学对象的本质特征及其普遍规律的,具有相对固定样式的形式.它具有两重性,对创造思维确会产生一些束缚作用,但它又是创造思维的原型.每一项发明创造都是在某个原型的启发下实现的,这就叫“原型启发”(巴甫洛夫的经典理论).问题的关键是处理好模式与创新两者间的辨证关系.上面方框中的模式是解决千百道立几问题的“利器”,从本质上掌握它,再处理好立几图形的变形和变位问题,就可以出神入化地解决要求较高的问题.

(3)课堂容量

课堂容量大好还是小好?其实这是不言而喻的,在学生基础较好、教案设计科学合理、教师启发引导得法、师生关系融洽、课堂气氛活跃、学生的潜智得到充分开掘、现代化教学技术的加盟等条件下,课堂容量就是越大越好.上述教学内容,在过去是用两个课时完成的,但现在只用一个课时,从知识的发生、发展到应用,一切都显得十分自然、流畅与和谐,学生感到学得轻松、学得愉快、学得实在.

(4)主体与主导

笔者在这里提出一个“启发量”的概念.用字母“”表示启发量,则有“∈[0,1]”,“=1”表示完全靠教师讲解,“=0”表示完全让学生活动,教师必须寻求的最佳值使教学取得最佳效果.但的值并不是越小越好,要根据教材的具体情况合理确定

的值.如果片面强调学生的主体地位,完全忽视教师的主导作用,还要你教师干什么?像本节课中(图2),运用构造全等三角形的方法由“l⊥m ,l⊥n”证明“l⊥ g”,的值就要适当地大一些,完全让学生去探索、发现、证明是不现实的.

(5)例题练习

例题的讲解与练习的训练,都是尽量让学生活动,也就是尽量减小的值,所以没有必要将两者截然分开,而是实行例题与练习的一体化.这样也可使教案在层次和结构上显得简洁明快.

(6)现代化教学技术的应用

计算机走进课堂是大势所趋,它在许多方面为提高教学效益起到了其他教学方式不可替代的作用.但必须认识到,多媒体课件永远是教学的辅助手段,它永远也不能取代黑板和粉笔.这一节课在一些地方也运用了课件,如图1、图2、图3就充分发挥了多媒体课件动画演示的优越性,取得了超乎寻常的效果.但在其他地方除了利用实物外,灵活机动地利用黑板和粉笔的特长也是取得教学效果的不可或缺的条件.

范文九:平面与平面垂直的定义和判定 投稿:史饲饳

[2126] 平面与平面垂直的定义和判定

[适用章节]

数学2第1.2.3节空间中的垂直关系.

[使用目的]

使学生通过操作理解平面与平面垂直的概念和判定定理,并结合图形理解这样定义两平面垂直的合理性,及用这个定义说明两平面垂直判定定理正确性的思路.

[操作说明]

第一页研究两平面垂直的概念,如图1:

图1

一些按钮的功能和研究的问题界面上已有说明.使用第一页时,拖动绿色标尺指向“思考”就可以看到文字说明.

对第一页其他按钮作以下的简要说明:

“慢加”、“慢减”按钮可以手控转动图形,“转动”可以在一定范围内转动图形,“原位”还原转动位置.

“截面”可以按选定的位置作出截面,“直截”则作出以A为垂足、垂直于交线的截面.“关闭”可以隐去截面.

“显角”、“隐角”可以显示或隐去截得的角.

在转动后可能会离开两平面垂直的位置,这时可以用“目标” 按钮回到垂直位置.

“还原”按钮可以回到初始界面.

第二页研究两平面垂直的判定,如图2:

图2

第二页中与第一页相同的按钮功能也相同.增加的“思路” 按钮可以通过闪动对研究问题进行提示,按钮“停闪”则停止闪动.

范文十:线面垂直的定义与判定 投稿:叶焌焍

线面垂直的定义与判定理的“联动”

唐正敏 (重庆市九龙坡区渝西中学 401326)

直线和平面垂直的定义揭示了线线垂直与线面垂直相互转化关系,如果利用定义证明线面垂直,由于涉及的平面内的一条直线具有任意性,加大了证明的难度,因此,定义的利用主要是利用来得到线线垂直,而线面垂直的判定定理则揭示了通过线线垂直可得到线面垂直.由此可见线面垂直的定义与判定定理可以进行线面垂直与线线垂直的相互转化,这种线面问题与线线问题的互相转化是立体几何中的一种重要的思想方法.

例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是棱AB、BC、BB1上的点,且BE=BF=BG,求证:BD1⊥平面EFG. 分析:欲证BD1⊥平面EFG,需证明BD1垂直平面EFG的两条相交直线,根

A1据条件,在正方体中易得EF∥AC,而AC⊥BD1,故BD1⊥EF,同理BD1⊥EG.

证明:如图,∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,BE=BF,∴EF∥AC, 又∵AC⊥BD,∴EF⊥BD,

又DD1⊥平面ABCD,∴DD1⊥EF, A而DD1与BD为平面BDD1内的两条相交直线,∴EF⊥平面BD1,∴BD1⊥EF,

同理BD1⊥EG,∴BD1⊥平面EFG.

点评:证明线面垂直,常常先证线线垂直,而证线线垂直,通常又是借助线面垂直完成的.

例2如图,已知四边形ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,过A且垂直SC的平面分别交SB、SC、SD分别于点E、F、G,求证:AE⊥SB,AG⊥SD.

分析:由欲证线线垂直AE⊥SB,联想通过线面垂直AE⊥平面SBC,这需寻

求AE垂直面SBC的两条相交直线,如此不断的联想,即可使结论得证.

证明:∵SA⊥平面ABCD,BC平面ABCD,∴SA⊥BC,

又BC⊥AB,∴BC⊥平面SAB,又AE平面SAB,∴BC⊥AE,

又SC⊥平面AEFG,AE平面AEFG,∴SC⊥AE,

∴AE⊥平面SBC,∴AE⊥SB.

同理可证:AG⊥SD.

点评:本例首先通过线面垂直(SA⊥面ABCD),利用定义得到线线垂直(SA⊥BC),再利用判定定理得到线面垂直(BC⊥面SAB),又利用定义得到线线垂直(BC⊥AE),同时从另一角度可推得SC⊥AE,再利用定理得到线面垂直(AE⊥面AEFG),再次利用定义得到线线垂直(AE⊥SB),体现了“线线”与“线面”垂直的循环互动转化.

例3如图,在空间四面体S-ABC中,已知∠ABC=90,SA⊥平面ABC,AN⊥SB,AM⊥SC,证明:SC⊥平面AMN. S分析:由结论联想判定定理,要证明SC⊥平面AMN,需证明SC垂直于平面AMN中的两条相交直线.已知AM⊥SC,尚缺条件SC⊥AN.于是考虑从其它条件所具备的性质中去寻找.

证明:∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC, 又由∠ABC=90,知BC⊥AB,∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥AN,

又AN⊥SB,∴AN⊥平面SBC,∴SC⊥AN,

又∵AM⊥SC,∴SC⊥平面

AMN.

点评:本题在运用判定定理证明线面垂直(SC⊥平面AMN)时,将问题化为利用定义证明线线垂直(SC⊥AN);而证明此线线垂直时,又转化为利用判定定理证明线面垂直(AN⊥平面11CC

SBC),又利用定义转化为证明BC⊥AN.

例4已知空间四边形ABCD的边AC=BC,AD=BD,引BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H,求证:AH⊥平面BCD.

分析:要证AH⊥平面BCD,只需证明AH垂直平面BCD内两条相交直线即可.现已知AH⊥BE,只需再证平面内与BE相交的一条直线与AH垂直,即转化为证线线垂直.

证明:如图,取AB的中点F,连结CF、DF、AE,

∵AC=BC,∴CF⊥AB,

又∵AD=BD,∴DF⊥AB,∴AB⊥平面CDF,

又CD平面CDF,∴CD⊥AB,

又CD⊥BE,∴CD⊥平面ABE,∴CD⊥AH,

又AH⊥BE,∴AH⊥平面BCD.

点评:本例证明也是利用线面垂直的定义与判定定理由一个垂直关系联想

下一个垂直关系,这样一环紧扣一环,一系列的垂直关系便相继产生,达到线线垂直与线面垂直的相互转化,这些垂直关系转化便是证明的全过程.

作 者:唐正敏

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