方程的定义_范文大全

方程的定义

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【优秀范文】方程的定义

范文一:分式方程的定义1 投稿:洪摠摡

2013年3月仇敏子的初中数学组卷

2013年3月仇敏子的初中数学组卷

一.选择题(共30小题)

7.下列说法: ①解分式方程一定会产生增根; ②方程

=0的根为2;

③方程的最简公分母为2x(2x﹣4); ④x+

=1+

是分式方程.

其中正确的个数是( )

9.下列方程中是分式方程的是( )

10.在方程

11.下列方程:(1)=5,其中是分式方程的有( )

(a,b

为已知数)中,分式方程有( )

12.下列各方程是关于x的分式方程的是( )

13.下列方程中分式方程有( )个. (1)x2﹣

x+;(2)﹣3=a+4;(3);(4)

=1.

15.下列方程不是分式方程的是( )

17.下列各方程中是分式方程的是(其中a、b、c均为常数)( )

18.观察下列方程: (1)

;(2)

;(3)

;(4

19.下列方程①分式方程有( )

;②

=2﹣

(ab≠0);③

;④

=2+

;⑤+5=x中,

24.有下列方程:①;②;③

;④.属于分式方程的有(

26.下列方程中是分式方程的是( )

29

.下列关于x的方程①,②,③

,④中,是分式方程的有( )

30.下列关于x的方程中,不是分式方程的是( )

2013年3月仇敏子的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一.选择题(共30小题)

7.下列说法:

①解分式方程一定会产生增根; ②方程

=0的根为2;

③方程④

x+

=1+

的最简公分母为2x(2x﹣4); 是分式方程.

其中正确的个数是( )

10.在方程,

(a,b为已知数)中,分式方程有( )

11.下列方程:(1)=5,其中是分式方程的有( )

13.下列方程中分式方程有( )个. (1)x2﹣

x+;(2)﹣3=a+4;(3);(4)

=1.

14.下列关于x的方程,是分式方程的是( )

18.观察下列方程: (1)

;(2)

;(3)

;(4)

其中是关于x的分式方程的有( )

19.下列方程①分式方程有( ) ;②=2﹣(ab≠0);③;④

=2+;⑤+5=x中,

24.有下列方程:①;②;③

;④.属于分式方程的有( )

28.下列方程是关于x的分式方程的是( )

29.下列关于x的方程①,②,③

,④中,是分式方程的有( )

范文二:差分方程的定义 投稿:苏茇茈

差分方程 - 基本概念一、差分的概念设函数yt=f(t)在t=…,-2,-1,0,1,2,…处有定义,对应的函数值为…,y-2,y-1,y0,y1,y2,…,则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为 Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。依此定义类推,有 Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1),Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2),………………一阶差分的性质 (1) 若yt=C(C为常数),则Dyt=0;(2) 对于任意常数k,D(kyt)=kDyt;(3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分,即D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt.依此定义类推,有D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1,D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2,………………类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt,D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1, ……………… 一般地,k阶差分(k为正整数)定义为差分方程这里 差分方程二、 差分方程含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt, D2yt,…的函数方程,称为常差分方程(简称差分方程);出现在差分方程中的差分的最高阶数,称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为F(t,yt,Dyt,…, Dnyt)=0, 其中F是t,yt, Dyt,…, Dnyt的已知函数,且Dnyt一定要在方程中出现。含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,…的函数方程,称为(常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下标的最大差,称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为F(t,yt,yt+1,…,yt+n)=0, 其中F为t,yt,yt+1,…,yt+n的已知函数,且yt和yt+n一定要在差分方程中出现。三、 差分方程的解如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…,yt+n)=0,使其对t=…,-2,-1,0,1,2,…成为恒等式,则称yt=j(t)为方程的解。含有n个任意(独立)常数C1,C2,…,Cn的解yt=?(t,C1,C2,…,Cn)称为n阶差分方程的通解。在通解中给任意常数C1,C2,…,Cn以确定的值所得的解,称为n阶差分方程的特解。差分方程 - 线性差分方程形如yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=f(t) 的差分方程,称为n阶非齐次线性差分方程。其中a1(t),a2(t),…,an-1(t),an(t)和f(t)都是t的已知函数,且an(t)≠0,f(t)≠0。而形如yt+n+a1(t)yt+n-1+…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=0 的差分方程,称为n阶齐次线性差分方程。其中ai(t)(i=1,2,…,n)为t的已知函数,且an(t)≠0。如果ai(t)=ai(i=1,2,…,n)均为常数(an≠0),则有yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f(t), yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0。 分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系数齐次线性差分方程。定理1(齐次线性差分方程解的叠加原理)若y1(t),y2(t),…,ym(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的m个特解(m≥2),则其线性组合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Amym(t)也是方程 的解,其中A1,A2,…,Am为任意常数。定理2 n阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解。定理3(齐次线性差分方程通解结构定理)如果y1(t),y2(t),…,yn(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的n个线性无关的特解,则方程 的通解为:yA(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t),其中A1,A2,…,An为n个任意(独立)常数。定理4(非齐次线性差分方程通解结构定理)如果 (t)是非齐次线性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2 +…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=f(t)的一个特解,yA(t)是其对应的齐次线性方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的通解,那么,非齐次线性差分方程的通解为:y(t)=yA(t)+ (t) 即y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)+ (t),这里A1,A2,…,An为n个任意(独立)常数。差分方程 - 通解和特解一、 齐次差分方程的通解将方程yt+1+ayt=0改写为:yt+1=-ayt,t=0,1,2,…。假定在初始时刻(即t=0)时,函数yt取任意值A,那么由上式逐次迭代,算得y1=-ay0=-aA,y2=-ay1=(-a)2A,………………方程的通解为yt =A(-a)t ,t=0,1,2,…。如果给定初始条件t=0时yt=y0,则A=y0,此时特解为:yt =y0(-a)t 。二、 非齐次方程的通解与特解迭代法求通解将方程改写为 yt+1=(-a)yt+f(t), t=0,1,2,…。逐步迭代,则有y1=(-a)y0+f(0),y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1),y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2),………………由数学归纳法,可得差分方程其中 差分方程为方程的特解。yA(t)=(-a)ty0为对应的齐次方程的通解。差分方程 - 经济学中的应用一、 存款模型设St为t期存款总额,i为存款利率,则St与i有如下关系式:St+1=St+iSt=(1+i)Si, t=0,1,2,…,其中S0为初始存款总额。 二、 动态供需均衡模型(蛛网定理)设Dt表示t期的需求量,St表示t期的供给量,Pt表示商品t期价格,则传统的动态供需均衡模型为:差分方程其中a,b,a1 ,b1均为已知常数。 (1)式表示t期(现期)需求依赖于同期价格; (2)式表示t期(现期)供给依赖于(t-1)期(前期)价格。 (3)式为供需均衡条件。若在供需平衡的条件下,而且价格保持不变,即 Pt=Pt-1=Pe,静态均衡价格差分方程需求曲线与供给曲线的交点(Pe ,Qe)即为该种商品的静态均衡点。动态供需均衡模型的等价差分方程 差分方程方程的一个特解 差分方程方程的通解为 差分方程若初始价格P0已知时,将其代入通解,可求得任意常数A=P0-Pe ,此时,通解改写为差分方程如果初始价格P0=Pe ,那么Pt=Pe ,这表明没有外部干扰发生,价格将固定在常数值Pe上,即静态均衡。如果初始价格P0≠Pe ,那么价格Pt将随t的变化而变化。 差分方程差分方程动态价格Pt随着t的无限增大逐渐地振荡趋近于静态均衡价格Pe 。差分方程三、 凯恩斯(Keynes.J.M)乘数动力学模型设Yt表示t期国民收入,Ct为t期消费,It为t期投资,DI0为自发(固定)投资,?I为周期固定投资增量。凯恩斯国民经济收支动态均衡模型为: 差分方程(1)式为均衡条件,即国民收入等于同期消费与同期投资之和;(2)式为消费函数,即现期消费水平依赖于前期国民收入(消费滞后于收入一个周期),a(≥0)为基本消费水平,b为边际消费倾向(0<b<1);(3)式为投资函数,这里仅考虑为固定投资。 在(1)(2)(3)式中消去Ct和It,得到一阶常系数非齐次线性差分方程:Yt-bYt-1=a+I0+DI 方程的一个特解 差分方程方程的通解为 差分方程其中A为任意常数。称系数 差分方程为凯恩斯乘数。四、 哈罗德(Harrod.R.H)经济增长模型设St为t期储蓄,Yt为t期国民收入,It为t期投资,s称为边际储蓄倾向(即平均储蓄倾向),0<s<1,k为加速系数。哈罗德宏观经济增长模型为:差分方程其中s,k为已知常数。(1)式表示t期储蓄依赖于前期的国民收入;(2)式表示t期投资为前两期国民收入差的加速,且预期资本加速系数k为常数;(3)式为均衡条件。经整理后得齐次差分方程差分方程其通解为 差分方程其中A为任意常数, 差分方程,哈罗德称之为“保证增长率” 其经济意义就是:如果国民收入Yt按保证增长率 差分方程增长,那么就能保证t期储蓄与t期投资达到动态均衡,即It=St , t=0,1,2,…。五、 萨缪尔森(Samuelson P.A)乘数加速数模型设Yt为t期国民收入,Ct为t期消费,It为t期投资,G为政府支出(各期均相同)。萨缪尔森将乘数和加速数两个参数同时引进而得到国民经济收支均衡模型(也称为乘数-加速数模型):差分方程其中G>0为常数,b称为边际消费倾向(常数),k为加速数。将(2)(3)两式代入(1)并经整理后得:Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2=G.其特解差分方程其经济意义为:国民收入的均衡值等于凯恩斯乘数 差分方程与政府支出自发投资G的乘积。对应的齐次方程为 Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2=0, 其特征方程为 ?A2-b(1+k)A+bk=0,特征方程的判别式差分方程当差分方程时,特征方程有两相异实根 差分方程齐次方程的通解为:差分方程。当差分方程时,特征方程有一对相等实特征根 差分方程。齐次方程的通解为:差分方程。当差分方程时,特征方程有一对共轭复根: 差分方程齐次方程的通解为:差分方程

范文三:微分方程定义 投稿:胡嬒嬓

微分方程定义

概念: 微分方程、常微分方程、常微分方程、偏微分方程、阶、解、通解、特解、奇解、定解条件、初值条件

微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程

常微分方程:未知函数为一元函数的微分方程.

偏微分方程:未知函数为多元函数,同时含有多元函数的偏导数的微分方程

阶:微分方程中,未知函数的最高阶导数(或微分)的阶数

解:如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等,则称此函数为该方程的解

通解(general solution):如果微分方程的解所包含独立的任意常数的个数等于方程的阶数,则称此解为方程的通解.(通解并不一定包含方程所有的解)

特解(particular solution):微分方程任一确定的解

奇解:不包含在通解中的解

定解条件:用来确定微分方程特解的条件。(微分方程一般具有无数个解,为了确定微分方程的一个特解,必须给出这个解所满足的条件。)

初值条件:如果定解条件是由系统在初始时刻所处的状态给出,则也称这种定解条件为初值条件。

In general,a differential equation is an equation that contains an unknown function and one or more of its derivatives.

The order of a differential equation is the order of the highest derivative that occurs in the equation.

A function f is called a solution of a differential equation if the equation is satisfied when y=f(x) and its derivatives are substituded into the equation.

An nth-order equation has an nth-parameter family of solution.

A separable equation is a first-order differential equation in which the expression for dy/dx can be factored as a function of x times a funtion of y. In other words,it can be written in the form dy/dx=g(x)f(y)

Homogeneous Equations:The first-order differential equation is homogeous if it can be put in the form y′=f(y/x)(x≠0)

A first-order linear differential equation is one that can be put into the form dy/dx+P(x)y=Q(x)

To solve the linear differential equation y′+P(x)y=Q(x),multiply both sides by the intergrating factor I(x)=e

p(x)dx and integrate both sides.

范文四:初一方程的定义 投稿:丁涏涐

方程的定义

考点名称:方程的定义

方程:

含有未知数的等式,即:

1、方程中必须含有未知;

2、方程式是等式,但等式不一定是方程。

未知数:通常设x、y、z为未知数,也可以设别的字母,全部字母都可以。一道题中设两个方程未知数不能一样! 方程是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式,通常在两者之间有一等号“=”。

方程不用按逆向思维思考,可直接列出等式并含有未知数。 它具有多种形式,如一元一次方程、二元一次方程等。广泛应用于数学、物理等理科应用题的运算。

方程是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式,通常在两者之间有一等号“=”。方程不用按逆向思维思考,可直接列出等式并含有未知数。它具有多种形式,如一元一次方程、二元一次方程等。,广泛应用于数学、物理等理科应用题的运算。

范文五:一元二次方程的定义 投稿:邹骒骓

九年级(上)数学科集体备课教案

课 题 课 型

§2.1 认识一元二次方程(1) 新授

主备人 备课时间

课时

1

上课时间

知识与能力:理解一元二次方程的概念,了解一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c 是常数),能分清二次项,一次项及常数项等概念。 过程与方法:经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程,进一步体会方程是

教学 目标

刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。 情感态度与价值观:通过由具体问题抽象出一元二次方程概念的过程,体会数学来源 于生活,又回归于生活的理念,培养数学思维能力、阅读能力和 数学建模思想。

重点 难点 教法

一元二次方程的有关概念。 一元二次方程概念的理解和方程模型的建立。 运用类比的方法,通过类比一元一次方程的概念和建模思想去理解一元二次方程的概 念,及寻找题目中的等量关系;自主探究,合作学习。

个案修改

一、复习回顾,导入课题 回顾一元一次方程的有关概念,方程解的概念。 设计说明: 通过回顾一元一次方程的概念, 理解其中的 “元” 和 “次” 的含义。从而有助于类比一元二次方程感念的得出。 二、自主探索,概念总结 情境问题一:

教 学 过 程

一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图,它的长为8m,宽为 5m.地毯中央长方形图案的面积为18m2,那么花边有多宽?

如果设花边的宽为 x m, 那么地毯中央长方形图案的长为____m, 宽为____m.根据题意,可得方程__________________。 情境问题二:观察下面等式: 10 +11 +12 =13 +14

2 2 2 2 2

你还能找到其他的五个连续整数, 使前三个数的平方和等于后两个 数的平方和吗? 如果设五个连续整数中的第一个数为 x,那么后面四个数一次可表 示为__ __,_ _,___ ___,__ __.根据题意,可得方程_________。

1

情境问题三: 如图,一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上, 梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m.如果梯子 的顶端下滑 1m.那么梯子的底端滑动多少米? 由勾股定理可得,滑动前梯子底端距墙 ________m, 如果设梯子底端滑动 x m, 那么滑动后梯子底端距墙_______________, 根据题意,可得方程________________. 议一议: 上述三个方程有什么共同特点?总结: (1)一元二次方程定义:只含有一个未知数,并且含未知数的项最 高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。 (2)一元二次方程必须同时满足三个条件: ①是整式方程,即等号两边都是整式, ②只含有一个未知数; ③未知数的最高次数是 2。 (3)一元二次方程的一般形式: 一般地,任何一个关于 x 的一元二次方程经过整理,都能化成如 a

x +bx+c=0 (a≠0,a,b,c 是常数)的形式。 这种形式叫一元二次方程的一般 形式。一次项系数 b 和常数项 c 可取任意实数,而二次项系数 a 必须是 不等于 0 的实数。 四、随堂练习,巩固所学 1、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。 (1)x2-y=1 (2) 1/x2-3=2 (3)2x+x2=3 (5)(a-1)x2+x=1

2

8

m

教 学 过 程

(4)(x-1)(x2+x+1)=(x2-2x+1)(x-1) (6)3x-1=0 (7) (5x+2)(3x-7)=15x2

2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项 系数、一次项系数和常数项。 方程 3x2=5x-1 (x+2)(x-1)=6 4-7x2=0 五、回顾总结,练习提升 1、回顾一元二次方程的有关概念,总结你的收获。 2、若关于 x 的方程(m+1)x|m|+mx-1=0 是一元二次方程,求 m 的值。 六、布置作业:习题 1.8 1,2,3,4 题。

2

一般形式

二次项系数

一次项系数

常数项

3

范文六:一元一次方程的定义和解 投稿:武寉寊

一、方程的有关概念

1.方程:含有未知数的等式就叫做方程.

2.一元一次方程:只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程.例如:1700+50x=1800,2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程.

3.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.

注:⑴方程的解和解方程是不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论.

二、等式的性质

等式的性质(1):等式两边都加上(或减去)同个数(或式子),结果仍相等.用式子形式表示为:如果a=b,那么a±c=b±c

(2)等式的性质(2):等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等,用式子形式表示为:如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么ac=bc

三、移项法则:把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.

四、去括号法则

1.括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.

2.括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.

五、解方程的一般步骤

1、去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)

2、去括号(按去括号法则和分配律)

3、移项(把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号)

4、合并(把方程化成ax=b(a≠0)形式)

5.系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=ba).

范文七:一元二次方程的定义 投稿:雷帐帑

一元二次方程的定义

一、一元二次方程的定义

二、与一元二次方程定义有关的参数问题

三、与一元二次方程的根有关的参数问题

一元一次方程定义:

只含有一个未知数,且未知数的次数为2的整式方程叫做一元一次方程。

一元二次方程定义:

只含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般式为:

ax2+bx+c=0(a≠0)

【例1】

判断下列方程是不是一元二次方程。

⑴2x2-kx-1=0 ⑵4

x31

⑶1-x2=0 ⑷5x2=0

⑸x2+y=0 ⑹(x+3)2=(x-3)2

⑺mx2-3x+2=0(m为常数) ⑻(a2+1)x2+(2a-1)x+5-a=0(a为常数)

【例2】

将下列一元二次方程化成一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。⑴2x2-1=6x

⑵(3x-2)(x+1)=x-3

⑶x32x5x3x115

⑷x2x3

与一元二次方程定义有关的参数问题:

处理方法:对照方程的一般形式。

已知关于x的方程(m1)xm24m为一元一次方程,则x=_____。

1

【例3】

⑴当m=_____时,关于x

的方程(mxm(m3)x4m是一元二次方程。

22⑵关于x的方程(m-9) x+(m+3) x+5m-1=0,当m= _____时,方程为一元二次方程;

当m=_____时,方程为一元一次方程。

⑶若

m1x24是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是_____。

【例4】

已知方程2xa-xb-x2+4=0是关于x的一元二次方程,求a、b的值。

与一元二次方程的根有关的参数问题

如果x0满足ax02+bx0+c=0(a≠0),则x0就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根。 条件中出现方程的根,处理方法:

将根带入方程。

【例5】

⑴如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根1和-1,那么a+b+c=_____, a-b+c=_____。

⑵已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0有一个根是0,则m的值为_____。

⑶已知m是方程x2-x-1=0的一个根,求代数式5m2-5m+2006的值。

2

2

【例6】

设a、b是方程x2+x-2014=0的两个实数根(a≠b),求a2+2a+b的值。

知识框架重现

一元二次方程定义:

只含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程的一般式为

ax2+bx+c=0(a≠0)。

与一元二次方程定义有关的参数问题:

处理方法:对照方程的一般形式。

已知关于x的方程(m1)xm24m为一元一次方程,则x=_____。

与一元二次方程的根有关的参数问题

如果x0满足ax02+bx0+c=0(a≠0),则x0就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根。条件中出现方程的根,处理方法:

将根带入方程。

3

范文八:二元一次方程定义 投稿:许屉届

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二元一次方程组

解二元一次方程组

含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

目录

二元一次方程组的定义

构成

解法

教科书中没有的几种解法

二元一次方程组的解

注意

编辑本段二元一次方程组的定义

把两个一次方程联立在一起,那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。

有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是一次,那么这样的方程组叫做二元一次方程组。

二元一次方程定义:经过整理,一个含有两个未知数,并且未知数的指数都是1的整式方程,叫二元一次方程。

二元一次方程组定义:两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程,叫二元一次方程组。

二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个公共解,叫做二元一次方程组的解。

一般解法,消元:将方程组中的未知数个数由多化少,逐一解决。

消元的方法有两种:

代入消元法

例:解方程组 :

x+y=5①

6x+13y=89②

解:由①得

x=5-y③

把③带入②,得

6(5-y)+13y=89

即 y=59/7

把y=59/7带入③,得

x=5-59/7

即 x=-24/7

∴ x=-24/7

我们把这种通过“代入”消去一个未知数,从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法(elimination by substitution),简称代入法。 加减消元法

例:解方程组:

x+y=9①

x-y=5②

解:①+②

2x=14

即 x=7

把x=7带入①,得

7+y=9

解,得:y=2

∴ x=7

y=2 为方程组的解

像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法(elimination by addition-subtraction),简称加减法。

二元一次方程组的解有三种情况:

1.有一组解

如方程组x+y=5①

6x+13y=89②

x=-24/7

2.有无数组解

如方程组x+y=6①

2x+2y=12②

因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”),所以此类方程组有无数组解。

3.无解

如方程组x+y=4①

2x+2y=10②,

因为方程②化简后为

x+y=5

这与方程①相矛盾,所以此类方程组无解。

编辑本段构成

加减消元法 例:解方程组x+y=5①

x-y=9②

解:①+② ,得 2x=14

即x=7

把x=7带入① ,得:7+y=9

解,得:y=-2

∴ x=7

y=-2 为方程组的解

编辑本段解法

二元一次方程组有两种解法,一种是代入消元法,一种是加减消元法.

例:

1)x-y=3

2)3x-8y=4

3)x=y+3

代入得3×(y+3)-8y=4

y=1

所以x=4

这个二元一次方程组的解x=4

y=1

以上就是代入消元法,简称代入法。

利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等,然后把两个方程相加(或相减),以消去这个未知数,是方程只含有一个未知数而得以求解。

这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法,简称加减法。 例题:

(1)3x+2y=7

(2)5x-2y=1

解:

消元得:

8x=8

3x+2y=7

3*1+2y=7

2y=4

y=2

x=1

y=2

但是要注意用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。

编辑本段教科书中没有的几种解法

(一)加减-代入混合使用的方法.

例1,13x+14y=41 (1)

14x+13y=40 (2)

解:(2)-(1)得

x-y=-1

x=y-1 (3)

把(3)代入(1)得

13(y-1)+14y=41

13y-13+14y=41

27y=54

y=2

把y=2代入(3)得

所以:x=1,y=2

特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.

(二)换元法

例2,(x+5)+(y-4)=8

(x+5)-(y-4)=4

令x+5=m,y-4=n

原方程可写为

m+n=8

m-n=4

解得m=6,n=2

所以x+5=6,y-4=2

所以x=1,y=6

特点:两方程中都含有相同的代数式,如题中的

换元后可简化方程也是主要原因。

(3)设参数法

例3,x:y=1:4

5x+6y=29

令x=t,y=4t

方程2可写为:5t+6*4t=29

29t=29 x+5,y-4之类,

所以x=1,y=4

编辑本段二元一次方程组的解

一般地,使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。

求方程组的解的过程,叫做解方程组。

一般来说,二元一次方程组只有唯一的一个解。

编辑本段注意

二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的!

也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。

★重点★一元一次、一元二次方程,二元一次方程组的解法;方程的有关应用题(特别是行程、工程问题)

☆ 内容提要☆

一、 基本概念

1.方程、方程的解(根)、方程组的解、解方程(组)

2. 分类:

二、 解方程的依据—等式性质

1.a=b←→a+c=b+c

2.a=b←→ac=bc (c≠0)

三、 解法

1.一元一次方程的解法:去分母→去括号→移项→合并同类项→

系数化成1→解。

2. 元一次方程组的解法:⑴基本思想:“消元”⑵方法:①代入法 ②加减法

四、 一元二次方程

1.定义及一般形式:

2.解法:⑴直接开平方法(注意特征)

⑵配方法(注意步骤—推倒求根公式)

⑶公式法:

⑷因式分解法(特征:左边=0)

3.根的判别式:

4.根与系数顶的关系:

逆定理:若 ,则以 为根的一元二次方程是:

5.常用等式:

五、 可化为一元二次方程的方程

1.分式方程

⑴定义

⑵基本思想:

⑶基本解法:①去分母法②换元法(如, )

⑷验根及方法

2.无理方程 。

⑴定义

⑵基本思想:

⑶基本解法:①乘方法(注意技巧!!)②换元法(例, )⑷验根及方法

3.简单的二元二次方程组

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

六、 列方程(组)解应用题

一概述

列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是:

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元(未知数)。①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。一般地,未知数个数与方程个数是相同的。 ⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解

决(列方程、写出答案)。在这个过程中,列方程起着承前启后的作用。因此,列方程是解应用题的关键。

二常用的相等关系

1. 行程问题(匀速运动)

基本关系:s=vt

⑴相遇问题(同时出发):

+ = ;

⑵追及问题(同时出发):

若甲出发t小时后,乙才出发,而后在B处追上甲,则 ⑶水中航行: ;

2. 配料问题:溶质=溶液×浓度

溶液=溶质+溶剂

3.增长率问题:

4.工程问题:基本关系:工作量=工作效率×工作时间(常把工作量看着单位“1”)。

5.几何问题:常用勾股定理,几何体的面积、体积公式,相似形及有关比例性质等。

三注意语言与解析式的互化

如,“多”、“少”、“增加了”、“增加为(到)”、“同时”、“扩大为(到)”、“扩大了”、……

又如,一个三位数,百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为:100a+10b+c,而不是abc。

四注意从语言叙述中写出相等关系。

如,x比y大3,则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如,x与y的差为3,则x-y=3。五注意单位换算

如,“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。

七、应用举例(略)

第六章 一元一次不等式(组)

★重点★一元一次不等式的性质、解法

☆ 内容提要☆

1. 定义:a>b、a<b、a≥b、a≤b、a≠b。

2. 一元一次不等式:ax>b、ax<b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。

3. 一元一次不等式组:

4. 不等式的性质:⑴a>b←→a+c>b+c

⑵a>b←→ac>bc(c>0)

⑶a>b←→ac

⑷(传递性)a>b,b>c→a>c

⑸a>b,c>d→a+c>b+d.

5.一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6.一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组(在数轴上表示解集)

【知识梳理】 1.二元一次方程(组)及解的应用:注意:方程(组)的解适合于方程,任何一个二元一次方程都有无数个

解,有时考查其整数解的情况,还经常应用方程组的概念巧求代数式的值。

2.解二元一次方程组:解方程组的基本思想是消元,常用方法是代入消元和加减消元,转化思想和整体思想也是本章考查重点。

3.二元一次方程组的应用:列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系,题目内容往往与生活实际相贴近,与社会关系的热点问题相联系,请平时注意搜集、观察与分析。

范文九:一元一次方程定义 投稿:梁衩衪

一元一次方程定义浅议

关于一元一次方程,我们应正确地理解其定义。首先是“元”和“次”,“元”是指未知数的个数;“次”是指未知数的指数,这里包括三条:一是未知数的次数是1,二是未知数的系数不为0,三是方程是整式方程,一元一次方程是方程大厦的基石,只有对它有了深刻的理解和学习,才能为通向数学王国铺平道路。下面我们就和师生们共同探讨有关一元一次方程定义的问题。

例1.下列是一元一次方程的有( )

(1)2+4=6 (2)2y+8=7 (3)x+y=6

(4)2x+4 (5)9x2=16 (6)+1=9

分析:要判断是否是一元一次方程,首先要判断它是否是方程,即是否是“含有未知数的等式”,对于(1)只是等式,不含未知数,不是方程。而(4)是代数式,不是等式,也不是方程,剩下的(2)、

(3)、(5)、(6)中,(2)是一元一次方程,(3)中未知数有两个,是二元方程,(5)中x的指数是2,是二次方程,(6)中的未知数在分母上,不是整式方程。

点拨:注意方程与等式、代数式的区别。代数式中不含“=”号;等式中的“=”号两边都是代数式,却不一定含未知数;方程式必须是含有未知数的等式。

例2.若-8x3a+2=1是一元一次方程,求a的值。

解:∵方程-8x3a+2=1是一元一次方程

∴ 3a+2=1 解之得 a=-

范文十:一元二次方程的定义 投稿:赖赢赣

一元二次方程

初三( )班 姓名:_________ 学号:____ 时间:2007年___月__日

学习目标:1、理解一元二次方程的定义及一般形式,并能找出各项系数.

2、会将一元二次方程化成一般形式,加深对一般形式特征的印象.会判断一元

二次方程。

3、会根据实际问题的题意设元并列出一元二次方程.

4、了解一元二次方程的解的概念,会判断一个数是否是一元二次方程的解 重点:会辨别一个方程是不是一元二次方程,并了解一元二次方程的特征.

难点:根据题意列一元二次方程。

学习过程:

一、新课引入:

问题一

穗园小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900m2的一块长方形绿地,并且长比宽多10m,那么绿地的长和宽各为多少米?

分 析

设宽为x米,则有方程

x(x+10)=900,

整理得

x2+10x-900=0. (1)

问题二

学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

分 析

设这两年的年平均增长率为x,我们知道,去年年底的图书数是5万册,则今年年底的图书数是5(1+x)万册;同样,明年年底的图书数又是今年年底的(1+x)倍,即5(1+x) (1+x)=5(1+x)2万册.可列得方程

5(1+x)2=7.2,

整理可得

5x2+10x-2.2=0. (2)

思 考

问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2).这两个方程_____(填“是”或“不是”)一元一次方程.它们的共同特点是:__________________________。

概 括

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式:

ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数,a≠0)

其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项.

一元二次方程的解:能够使一元二次方程两边成立的未知数的值,称为一元二次方程的解,也称为一元二次方程的根

二、课堂练习:

[A组]一、一元二次方程的概念1、下列方程中,是一元二次方程的是( )

x1x21x11 C

x21 D、x3x10 A、2x1 B、x22

2、如果(m3)x2mx10是关于x的一元二次方程,则( )

A、m3且m0 B、m3 C、m0 D、m3

3、下列方程一定是关于x的一元二次方程的是( )

A、3x24xm B、ax280 C、xy20 D、6xyy70

4、关于x的方程kxx3x1是一元二次方程,则k的取值范围是。

5、判断下列方程是否为一元二次方程:

(1)、3x2xy0 (2)、xx(222222)x3xx2

(3)、y20 (4)、2(x)1(24()1x3)

6、关于x的方程(k1)x

k1x kx10是一元二次方程,求k的值。

二、一元二次方程的系数

1.将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项:

(1) 3x2-x=2 → __________________

二次项系数:_____;一次项系数:_______;常数项:_______;

(2) 7x-3=2x2 → _________________

二次项系数:_____;一次项系数:_______;常数项:_______;

(3) x(2x-1)-3x(x-2)=0 → _________________

二次项系数:_____;一次项系数:_______;常数项:_______;

(4) 2x(x-1)=3(x+5)-4 → __________________

二次项系数:_____;一次项系数:______;常数项:_______.

2、把方程x233x化成一般形式ax2bxc0(a0)后,abc3、一元二次方程2x4x10的二次项系数,一次项系数、常数项之和为 2

[B组]

1、关于x的一元二次方程(a1)x2xa210的一个根为0,则a的值为( )

1 2

2. 已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一个解是0,则m=_____。 A、1 B、-1 C、1或1 D、

3、关于x的两个方程x2x20与12有一个解相同,则a的值为 x2xa

4. 关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程的条件是___________.

5.根据题意,列出方程(不必求解):

(1)学校中心大草坪上准备建两个相等的圆形花坛,要使花坛的面积是余下草坪面积的一半.已知草坪是长和宽分别为80米和60米的矩形,求花坛的半径.

(2)根据科学分析,舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点(即该点将舞台前沿这一线段分为两条线段,使较短线段与较长线段之比等于较长线段与全线段之比),视觉和音响效果最好.已知学校礼堂舞台宽20米,求举行文娱会演时主持人应站在何处?

(3)、一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽是多少?

(4)、有一根长1m的铁丝,怎样用它围成一个面积为0.06m长方形。

(5)、参加一次聚会的每两人都握了一次手,多有人共握手10次,有多少人参加聚会? 2

6、已知x2x10,求x32x22009的值。

[C组]

5.用试验的方法探索问题1中所列得方程x(x+10)=900的解.方程有几个解?都是问题1的解吗?

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