圆的方程典型例题_范文大全

圆的方程典型例题

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【专家解析】圆的方程典型例题

【优秀范文】圆的方程典型例题

范文一:圆与方程典型例题(学生版) 投稿:金缱缲

高中数学圆的方程典型例题

类型一:圆的方程

例1 求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判断点

P(2,4)与圆的关系.

练习:

1.求过点M(3,1),且与圆(x1)2y24相切的直线l的方程. 2、过坐标原点且与圆x2y24x2y

52

0相切的直线的方程为

3、已知直线5x12ya0与圆x22xy20相切,则a的值为.

2

2

例2 求半径为4,与圆xy4x2y40相切,且和直线y0相切的圆的方程.

类型三:弦长、弧问题

例8、求直线l:3xy60被圆C:x2y22x4y0截得的弦AB的长. 例9、直线3xy230截圆x2y24得的劣弧所对的圆心角为例10、求两圆x2y2xy20和x2y25的公共弦长

类型四:直线与圆的位置关系

例11、已知直线3xy230和圆xy4,判断此直线与已知圆的位置

2

2

例3 求经过点A(0,5),且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程.

例4、 设圆满足:(1)截y轴所得弦长为2;(2)被x轴分成两段弧,其弧长的比为3:1,在满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线l:x2y0的距离最小的圆的方程.

类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程

例5 已知圆O:xy4,求过点P2,4与圆O相切的切线.

2

2

关系.

例12、若直线yxm与曲线y值范围.

例13 圆(x3)(y3)9上到直线3x4y110的距离为1的点有几个?

练习1:直线xy1与圆xy2ay0(a0)没有公共点,则a的取值范围是

练习2:若直线ykx2与圆(x2)(y3)1有两个不同的交点,则k的取值范围是 .

2

2

4x

2

有且只有一个公共点,求实数m的取

22

例6 两圆C1:xyD1xE1yF10与C2:xyD2xE2yF20相交于A、B两点,求它们的公共弦AB所在直线的方程.

例7、过圆xy1外一点M(2,3),作这个圆的两条切线MA、MB,切点分别是A、B,求直线AB的方程。

2

2

2

2

2222

3、 圆x2y22x4y30上到直线xy10的距离为2的点共有( ).

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

4、 过点P3,当斜率为何值时,直线l与圆C:x1y244作直线l,

2

2

小距离的差是

22

例19 (1)已知圆O1:(x3)(y4)1,P(x,y)为圆O上的动点,求

22

dxy的最大、最小值.

有公共点,

类型五:圆与圆的位置关系

问题导学四:圆与圆位置关系如何确定?

例14、判断圆C1:x2y22x6y260与圆C2:x2y24x2y40 的位置关系,

例15:圆x2y22x0和圆x2y24y0的公切线共有 条。 练习

1:若圆x2y22mxm240与圆x2y22x4my4m280相切,则实数m的取值集合是 .

2:求与圆xy5外切于点P(1,2),且半径为25的圆的方程. 类型六:圆中的对称问题

例16、圆xy2x6y90关于直线2xy50对称的圆的方程是

例17 自点A3,3发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,反射光线所在的直线与圆C:xy4x4y70相切 (1)求光线l和反射光线所在的直线方程.

(2)光线自A到切点所经过的路程. 类型七:圆中的最值问题

例18:圆xy4x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最

2

2

2

2

2

2

22

(2)已知圆O2:(x2)y1,P(x,y)为圆上任一点.求

y2x1

的最大、最小值,

求x2y的最大、最小值.

例20:已知A(2,0),B(2,0),点P在圆(x3)2(y4)24上运动,则

PA

2

PB

2

的最小值是. 练习:

1:已知点P(x,y)在圆x2(y1)21上运动. (1)求

y1x2

的最大值与最小值;(2)求2xy的最大值与最小值.

y2x1

22

22

2 设点P(x,y)是圆xy1是任一点,求u

的取值范围.

3、已知点A(2,2),B(2,6),C(4,2),点P在圆x2y24上运动,求

PA

2

PB

2

PC

2

的最大值和最小值.

类型八:轨迹问题

例21、基础训练:已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为的轨迹方程.

例22、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x1)y4上运

2

2

12

,求点M

动,求线段AB的中点M的轨迹方程.

例23 如图所示,已知圆O:x2y24与y轴的正方向交于A点,点B在直线

y2上运动,过B做圆O的切线,切点为C,求ABC垂心H的轨迹.

4、已知定点B(3,0),点A在圆x2y21上运动,M是线段AB上的一点,且例

5、已知定点B(3,0),点A在圆x2y21上运动, AOB的平分线交AB于点M,则点M的轨迹方程是 .

练习巩固:已知直线ykx1与圆x2y24相交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB,求点P的轨迹方程.

类型九:圆的综合应用

例25、 已知圆x2y2x6ym0与直线x2y30相交于P、Q两点,

O为原点,且OPOQ,求实数m的值.

例24 已知圆的方程为x2y2r2,圆内有定点P(a,b),圆周上有两个动点A、

B,使PAPB,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

例26、已知对于圆x2(y1)21上任一点P(x,y),不等式xym0恒成立,求实数m的取值范围.

例27 有一种大型商品,A、B两地都有出售,且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是:每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍.已知A、B两地距离为10公里,顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低.求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.

练习:

APB=60,1、由动点P向圆xy1引两条切线PA、切点分别为A、B,PB,

2

2

则动点P的轨迹方程是 .

练习巩固:设A(c,0),B(c,0)(c0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0),求P点的轨迹.

2、已知两定点A(2,0),B(1,0),如果动点P满足PA2PB,则点P的轨迹所包围的面积等于

范文二:椭圆及其标准方程典型例题 投稿:曾桪桫

典型例题 例 1 已知椭圆 的一个焦点为(0,2)求 ,根据关系 的值. 可求 出 分析:把椭圆的方程化为标准方程,由 的值. 解:方程变形为 因为焦点在 又 轴上,所以 . ,解得 , 适合.故 . . ,所以 选题角度:熟悉椭圆方程的参数与焦点之间的关系 例 2 已知椭圆的中心在原点,且经过点 程. 分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运 用待定系数法,求出参数 程. 和 (或 和 )的值,即可求得椭圆的标准方 , ,求椭圆的标准方 解:当焦点在 轴上时,设其方程为 . 由椭圆过点 故椭圆的方程为 ,知 . .又 ,代入得 , , 当焦点在 轴上时,设其方程为 . 由椭圆过点 故椭圆的方程为 , 知 . . 又 , 联立解得 , , 选题角度: 根据椭圆方程参数之间的关系和定点求解椭圆的标准方程, 考查 椭圆的标准方程

例3 角形重心 的底边 的轨迹和顶点 , 和 的轨迹. 两边上中线长之和为 30,求此三 分析:(1)由已知可得 ,再利用椭圆定义求解.(2)由 的轨迹方程 、 坐标的关系,利用代入法求 的轨迹方程. 解:(1) 以 所在的直线为 轴, ,知 , 中点为原点建立直角坐标系. 设 点的轨迹是以 、 为焦点 ,有 ,故其方程为 点坐标为 ,由 的椭圆,且除去轴上两点.因 . (2)设 , ,则 . ① 由题意有 迹是椭圆(除去 代入①,得 轴上两点). 的轨迹方程为 ,其轨 选题角度:根据条件求轨迹方程,熟悉椭圆的标准方程 例 4 已知 为 和 椭圆方程. 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 ,过 到两焦点的距离分别 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求 分析: 讨论椭圆方程的类型, 根据题设求出 而求得椭圆方程. 和 (或 和 ) 的值. 从 解:设两焦点为 从椭圆定义知 从 知 、 ,且 .即 , . . 垂直焦点所在的对称轴, 所以在 中, ,

可求出 , ,从而 . ∴所求椭圆方程为 或 . 选题角度: 根据椭圆关系求上点与焦点之间的关系确定椭圆的方程, 考查椭 圆的标准方程 例 5 已知椭圆方程 , 是椭圆上一点, 、 、 表示). , , 长轴端点为 .求: , , 焦点为 , 的面积(用 分析:求面积要结合余弦定理及定义求角 求面积. 的两邻边,从而利用 解:如图,设 ,由椭圆的对称性,不妨设 在第一象限.由余弦定理知: · .① ② , 由椭圆的对称性,不妨设 由椭圆定义知: 则 得 . 故

. 选题角度:考查椭圆知识和余弦定理的综合运用 例 6 已知椭圆 , (1)求过点 且被 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; 、 , 为原点,且有直线 的轨迹方程. 、 斜率满足 (4)椭圆上有两点 ,求线段 中点 分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法. 解: 设弦两端点分别为 则 , , 线段 的中点 , ①-②得 . 由题意知 ,则上式两端同除以 , 将③④代入得 ,有

. ⑤ (1)将 , . ⑥ 代入⑤,得 ,故所求直线方程为 将⑥代入椭圆方程 合题意, 故 即为所求. 得 , 符 (2)将 代入⑤得所求轨迹方程为: .(椭圆内部分) (3)将 代入⑤得所求轨迹方程为 .(椭圆内部分) (4)由①+②得 , ⑦ 将③④平方并整理得 , ⑧ , ⑨ 将⑧⑨代入⑦得 , ⑩

再将 代入⑩式得 , 即 . 此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法 解决. 选题角度:考查始动点在椭圆上的牵动其它点的轨迹方程 习题精选 一、选择题 1. 已知椭圆的焦点 , , 是椭圆上一点, 且 ). 是 , 的等差中项,则椭圆的方程是( A. B. C. 2.椭圆 A. C. 3.已知 的点,且满足 A. C. , 是椭圆 ,则动点 D. 的焦点坐标是( B. D. 上的动点, 的轨迹方程是( B. D. 是线段 ). 上 ).

4.若关于 程 、 的方程 所表示的曲线是椭圆,则方 所表示的圆心在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.若方程 范围是() 表示焦点在 轴上的椭圆,则实数 的取值 A. B. C. D. 6.若圆 围是() 与椭圆 有公共点,则实数 的取值范 A. B. C. D. 7.已知椭圆 周长为() A.58 B.56 上任一点 ,两个焦点 、 ,则 的 C.18 、 D.不确定 的动点 的轨 8.平面内到两个定点 迹为() A.椭圆 B.线段 的距离之和等于定长 C.直线 D.无点空集 9.椭圆 离为() A.2.5 上一点 到左焦点的距离为 2.5,则 到右焦点的距 B.3.5 C.6.5 D.7.5 10.椭圆 的周长为() 的两个焦点为 、 , 为 的弦,则

A.10 B.12 C.20 D.随 的倾斜角而变化 11. A. C. 12. 值范围是() A. C. B. 或 表示椭圆,则 B. 的取值范围为() 或 、 、 答案 的取 D.不同于 表示焦点在 轴上的椭圆,则 D. 、 , 且周长为 32, 则 的 13. 的底边的两个端点为 轨迹方程是() A. ( ) B. ( ) C. 14.若椭圆 A.4 ( ) D. ( ,则 ) =() 上两点间最大的距离为 B.8 C.16 D.32 15.过椭圆 的弦,则这 条弦的长度等于() ( )的一个焦点 作垂直于长轴的椭圆 A. 16.如果方程 围是() B. C. 表示焦点在 D. 轴的椭圆,那么实数 的取值范

A. 17.线段 面内运动时, B. , , C. 是 D. 的中点,当 点在同一平 的长度的最大值、最小值分别为() A.3, 二、填空题 1. 椭圆的长轴与短轴的和为 18, 焦距为 6, 则椭圆的标准方程是_________. 2.两焦点为 为________. 3.四个顶点为 , ,且过点 使 的椭圆方程 B.3, C.4, D.5, , , , 的椭圆方程为_________. 的椭 4.中心在原点,焦点在坐标轴上,长轴是短轴的 3 倍,且过点 圆方程为_____. 5.若方程 6.中心在原点,以直线 椭圆方程是____ _. 表示椭圆,则实数 的取值范围是________. 和两轴的交点分别作顶点和焦点的 7.一个焦点把长轴分成长度为 7 和 1 两段的椭圆,则方程为________. 8.椭圆 _________. 上一点 到右焦点距离等于 7.4,则 点坐标是 9.斜率为 1 的直线,过椭圆 则弦 的长是________. 的右焦点交椭圆于 、 两点, 10. 椭圆 则 等于_______. 上一点 到焦点 的距离为 2, 是 的中点,

11.与椭圆 _______________. 有相同焦点且过点 的椭圆方程是 12.点 则 是椭圆 上一点, 是其焦点,若 , 的面积为_________________. 13. 已知 则 , 是椭圆 内的点, 是椭圆上的动点, 的最大值为______________,最小值为___________. 14.到椭圆 的方程是________. 右焦点的距离与直线 的距离相等的动点轨迹 15.已知 是椭圆 上的点,且满足 的面积为_________ 与 焦距相等,则 ( 、 是 该椭圆的两个焦点),则 16.设二椭圆 =_________. 17. 与焦点在 值范围是_________. 三、解答题 1.已知椭圆 轴上的椭圆 总有公共点,则 的取 与 的焦距相等,求实数 的值. 求 2.已知 为椭圆 点的坐标. 上的点,且 点与两焦点的连线互相垂直, 3.椭圆的长轴和短轴的和为 20,焦距是 4. 三角形重心 ,求椭圆的标准方程. 中底边 ,其他两边 和 上中线的和为 30,为此 的轨迹方程,并求顶点 的轨迹方程.

5.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三 角形,焦点到椭圆上的点的距离最小值为 ,求椭圆的方程. 6.椭圆 ,求证: ( )上一点 的面积为 与两焦点 、 所成的角 7.椭圆的焦距为 6 且经过点 程. 8.椭圆的一个焦点是 点横坐标为 ,求焦点在 轴上的椭圆的标准方 ,且截直线 ,所得弦 的中 ,求椭圆的标准方程. 值分别指出方程所 9.已知方程 , ,对不同范围内的 代表的曲线的类型,并画出显示其特征的草图. 10.已知直线 当椭圆右焦点 参考答案: 一、 C 1. 交椭圆 于 , 两点,点 的方程. 坐标为(0,4), 恰为 的重心时,求直线 2. C 3. B 4. D 5. B 6. B 7. C 8. B 9. D 10. C 11. C 12. B 13. B 14. C 15. D 16. B 17. B 二、1. 或 2. 3. 4. 或 5. 且 6. 或 7. 或 8.(-4, )(-4, ) 9. 10.4

11. 12. 13. , 14. 15.4 16.9 或 17. 三、1.由 得 ,它的 , , 由 得 ,若它的焦点在 轴上,则 ;若它的焦点在 或 轴上,则 实数 2.( , ),( , ) 3. 4.以 或 所在直线为 ,可知 点轨迹是椭圆, 、 为其两焦点 轴, 边中点为原点,则 , , 点轨迹方程为 转移法可求 5.由题意 椭圆方程为 6.设 , 点轨迹方程为 , 或 ,去掉(10,0)、(-10,0)两点,根据 ,去掉(-30,0)(30,0)两点. ,得 、 ,从而 ,所以 ,则 ,

即 7. 8.设所求椭圆方程为 ,将 联立消去 得 . 与 ,由 ,得 设 所求椭圆方程为 , , 则 . , 解出 、 , 9.当 时,方程的图形为直线 ;当 时方程的图形为中 心在原点、焦点在 轴上的椭圆;当 时方程的图形为以原点为圆心、2 为 半径的圆;当 时方程的图形为中心在原点、焦点在 轴上的椭圆.画图 略. 10.设 , 以 中点为 (3, -2) 又 . 两式相减得到 、 , 得 ,由 及 , 为 , , , 的重心有 .所 . 在椭圆上, 故 可得 即为 的斜率, 由点斜式可得 的方程为 .

范文三:椭圆标准方程典型例题 投稿:田伋伌

椭圆标准方程典型例题

例1 已知椭圆mx23y26m0的一个焦点为(0,2)求m的值.

例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点P3,0,a3b,求椭圆的标准方程.

例3 ABC的底边BC16,AC和AB两边上中线长之和为30,求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹.

例4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为

的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.

452和,过P点作焦点所在轴33

x2y2

例5 已知椭圆方程221ab0,长轴端点为A1,A2,焦点为F1,F2,P是ab

椭圆上一点,A1PA2,F1PF2.求:F1PF2的面积(用a、b、表示).

例6 已知动圆P过定点A3,且在定圆B:求动圆圆心P的轨迹方程. 0,x3y264的内部与其相内切,2

x211y21,例7 已知椭圆(1)求过点P且被P平分的弦所在直线的方程; 222

(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;

1引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (3)过A2,

(4)椭圆上有两点P、Q,O为原点,且有直线OP、OQ斜率满足kOPkOQ

求线段PQ中点M的轨迹方程.

1 1, 2

例8 已知椭圆4x2y21及直线yxm.

(1)当m为何值时,直线与椭圆有公共点?(2)若直线被椭圆截得的弦长为

例9 2,求直线的方程. 5x2y2

1的焦点为焦点,以椭圆过直线l:xy90上一点M作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,123

点M应在何处?并求出此时的椭圆方程.

x2y2

1表示椭圆,求k的取值范围. 例10 已知方程k53k

例11 已知x2siny2cos1(0)表示焦点在y轴上的椭圆,求的取值范围.

例12 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过A(,2)和B(23,1)两点的椭圆方程.

例13 知圆x2y21,从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段,求线段中点M的轨迹.

例14 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆,过它对的左焦点F1作倾斜解为的直线交椭圆于A,3

B两点,求弦AB的长.

x2y2

1上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,则ON(O为坐标原点)的值为例15 椭圆259

A.4 B.2 C.8 D.3 2

x2y2

1,试确定m的取值范围,使得对于直线l:y4xm,椭圆C上有不同的两点例16 已知椭圆C43

关于该直线对称.

例17 在面积为1的PMN中,tanM

点的椭圆方程.

2 1,tanN2,建立适当的坐标系,求出以M、N为焦点且过P2

范文四:高中数学圆的方程典型例题 投稿:何蛕蛖

高中数学圆的方程典型例题

类型一:圆的方程

例1 求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.

例2 求半径为4,与圆x2y24x2y40相切,且和直线y0相切的圆的方程. 例3 求经过点A(0,5),且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程.

例4、 设圆满足:(1)截y轴所得弦长为2;(2)被x轴分成两段弧,其弧长的比为3:1,在满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线l:x2y0的距离最小的圆的方程.

类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程

例5 已知圆O:x2y24,求过点P2,4与圆O相切的切线.

例6 两圆C1:x2y2D1xE1yF10与C2:x2y2D2xE2yF20相交于A、B两点,求它们的公共弦AB所在直线的方程.

例7、过圆x2y21外一点M(2,3),作这个圆的两条切线MA、MB,切点分别是A、B,求直线AB的方程。

练习:1.求过点M(3,1),且与圆(x1)2y24相切的直线l的方程. 2、过坐标原点且与圆xy4x2y

2

2

2

52

0相切的直线的方程为

2

3、已知直线5x12ya0与圆x2xy0相切,则a的值为.

类型三:弦长、弧问题

例8、求直线l:3xy60被圆C:xy2x4y0截得的弦AB的长. 例9、直线3xy230截圆xy

2

2

2

2

2

22

4得的劣弧所对的圆心角为2

例10、求两圆xyxy20和xy5的公共弦长

类型四:直线与圆的位置关系

例11、已知直线3xy230和圆xy例12、若直线yxm与曲线y

2

2

2

2

4,判断此直线与已知圆的位置关系.

4x有且只有一个公共点,求实数m的取值范围.

2

例13 圆(x3)(y3)9上到直线3x4y110的距离为1的点有几个?

练习1:直线xy1与圆xy2ay0(a0)没有公共点,则a的取值范围是2:若直线ykx2与圆(x2)(y3)1有两个不同的交点,则k的取值范围是 .

2

2

22

3、 圆x2y22x4y30上到直线xy10的距离为2的点共有( ).

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

4、 过点P3,x1y24有公共点,如4作直线l,当斜率为何值时,直线l与圆C:

2

2

图所示.

类型五:圆与圆的位置关系

例14、判断圆C1:x2y22x6y260与圆

C2:xy4x2y40的位置关系,

2

2

例15:圆x2y22x0和圆x2y24y0的公切线共有条。

练习1:若圆x2y22mxm240与圆x2y22x4my4m280相切,则实数m的取值集合是 .

22

2:求与圆xy5外切于点P(1,2),且半径为25的圆的方程.

类型六:圆中的对称问题

例16、圆x2y22x6y90关于直线2xy50对称的圆的方程是 例17 自点A3,3发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,反射光线所在的直线与圆C:xy4x4y70相切 求(1)求光线l和反射光线所在的直线方程.(2)光线自A到切点所经过的路程. 类型七:圆中的最值问题

例18:圆xy4x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是

(x3)(y4)1,P(x,y)为圆O上的动点,求例19 (1)已知圆O1:

dxy的最大、最小值.

(x2)y1,P(x,y)为圆上任一点.求(2)已知圆O2:

2

2

2

2

2

2

2

22

2

y2x1

的最大、

最小值,求x2y的最大、最小值.

例20:已知A(2,0),B(2,0),点P在圆(x3)2(y4)24上运动,则PA值是 .

练习:1:已知点P(x,y)在圆x2(y1)21上运动. (1)求

y1x2

2

PB

2

的最小

的最大值与最小值;(2)求2xy的最大值与最小值.

y2x1

2 设点P(x,y)是圆x2y21是任一点,求u的取值范围.

2

2

3、已知点A(2,2),B(2,6),C(4,2),点P在圆x2y24上运动,求PAPB大值和最小值. 类型八:轨迹问题

例21、基础训练:已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为

12

PC

2

的最

,求点M的轨迹方程.

例22、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x1)2y24上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.

例23 如图所示,已知圆O:x2y24与y轴的正方向交于A点,点B在直线y2上运动,过B做圆O的切线,切点为C,求ABC垂心H的轨迹.

例24 已知圆的方程为xyr,圆内有定点P(a,b),圆周上有两个动点A、B,使PAPB,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

练习:1、由动点P向圆xy1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,APB=600,则

2

2

222

动点P的轨迹方程是 .

解:设P(x,y).∵APB=600,∴OPA=300.∵OAAP,∴OP2OA2,∴x2y22,化简得xy

2

2

4,∴动点P的轨迹方程是xy

22

4.

练习巩固:设A(c,0),B(c,0)(c0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值

a(a0),求P点的轨迹.

2、已知两定点A(2,0),B(1,0),如果动点P满足PA2PB,则点P的轨迹所包围的面积等于

4、已知定点B(3,0),点A在圆x2y21上运动,M是线段AB上的一点,且AM问点M的轨迹是什么?

13

MB,

例5、已知定点B(3,0),点A在圆x2y21上运动,AOB的平分线交AB于点M,则点M的轨迹方程是 .

练习巩固:已知直线ykx1与圆x2y24相交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB,求点P的轨迹方程. 类型九:圆的综合应用

例25、 已知圆x2y2x6ym0与直线x2y30相交于P、Q两点,O为原点,且

OPOQ,求实数m的值.

例26、已知对于圆x2(y1)21上任一点P(x,y),不等式xym0恒成立,求实数m的取值范围.

例27 有一种大型商品,A、B两地都有出售,且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是:每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍.已知A、B两地距离为10公里,顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低.求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.

11.求经过三点A(1,5),B(5,5),C(6,2)的圆的方程:

12.已知过点A(1,1)的直线l与圆x2y22x6y60相交,则直线l斜率的取值范围是:(,0)

13.若方程x2y2xym0表示一个圆,则m的取值范是 . 14.已经圆x2y24x2byb20与x轴相切,则b

15.直线x2y0被曲线x2y26x2y150所截得的弦长等于

16.已知两圆x2y210x10y0和x2y26x2y400,则它们公共弦所在直线的方程是:

17.求圆心在y轴上,且与直线l1:4x3y120,直线l2:3x4y120都相切的圆的方程. 18.已知两个圆C1:x+y=4,C2:x+y-2x-4y+4=0,直线l:x+2y=0,求经过C1和C2的交点 且和l相切的圆的方程.

19,求经过点A(0,4),B(4,6)且圆心在直线x―2y―2=0上的圆的方程;

20,已知一个圆经过直线l:2xy40与圆C:xy2x4y10的两个交点,并且有最小面积,求此圆的方程。

2

2

2

2

2

2

范文五:圆的方程基础知识与典型例题 投稿:高寞察

圆的方程

1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半

径。

2、圆的方程

(1)标准方程xaybr2,圆心a,b,半径为r;

2

2

(2)一般方程x2y2DxEyF0 当DE

22

2

4F0时,方程表示圆,此时圆心为



2

2

D2

,

1E,半径为r

22

DE

22

4F

当DE4F0时,表示一个点; 当DE4F0时,方程不表示任何图形。

(3)求圆方程的方法:

一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;

另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系:

直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:

(1)设直线l:AxByC0,圆C:xa2yb2r2,圆心Ca,b到l的距离为

d

AaBbCAB

2

2

2

,则有drl与C相离;drl与C相切;drl与C相交

2

2

(2)设直线l:AxByC0,圆C:xaybr2,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为,则有

0l与C相离;0l与C相切;0l与C相交

2

注:如果圆心的位置在原点,可使用公式xx0yy0r去解直线与圆相切的问题,其中x0,y0表示切点坐标,r表示半径。

4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。

222

C1:xa1yb1r设圆,

222

C2:xa2yb2R 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当dRr时两圆外离 当dRr时两圆外切; 当RrdRr时两圆相交,连心线垂直平分公共弦

当dRr时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当dRr时,两圆内含; 当d0时,为同心圆。 5、空间直角坐标系

(1)定义:如图,OBCDD,A,B,C,是单位正方体.以A为原点,

分别以OD,OA,,OB的方向为正方向,建立三条数轴x轴.y轴.z轴。 这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

1)O叫做坐标原点 2)x 轴,y轴,z轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

(2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向,食指指向为y轴正向,中指指向则为z轴正向,这样也可以决定三轴间的相位置。

(3)任意点坐标表示:空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z) 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z)(x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标) (4)空间两点距离坐标公式:d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

圆的方程题型归类

题型一:求圆的方程 1、 已知圆心和半径:

例1、以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( ) A、(x1)2(y2)2100 B、(x1)2(y2)2100 C、(x1)2(y2)225 D、(x1)2(y2)225 2、 过不在同一直线上三点:

例2、求过三点O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标。

练一练:过点P(2,3)作圆C:(x4)2(y2)29的两条切线,切点分别为A,B;求:(1)经过圆心C,切点A,B这三点圆的方程;(2)直线AB的方程;(3)线段AB的长。 3、 由一般方程求标准方程,配方:

例3、圆x2y22axcos2aysin0的圆心坐标为_______,半径为________。 4、 由参数方程求标准方程,消元:

x12cos例4、把圆的参数方程化成圆的标准方程是___________

y32sin

5、 已知圆心所在直线且知道切线(或者外切圆、或者被割线所截得的弦长),列方程组: 例5、求与x,y轴均相切且过点(1,8)的圆的方程。

练一练:(1)已知圆C和y轴相切,圆心在直线x3y0上,且被直线yx截得的弦长为27

,求

C的方程

(2)设圆上的点A(2,3)关于直线x2y0的对称点仍在圆上,且与直线xy10相交

的弦长为 6、 过已知两圆的交点,圆系方程:

例6、求过两圆xy6x40和xy6y280的交点,且圆心在直线

xy40上的圆的方程。

2

2

2

2

练一练:(1)求过圆xy4x2y0与圆xy2y40的交点,且圆心在直线

2x4y10上的圆的方程。

2222

7、 轨迹方程:

例7、若半径为1的动圆与圆xy4相切,则动圆圆心的轨迹方程是 练一练:(1)已知BC是圆x2y225的动弦,且BC6,则BC的中点的轨迹方程是( )

2

2

A.x2y24 B.x2y29 C.x2y216 D.xy4

(2)已知定点A(0,2)及圆O:x2y24,过点A作MA切圆O于点A,M为切线上的一个动点,MQ切圆O于Q点,求△MAQ的垂心H的轨迹方程。

8、 杂项:例8、已知关于x,y的方程C:x2y22x4ym0.当m为何值时,方程C表示圆。

题型二:求最值问题

1、 求x2y2的最值、求axby的最值、求

ybxa

的最值

y2x1

例1、已知圆C:(x2)2y21,P(x,y)为圆上任意一点,求(1)小值,(2)x-2y的最大值和最小值。 2、 求距离最值

的最大值和最

例2、圆x2y22x2y10上的点到直线xy2的距离最大值是( )

22

A 2 B 1

2

C 1

122

练一练:(1)设M是圆(x5)2(y3)29上的点,则M点到直线3x4y20的最短距离是

22

(2)已知点M在圆C1:x2y26x2y10上,点N在圆C2:xy2x4y10

上,则|MN|的最大值为________。

题型三:求切线问题

1、 过圆外一点的切线,设法:设斜率为k 例1 过⊙:x2+y2=2外一点P(4,2)向圆引切线,(1)求过点P的圆的切线方程; (2)若切点为P1,P2,求过切点P1,P2的直线方程。

练一练:(1)过点A(4,0)作圆(x7)2(y8)29的切线,则切线方程为

22

(2)已知直线ax+by+c=0(abc0)与圆x+y=1相切,则三条边长分别为a,b,c的三角形

( ) A. 是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在 2、 过圆上一点的切线,结论有三:

22

例2、圆xy4x0在点P(1,3)处的切线方程为( )

Ax

3y20 x

3y40 C x

3y40 x

3y20

3、 公切线条数问题

例3、若过点(1,2)总可以作两条直线和圆xykx2yk150相切,求实数

2

2

2

k的取值范围。

题型四:求弦长问题 1、 代数法:几何法:

mR时,例4.已知直线L:2mxy8m30和圆C:x2y26x12y200;(1)

证明L与C总相交。(2)m取何值时,L被C截得弦长最短,求此弦长。

练一练:(1) 求直线l:3xy60被圆C:x2y22x4y0截得的弦AB的长。 (2)若直线xy2被圆(xa)2y24所截得的弦长为22,则实数a的值为( ) A 1或3 1或3 2或6 0或4

(3)若一直线过M(3,)且被圆x2y225截得的弦长为8,则这条直线的方程是( )

2

3

A.x3B.x3或y题型五:位置关系问题 1、 点与圆

32

C.3x4y150D.3x4y150或x3

例1、对于任意实数k,直线(3k2)xky20与圆x2y22x2y20的位置关系是_________ 2、 直线与圆

例2、若圆x2y22x2y2k20上有且仅有两点到直线4x3y110的距离等于1,则正数k的取值范围为___________。

练一练:(1)由点P(0,1)引圆x2+y2=4的割线l,交圆于A,B两点,使ΔAOB的面积为

72

(O

为原点),求直线l的方程。

22

(2)直线yxm与圆xy1在第一象限内有两个不同交点,则m的取值范围是 ( )

(A)

0m

(B)

1m(C)

1m(D)

m(3)过直线x-2y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的面积。 3、圆与圆(公共弦所在直线方程)

例3、已知两圆xy10x10y0,xy6x2y400,求(1)它们的公共弦所在直线的方程;(2)公共弦长

2222

练一练:(1)两圆xy9和xy8x6y90的位置关系是( ) A 相离 B 相交 内切 外切

2222

(2)圆C1:x2y2x2y( ) A.

6

14

0与C2:x

2

y

2

2sinx2ysin0圆外切,则为

2

B.

76

C. 2k

6

(kZ) D. 2k

6

或2k

76

(kZ)

题型六:对称问题

1、 关于点对称

例1、 圆(x2)y5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为 ( )

2

2

A (x2)2y25Bx2(y2)25C (x2)2(y2)25Dx2(y2)25

2、 关于直线对称

例2、圆x2y22x6y90关于直线2xy50对称的圆的方程是 ( )

(A)(x7)(y1)1 (C)(x6)(y2)1

2

2

2

2

(B)(x7)(y2)1 (D)(x6)(y2)1

2

2

22

题型七:半圆与直线的交点问题

例1.若直线y=x+b与曲线y=x恰有一个公共点,则( ) A b=2或b=-2B.b=

2

2或b=-1 C.1

题型八:

例1、 曲线C:

xcosy1sin

(θ是参数) 若曲线C与直线x+y+a=0有公共点,则实数a

的取值范围是__________.

练一练:(1)已知x,y满足x2+y2=4,恒有3x+4y+c≥0成立,则c取值的范围?

(2)若过定点M(1,0)且斜率为k的直线与圆x24xy250在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是( ) A 0k

5 

5k0 0k

D 0k5

(3)动圆x2y2(4m2)x2my4m24m1

(4)圆C:x2y2DxEyF0的外有一点P(x0,y0),由点

P向圆引切线的长______ (5)方程x1

表示的曲线是( )

A 一个圆 B 两个半圆 两个圆 D 半圆

(6)已知直线x+2y-3=0交圆x2+y2+x-6y+F=0于点P,Q两点,问F为何值时,OP⊥OQ。

范文六:高中数学圆与方程典型例题 投稿:姚嚆嚇

一、求圆的方程

例1 (06重庆卷文) 以点(2,1)为圆心且与直线3x4y50相切的圆的方程为( ) (A)(x2)(C)(x2)

2

(y1)23 (B)(x2)2(y1)23 (y1)29 (D)(x2)2(y1)29

64534

2

2

2

解 已知圆心为(2,1),且由题意知线心距等于圆半径,即d

3r,∴所求的

圆方程为(x2)

2

(y1)29,故选(C).

2

点评:一般先求得圆心和半径,再代入圆的标准方程(xa)二、位置关系问题

例2 (06安徽卷文) 直线x围是( )

(A)(0,(C)(

(yb)2r2即得圆的方程.

y1与圆x2y22ay0(a0)没有公共点,则a的取值范

21) (B)(21,21) 21,21) (D)(0,21)

2

解 化为标准方程x

(ya)2a2,即得圆心C(0,a)和半径ra.

∵直线

xy1与已知圆没有公共点,∴线心距d

a2

ra

,平方去分母得

a22a12a2,解得21a21,注意到a0,∴0a21,故选(A).

点评:一般通过比较线心距d与圆半径r的大小来处理直线与圆的位置关系:d

r线圆相离;

dr线圆相切;dr线圆相交.

三、切线问题

例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆x(A)

2

y24x2y

5

0相切的直线方程为( ) 2

11x (B)y3x或yx 3311

(C)y3x或yx (D)y3x或yx

33

y3x或y

解 化为标准方程(x2)

2

(y1)2

55

,即得圆心C(2,1)和半径r22

.

设过坐标原点的切线方程为

ykx,即kxy0,∴线心距d

2k1k1

2

r

5

2

,平方

去分母得(3k(A).

1)(k3)0,解得k3或

11

,∴所求的切线方程为y3x或yx,故选33

点评:一般通过线心距d与圆半径r相等和待定系数法,或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.

四、弦长问题

例4 (06天津卷理) 设直线ax

y30与圆(x1)2(y2)24相交于A、B两点,且

AB的长为2,则a .

2

解 由已知圆(x1)

(y2)24,即得圆心C(1,2)和半径r2.

,且

∵线心距

d

a1a1

2

AB2

d()r2

2

2

,∴

(

a1a1

2

)2(3)222

,即

(a1)2a21,解得a0.

点评:一般在线心距

d

、弦长

AB

的一半和圆半径

r所组成的直角三角形中处理弦长问题:

d2(

AB2

)r2. 2

2

五、夹角问题

例5 (06全国卷一文) 从圆x切线夹角的余弦值为( )

2xy22y10外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两

(A)

12

(B)

33 (C) (D) 0 52

2

解 已知圆化为(x1)

(y1)21,即得圆心C(1,1)和半径r1.

设由P(3,2)向这个圆作的两条切线的夹角为,则在切线长、半径r和PC

构成的直角三角形中,

cos

2

25

,∴cos2cos2

2

1

3

,故选(B). 5

点评:处理两切线夹角问题的方法是:先在切线长、半径r和三角函数值,再用二倍角公式解决夹角问题.

六、圆心角问题

例6 (06全国卷二) 过点(1,角最小时,直线l的斜率k

解 由已知圆(x2)设P(1,

PC

所构成的直角三角形中求得

的2

2)的直线l将圆(x2)2y24分成两段弧,当劣弧所对的圆心

 .

2

y24,即得圆心C(2,0)和半径r2.

2),则kPC2;∵PC直线l时弦最短,从而劣弧所对的圆心角最小,∴直线l的

斜率k

1kPC

2. 2

点评:一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题:在同圆中,若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短,若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.

七、最值问题

例7 (06湖南卷文) 圆x最小距离的差是( )

(A) 30 (B) 18 (C)6解 已知圆化为(x2)

22

y24x4y100上的点到直线xy14 0的最大距离与

2 (D)52

(y2)218,即得圆心C(2,2)和半径r32.

xy140的最大距离为dr,最小距离为dr,∴

设线心距为d,则圆上的点到直线

(dr)(dr)2r62,故选(C).

点评:圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距d与圆半径r的关系解决:圆上的点到该直线的最大距离为d

八、综合问题

例8 (06湖南卷理) 若圆

r,最小距离为dr.

x2y24x4y100上至少有三个不同的点到直线

l:axby0的距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是( )

(A)[

5

,] (B)[,] (C)[,] (D)[0,] 1241212632

2



解 已知圆化为(x2)

(y2)218,即得圆心C(2,2)和半径r32.

l:axby0

的距离为

∵圆上至少有三个不同的点到直线

22

a

b

,∴

d

2a2bab

2

2

r222

,即

a24abb20,由直线l

的斜率

k

代入得

k24k10,解得23k2,又tan

线l的倾斜角的取值范围是[

12

2,tan

5

2,∴直12

5

1212,

],故选(B).

点评:处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程,进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决. 圆的方程

2.(2004年全国Ⅱ,8)在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

解析:分别以A、B为圆心,以1、2为半径作圆,两圆的公切线有两条,即为所求.答案:B

3.(2005年黄冈市调研题)圆x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q关于直线kx-y+4=0对称,则k=____________. 解析:圆心(-

1

,3)在直线上,代入kx-y+4=0,得k=2.答案:2 2

4.(2004年全国卷Ⅲ,16)设P为圆x2+y2=1上的动点,则点P到直线3x-4y-10=0的 距离的最小值为____________.

解析:圆心(0,0)到直线3x-4y-10=0的距离d=案:1

5.(2005年启东市调研题)设O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x+my+4=0对称,又满足·=0.(1)求m的值;(2)求直线PQ的方程.

解:(1)曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9表示圆心为(-1,3),半径为3的圆. ∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称,∴圆心(-1,3)在直线上.代入得m=-1. (2)∵直线PQ与直线y=x+4垂直,

∴设P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ方程为y=-x+b.将直线y=-x+b代入圆方程,得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0.

Δ=4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)>0,得2-3

|10|

=2.再由d-r=2-1=1,知最小距离为1.答5

2

b26b1

x1·x2=.

2

b26b1

y1·y2=b-b(x1+x2)+x1·x2=+4b.∵·OQ=0,∴x1x2+y1y2=0,即b2-6b+1+4b=0.

2

2

解得b=1∈(2-3

2,2+32).∴所求的直线方程为y=-x+1.

7.已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求(1)(3)x2+y2的最大值和最小值.

y

的最大值和最小值;(2)y-x的最小值; x

为半径的圆

.

解:(1)如图,方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心,以

y

=k,即y=kx,由圆心(2,0)到y=kx的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值.由x

=

|2k0|k21

,解得k2=3.所以kmax=,kmin=-3.

(2)设y-x=b,则y=x+b,仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时,纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式,得

|20b|

2

=

3,即b=-2±6,故(y-x)min=-2-6.

(3)x2+y2是圆上点与原点距离之平方,故连结OC,与圆交于B点,并延长交圆于C′,则(x2+y2)max=|

OC′|=2+

(x2+y2)min=|OB|=2-. 3,

8.(文)求过两点A(1,4)、B(3,2),且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并判断点M1(2,3),M2(2,4)与圆的位置关系.

解:根据圆的标准方程,只要求得圆心坐标和圆的半径即可. 因为圆过A、B两点,所以圆心在线段AB的垂直平分线上.由kAB=

42

=-1,AB的中点为(2,3), 13

故AB的垂直平分线的方程为y-3=x-2,即x-y+1=0.又圆心在直线y=0上,因此圆心坐标是方程组 -y+1=0, y=0 半径r=

的解,即圆心坐标为(-1,0).

=

(11)2(04)2

20,所以得所求圆的标准方程为(x+1)2+y2=20.

因为M1到圆心C(-1,0)的距离为M2到圆心C的距离|M2C|=

(21)2(30)2

=

=

,|M1C|

(21)2(40)2

25>20,所以M2在圆C外.

经过两已知圆的交点的圆系 例. 设圆方程为:

(4)x2(4)y2(24)x(1240)y481640 其中-4

求证: 不论为何值,所给圆必经过两个定点。 证明: 把所给方程写为:

4(x2y2x10y41)(x2y22x12y48)0

这是经过以下两个圆的交点的圆系的方程:

x2y2x10y410xy2x12y480

2

2

所以,不论为何值,所给圆必经过这两个圆的两个交点

直线与圆的位置关系

例3:从圆外一点P(a,b)向圆x解:如图7-53-2,设连接OM,OM∵OM

2

y2r2引割线,交该圆于A、B两点,求弦

AB的中点M(x,y)

(x,y),PM(xa,yb),

PM,∴OMPM0,即(x,y)(xa,yb)0

y(yb)0∴x2y2axby0,(rxr)

∴x(xa)轴对称

1.自点(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射线所在直线与圆

x2y24x4y70相切,求光线L所在直线方程.

解:已知圆的标准方程是(x-2)+(y-2)=1,它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)+(y+2)=1。 设光线L所在直线方程是:y-3=k(x+3)。

由题设知对称圆的圆心C′(2,-2)到这条直线的距离等于1,即d

2

2

2

2

|5k5|k

2

1.

整理得12k

2

343

25k120, 解得k或k.故所求的直线方程是y3(x3),或

434

4

y3(x3),即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.

3

直线和圆

4.(12分)已知圆C:

x12y2225及直线l:2m1xm1y7m4.mR

(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交;

(2)求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程.

.解:(1)直线方程l:2m1xm1y7m4,可以改写为m2xy7xy40,所以直线必经过

直线2xy70和xy40的交点.由方程组

2xy70,x3,

解得即两直线的交点为

xy40y1

A(3,1) 又因为点A3,1与圆心C1,2的距离d5,所以该点在C内,故不论m取什么实数,直线

l与圆C恒相交.

(2)连接AC,过A作AC的垂线,此时的直线与圆C相交于B、D.BD为直线被圆所截得的最短弦长.此

时,AC,BC5,BD225545.即最短弦长为45. 又直线AC的斜率kAC弦长

例题】 已知直线l∶x+2y-2=0与圆C∶x2+y2=2相交于A、B两点,求弦长AB.

【思考与分析】 一条直线和圆相交,直线被圆所截得部分的长称为弦长.下面我们将采用两种方法来求出弦长AB.

1

,所以直线BD的斜率为2.此时直线方程为:y12x3,即2xy50. 2

解法一:设A(x1,y1)、B(x2,y2),则A、B坐标即方程组 从方程组中消去x可得:5y2-8y+2=0,

的解,

又A、B在直线l∶x+2y-2=0上,即x1+2y1-2=0,x2+2y2-2=0,A

范文七:高中数学圆的方程典型例题(学生) 投稿:范芲芳

高中数学圆的方程典型例题

类型一:圆的方程

例1 求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.

解法一:(待定系数法)

设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2. ∵圆心在y0上,故b0. ∴圆的方程为(xa)2y2r2. 又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点.

22

(1a)16r∴ 22

(3a)4r

2

解之得:a1,r20.

所以所求圆的方程为(x1)2y220.

解法二:(直接求出圆心坐标和半径)

因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点,所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上,又因

42

1,故l的斜率为1,又AB的中点为(2,3),故AB的垂直平分线l的方13

程为:y3x2即xy10.

又知圆心在直线y0上,故圆心坐标为C(1,0)

为kAB

∴半径rAC

(11)24220.

2

2

故所求圆的方程为(x1)y20. 又点P(2,4)到圆心C(1,0)的距离为

dPC(21)24225r.

∴点P在圆外.

22

例2 求半径为4,与圆xy4x2y40相切,且和直线y0相切的圆的方程.

解:则题意,设所求圆的方程为圆C:(xa)(yb)r.

圆C与直线y0相切,且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,4). 又已知圆xy4x2y40的圆心A的坐标为(2,1),半径为3. 若两圆相切,则CA437或CA431.

(1)当C1(a,4)时,(a2)2(41)272,或(a2)2(41)212(无解),故可得

2

2

2

2

2

a22.

∴所求圆方程为(x22)2(y4)242,或

(x22)2(y4)242.

222222

(2)当C2(a,4)时,(a2)(41)7,或(a2)(41)1(无解),故a226.

∴所求圆的方程为(x226)2(y4)242,或

(x226)2(y4)242.

例3 求经过点A(0,5),且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程.

解:由

解得

代入得R2=5或R2=125

∴所求圆的方程为(x1)2(y3)25或(x5)2(y15)2125.

类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程

4与圆O相切的切线. 例5 已知圆O:x2y24,求过点P2,

解:∵点P2,4不在圆O上, 根据dr

∴ 解得 k

∴切线PT的直线方程可设为ykx24

2k4k

2

2

33

所以 yx24 即 3x4y100 44

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条

切线为x2.

例6 两圆C1:x2y2D1xE1yF10与C2:x2y2D2xE2yF20相交于A、B两点,求它们的公共弦AB所在直线的方程.

解:设两圆C1、C2的任一交点坐标为(x0,y0),则有:

22

x0y0D1x0E1y0F10 ①

x0y0D2x0E2y0F20 ②

①-②得:(D1D2)x0(E1E2)y0F1F20.

∵A、B的坐标满足方程(D1D2)x(E1E2)yF1F20.

∴方程(D1D2)x(E1E2)yF1F20是过A、B两点的直线方程.

又过A、B两点的直线是唯一的.

∴两圆C1、C2的公共弦AB所在直线的方程为

22

(D1D2)x(E1E2)yF1F20.

例7、过圆x2y21外一点M(2,3),作这个圆的两条切线MA、MB,切点分别是A、B,求直线AB的方程。

类型三:弦长、弧问题

例8、求直线l:3xy60被圆C:x2y22x4y0截得的弦AB的长.

例9、直线3xy230截圆xy4得的劣弧所对的圆心角为 解:依题意得,弦心距d

2

2

3,故弦长AB2r2d22,从而△OAB是等边三角

形,故截得的劣弧所对的圆心角为AOB

类型四:直线与圆的位置关系

3

.

例11、已知直线3xy20和圆xy4,判断此直线与已知圆的位置关系.

例12、若直线yxm与曲线y解:∵曲线y

22

4x2有且只有一个公共点,求实数m的取值范围.

4x2表示半圆x2y24(y0),∴利用数形结合法,可得实数m

的取值范围是2m2或m22.

例13 圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离为1的点有几个?

解:圆(x3)2(y3)29的圆心为O1(3,3),半径r3. 设圆心O1到直线3x4y110的距离为d,则d

334311

34

2

2

23.

如图,在圆心O1同侧,与直线3x4y110平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点,这两个交点符合题意.

又rd321.

∴与直线3x4y110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. ∴符合题意的点共有3个.

类型五:圆与圆的位置关系

例14、判断圆C1:x2y22x6y260与圆C2:x2y24x2y40的位置关系,

例15:圆xy2x0和圆xy4y0的公切线共有条。

2222

解:∵圆(x1)y1的圆心为O1(1,0),半径r11,圆x(y2)4的圆心为

2

2

2

2

O2(0,2)

,半径

r22

,∴

O1O2,r1r23,r2r11

.∵

r2r1O1O2r1r2,∴两圆相交.共有2条公切线。

类型六:圆中的对称问题

例16、圆xy2x6y90关于直线2xy50对称的圆的方程是

3发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,反射光线所在的直线与圆例17 自点A3,

2

2

C:x2y24x4y70相切

(1)求光线l和反射光线所在的直线方程.

(2)光线自A到切点所经过的路程.

解:根据对称关系,首先求出点A的对称点A的坐标为3,3,其次设过A的圆

C的切线方程为

ykx33

k

43

或k 34

根据dr,即求出圆C的切线的斜率为

进一步求出反射光线所在的直线的方程为

4x3y30或3x4y30

最后根据入射光与反射光关于x轴对称,求出入射光所在直线方程为

4x3y30或3x4y30 光路的距离为A'M,可由勾股定理求得AM

类型七:圆中的最值问题

例18:圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是

解:∵圆(x2)2(y2)218的圆心为(2,2),半径r32,∴圆心到直线的距离

2

ACCM7.

22

d

102

52r,∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

(dr)(dr)2r62.

例19 (1)已知圆O1:(x3)2(y4)21,P(x,y)为圆O上的动点,求dx2y2的最大、最小值.

dmax36.dmin16.

(2)已知圆O2:(x2)2y21,P(x,y)为圆上任一点.求求x2y的最大、最小值.

y2

的最大、最小值,x1

y23333

的最大值为,最小值为. x144

x2y的最大值为25,最小值为2.

22

例20:已知A(2,0),B(2,0),点P在圆(x3)(y4)4上运动,则

的最小值是解:设P(x,y),则

22

PAPB(x2)2y2(x2)2y22(x2y2)82OP8.设圆心为

222

C(3,4),则minOCr523,∴PB的最小值为232826.

22

范文八:高中数学圆的方程典型例题学生版 投稿:江逋逌

高中数学圆的方程典型例题

类型一:圆的方程

例1 求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.

解法一:(待定系数法)

设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.∵圆心在y0上,故b0. ∴圆的方程为(xa)2y2r2.又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点.

22

(1a)16r222

a1r20∴解之得:,.所以所求圆的方程为(x1)y20. 22

(3a)4r

解法二:(直接求出圆心坐标和半径)

因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点,所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上,又因为

kAB

42

1,故l的斜率为1,又AB的中点为(2,3),故AB的垂直平分线l的方程为:13

y3x2即xy10.

又知圆心在直线y0上,故圆心坐标为C(1,0)∴半径rAC

(11)24220.

故所求圆的方程为(x1)2y220.又点P(2,4)到圆心C(1,0)的距离为

dPC(21)24225r.∴点P在圆外.

例2 求半径为4,与圆x2y24x2y40相切,且和直线y0相切的圆的方程.

解:则题意,设所求圆的方程为圆C:(xa)2(yb)2r2.

圆C与直线y0相切,且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,4). 又已知圆x2y24x2y40的圆心A的坐标为(2,1),半径为3. 若两圆相切,则CA437或CA431.

(1)当C1(a,4)时,(a2)(41)7,或(a2)(41)1(无解),故可得

2

2

2

2

2

2

a22.

∴所求圆方程为(x22)2(y4)242,或(x22)2(y4)242. (2)当C2(a,4)时,(a2)(41)7,或(a2)(41)1(无解),故

222222

a226.

∴所求圆的方程为(x226)2(y4)242,或(x226)2(y4)242. 例3 求经过点A(0,5),且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程.

解:∵圆和直线x2y0与2xy0相切,∴圆心C在这两条直线的交角平分线上,

又圆心到两直线x2y0和2xy0的距离相等.∴

x2y

x2y.

∴两直线交角的平分线方程是x3y0或3xy0. 又∵圆过点A(0,5),∴圆心C只能在直线3xy0上. 设圆心C(t,3t)∵C到直线2xy0的距离等于AC,

2t3t2(3t5)2.化简整理得t26t50.解得:t1或t5

∴圆心是(1,3),半径为或圆心是(5,15),半径为55. ∴所求圆的方程为(x1)2(y3)25或(x5)2(y15)2125.

例4、 设圆满足:(1)截y轴所得弦长为2;(2)被x轴分成两段弧,其弧长的比为3:1,在满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线l:x2y0的距离最小的圆的方程.

解法一:设圆心为P(a,b),半径为r.则P到x轴、y轴的距离分别为b和a. 由题设知:圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90,故圆截x轴所得弦长为2r. ∴r2b又圆截y轴所得弦长为2.∴ra1. 又∵P(a,b)到直线x2y0的距离为d

222

∴5da2ba4b4ab

2

2222

a2b5

a24b22(a2b2)

. 5

2b2a21

当且仅当ab时取“=”号,此时dmin

这时有

ab

22

2ba1

∴

a1a122

或又r2b2 b1b1

2

2

2

2

故所求圆的方程为(x1)(y1)2或(x1)(y1)2

解法二:同解法一,得d

a2b.∴a2bd.∴a24b24bd5d2.

22

将a2b1代入上式得:2b45bd5d10.

2

2

上述方程有实根,故8(5d21)0,

∴d

522.将d代入方程得b1.又2ba1 ∴a1. 55

由a2b1知a、b同号.故所求圆的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22.

类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程

例5 已知圆O:x2y24,求过点P2,4与圆O相切的切线.

解:∵点P2,4不在圆O上,∴切线PT的直线方程可设为ykx24 根据dr ∴

2k4k2

2

解得 k

3

4

所以 y

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为x2. 例6 两圆C1:x2y2D1xE1yF10与C2:x2y2D2xE2yF20相交于A、B两点,求它们的公共弦AB所在直线的方程. 分析:首先求A、B两点的坐标,再用两点式求直线AB的方程,但是求两圆交点坐标的过程太繁.为了避免求交点,可以采用“设而不求”的技巧. 解:设两圆C1、C2的任一交点坐标为(x0,y0),则有:

22

x0y0D1x0E1y0F10 ① 22

x0y0D2x0E2y0F20 ②

3

x24即 3x4y100 4

①-②得:(D1D2)x0(E1E2)y0F1F20.

∵A、B的坐标满足方程(D1D2)x(E1E2)yF1F20. ∴方程(D1D2)x(E1E2)yF1F20是过A、B两点的直线方程. 又过A、B两点的直线是唯一的.

∴两圆C1、C2的公共弦AB所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20. 例7、过圆xy1外一点M(2,3),作这个圆的两条切线MA、MB,切点分别是A、B,求

22

直线AB的方程。

练习:

1. 求过点M(3,1),且与圆(x1)2y24相切的直线l的方程.

2、过坐标原点且与圆xy4x2y

2

2

5

0相切的直线的方程为2

22

3、已知直线5x12ya0与圆x2xy0相切,则a的值为

类型三:弦长、弧问题

例8、求直线l:3xy60被圆C:x2y22x4y0截得的弦AB的长.

例9、直线xy20截圆xy4得的劣弧所对的圆心角为

例10、求两圆xyxy20和xy5的公共弦长

22

2222

类型四:直线与圆的位置关系

例11、已知直线xy230和圆xy4,判断此直线与已知圆的位置关系.

例12、若直线yxm与曲线y

例13 圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离为1的点有几个?

分析:借助图形直观求解.或先求出直线l1、l2的方程,从代数计算中寻找解答. 解法一:圆(x3)2(y3)29的圆心为O1(3,3),半径r3. 设圆心O1到直线3x4y110的距离为d,则d

2

2

4x2有且只有一个公共点,求实数m的取值范围.

334334

2

2

23.

如图,在圆心O1同侧,与直线3x4y110平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点,这两个交点符合题意.

又rd321.

∴与直线3x4y110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. ∴符合题意的点共有3个.

解法二:符合题意的点是平行于直线3x4y110,且与之距离为1的直线和圆的交点.设

所求直线为3x4ym0,则d

m34

2

2

1,

∴m115,即m6,或m16,也即l1:3x4y60,或l2:3x4y160. 设圆O1:(x3)2(y3)29的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2,则

d1

33436

34

2

2

3,d2

334334

2

2

1.∴l1与O1相切,与圆O1有一个公共点;

l2与圆O1相交,与圆O1有两个公共点.即符合题意的点共3个.

练习1:直线xy1与圆x2y22ay0(a0)没有公共点,则a的取值范围是22

练习2:若直线ykx2与圆(x2)(y3)1有两个不同的交点,则k的取值范围

是 .

3、 圆xy2x4y30上到直线xy10的距离为2的点共有( ).

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

4、 过点P3,4作直线l,当斜率为何值时,直线l与圆C:x1y24有公共点,如

2

2

2

2

图所示.

类型五:圆与圆的位置关系

例14、判断圆C1:xy2x6y260与圆C2:xy4x2y40的位置关系,

2222

例15:圆x2y22x0和圆x2y24y0的公切线共有条。

解:∵圆(x1)2y21的圆心为O1(1,0),半径r11,圆x2(y2)24的圆心为O2(0,2),半径r22,∴O1O2条公切线。 练习

1:若圆x2y22mxm240与圆x2y22x4my4m280相切,则实数m的取值集合是 .

2:求与圆x2y25外切于点P(1,2),且半径为25的圆的方程.

,r1r23,r2r11.∵r2r1O1O2r1r2,∴两圆相交.共有2

类型六:圆中的对称问题

例16、圆x2y22x6y90关于直线2xy50对称的圆的方程是

类型七:圆中的最值问题

22

例18:圆xy4x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是

例19 (1)已知圆O1:(x3)2(y4)21,P(x,y)为圆O上的动点,求dx2y2的最大、最小值. 练习:

1:已知点P(x,y)在圆x(y1)1上运动. (1) 求

22

y1

的最大值与最小值;(2)求2xy的最大值与最小值. x2

2 设点P(x,y)是圆x2y21是任一点,求u

y2

的取值范围. x1

八:轨迹问题

例21已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为

例22、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x1)y4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.

2

2

1

,求点M的轨迹方程. 2

类型九:圆的综合应用

例25、 已知圆xyx6ym0与直线x2y30相交于P、Q两点,O为原点,且

2

2

OPOQ,求实数m的值.

分析:设P、Q两点的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),则由kOPkOQ1,可得x1x2y1y20,再利用一元二次方程根与系数的关系求解.或因为通过原点的直线的斜率为程构造以

y

,由直线l与圆的方x

y

为未知数的一元二次方程,由根与系数关系得出kOPkOQ的值,从而使问题得以解决. x

解法一:设点P、Q的坐标为(x1,y1)、(x2,y2).一方面,由OPOQ,得

kOPkOQ1,即

y1y2

1,也即:x1x2y1y20. ① x1x2

另一方面,(x1,y1)、(x2,y2)是方程组程5x10x4m270 ②

的两个根.

∴x1x22,x1x2

2

x2y30xyx6ym0

2

2

的实数解,即x1、x2是方

4m27

. ③ 5

又P、Q在直线x2y30上,

111

(3x1)(3x2)[93(x1x2)x1x2]. 224

m12

将③代入,得y1y2. ④

5

将③、④代入①,解得m3,代入方程②,检验0成立, ∴m3.

∴y1y2

解法二:由直线方程可得3x2y,代入圆的方程x2y2x6ym0,有

1m

x2y2(x2y)(x6y)(x2y)20,

39

整理,得(12m)x24(m3)xy(4m27)y20. 由于x0,故可得

yy

(4m27)()24(m3)12m0.

xx

∴kOP,kOQ是上述方程两根.故kOPkOQ1.得

12m

1,解得m3.

4m27

经检验可知m3为所求.

范文九:椭圆及其标准方程典型例题与练习 投稿:任亵亶

§2.1.1 椭圆及其标准方程

典型例题

例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10; (2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点(【分析】已知椭圆的特征,只要运用待定系数法,求出a,b

35

,). 22

x2y2

【解析】(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为221(ab0).

ab

∵2a=10, 2c=8

∴a=5, c=4

∴b2=a2-c2=52-42=9

x2y2

1. 所以所求椭圆的标准方程为

259

y2x2

(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为221(ab0).

ab

由椭圆的定义知:

2a=()(2)()(2)2

3

2

2

52

2

32

2

52

2

∴a=,又c=2 ∴b2=a2-c2=6

y2x2

1 所以所求椭圆方程为

106

【说明】例1(1)(2)要求学生熟练应用c2=a2-b2关系式求解椭圆标准方程.

例2 已知B、C是两个定点,∣BC∣=6,且△ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程. 【分析】在解析几何里,求符合某种条件的点的轨迹方程,要建立适当的坐标系,而选择坐标系的原则,通常欲使得到的曲线方程形式简单.

在右图中,由△ABC的周长等于16,∣BC∣=6可知,点A到B、C两点的距离之和是常数,即

∣AB∣+∣AC∣=16-6=10,因此,点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆,据此可建立坐标系并画出草图(如图)

【解析】如右图,建立坐标系,使x轴经过点B、C,原点O与BC的中点重合.

由已知∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=16,∣BC∣=6,有∣AB∣+∣AC∣=10,即点A的轨迹是椭圆,且2c=6, 2a=16-6=10 ∴c=3, a=5, b2=52-32=16

但当点A在直线BC上,即y=0时,A、B、C三点不能构成三角形,所以点A

的轨迹方程是

x2y2

1(y0) 2516

【说明】①求出曲线后,要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意,如果有不符合题意的点,应在所得方程后注明限制条件;

②例2要求学生对椭圆的定义比较熟悉,这样可以在求曲线轨迹方程时,简化求解步骤,快速准确得到所求的轨迹方程,并且在课堂练习中对这点予以强调.

基础练习 一、选择题:

1.设定点F10,3,F20,3,动点Px,y满足条件PF1PF2aa>0,则动点P的轨迹是 A. 椭圆 B. 线段 C. 椭圆或线段或不存在 D. 不存在 ( )

2.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是 ( )

A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1)

3.椭圆9x2+16y2=144的焦点为F1、F2,CD是过F1的弦,则F2CD的周长是 ( ) A.10 B.12 C.16 D.不确定

x2y2

4.若F是221(a>b>0)的一个焦点,MN是过中心的一条弦,则FMN面积的最大值是A.ab

ab

B.ac C.bc

D.

ab

( ) 2

x2y2

5.过椭圆1的焦点且垂直于x轴的直线l被此椭圆截得的弦长为 ( )

43A.3

2

B. C.2 D.3

3

6.椭圆的两个焦点分别是F1(-8,0)和F2(8,0),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20,则此椭圆方程是 ( )

y2x2y2x2y2

A.3x+=1 B.+=1 C.+ =1

10010036400336

2x2y2

D. +=1

2012

x2y2

1的焦点为F1和F2,7.椭圆点P在椭圆上,如果线段P F1的中点在y轴上,那么|P F1|是|PF2|123

的 ( ) A.7倍

B.5倍

C.4倍

D.3倍

x2y2

8.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是 ( )

m4

A.5

B.8

C.5或3

D.20

x2y2

1上任意一点,F1、F2是焦点,那么∠F1PF2的最大值是 9.P是椭圆43

A.60

( )

B.30 C.120 D.90

000

x2y2

10.点M是椭圆1上的一个动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,则MF1MF2的最小值是

43

( )

1

A.1 B.3 C.4 D.

2

11.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P(

34

,-4)和Q(-,3),此椭圆的方程是 ( ) 55

x22y2x22y222

A. +y=1 B.x+=1 C.+y=1或x+=1 D.非A、B、C答案

25252525

x2y2

1上的一点,F1和F2是焦点,若∠F1PF2=30°,则△F1PF2的面积等于( )12.P是椭圆 54

A.

B. 4(23) C. 16(2) D. 16 3

二、填空题 13.如图,OFB

6

,SABF23,则以OA为长半轴,

OB为短半轴,F为一个焦点的椭圆的标准方程为__________________.

x2y2

14.P点在椭圆+=1上,F1,F2是椭圆的焦点,若PF1⊥PF2,则P点的坐标是 .

4520

15.椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比是1∶4,短轴长为8,则椭圆的标准方程是 。

x2y2

1的焦点F1作直线交椭圆于A、B二点,F2是此椭圆的另一焦点,则ABF2的16.过椭圆

3625

周长为 。 三、解答题:

17.△ABC中三边长度|AB|、|BC|、|CA|成等差数列,若B、C两点的坐标分别为B(3,0) C(-3,0),求顶点A的轨迹。 18.在面积为1的△PMN中,tan∠PMN=点P的椭圆方程.

1

,tan∠MNP=-2,建立适当的坐标系求出以M、N为焦点且过2

x2y221的两个焦点,P在椭圆上,F1PF2,19.已知F13,0、F23,0是椭圆且当

3mn

时,F1PF2面积最大,求椭圆的方程。

x2y2

1内有两点A2,2,B3,0,P为椭圆上一点,若使最小,求此最小20.椭圆

2516

值。

21.如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个圆上P向x轴作垂线段PPˊ,求线段PPˊ中点M的轨迹.

任意一点

22.已知F是椭圆25x2+16y2=400在x轴上方的焦点,Q是此椭圆上任意一点,点P分所成的比为2,求动点P的轨迹方程.

能力测试 一、选择题

x2y2

1的内部,则a的取值范围是 ( ) 1.点Aa,1在椭圆

42

A. 2<a<2 B. a<2或a>2

C. 2<a<2 D. 1<a<1

2.若椭圆的短轴为AB,它的一个焦点为F1,则满足ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是 A.

1123

B. C. D. ( ) 4222

3.a0,,方程x2siny2cos1表示焦点在y轴上的椭圆,则的取值范围是 A. 0, B. 0, C. , D. , ( )

424442

2



x2y2

1恒有公共点,则b的取值范围是( ) 4.直线ykx10(kR)与椭圆5b

A.(0,1)

B.(0,5)

C.[1,5)(5,) D.(1,)

二、填空题

x2y2

1上的点,则它到左焦点的距离为 。 5.若点4,y是椭圆

14480

22

6.椭圆xy1的焦点为F1、F2,点P为其上的动点.当∠F1PF2为钝角时,点P的横坐标的取值范

94

围是 . 三、解答题

x2y2

7.已知椭圆1,直线l:x12,P是l上一点,射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足

2416

|OQ|·|OP||OR|2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

x2y2

8. 已知A(4,0)、B(0,5)是椭圆1的两个顶点,C是椭圆在第一象限内部分上的一点,求

1625

ABC面积的最大值。

答案

基础练习

1. C 2.D 3. C 4. C 5.D 6.C 7 A .8 C 9.A 10. B 11 B .12. B

13.

x2y2

1 14. (3,4),(3,-4),(-3,4),(-3,-4) 82y2x2x2y2

+=1或+=1 16 24 25162516

15

x2y2

1 17.解:|AB|+|AC|=12,由椭圆的定义知,a6,c3,b33,椭圆方程

3627

18. 以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.

x2y2

设所求椭圆方程为2+2=1(a>b>0),分别设M、N、P点坐标为(-c,0),(c,0)和(x0,y0).

ab

∵tanα=tan(π-∠MNP)=2

5

1xc0y(xc)3

由题设知020解得

4ycy02(x0c)03

即 P(

54

c, c) 33

4

c 3

在△MNP中,|MN|=2c,MN上的高为

∵S△MNP=

1453222

·2c· c=1 ∴c=即P(,) ∵点P在椭圆上且a=b+c 23263

522)()

12222215∴=1 解得 b=3或b=-(舍去) ∴a=b+c= 2

34bb2()2

2

(

42y2

故所求椭圆方程为:x+=1

153

19. SFPF

1

2

12

2c|yP| = 3|y P|≤ 3b ∴ x212

y2

1 3

20. 解:B为右焦点,F为左焦点,则 |PA| + |PB| = |PA| + 2a-|PF| = 10 + |PA|-|PF|≥ 10-| AF | = 10 -29

21 解:设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则

x=x0, y=

y0

2

.

因为P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,所以x02+y02=4. ① 将x0=x, y0=2y代入方程①, 得 x+4y=4 即

2

2

x24

+ y2=1 所以点M的轨迹是一个椭圆.

x2y2

1. 22、 解:把已知椭圆方程变为

1625

a225,b216,

cab25163.

从而焦点F的坐标为(0,3)

2

2

设点P坐标为(x,y),Q点的坐标为(x1,y1), 则 25x12+16y12=400 ① 由P分所成比为2,得

x120x,12

y23y1.12

∴x1=3x, y1=3y-6 代入①得: 225x2+144y2-576y+176=0. 能力测试

1. A 2. D 3. D 4. C 5.

44335

6.(,) 355

7.解:设点

P、Q、R的坐标分别为(12,yP)、(x,y)、(xR,yR)

由题设xR

0,x0

R在椭圆上及点O、Q、R三点共线

248x2xR22

2x3yxR2yR2

1248y21624

yR2

yy2x3y2ypR

12yxRx12

yP

x

(1)(2)

3

yP

12y

x

(3)

2

2

2

|OQ|·|OP||OR|2

x2y2·2yP(xRyR)2

*

将(1)(2)(3)式代入上式,

y2

1(x0) 整理得点Q的方程为(x1)23

2

点Q的轨迹是以(1,0)为中心,长、短半轴长分别为1和

8.解:设C点坐标为(x1,y1)

63

,且长轴在x轴上 的椭圆,去掉坐标原点。

则25x116y1400

过A、B的直线方程是

22

xy145

即5x4y200

S

1

·|AB|·d

ABC2

|5x4y120| 12

42·1

252421

(5x14y120)2

C点到直线5x4y200的距离为d

|5x14y120|

242

2222

40025x116y1225x1·16y1

40x1y1(x10,y10)

x1·y110

5x14y1(5x14y1)

2

22

25x116y140x1y1

401020

SABC

1

(20220)10(21)2

22

当且仅当在25x116y1时,等号成立

2

2

25x116y1400x122,y1

5

2时成立2

即SABC的最大值为10(1).

范文十:2010年高考数学椭圆标准方程典型例题(1) 投稿:顾眖眗

(一)椭圆标准方程典型例题

例1 已知椭圆mx23y26m0的一个焦点为(0,2)求m的值.

分析:把椭圆的方程化为标准方程,由c2,根据关系abc可求出m的值.

2

2

2

x2y2

1.因为焦点在y轴上,所以2m6,解得m3. 解:方程变形为

62m

又c2,所以2m62,m5适合.故m5.

例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点P3,0,a3b,求椭圆的标准方程.

分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法,

求出参数a和b(或a和b)的值,即可求得椭圆的标准方程.

2

2

2

x2y2

解:当焦点在x轴上时,设其方程为221ab0.

ab

90x222

由椭圆过点P3,0,知221.又a3b,代入得b1,a9,故椭圆的方程为y21.

ab9

y2x2

当焦点在y轴上时,设其方程为221ab0.

ab

90y2x222

1.由椭圆过点P3, 0,知221.又a3b,联立解得a81,b9,故椭圆的方程为

ab819

例3 ABC的底边BC16,AC和AB两边上中线长之和为30,求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹.

分析:(1)由已知可得GCGB20,再利用椭圆定义求解.

(2)由G的轨迹方程G、A坐标的关系,利用代入法求A的轨迹方程.

BC中点为原点建立直角坐标系.解: (1)以BC所在的直线为x轴,设G点坐标为x,y,由GCGB20,

知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因a10,c8,有b6,

x2y2

1y0. 故其方程为

10036

x2y2

1y0. ① (2)设Ax,y,Gx,y,则

10036

xx,x2y23

1y0,其轨迹是椭圆(除去x轴上两点)由题意有代入①,得A的轨迹方程为.

y900324y3

例4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 解:设两焦点为F1、F2,且PF1

452和,过P点作焦点所在轴33

452,PF2.从椭圆定义知2aPF 1PF225.即a5.33

从PF2F1中,sinPF1F21PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴,所以在RtPF

PF2

1

, PF12

可求出PF1F2

6

,2cPF1cos

6

1025222

,从而bac.

3x23y23x2y2

1或1. ∴所求椭圆方程为

510105

x2y2

例5 已知椭圆方程221ab0,长轴端点为A1,A2,焦点为F1,A1PA2,F2,P是椭圆上一点,

ab

. F1PF2.求:F1PF2的面积(用a、b、表示)

分析:求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边,从而利用S

1

absinC求面积. 2

解:如图,设Px,y,由椭圆的对称性,不妨设Px,y,由椭圆的对称性,不妨设P在第一象限.由余弦定理知: F1F2

2

PF1PF22PFPF2cos4c2.① 12

22

2b2

由椭圆定义知: PF. 1PF21PF22a ②,则②-①得 PF

1cos

故SF1PF2

例6 已知动圆P过定点A3,且在定圆B:求动圆圆心P的轨迹方程. 0,x3y264的内部与其相内切,

2

112b2

PF1PF2sin sin b2tan. 2221cos

分析:关键是根据题意,列出点P满足的关系式.

解:如图所示,设动圆P和定圆B内切于点M.动点P到两定点,

0和定圆圆心B3,0距离之和恰好等于定圆半径, 即定点A3,

即PMBM8.∴点P的轨迹是以A,B为两焦点,

x2y2

1. 半长轴为4,半短轴长为b43的椭圆的方程:

167

2

2

说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.

x211

例7 已知椭圆(1)求过点P且被P平分的弦所在直线的方程; y21,

222

(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;

(3)过A2,1引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;

(4)椭圆上有两点P、Q,O为原点,且有直线OP、OQ斜率满足kOPkOQ

求线段PQ中点M的轨迹方程.

分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.

解:设弦两端点分别为Mx1,y1,Nx2,y2,线段MN的中点Rx,y,则

1, 2

x122y122,22

x22y22,

x1x22x,yy2y,12

(1)将x

①②③④

由题意知x1

①-②得

x1x2x1x22y1y2y1y20.

y1y2

0,

x1x2

y1y2

0.⑤

x1x2

x2,则上式两端同除以x1x2,有x1x22y1y2

将③④代入得x2y

11yy21,y代入⑤,得1,故所求直线方程为: 2x4y30. ⑥ 22x1x22

2

将⑥代入椭圆方程x22y22得6y6y(2)将

11

0,36460符合题意,2x4y30为所求. 44

y1y2

(椭圆内部分) 2代入⑤得所求轨迹方程为: x4y0.

x1x2

y1y2y122

代入⑤得所求轨迹方程为: x2y2x2y0.(椭圆内部分) 

x1x2x2

(3)将

2

x12x22

y12y22, ⑦, 将③④平方并整理得 (4)由①+②得 :

2



22

x12x24x22x1x2, ⑧, y12y24y22y1y2, ⑨

4x22x1x2

4y22y1y22, ⑩ 将⑧⑨代入⑦得:

4



y211222

1. 再将y1y2x1x2代入⑩式得: 2xx1x24y2x1x22, 即 x122

2

此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.

例8 已知椭圆4x2y21及直线yxm. (1)当m为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2,求直线的方程. 5

2

解:(1)把直线方程yxm代入椭圆方程4x2y21得 4x2xm1, 即5x2mxm10.2m45m2116m2200,解得

2

2

2



. m

22

2mm21

(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1,x2,由(1)得x1x2,x1x2.

55

m2122m2

根据弦长公式得 :1.解得m0.方程为yx. 4

555

说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.

这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式;解决弦长问题,一般应用弦长公式. 用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程.

2

x2y2

1的焦点为焦点,过直线l:xy90上一点M作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,例9 以椭圆

123

点M应在何处?并求出此时的椭圆方程.

分析:椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决.

x2y2

1的焦点为F13,解:如图所示,椭圆0,F23,0. 123

点F1关于直线l:xy90的对称点F的坐标为(-9,6),直线FF2的方程为x2y30. 解方程组

x2y30

得交点M的坐标为(-5,4).此时MF1MF2最小.

xy90

所求椭圆的长轴:2aMF1MF2FF26,∴a3,又c3,

x2y2

1.

∴bac3336.因此,所求椭圆的方程为

4536

2

2

2



2

2

x2y2

例10 已知方程1表示椭圆,求k的取值范围.

k53kk50,

解:由3k0,得3k5,且k4.

k53k,

∴满足条件的k的取值范围是3k5,且k4.

说明:本题易出现如下错解:由

k50,

得3k5,故k的取值范围是3k5.

3k0,

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中ab0这个条件,当ab时,并不表示椭圆.

例11 已知x2siny2cos1(0)表示焦点在y轴上的椭圆,求的取值范围.

分析:依据已知条件确定的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出的取值范围.

x2y211

0. 1.因为焦点在y轴上,所以解:方程可化为

11cossinsincos

因此sin0且tan1从而(

3

,). 24

11

0,0,这是容易忽视的地方. sincos1122

(2)由焦点在y轴上,知a,b. (3)求的取值范围时,应注意题目中的条件0.

cossin

说明:(1)由椭圆的标准方程知

例12 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过A(,2)和B(23,1)两点的椭圆方程.

分析:由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便起见,

22

可设其方程为mxny1(m0,n0),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程.

22

解:设所求椭圆方程为mxny1(m0,n0).由A(,2)和B(23,1)两点在椭圆上可得

22

11x2y2m(3)n(2)1,3m4n1,

1. 即所以m,n.故所求的椭圆方程为2215515512mn1,m(23)n11,

例13 已知圆x2y21,从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段,求线段中点M的轨迹.

分析:本题是已知一些轨迹,求动点轨迹问题.这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹. 解:设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则x

因为P(x0,y0)在圆x2y21上,所以x02y021.

将x02x,y0y代入方程x02y021得4x2y21.所以点M的轨迹是一个椭圆4x2y21.

说明:此题是利用相关点法求轨迹方程的方法,这种方法具体做法如下:首先设动点的坐标为(x,y),

设已知轨迹上的点的坐标为(x0,y0),然后根据题目要求,使x,y与x0,y0建立等式关系, 从而由这些等式关系求出x0和y0代入已知的轨迹方程,就可以求出关于x,y的方程, 化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法,必须掌握.

例14 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆,过它对的左焦点F1作倾斜解为

x0

,yy0. 2

的直线交椭圆于A,3

B两点,求弦AB的长.

分析:可以利用弦长公式ABkx1x2

2

(1k2)[(x1x2)24x1x2]求得,

也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求.

解:(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.

ABk2x1x2(1k2)[(x1x2)24x1x2].因为a6,b3,所以c.因为焦点在x轴上,

x2y2

1,左焦点F(3,0),从而直线方程为y3x9. 所以椭圆方程为

369

由直线方程与椭圆方程联立得:13xx3680.设x1,x2为方程两根,所以x1x2

2

723

,13

x1x2

36848222

,k, 从而ABkx1x2(1k)[(x1x2)4x1x2]. 1313

(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.

x2y2

1,设AF由题意可知椭圆方程为1m,BF212m,BF212n. 1n,则AF369

在AF1F2中,AF2所以m

2

AF1F1F22AF1F1F2cos

22

3

,即(12m)m3632m63

22

1

; 2

4866

ABmn.同理在BF中,用余弦定理得,所以. nF12

1344

(法3)利用焦半径求解.

先根据直线与椭圆联立的方程13xx3680求出方程的两根x1,x2,它们分别是A,B的横坐标. 再根据焦半径AF1aex1,BF1aex2,从而求出AF1BF1.

2

x2y2

1上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,则ON(O为坐标原点)的值为例15 椭圆

259

A.4 B.2 C.8 D.

3

2

说明:(1)椭圆定义:平面内与两定点的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.

(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义,即MF1MF22a,利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离.

x2y2

例16 已知椭圆C1,试确定m的取值范围,使得对于直线l:y4xm,椭圆C上有不同的两点

43

关于该直线对称.

分析:若设椭圆上A,B两点关于直线l对称,则已知条件等价于:(1)直线ABl;(2)弦AB的中点M在l上.

利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围. 解:(法1)设椭圆上A(x1,y1),B(x2,y2)两点关于直线l对称,直线AB与l交于M(x0,y0)点. yxn,1

4∵l的斜率kl4,∴设直线AB的方程为yxn.由方程组消去y得 224xy

1,34

1

112n8nxx24n

.于是x01,y0x0n,

41313213

4n12n4n13,).∵点M在直线y4xm上,∴n4m.解得nm. ② 即点M的坐标为(

1313134

13x28nx16n2480 ①。∴x1x2

将式②代入式①得13x26mx169m480 ③

∵A,B是椭圆上的两点,∴(26m)2413(169m248)0.解得(法2)同解法1得出n

22

22. m

1313

13413

m,∴x0(m)m, 4134

113113

y0x0m(m)m3m,即M点坐标为(m,3m).

4444

(m)2(3m)2221.解得∵A,B为椭圆上的两点,∴M点在椭圆的内部,∴. m431313

(法3)设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆上关于l对称的两点,直线AB与l的交点M的坐标为(x0,y0).

xyxy

∵A,B在椭圆上,∴111,221.两式相减得3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0,

4343

即32x0(x1x2)42y0(y1y2)0.∴

2222

3xy1y2

0(x1x2).

x1x24y0

又∵直线ABl,∴kABkl1,∴

3x0

41,即y03x0 ①。 4y0

又M点在直线l上,∴y04x0m ②。由①,②得M点的坐标为(m,3m).以下同解法2.

说明:涉及椭圆上两点A,B关于直线l恒对称,求有关参数的取值范围问题,可以采用列参数满足的不等式: (1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点,通过直线方程与椭圆方程组成的方程组,消元后得到的一元二次方程的判别式0,建立参数方程.

xy

(2)利用弦AB的中点M(x0,y0)在椭圆内部,满足001,将x0,y0利用参数表示,建立参数不等式.

ab

22

例17 在面积为1的PMN中,tanM1

,tanN2,建立适当的坐标系,求出以M、N为焦点且过P

2

4x2y2

1 ∴所求椭圆方程为153

x2y2

1所截得的线段的中点,求直线l的方程. 例18 已知P(4,2)是直线l被椭圆

369

分析:本题考查直线与椭圆的位置关系问题.通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x),得到关于x(或y)

的一元二次方程,再由根与系数的关系,直接求出x1x2,x1x2(或y1y2,y1y2)的值代入计算即得. 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标,这种“设而不求”的方法,在解析几何中是经常采用的.

解:方法一:设所求直线方程为y2k(x4).代入椭圆方程,整理得

(4k21)x28k(4k2)x4(4k2)2360 ①

设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是①的两根,∴x1x2∵P(4,2)为AB中点,∴4

8k(4k2)

4k21

x1x24k(4k2)1

k,.∴所求直线方程为x2y80. 24k212

方法二:设直线与椭圆交点A(x1,y1),B(x2,y2).∵P(4,2)为AB中点,∴x1x28,y1y24. 又∵A,B在椭圆上,∴x14y136,x24y236两式相减得(x1x2)4(y1y2)0, 即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.∴

2

2

2

2

2

2

2

2

y1y2(x1x2)1

.∴直线方程为x2y80.

x1x24(y1y2)2

方法三:设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),另一个交点B(8x,4y).

∵A、B在椭圆上,∴x4y36 ①。 (8x)4(4y)36 ②

从而A,B在方程①-②的图形x2y80上,而过A、B的直线只有一条,∴直线方程为x2y80. 说明:直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题,“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法. 若已知焦点是(33,0)、则如何求椭圆方程? (3,0)的椭圆截直线x2y80所得弦中点的横坐标是4,

2

2

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