勾股定理最早出现在_范文大全

勾股定理最早出现在

【范文精选】勾股定理最早出现在

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【专家解析】勾股定理最早出现在

【优秀范文】勾股定理最早出现在

范文一:最早发现勾股定理 投稿:沈濨濩

最早发现勾股定理

勾股定理,直角三角形中夹直角两边的平方和,等于直角的对边的平方。如图所示,我们用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形得到两条直角边,用弦(c)来表示斜边,则可得:勾2+股2=弦2

亦即:a2+b2=c2.这是几何学中最重要的一条定理,用途很广。 据我国古代数学名著《九章算术》记载,勾股定理是在几千多年前,由周朝的商高发现的,后来汉朝的赵爽对此作过注释。

因此,在我国,勾股定理又称“商高定理”。在西方国家,勾股定理叫作“毕达哥拉定理”,但毕达哥拉发现这个定理的时间却远比我国的

商高迟。

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载

着一段周公向商高请教数学知识的对话:

周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没

有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?”

商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理:当直角三角形„矩‟得到的一条直角边„勾‟等于3,另一条直角边„股‟等于4的时候,那么它的斜边„弦‟就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 从上面所引的这段对话中,我们可以清楚地看到,我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。

范文二:中国最早的一部数学著作(勾股定理的发现与证明) 投稿:董迤迥

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:

周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?”

商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理:当直角三角形„矩‟得到的一条直角边„勾‟等于3,另一条直角边„股‟等于4的时候,那么它的斜边„弦‟就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”

从上面所引的这段对话中,我们可以清楚地看到,我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道,所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示,我们

图1 直角三角形

用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形得到两条直角边,用弦(c)来表示斜边,则可得:

勾2+股2=弦2

亦即:

a2+b2=c2

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实,我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用,远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话,那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期,比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例(32+42=52)。所以现在数学界把它称为勾股定理,应该是非常恰当的。

在稍后一点的《九章算术一书》中,勾股定理得到了更加规范的一般性表

达。书中的《勾股章》说;“把勾和股分别自乘,然后把它们的积加起来,再进行开方,便可以得到弦。”把这段话列成算式,即为:

弦=(勾2+股2)(1/2)

亦即:

c=(a2+b2)(1/2)

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子:

4×(ab/2)+(b-a)2=c2

化简后便可得:

a2+b2=c2

亦即:

c=(a2+b2)(1/2)

图2 勾股圆方图

赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法,只是具体图形的分合移补略有不同而已。

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法,更具有科学创新的重大意义。事实上,“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说:“在中国的传统数学中,数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明,正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”

范文三:勾股定理的再发现 投稿:李韵韶

四川省中学青年数学教师优秀课展评活动

《勾股定理的再发现》

——探索直角三角形三边的关系

遂宁高级实验学校 侯 可

一、教材分析

●1.教学内容:义务教育课程标准实验教材华东师大版八年级上册第十四章第1节。 ●2.教材的地位及作用:勾股定理是初中数学课程中的经典内容,它揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系,将形与数密切联系起来,在几何学中占有非常重要的位置。同时,勾股定理在生产、生活中也有很大的用途。

●3.本章内容分析:本节内容是在教师已经创设好了发现的条件,在一定的暗示和提示下,让学生以自己的经历和知识作为基础,通过拼图对勾股定理进行的“短、平、快”的再发现。

二、学情分析:

● 知识基础:学生在知识上已掌握了直角三角形的一些性质、图形的变换、图形的面积公式、面积与代数恒等式、二次根式等知识以及其它学科的相关知识,这对学习本节知识做好了铺垫。

● 认知水平与能力:学生已具备了一些简单的拼图、推理能力,但由于年龄和认知的特点,感性认识强于理性认识。

● 任教班级学生特点:我班学生,求知欲强,具有较强的动手能力,对游戏、小组合作等形式多样的学习方式很感兴趣,有较强的参与欲望。

三、目标分析

1、教学目标

●知识与技能:理解勾股定理,初步运用勾股定理解决简单的问题。

●过程与方法目标:通过图形观察,发展形象思维;通过拼图证明勾股定理,发展学生合情推理和演绎推理的能力;通过对勾股定理的简单运用,培养学生数学建模的思想。

●情感与态度目标:

1.通过对勾股定理历史的了解,让学生感受数学文化的魅力,激发学生对学习几何的兴趣和信心,发展审美情趣;

2.在探究活动中,体验解决问题方法的多样性,培养学生的合作交流意识和探索精神。

2、教学重点、难点

●教学重点:探索和验证勾股定理;

●教学难点:用拼图的方法验证勾股定理。

●突出重点、突破难点的策略:从富有民族自豪感的情景引入新课,结合多媒体直观演示,并通过学生动手拼图,互动研讨,加深对数形结合思想的理解,并配合由浅入深的练习,使学生了解勾股定理的文化背景,体验勾股定理的探索过程。

四、教法学法

1.教法:本节课采用“探究—发现—证明—应用”的教学模式。以学生为中心,教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导,为学生搭建参与、交流的平台。

学法:学生的学法突出探究与发现,通过拼图活动,在动手探究,自主思考,小组讨论,互动交流和老师的引导中,获得本节课的知识与思想方法。

2.课前准备:拼图纸片、课件。

五、教学程序

●教学流程

●教学环节

环节1 创设情景 引入新课

(课前给每一个小组发一个信封,信封里装有拼图时用的纸片,课前请学生不要打开。)在大屏幕上展示一段我国发射第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射升空的影片。 学生活动:观看影片

【设计意图】(1)给学生制造了一种神秘感,激起了他们探究新知的欲望。

(2)揭示本堂课的课题《探索直角三角形三边的关系》

环节2 拆信揭秘 拼图游戏

①拆信揭秘

老师板书课题,并及时追问:

(1)信封里装了什么?

(2)数数看,各有几张,各自大小关系又怎样?

(3)你们小组的纸片大小和邻组的相同吗?

学生活动:拆开信封,观察纸片

②拼图游戏

你能分别用这两组图片,拼出两个既无缝隙又不重叠的正方形吗?

学生活动:有趣地拼图

【设计意图】既让学生注意到自己手中的直角三角形与正方形纸片的边长关系,又让他们注意到各小组的纸片大小是不同的,这样更具有普遍性,为将要探索的“一般直角三角形的性质”埋下伏笔。

环节3 成果展示 伟大发现

老师让学生把作品展示在黑板上,并让最快的小组来谈谈当时是如何考虑拼接的。然后引导学生通过拼好的图形来发现勾股定理。

学生活动:展示作品,谈拼接理由,并在老师的引导下,自主探索、合作交流发现勾股定理。

【设计意图】让学生体验到成功的喜悦,在老师的几次适时追问和学生的自主探索中,突出本堂课的重点。

环节4 勾股史话 叹为观止

老师请两名学生朗诵了大屏幕上展示的有关勾股定理的资料,并在学生朗诵完之后及时地作补充。

学生活动:聆听同学的朗诵,并体会老师对历史的客观分析。

【设计意图】

(1)使学生在紧张、激烈地拼图比赛之后得以暂时的放松,

(2)了解勾股定理的文化背景,增强了学生的民族自豪感,同时让学生客观地看待历

史。

环节5 各显身手 再证定理

你能用这四个直角三角形,拼出一个允许有缝隙的正方形吗?

老师让学生再次拼图,并为学生介绍弦图,然后让学生利用拼好的图形来证明定理。

在证明过程中,老师注意观察学生的状态,并在恰当的时候,以提问的方式给学生提示让学生找到证明定理的方法。然后,老师再对图形稍作变式,取其一半来证明定理。 学生活动:通过拼好的图形,证明定理。

【设计意图】(1)通过提问为学生搭建平台,从而突破本堂课的难点,让学生找到证

明定理的方法,

(2)培养学生的合情推理能力和演绎推理能力。

环节6 学以致用 加深理解

1、你能看懂卫星表面的数学图案的意义了吗?

学生活动:谈自己的想法

【设计意图】

再现引入时的情景,让学生充满了民族自豪感,并明白了其中的道理,

做到了前后呼应。

2、火眼金睛辨真伪

(1)在ABC中,若a3,b4,则c5。

(2)在RtABC中,若a3,b4,则c5。

(3)在RtABC中,C90,若a3,b4,则c5。

学生活动:激烈地辨析,并和同学交流收获。

【设计意图】在学生犯错之后,通过师生互动、生生互动,共同辨析,纠正错误,加深学生对定理的理解。

x3、你能求出下列各图中的 值吗?

学生活动:初步运用勾股定理解决简单的问题。

【设计意图】让学生在初步运用勾股定理的同时,学会利用其变形形式提高解题的速度。

4、诗情画意

将诗抽象成数学问题: 已知:BCAD于点C,AD=AB,CD=3尺,BC=6尺,

学生活动:朗诵数学诗,并在老师的引导中将诗抽象成数学问题。

【设计意图】(1)老师和学生一起在诗情画意中,感受诗的意境,回味画的美丽,培养学生审美情操,

(2)老师引导学生抽象出数学问题,并学会运用勾股定理,借助方程思想

解答了这道题,并通过老师板书解题过程,规范学生的解题格式。

环节7 知识梳理 畅所欲言

老师用心聆听学生真挚的感受和灵动的妙语,并和他们一起分享学习心得,对学生的回答做出多元的评价。

学生活动:尽情地交流自己的心得体会

【设计意图】(1)理清知识脉络,使知识的呈现更加突出,

(2)给学生畅所欲言的机会,使每一位学生发现自己的进步,对学习充

满自信,成为学习的主人。

环节8 作业布置 巩固提高

1、(1)必做题 教科书P52练习题 1、2,

(2)课后查阅勾股定理的相关资料,写一篇有关对勾股定理认识的数学日记。

2、选做题

范文四:勾股定理的发现 投稿:韩昐昑

勾股定理的发现

人们对勾股定理的认识经历了从特殊到一般的过程,这在世界许多地区的数学原始文献中都有反映.最早发现"勾三股四弦五"这一特殊关系的是古埃及人,这一事实可以追溯到公元前25世纪,中国古代数学家也较早独立发现并证明过勾股定理,而对它的应用更有许多独到之处.勾股定理一般情况的发现和证明,那要归功于古希腊的毕达哥拉斯.

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地的数据呢?”商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理:当直角三角形„矩‟(即直角)的一条直角边„勾‟等于3,另一条直角边„股‟等于4的时候,那么它的斜边„弦‟就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”

从上面所引的这段对话中,我们可以清楚地看到,我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要数学原理了。稍懂平面几何的读者都知道,所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示,我们用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边,用弦(c)来表示斜边,则可以得到: 勾2+股2=弦2 亦即:

a2+b2=c2

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实,我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用,远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话,那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期,比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例(32+42=52)。所以现在数学界把它称为勾股定理,应该是非常恰当的。在稍后一点的《九章算术》一书中,勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说;“把勾和股分别自乘,然后把它们的积加起来,再进行开方,便可以得到弦。”把这段话列成算式,即为:弦=(勾2+股2)(1/2) 亦即:c=(a2+b2)(1/2)

满足勾股定理的数组称为勾股数(或商高数)。在西方,人们把这个定理的发现与证明归功于古希腊的毕达哥拉斯,因而称之为毕达哥拉斯定理,满足定理的数组也就称为毕达哥拉斯数。但是1945年,人们在对古巴比伦人遗留下的一块数学泥板的研究中,惊讶地发现上面竟然刻有15组勾股数,其年代远在商高和毕达哥拉斯之前,大约在公元前1900年到公元前l600年之间。这些勾股数组中有些是很大的数,即使在今天也往往是人们所不熟悉的。这个数表使人们有理由

相信,古巴比伦人早已掌握了勾股定

理并很可能找到了一种求得勾股数的一般方法,只不过人们还不能从其他的泥板中找出更多的证据来证明这一点。

毕达哥拉斯学派倒是明确地给出了勾股数的一组公式:一组勾股数的正整数解:a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1,其特点是斜边与其中一股的差为1。 后来,另一个古希腊学者柏拉图(Plato,约前427-前347)也给了另一组公式:a=2n,b=n2-1,c=n2+1,此时斜边与其中一股之差为2。

被誉为“代数学鼻祖”的古希腊数学家丢番图(Diophantus,约330-246)也在研究二次不定方程的时候,对勾股数作了一番探讨。他发现不论是毕达哥拉斯还是柏拉图的式子,都没能给出全部勾股数组,于是他找到了一个新方法:全部解的公式是a=2mn,y=m2-n2,z=m2+n2其中m,n(m>n)是互质且一奇一偶的任意正整数。

丢番图究竟是如何得到这组式子的,人们今天已经无从知晓。重要的是,这组式子包含了全部的勾股数组!

值得一提的是,在早于丢氏三、四百年的我国古代数学巨著《九章算术》中,也提出了一组求勾股数的式子,这组式子相当于:任意给定两个正整数m,n(m>n),那么这三个正整数就是一个整勾股数组。用代数方法很容易证明这一结论。公元3世纪,我国著名数学家刘徽从几何上也证明了这一结论。

不难证明,如果上述m,n(m>n),是互质的奇数,那么用《九章算术》中的法则可以求出所有两两互质的整勾股数组。这也是我们中国古代数学家的一项杰出成就。

无论是古埃及人、古巴比伦人还是我们中国人谁最先发现了勾股定理,我们的先人在不同的时期、不同的地点发现的这同一性质,显然不仅仅是哪一个民族的私有财产而是我们全人类的共同财富.(引用此页面请注明来自“数学专题资源网”)

范文五:勾股定理的发现 投稿:钟洱洲

勾股定理(又叫「毕氏定理」)说:「在一个直角三角形中,斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和。」据考证,人类对这条定理的认识,少说也超过 4000 年!又据记载,现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明!

我觉得,证明多,固然是表示这个定理十分重要,因而有很多人对它作出研究;但证明多,同时令人眼花缭乱,亦未能够一针见血地反映出定理本身和证明中的数学意义。故此,我在这篇文章中,为大家选出了 7 个我认为重要的证明,和大家一起分析和欣赏这些证明的特色,与及认识它们的历史背境。

证明一

图一

在图一中,D ABC 为一直角三角形,其中 Ð A 为直角。我们在边 AB、BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。过 A 点画一直线 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L,交 BC 於 M。不难证明,D FBC 全等於 D ABD(S.A.S.)。所以正方形 ABFG 的面积 = 2 ´ D FBC 的面积 = 2 ´ D ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积。类似地,正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积。即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积,亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此证实了勾股定理。

这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此,它更具体地解释了,「两条直角边边长平方之和」的几何意义,这就是以 ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分!

这个证明的另一个重要意义,是在於它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。

欧几里得(Euclid of Alexandria)约生於公元前 325 年,卒於约公元前 265 年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作,并完成了著作《几何原本》。《几何原本》是一部划时代的著作,它收集了过去人类对数学的知识,并利用公理法建立起演绎体系,对后世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题 47,就记载著以上的一个对勾股定理的证明。

证明二

图二

图二中,我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内,留意大正方形中间的浅黄色部分,亦都是一个正方形。设直角三角形的斜边长度为 c,其余两边的长度为 a 和 b,则由於大正方形的面积应该等於 4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和,所以我们有

(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2

展开得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

化简得 a2 + b2 = c2

由此得知勾股定理成立。

证明二可以算是一个非常直接了当的证明。最有趣的是,如果我们将图中的直角三角形翻转,拼成以下的图三,我们依然可以利用相类似的手法去证明勾股定理,方法如下:

图三

由面积计算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b - a)2

展开得 = 2ab + b2 - 2ab + a2

化简得 c2 = a2 + b2(定理得证)

图三的另一个重要意义是,这证明最先是由一个中国人提出的!据记载,这是出自三国时代(即约公元 3 世纪的时候)吴国的赵爽。赵爽为《周髀算经》作注释时,在书中加入了一幅他称为「勾股圆方图」(或「弦图」)的插图,亦即是上面图三的图形了。

证明三

图四

图四一共画出了两个绿色的全等的直角三角形和一个浅黄色的等腰直角三角形。不难看出,整个图就变成一个梯形。利用梯形面积公式,我们得到∶

1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2

展开得 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2

化简得 a2 + b2 = c2(定理得证)

有一些书本对证明三十分推祟,这是由於这个证明是出自一位美国总统之手!

在 1881 年,加菲(James A. Garfield; 1831 - 1881)当选成为美国第 20 任总统,可惜在当选后 5 个月,就遭行刺身亡。至於勾股定理的有关证明,是他在 1876 年提出的。

我个人觉得证明三并没有甚麼优胜之处,它其实和证明二一样,只不过它将证明二中的图形切开一半罢了!更何况,我不觉得梯形面积公式比正方形面积公式简单!

又,如果从一个老师的角度来看,证明二和证明三都有一个共同的缺点,它就是需要到恒等式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 了。虽然这个恒等式一般都包括在中二的课程之中,但有很多学生都未能完全掌握,由於以上两个证明都使用了它,往往在教学上会出现学生不明白和跟不上等问题。

证明四

(a) (b) (c)

图五

证明四是这样做的:如图五(a),我们先画一个直角三角形,然后在最短的直角边旁向三角形那一边加上一个正方形,为了清楚起见,以红色表示。又在另一条直角边下面加上另一个正方形,以蓝色表示。接著,以斜边的长度画一个正方形,如图五(b)。我们打算证明红色和蓝色两个正方形面积之和,刚好等於以斜边画出来的正方形面积。

留意在图五(b)中,当加入斜边的正方形后,红色和蓝色有部分的地方超出了斜边正方形的范围。现在我将超出范围的部分分别以黄色、紫色和绿色表示出来。同时,在斜边正方形内,却有一些部分未曾填上颜色。现在依照图五(c)的方法,将超出范围的三角形,移入未有填色的地方。我们发现,超出范围的部分刚好填满未曾填色的地方!由此我们发现,图五(a)中,红色和蓝色两部分面积之和,必定等於图五(c)中斜边正方形的面积。由此,我们就证实了勾股定理。

这个证明是由三国时代魏国的数学家刘徽所提出的。在魏景元四年(即公元 263 年),刘徽为古籍《九章算术》作注释。在注释中,他画了一幅像图五(b)中的图形来证明勾股定理。由於他在图中以「青出」、「朱出」表示黄、紫、绿三个部分,又以「青入」、「朱入」解释如何将斜边正方形的空白部分填满,所以后世数学家都称这图为「青朱入出图」。亦有人用「出入相补」这一词来表示这个证明的原理。

在历史上,以「出入相补」的原理证明勾股定理的,不只刘徽一人,例如在印度、在阿拉伯世界、甚至乎在欧洲,都有出现过类似的证明,只不过他们所绘的图,在外表上,或许会和刘徽的图有些少分别。下面的图六,就是将图五(b)和图五(c)两图结合出来的。留意我经已将小正方形重新画在三角形的外面。看一看图六,我们曾经见过类似的图形吗?

图六

其实图六不就是图一吗?它只不过是将图一从另一个角度画出罢了。当然,当中分割正方形的方法就有所不同。

顺带一提,证明四比之前的证明有一个很明显的分别,证明四没有计算的部分,整个证明就是单靠移动几块图形而得出。我不知道大家是否接受这些没有任何计算步骤的「证明」,不过,我自己就非常喜欢这些「无字证明」了。

图七

在多种「无字证明」中,我最喜欢的有两个。图七是其中之一。做法是将一条垂直线和一条水平线,将较大直角边的正方形分成 4 分。之后依照图七中的颜色,将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中,便可完成定理的证明。

事实上,以类似的「拼图」方式所做的证明非常之多,但在这裏就未有打算将它们一一尽录了。

另一个「无字证明」,可以算是最巧妙和最简单的,方法如下:

证明五

(a) (b)

图八

图八(a)和图二一样,都是在一个大正方形中,放置了4个直角三角形。留意图中浅黄色部分的面积等於 c2。现在我们将图八(a)中的 4 个直角三角形移位,成为图八(b)。明显,图八(b)中两个浅黄色正方形的面积之和应该是 a2 + b2。但由於(a)、(b)两图中的大正方形不变,4 个直角三角形亦相等,所以余下两个

浅黄色部的面积亦应该相等,因此我们就得到 a2 + b2 = c2,亦即是证明了勾股定理。

对於这个证明的出处,有很多说法:有人说是出自中国古代的数学书;有人相信当年毕达哥拉斯就是做出了这个证明,因而宰杀了一百头牛来庆祝。总之,我觉得这是众多证明之中,最简单和最快的一个证明了。

不要看轻这个证明,它其实包含著另一个意义,并不是每一个人都容易察觉的。我现在将上面两个图「压扁」,成为图九:

(a) (b)

图九

图九(a)中间的浅黄色部分是一个平行四边形,它的面积可以用以下算式求得:mn sin(a + b),其中 m 和 n 分别是两个直角三角形斜边的长度。而图九(b)中的浅黄色部分是两个长方形,其面积之和是:(m cos a)(n sin b) + (m sin a)(n cos b)。正如上面一样,(a)、(b)两图浅黄色部分的面积是相等的,所以将两式结合并消去共有的倍数,我们得:sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a,这就是三角学中最重要的复角公式!原来勾股定理和这条复角公式是来自相同的证明的!

在证明二中,当介绍完展开 (a + b)2 的方法之后,我提出了赵爽的「弦图」,这是一个展开 (a - b)2 的方法。而证明五亦有一个相似的情况,在这裏,我们除了一个类似 (a + b) 的「无字证明」外,我们亦有一个类似 (a - b) 的「无字证明」。这方法是由印度数学家婆什迦罗(Bhaskara; 1114 - 1185)提出的,见图十。

(a) (b)

图十

证明六

图十一

图十一中, 我们将中间的直角三角形 ABC 以 CD 分成两部分,其中 Ð C 为直角,D 位於 AB 之上并且 CD ^ AB。设 a = CB,b = AC,c = AB,x = BD,

y = AD。留意图中的三个三角形都是互相相似的,并且 D DBC ~ D CBA ~ D DCA,所以

= 和 =

由此得 a2 = cx 和 b2 = cy

将两式结合,得 a2 + b2 = cx + cy = c(x + y) = c2。定理得证。

证明六可以说是很特别的,因为它是本文所有证明中,唯一一个证明没有使用到面积的概念。我相信在一些旧版的教科书中,也曾使用过证明六作为勾股定理的证明。不过由於这个证明需要相似三角形的概念,而且又要将两个三角形翻来覆去,相当复杂,到今天已很少教科书采用,似乎已被人们日渐淡忘了!

可是,如果大家细心地想想,又会发现这个证明其实和证明一(即欧几里得的证明)没有分别!虽然这个证明没有提及面积,但 a2 = cx 其实就是表示 BC 上正方形的面积等於由 AB 和 BD 两边所组成的长方形的面积,这亦即是图一中黄色的部分。类似地,b2 = cy 亦即是图一中深绿色的部分。由此看来,两个证明都是依据相同的原理做出来的!

证明七

(a) (b) (c)

图十二

在图十二(a)中,我们暂时未知道三个正方形面积之间有甚麼直接的关系,但由於两个相似图形面积之比等於它们对应边之比的平方,而任何正方形都相似,所以我们知道面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2。

不过,细心地想想就会发现,上面的推论中,「正方形」的要求是多余的,其实只要是一个相似的图形,例如图十二(b)中的半圆,或者是图十二(c)中的古怪形状,只要它们互相相似,那麼面积 I : 面积 II : 面积 III 就必等於 a2 : b2 : c2了!

在芸芸众多的相似图形中,最有用的,莫过於与原本三角形相似的直角三角形了。

(a) (b)

图十三

在图十三(a)中,我在中间的直角三角形三边上分别画上三个和中间三角形相似的直角三角形。留意:第 III 部分其实和原本三角形一样大,所以面积亦相等;如果我们从三角形直角的顶点引一条垂直线至斜边,将中间的三角形分成两分,那麼我们会发现图十三(a)的面积 I 刚好等於中间三角形左边的面积,而面积 II 亦刚好等於右边的面积。由图十三(b)可以知道:面积 I + 面积 II = 面积 III。与此同时,由於面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2,所以 a2 + b2 = c2。

七个证明之中,我认为这一个的布局最为巧妙,所用的数学技巧亦精彩。可惜对一个初中学生而言,这个证明就比较难掌握了。

我不太清楚这个证明的出处。我第一次认识这个证明,是在大学时候,一位同学从图书馆看到这个证明后告诉我的。由於印象深刻,所以到了今天仍依然记忆犹新。

欧几里得《几何原本》的第六卷命题 31 是这样写的:「在直角三角形中,对直角的边上所作的图形等於夹直角边上所作与前图相似且有相似位置的二图形之和。」我估计,相信想出证明七的人,应该曾经参考过这一个命题。

2001 年 8 月 13 日

2002 年 5 月 27 日(加添证明六的注释)

子吉注曰:2001 年 6 月,本人获教育署数学组之邀请,在一个就著新数学课程而举办的研讨会中,以「勾股定理证明评鉴」为题,发表了约半小时的演讲。本文就是依照当日的讲稿改写而成的。在演讲中,亦有使用演示软件辅助讲解,读者如对该简报档有兴趣,可按下面的连结下载。

范文六:1勾股定理 投稿:史繾繿

第一章.勾股定理

&1 探索勾股定理

一:已知两边求第三边:

1、在△ABC中,∠C=90 ,∠A,∠B,∠C,所对应的边分别为a,b,c. (1)若a=3cm,b=4cm,则c=( )cm (2)若a=12cm,c=13cm,则b=( )cm (3)c=61cm,a=60cm,b=( )cm

(4)a:b=3:4,c=15cm,a=( )cm,b=( )cm

22

(5)若a = b,c = m, a = ( ) (6)若c = 2,a2 + b2 + c2 =( )

2、 (1)等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则底边上的高为( ),此三角形的面积为( ),腰上的高为( )。

(2)一个等腰三角形的面积是12平方厘米,底边上的高为4厘米.则这个等腰三角形各边的长为( )

(3)一个等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是5cm.则这个 三角形各边的长为( )面积为( )

3、一个长为10cm的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8cm,如果梯子的顶端下滑1cm,则底端向外滑动( )cm.

4、一直角三角形的两边长为3,4,则第三边的平方为( ) A:25 B:7 C:25或7 D:9

5、在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12.则△ABC的周长是( )

A;42 B;32 c42或32 D:37或33

6、如图所示,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树

的树梢,问小鸟至少要飞行多少米?

7、有一辆装满货物的卡车,高2.5米,宽1.6米,要开进如图的上边是半圆下边是长方形的桥洞,半圆的直径为2米,长方形的另一条边长为2.3米,(1)此辆卡车能否通过此桥洞,试说明你的理由,(2)为了适应车流量的增加想把桥洞改为双行道,且要使宽为

1.2米,高为2.8米的卡车能安全通过,那么次桥洞的宽至少应增加到多少米?

8、如图所示的是一段楼梯,高BC是3m,斜边AB是5m。如果

楼梯上铺地毯,那么地毯至少需要多长?

9、如图,是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中标出的尺寸(单位:mm)计算两圆孔中心A和B的距离为( )

10、如图,在一棵树的10米高B处有两只猴子,其中一只猴子爬

下树走到离树20米处的池塘A处,另一只猴子爬到树顶后直接跃向池塘A处,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高? A

11、如图,将插好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆从旗顶到地面的高度为320 cm,在无风的天气里,

彩旗自然下垂,如图(2)所示,求彩旗自然下垂时

最低处离地面的高度h,彩旗完全展平时的尺寸图为

图(1)的长方形。

(1)

12、小明的叔叔家承包了一个矩形的养鱼池,已知

(2)

其面积48平方米,其对角线的长为10米,为建起

栅栏,要计算矩形养鱼池的周长,你能帮小明算一算吗?

13、(06安徽),如图直线L过正方形ABCD的顶点B,点A,C到直线L的距离分别是1和2,则正方形的边长

是( )

L

14、(09浙江)如图1

图,它是由四个全等的直角三角形围成的。若AC=6,将四个直角三角形中边长为6

倍,得到图2所示的“数学风车”,则,这个风车的外围周长是( )

二、三面积之间的关系: 1、如图,三个正方形中两个的面积分别为S1=169,S2=144 S 3

=( )

A、50 B、25 C、100 D、30

2、如图所示,正方形的面积分别为

S1,S2,100,那么S1,S2到的关系( )。

A、S1+S2=100 B、S12+S22=100

C、S1+S2<100 D、 S1+S2>100 3、如图,美丽的勾股树中,所有的四边

形都是正方形,所有的三角形都是直角三

角形,其中最大的正方形边长为了13厘

米,则A、B、C、D的面积之和为( )

平方厘米。

4、如图,分别以直角三角形ABC的三边AB,BC,CA为直线向外 A 作半圆,设直线AB左边阴影部分的面积为S1,右边阴影部分 面积和为S2 ,则( )

A;S1 = S2 B;S1 < S2

C:S1 > S2 D:无法确定 5、斜边为15,一条直角边长为12的直角三角形面积为( ) 6、如图,阴影部分是一个正方形,则此正方形的面积为( )

7、如图,△ABC是等腰直角三角形,若斜边AB=m,则正方形BCDE的面积是( )。

A、 m B、 m/2 C、㎡ D、㎡/2

B

C

8、

若两个小正方形的面积分别为3和6,则小长方形的对角线

AB的长为( )。

A、3 B、6 C、9 D、18

9、(1)分别以直角三角形ABC的三边为边长向外作正三角形,试探索三个正三角形面积间的关系。

(2)以直角三角形ABC

的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形,若斜边AB=3,则这三个等腰直角三角形的面积之和是多少。

10、沈阳市某中学举办校园文化艺术节,小颖设计了同学们喜欢的图案《我的宝贝》,图案的一部分是以斜边长为12厘米的等腰直角三角形的各边为直径所作的半圆(如图),则图中影阴部分的面积为( )。

11、(08,陕西)如图梯形ABCD中,AB//DC, ∠ADC+∠BCD = 90°,DC=2AB,分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3 ,则S1、S2、S3之间的关系是( )

三、等积问题。

D

C

1、直角三角形两条直角边的长分别为5和12,则它斜边上的高是( )。 A、12cm B、8.5 C、30/13 D、60/13

2、在R t△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AC=3,AB=5,则AD的长为( )。 A、5/9 B、5 C、16/5 D、9/5

3、在△ABC中,BC边上的高h1=6,AC边上的高h2=4,AB边上的高h3=3,那么a、b、c三边的比为( )。 A、1:2:3 B、2:3:4 C、6:4:3 D、不能确定

4、等边三角形的边长为12cm,它的一边上任意一点到其它两边的距离之和

为( ) 5、(05、浙江)在直线L上依次排放着7个正方形如图所示,已知斜放置的3个正方形的面积分别为1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次为S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3

四、折叠问题

1、如图,把长方形沿AE折叠使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求FC和DE的长?

2、如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6cm, BC=8cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,求剩余部分CD的长?

3、如图,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落

在BC边上F点处,已知CE=3cm,AB=8cm,则图中阴影部分的面积为多少平方厘米?

E

E

4、(变式训练):有一块直角三角板纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,试求CF的长?

5、如图,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,若将该矩形折叠,使点C与点A重合,则折痕EF的长为( ) A: 3.74 B: 3.75 C: 3.76 D: 3.77 6、(05、浙江)矩形纸片ABCD中AD=4cm,AB=10cm,按如A图所示折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则DE=( )cm.

B

C'

&2.能得到直角三角形吗

1、在下列各组数中,为勾股数的是( ) A、7, 12, 13 B、15, 22, 25

C、5,12,13 D、1.5,2.5,4

2、下列说法错误的是 ( )

A、在△ABC中,若∠C=∠A-∠B,则△ABC是直角三角形.

B、在△ABC中,若∠A :∠B:∠C = 5:2:3,则△ABC是直角三角形 C、在△ABC中,若a:b:c = 2:2:3, 则△ABC是直角三角形. D、在△ABC中,若a=3/5c,b=4/5c, 则△ABC是直角三角形 3、、把一个直角三角形的三边长都扩大a倍(a为正整数)后,得到的三角形是

( )。

4、△ABC中,a, b, c分别为∠A 、∠B、∠C对的边,下列命题结论错误的是( ) A、如果a+ b= c,那么∠C= 90

2

2

2

B如果∠C= 90,那么a+ b= c

0222

C、如果(a + b)2+ (a – b)2= c2,那么∠C= 900 D、如果(a + b)(a – b)= c2,那么∠A= 900

5、在△ABC中,下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( ) A、b2 = a2 - c2 B、a2:b2:c2=1:3:2 C、∠A=∠B-∠C D、∠A :∠B:∠C=3:4:5

6、三角形的三边是(1)1、2、5;(2)1/3、1/4、1/5 (3)0.3 、0.4、0.5(4)32、42、52 (5)9、12、15是直角三角形的有( )

7、△ABC的三边a,b,c满足(a-b)(a2+ b2- c2)=0,则△ABC是( ) A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、以上情况都有可能

8、有一个三角形形状的广场,三边长分别为70米, 240米,250米,则这个

广场的面积为( )

9、已知︱X-12︱+︱Z-13︱和(Y2-10Y+25)互为相反数,则以x,y,z为三

边的三角形是( )。

10、如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为 BC上

一点,且EC=1/4BC,猜想AF与EF的关系并说明理由。

11、如图,这是一块地的平面图,其中CD=3cm,AD=4cm,AB=13cm,BC=12cm,∠ADC=900,求这块地的面积。

12、(1)在四边形ABCD中,如图AB⊥BC,AD⊥DC,∠A=135°,AB=1,AD=2,求BC

C

的长

D

B

(2)、如图,D是△ABC边BC上的一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,试求CD

的长。

C

13、已知a, b, c为△ABC的三边,且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△

ABC的形状。

14、已知三角形的三边长分别为m2-1,2m,m2+1(m为大于1的自然数),是判断这个三角形的形状。

15、设一个直角三角形的两条直角边为a,b,斜边为C,斜边上的高为h,以c+h,

a+b,h为三边的三角形的形状为( )三角形。

&3、蚂蚁怎样走最近

一,确定几何体上的最短距离。

1、一只鸭子要从边长分别为8m和12m的长方形水池的 一角A游到水池的另一边中点B,则它的最短 路程为( )。

2、如图,某人欲横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离了欲到达点B为240米,已知他在水中游了510米,求河的宽度。

A

B

A

3、一个油桶底面直径为24厘米,高为32厘米,则油桶内能容下的最长木棍为( )

A、20厘米 B、50厘米 C、 40厘米 D、45厘米

4、如图是一高为4厘米,底面半径为6厘米的圆锥,现有一蚂蚁在圆锥的顶部A处,它想吃到圆锥底部B处的食物,它所需爬行的最短路程是多少。

5、童话中有“海岛探宝”的故事,据说有一位老人到海岛上探宝,登陆后往东走8千米,又往北走2千米,遇到障碍又往西走3千米,再折向北走到6千米处往东一拐,走1千米后找到宝藏。问:登陆点A到宝藏埋藏处B的直线距离是多少千米?

A

6、一个透明的圆柱状玻璃杯,底面半径为10厘米,高为15厘米,一根吸管放在玻璃杯中,吸管露出杯口外5厘米,则吸管长的范围为( ) 7、有一圆柱形油罐,如图,要从A点环绕油罐建梯子,正好到A点的正上方B点,问梯子最短需要多长?已知油罐的地面周长是12m,高AB时5m。

8、如图,有一个圆柱,它的高等于12cm,底面半径等于3cm,

1 B

2

L

B

A在圆柱下面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A点相对的B点处的食物,需要爬行的最短路程是多少。(∏取3)

9、如图,小明家一个标着刻度的圆柱形玻璃容器,高为18cm,底面周

长为60cm,一天,小明看到一只蚂蚁在一侧距下底1cm的A处,与点正对的圆柱形容器外侧距下底面17cm的B处有一饭粒,试着求出蚂蚁爬到B处所走最短距离。

10、如图所示,一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点,那么沿哪条路最近,最短路程是多少?已知长方体的长2厘米,宽为1厘米,高为4厘米。

B

11、如图一只蚂蚁如果要沿长方体的表面从A点爬到B点,那么沿哪条路爬最近?你能帮它找出来吗?(这个长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B距点C为5cm)

20 10

12、如图所示,有一只长方形的纸盒,长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm,现有一根13cm的塑料管,该纸盒能否装下这只塑料棒,试说明理由。

13、有一个长、宽、高分别为12cm、4cm、3cm的长

方体铁盒,铁盒内能放入的最长的木棒长可为多少

B D C

厘米?

14、如图所示是一个二级台阶,每一级的长、宽、高分别

为60cm,30cm,10cm,A和B是这个台阶两个相对的端点,

在A点有一蚂蚁想到B点吃可口的食物,请你帮助小蚂蚁

计算一下,沿着台阶从A到B最短爬行的路程是多少。

B

15、如图是一个三级台阶,每一级的长、宽、高分别为

55dm、10dm、6dm,A点上有一只蚂蚁,想到C点去吃可口食物,请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿台阶面爬到C点,最短路程是多长?

16、如图,一条清水河的同旁有两个村庄A和B,到河岸L的距离分别为3千米和5千米,两个村的水平距离CD=6千米。问:要在河边修一个水泵站向两个村供水。需要的水管最少应为( )千米。

L

答案 :勾股定理

一、 已知两边求第三边:

§1节 1.⑴ 5, (2)5, (3)11, (4)9、12, (5)m/2,

(6) 8 2.(1)12、60、 120/13 (2)5厘米、 5厘米、 6厘米 ,(3)6.25厘米 、 6.25厘米、 7.5厘米、 18.75cm

3.(-6)cm 4、C 5、C 6、10m 7、(1)能(2)2.6m 8、7m 9、100mm 10、15米 11、170cm 12、(1)3(2)28米 13、5214、76

二、 三面积之间关系:1、B 2、A 3、169 4、A 5、54 6、64 7、D 8、A 9、(1)提示:SⅠ+ SⅢ=SⅡ (2) 10、36cm 11、S1+ S3=S2

三、 等积问题:1、D 2、D 3、B 4、6cm 5、4

四、折叠问题:1、FC=4cm, DE=5cm 2、CD=7/4cm 3、6cm

4、CF=3cm 5、B 6、5.8

§2节 1、C 2、C 3、直角三角形 4、C 5、D 6、⑶⑷⑸

7、D 8、8400 m 9直角三角形 10垂直 11、24 cm

12、9 13、直角 三角形 14、直角三角形 15、直角

§3节 1、10米 2、450米 3、C 4、5厘米 5、10千米 6、30cm 7、13m 8、15cm 9、34cm 10、5cm 11、25cm

12、能 13、13cm 14、100cm 15、73dm 16、10

222 292

范文七:勾股定理1 投稿:胡兎兏

八年级下册第17章《勾股定理》单元测试卷

一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)

1.(3分)一直角三角形的斜边长比一直角边长大2,另一直角边长为6,则斜边长为( )

A. 4 B. 8 C. 10 D. 12

分析: 利用勾股定理即可解答.

解答: 解:设斜边长为x,则一直角边长为x﹣2,

根据勾股定理列出方程:6+(x﹣2)=x,

解得x=10,

故选C.

点评: 本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力.

2.(3分)小丰的妈妈买了一部29英寸(74cm)的电视机,下列对29英寸的说法中正确的是( )

A. 小丰认为指的是屏幕的长度

B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度

C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长

D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度

考点: 勾股定理的应用.

分析: 根据电视机的习惯表示方法解答.

解答: 解:根据29英寸指的是荧屏对角线的长度可知售货员的说法是正确的. 故选D.

点评: 本题考查了勾股定理的应用,解题时了解一个常识:通常所说的电视机的英寸指的是荧屏对角线的长度.

3.(3分)如图中字母A所代表的正方形的面积为( )

222

A. 4 B. 8 C. 16 D. 64

考点: 勾股定理.

分析: 根据勾股定理的几何意义解答.

解答: 解:根据勾股定理以及正方形的面积公式知:

以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积, 所以A=289﹣225=64.

故选D.

点评: 能够运用勾股定理发现并证明结论:以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积.运用结论可以迅速解题,节省时间.

4.(3分)将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是( )

A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形

考点: 相似三角形的性质.

分析: 根据三组对应边的比相等的三角形相似,依据相似三角形的性质就可以求解. 解答: 解:将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形与原三角形相似,因而得到的三角形是直角三角形.

故选C.

点评: 本题主要考查相似三角形的判定以及性质.

5.(3分)一直角三角形的一条直角边长是7cm,另一条直角边与斜边长的和是49cm,则斜边的长( )

A. 18cm B. 20cm C. 24cm D. 25cm

考点: 勾股定理.

分析: 设另一条直角边是a,斜边是c.根据另一条直角边与斜边长的和是49cm,以及勾股定理就可以列出方程组,即可求解.

解答: 解:设另一条直角边是a,斜边是c.根据题意,得,联立解方程组,得.故选D.

点评: 注意根据已知条件结合勾股定理列方程求解.解方程组的方法可以把①方程代入②方程得到c﹣a=1,再联立解方程组.

6.(3分)适合下列条件的△ABC中,直角三角形的个数为( )

①a=,b=,c=②a=6,∠A=45°;③∠A=32°,∠B=58°;④a=7,b=24,c=25 ⑤a=2,b=2,c=4

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

考点: 勾股定理的逆定理;三角形内角和定理.

分析: 计算出三角形的角利用定义判定或在知道边的情况下利用勾股定理的逆定理判定则可.

解答: 解:①,根据勾股定理的逆定理不是直角三角形,故不是;

②a=6,∠A=45不是成为直角三角形的必要条件,故不是;

③∠A=32°,∠B=58°则第三个角度数是90°,故是;

222④7+24=25,根据勾股定理的逆定理是直角三角形,故是;

222⑤2+2≠4,根据勾股定理的逆定理不是直角三角形,故不是.

故选A.

点评: 本题考查了直角三角形的定义和勾股定理的逆定理,在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断.

7.(3分)在△ABC中,若a=n﹣1,b=2n,c=n+1,则△ABC是( )

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形

考点: 勾股定理的逆定理;完全平方公式.

分析: 根据勾股定理的逆定理:如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个是直角三角形判定则可.如果有这种关系,这个就是直角三角形.

22222解答: 解:∵(n﹣1)+(2n)=(n+1),

∴三角形为直角三角形,

故选D.

点评: 本题利用了勾股定理的逆定理判定直角三角形,即已知△ABC的三边满足a+b=c,则△ABC是直角三角形.

8.(3分)直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍,这个三角形有一个锐角是( )

A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°

考点: 勾股定理.

分析: 根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍,以及勾股定理可以列出两个关系式,直接解答即可.

解答: 解:设直角三角形的两直角边是a、b,斜边是c.

2222根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍得到:2ab=c,根据勾股定理得到:a+b=c,

22因而a+b=2ab,

222即:a+b﹣2ab=0,(a﹣b)=0

∴a=b,则这个三角形是等腰直角三角形,

因而这个三角形的锐角是45°.

故选C.

点评: 已知直角三角形的边长问题,不要忘记三边的长,满足勾股定理.

9.(3分)已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为( )

22222

A. 3cm B. 4cm C. 6cm D. 12cm

考点: 勾股定理;翻折变换(折叠问题).

分析: 根据折叠的条件可得:BE=DE,在直角△ABE中,利用勾股定理就可以求解. 解答: 解:将此长方形折叠,使点B与点D重合,∴BE=ED.

2222

∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE.

∴BE=9﹣AE,

222根据勾股定理可知AB+AE=BE.

解得AE=4.

∴△ABE的面积为3×4÷2=6.故选C.

点评: 本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

10.(3分)已知,如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距( )

A. 25海里 B. 30海里 C. 35海里 D. 40海里

考点: 勾股定理的应用;方向角.

分析: 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角.然后根据路程=速度×时间,得两条船分别走了32,24.再根据勾股定理,即可求得两条船之间的距离.

解答: 解:

∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向,

∴∠BAC=90°,

两小时后,两艘船分别行驶了16×2=32,12×2=24海里, 根据勾股定理得:

故选D.

=40(海里).

点评: 熟练运用勾股定理进行计算,基础知识,比较简单.

二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)

11.(3分)(2008•湖州)利用图(1)或图(2)两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理,这个定理称为 勾股定理 ,该定理的结论其数学表达式是 222 .

考点: 勾股定理的证明.

专题: 证明题.

分析: 通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系,证明勾股定理.

解答: 解:用图(2)较简单,

2如图正方形的面积=(a+b),

用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c,

即(a+b)=4×ab+c化简得a+b=c.

这个定理称为 勾股定理.

222故答案为:勾股定理、a+b=c.

点评: 本题是用数形结合来证明勾股定理,锻炼了同学们的数形结合的思想方法.

12.(3分)如图,等腰△ABC的底边BC为16,底边上的高AD为6,则腰长AB的长为.

222222

考点: 勾股定理;等腰三角形的性质.

分析: 根据等腰三角形的三线合一得BD=8,再根据勾股定理即可求出AB的长. 解答: 解:∵等腰△ABC的底边BC为16,底边上的高AD为6,

∴BD=8,AB===10.

点评: 注意等腰三角形的三线合一,熟练运用勾股定理.

13.(3分)如图,某人欲横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离欲到达点B200m,结果他在水中实际游了520m,求该河流的宽度为 480 m.

考点: 勾股定理的应用.

专题: 应用题.

分析: 从实际问题中找出直角三角形,利用勾股定理解答.

解答: 解:根据图中数据,运用勾股定理求得AB===480米. 点评: 考查了勾股定理的应用,是实际问题但比较简单.

14.(3分)小华和小红都从同一点O出发,小华向北走了9米到A点,小红向东走了12米到了B点,则AB为 15 米.

考点: 勾股定理的应用.

专题: 应用题.

分析: 根据题意画出图形根据勾股定理解答.

解答: 解:如图,在Rt△AOB中,∠O=90°,AO=9m,OB=12m,

根据勾股定理得AB====15m.

点评: 本题很简单,只要根据题意画出图形即可解答,体现了数形结合的思想.

15.(3分)一个三角形三边满足(a+b)﹣c=2ab,则这个三角形是三角形.

考点: 勾股定理的逆定理.

222分析: 化简等式,可得a+b=c,由勾股定理逆定理,进而可得其为直角三角形.

22222222解答: 解:(a+b)﹣c=2ab,即a+b+2ab﹣c=2ab,所以a+b=c,

则这个三角形为直角三角形.

故答案为:直角.

点评: 考查了勾股定理逆定理的运用,是基础知识比较简单.

16.(3分)木工做一个长方形桌面,量得桌面的长为60cm,宽为32cm,对角线为68cm,这个桌面 合格 (填”合格”或”不合格”).

考点: 勾股定理的应用.

分析: 只要算出桌面的长为60cm,宽为32cm,对角线为68cm是否符合勾股定理即可,根据勾股定理直接解答.

解答: 解:==68cm,故这个桌面合格. 22

点评: 本题考查的是勾股定理在实际中的应用,需要同学们结合实际掌握勾股定理.

17.(3分)直角三角形一直角边为12cm,斜边长为13cm,则它的面积为.

2

考点: 勾股定理.

分析: 根据勾股定理求得其另一直角边的长,再根据面积公式即可求得其面积. 解答: 解:∵直角三角形一直角边为12cm,斜边长为13cm,

∴另一直角边=

∴面积=×5×12=30cm.

点评: 解决本题的关键是根据勾股定理求得另一直角边的长.

18.(3分)如图,一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为20、3、2,A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 25 .

2=5cm,

考点: 平面展开-最短路径问题.

分析: 先将图形平面展开,再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.

解答: 解:如图所示,

∵三级台阶平面展开图为长方形,长为20,宽为(2+3)×3,

∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.

设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x,

由勾股定理得:x=20+[(2+3)×3]=25,

解得:x=25.

故答案为25.

2222

点评: 本题考查了平面展开﹣最短路径问题,用到台阶的平面展开图,只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答.

三、解答题(共46分)

19.(6分)如图,有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上,请问它飞行的最短路程是多少米(先画出示意图,然后再求解).

考点: 勾股定理的应用.

专题: 应用题.

分析: 根据题意画出图形,构造出直角三角形,利用勾股定理求解.

解答: 解:如图所示,过D点作DE⊥AB,垂足为E

∵AB=13,CD=8

又∵BE=CD,DE=BC

∴AE=AB﹣BE=AB﹣CD=13﹣8=5

∴在Rt△ADE中,DE=BC=12

∴AD=AE+DE=12+5=144+25=169

∴AD=13(负值舍去)

答:小鸟飞行的最短路程为13m.

22222

点评: 本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

20.(6分)如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,AB=3,BD=2,DC=1,求AC的值.

2

考点: 勾股定理.

分析: ∵AD⊥BC于D,∴可得到两个直角三角形△ABD和△ADC,可利用勾股定理求得AD

2长,进而求得AC的值.

解答: 解:∵AD⊥BC于D,

∴∠ADB=∠ADC=90°

∵AB=3,BD=2

∴AD=AB﹣BD=5

∵DC=1,

222

∴AC=AD+DC=5+1=6.

2点评: 本题需注意最后求的是AC,所以在计算过程中都保持线段的平方即可.

21.(8分)小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池,已知其面积为48m,其对角线长为10m,为建栅栏,要计算这个矩形鱼池的周长,你能帮助小明算一算吗?

考点: 勾股定理的应用;二元一次方程组的应用;矩形的性质.

专题: 计算题.

分析: 根据矩形的面积公式得到长与宽的积,再根据勾股定理得到长与宽的平方和.联立解方程组求得长与宽的和可.

解答: 解:设矩形的长是a,宽是b,

根据题意,得:

(2)+(1)×2,得(a+b)=196,即a+b=14,

所以矩形的周长是14×2=28m.

点评: 注意根据题意结合勾股定理联立解方程组,只需求得长与宽的和即可.

22.(10分)如图,A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处,以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动,距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.

(1)A城是否受到这次台风的影响?为什么?

(2)若A城受到这次台风影响,那么A城遭受这次台风影响有多长时间?

22222

考点: 勾股定理的应用.

专题: 应用题.

分析: (1)点到直线的线段中垂线段最短,故应由A点向BF作垂线,垂足为C,若AC>200则A城不受影响,否则受影响;

(2)点A到直线BF的长为200千米的点有两点,分别设为D、G,则△ADG是等腰三角形,由于AC⊥BF,则C是DG的中点,

在Rt△ADC中,解出CD的长,则可求DG长,在DG长的范围内都是受台风影响,再根据速度与距离的关系则可求时间.

解答: 解:(1)由A点向BF作垂线,垂足为C,

在Rt△ABC中,∠ABC=30°,AB=320km,则AC=160km,

因为160<200,所以A城要受台风影响;

(2)设BF上点D,DA=200千米,则还有一点G,有

AG=200千米.

因为DA=AG,所以△ADG是等腰三角形,

因为AC⊥BF,所以AC是DG的垂直平分线,CD=GC,

在Rt△ADC中,DA=200千米,AC=160千米,

由勾股定理得,CD=

==120千米,

则DG=2DC=240千米,

遭受台风影响的时间是:t=240÷40=6(小时).

点评: 此题主要考查辅助线在题目中的应用,勾股定理,点到直线的距离及速度与时间的关系等,较为复杂.

四、创新探索题

23.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm.

考点: 平面展开-最短路径问题.

分析: 要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将正方体展开,然后利用两点之间线段最短解答.

解答: 解:如图:

根据题意,如上图所示,最短路径有以下三种情况:

(1)沿AA′,A′C′,C′B′,B′B剪开,得图(1)AB′=AB+BB′=(2+1)+4=25;

2222(2)沿AC,CC′,C′B′,B′D′,D′A′,A′A剪开,得图(2)AB′=AC+B′C=2+(4+1)

2=4+25=29;

2222(3)沿AD,DD′,B′D′,C′B′,C′A′,AA′剪开,得图(3)AB′=AD+B′D=1+(4+2)

2=1+36=37;

2综上所述,最短路径应为(1)所示,所以AB′=25,即AB′=5cm.

点评: 此题考查最短路径问题,将长方体从不同角度展开,是解决此类问题的关键,注意不要漏解.

22222

11

范文八:勾股定理8 投稿:冯肟肠

1.(2014春•恩施市校级期末)如图,是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积为13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边为a、b,则a+b的值等于 .

2.如图所示,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D.若AB=3,BC=5,则DC的长度是 .

3.(2013春•霍邱县校级期中)已知一直角三角形的木板,三边的平方和为1800,则斜边长为 .

4.如图在一块直角三角形地被分成BD分成两块,其中斜边AB长为13m,一条直角边BC长为

5m,∠BDC=45°,要在△ABD内种草皮,已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要 元.

22 5.如图,D点在Rt△ABC的直角边上BC上,且BD=2,DC=3,若AB=m,AD=n,那么m﹣n=

6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD、BE是中线,

AD=,BE=,求AB的长.

7.古诗赞美荷花:“竹色溪下绿,荷在镜里香.”平静的湖面上,一朵荷花婷婷玉立,露出水面10cm,忽见它随风倾斜,花

朵恰好浸入水面.仔细观察,发现荷花偏离原地40cm(如图),请问水深多少?

8.如图,在两面墙之间有一个底端在A点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B点;当它靠在另一侧墙上时,

梯子的顶端在D点,已知∠BAC=60°,∠DAE=45°,点D到地面的垂直距离DE=8cm,求点B到地面的距离.

9.如图所示,在四边形机器零件ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=10,CD=6,求这个四边形的面积(提示:在直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半).

10.如图是我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”,它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方2形.如果大正方形的面积是12,小正方形的面积是2,直角三角形的两直角边分别是a和b,求(a+b)的值.

11.如图,有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高为8m的小树树梢上叫它,它立刻

以2m/s的速度飞向小树树梢,那么这只小鸟至少要几秒才能飞到伙伴身旁?

12.如图,已知:大风把一颗大树刮断,折断的一端恰好落在地面上的A处,量得BC=3m,AC=4m,试计算这棵大树的

高度.

13.(2014•广东模拟)如图,小丽想知道自家门前小河的宽度,于是她按以下办法测出了如下数据:小丽在河岸边选取点

A,在点A的对岸选取一个参照点C,测得∠CAD=30°;小丽沿岸向前走30m选取点B,并测得∠CBD=60°.请根据以上数据,用你所学的数学知识,帮小丽计算小河的宽度.

14.如图,圆上一点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,求阴影部分的面积.

15.如图,已知在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,D是BC中点,E是射线BA上一动点,直线DE交射线CA于F,当

DF=DC时,求AF的值.

16.如图所示,在四边形ABCD中,

AB=2

17.今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何;意思是一根竹子,原来高一丈,虫伤之后,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处与原竹子底部距离三尺,问原处还有多高的竹子?

18.一轮船从港口A出发,以16km/h的速度朝东北方向航行.与此同时,另一轮船从港口A出发以12km/h的速度朝东南方向航行.问:它们航行多少小时后,两轮船相距30km?

19.如图,“家乐福”超市的楼梯高9米,楼梯长15米,经理准备在元旦购物高峰将台阶铺上地毯,请你帮助计算需要购买多少米地毯.

,BC=2,CD=1,AD=5,且∠C=90°,求四边形ABCD的面积.

20.已知,一面墙AB高为4.8m,一架梯子CD架在墙上,梯子在地面上的一端C到墙的距离为3米,另一端D到墙头A

还有0.8米. (1)求梯子CD的长度;(2)如果要将梯子夹到墙头,则需要将梯子C端沿地面向墙的方向平移多少米?

21.在△ABC中,∠ACB﹣∠B=90°,∠BAC的角平分线交BC于E,△BAC的外角平分线交BC于F,证明:AE=AF.

22.如图,在四边形ABCD中,AB=12cm,BC=3cm,CD=4cm,∠C=90°.(1)求BD的长;(2)当AD为多少时,∠ABD=90°?

23.已知:如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,DC=11,D点到AB的距离为2,求BD的长.

24.超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末,小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段,尝试用自己所学的知识检测

车速,观测点设在到公路l的距离为100米的P处.这时,一辆富康轿车由西向东匀速驶来,测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒,并测得∠APO=60°,∠BPO=45°,试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度?(参考数据:=1.41

=1.73)

25.如图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,D为AB边上一点.

(1)求证:△ACE≌△BCD;(2)设AC和DE交于点M,若AD=6,BD=8,求ED与AM的长.

26.(2011春•沙河口区期末)如图,已知AD=4,CD=3,∠ADC=90°,AB=13,BC=12,求四边形ABCD的面积.

27.已知:在四边形ABCD中,∠D=90°,DC=3cm,AD=4cm,AB=12cm,BC=13cm.求四边形ABCD的面积.

28.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=10,CD是射线,∠BCF=60°,点D在AB上,AF、BE分别垂直于CD

(或延长线)于F、E,求EF的长.

29.如图,已知AB=4,BC=12,CD=13,DA=3,AB⊥AD.判断BC⊥BD吗?简述你的理由.

30.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,点D是斜边AB中点,作DE⊥AB,交直线AC于点E.(1)若∠A=30°,求线段

CE的长;(2)当点E在线段AC上时,设BC=x,CE=y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;(3)若CE=1,求BC的长.

范文九:勾股定理(2) 投稿:韩掸掹

《学生自主与合作学习》导学案----八年级数学下册

学习过程: 【温故知新】

1已知直角三角形的两边长分别为6和8,则第三边长为。 2. 已知等边三角形的边长为

2cm,则它的高为,面积为【新知应用】

在下面的数轴上分别表示无理数

2

、5、5

【应用与拓展】

1.如图,折叠长方形ABCD的一边AD,点D落在对边BC上的点F处,

已知AB=8,BC=10,求EC的长.

2、已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC, AB⊥AC,

∠B=60°,CD=1cm,求BC的长。

3. 如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且点C与点E重合,你能求出CD的长吗?

4. 如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB =∠ECD =90°,D为AB边上一点.求证:AD2 +DB2 =DE2.

5. 如图所示,测得长方体的木块长4 cm,宽3 cm,高4 cm.一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点 A 处,一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处,蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去,所走的路程会最短, 并求最短路径.

6. 如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC,已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x (1)用含x的代数式表示AC+CE的长;

(2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式

的最小值.

范文十:勾股定理2 投稿:胡怦性

课题:3.1勾股定理(2)

班级 姓名 学号 评价

执笔:姚玲芳 审核:陈跃林

学习目标:

1、经历探索勾股定理的过程,发展合情推理的能力,体会数形结合思想

2、经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程,发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地 思考与表达的能力,感受勾股定理的文化价值 学习重点难点:

重点通过综合运用已有知识解决问题的过程,加深对数形结合的思想的认识。

难点:通过拼图验证勾股定理的过程,使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。 学习过程:

一、知识回顾:

1、直角三角形的勾股定理: 2、求下列直角三角形的未知边的长 A

5C

B

12二、

自主探究:

利用拼图验证勾股定理

活动一:用四个全等的直角三角形拼出图1,并思考: 1.拼成的图1中有_______个正方形,___个直角三角形。

2.图中大正方形的边长为_______,小正方形的边长为_______。

3.你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积,列出一个等式,验证勾股定理吗?

活动二:用四个全等的直角三角形拼出图2验证勾股定理。

用四个相同的直角三角形(直角边为a,b,斜边为c构成如图所示的正方形.

图2

活动三:用两个完全相同的直角三角形(直角边为a,b,斜边为c)构成如图

2 2 2

所示的梯形.美国第二十任总统伽菲尔德就由这个图得出:c= a+ b证明勾股定理的。他的证法在数学史上被传为佳话。填空:

(1)梯形的面积=

1

(上底+ )高 2

(2)如图:梯形的上底=a,下底= ,高= 。 (3)由“梯形面积等于三个直角三角形面积之和”可得:

第 1 页 共 6 页

三、典型例题

1、飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000米处,过了25秒,飞机距离女孩头顶5000米处,则飞机的飞行速度是多少?

2、如图,梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根O的距离为3m,梯子的顶端A向外移动到A’,使梯子的底端A’到墙根O的距离等于4m,同时梯子的顶端B下降至B’,求BB’的长(梯子AB的长为5 m)。

3、 如图所示,矩形纸片ABCD的边AB=10,BC=6,E为BC上一点,将矩形纸片沿AE折叠,点B恰落在DC边上的点G处,求BE的长。

课堂练习

1、一个直角三角形的三边分别为3,4,x

2、如右图,AD = 3,AB = 4,BC = 12 3、如图,从电线杆离地面6离电线杆底部有 米。

4、在数轴上作出表示的点。

5、课本p82 页2、3、4

五、课后反思

第 2 页 共 6 页

八年级数学中午作业

班级 姓名 学号 评价

(填空必须画图、写过程) 1、在△ABC中,∠C=90°

(1)若BC=5,AC=12,则AB= ;

(2)若BC=3,AB=5,则AC= ;

2、如图,阴影部分的面积为 ;

3、某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏,它的高为2m,宽为1.5m,现需要在相对的顶点间 用一块木棒加固,木棒的长为 .

4、直角三角形两直角边长分别为5cm,12cm,则斜边上的高为 .

5、若直角三角形的两直角边之比为3:4,斜边长为20㎝,则两直角边分别 为 。

6、一个直角三角形的三边长为3、4和a,则以a为半径的圆的面积是 。

7、一直角三角形的斜边比其中一直角边大2,另一直角边长为6,则斜边长为 ;

8、若等腰三角形的腰为10cm,底边长为16cm,则它的面积为 ;

9、一艘小船早晨8:00从港口出发,它以8海里/时的速度向东航行,1小时后,另一艘小船以12海里/时的速度从港口出发向南航行,上午10:00,两小船相距 海里。

10、已知直角三角形的的两条直角边为6和8,则斜边长为 ; 若两条边长为6和8,则第三条边长为 .

11、一个三角形的三条边长满足(ab)c2ab,则这个三角形的形是

12、如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》,由四个全等的直角三角形和一个小正方形的拼成的大正方形,如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角

2

形的较短边为a,较长边为b,那么(a+b)的值是 .

第 3 页 共 6 页

2

2

执笔:姚玲芳 审核:陈跃林

13、如图,有一透明的圆柱体,它的高为8cm,底面半径为2cm,在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛,它想吃到上底面上与A点相对的内部B点处的苍蝇,距杯子顶端3 cm,需要爬行的最短路径是_______ cm(结果用带根号和π的式子表示).

14、如图AC=5cm,BC=13cm,现将直角边AC沿直线AD

重合, 你能求出CD的长吗?

15、学完勾股定理之后,同学们想利用升旗的绳子、卷尺,测算出学校旗杆的高度.爱动脑筋的小明这样设计了一个方案:将升旗的绳子拉到旗杆底端,并在绳子上打了一个结,然后

将绳子拉到离旗杆底端5米处,发现此时绳子底端距离打结处约1米.请你设法帮小明算出旗杆的高度.

16、已知△ABC中,AB=20,

AC=15,BC边上的高为12,求△ABC的面积。

17、如图,△ABC中, BE

平分∠ABC交AC边于点E,过点E作DE∥BC交AB于点D, (1)求证:△BDE为等腰三角形

(2)若点D为AB中点,AB=6,求线段BC的长

(3)在(2)条件下,若∠BAC=60,动点P从点B出发,以每秒1个单位的速度沿射线

BE运动,请直接写出当△ABP为等腰三角形时t的值。

B

B

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八年级数学家庭作业

班级 姓名 学号 评价

(填空必须画图、写过程)

1、若直角三角形的两直角边长为a、b,且满足

执笔:姚玲芳 审核:陈跃林

,则该直角三角形

的斜边长为 .

2、如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离是 。

C3、如图,某人欲横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离欲到达

点B200m,结果他在水中实际游了520m,求该河流的宽度为_________。

4、把三边分别BC=3,AC=4,AB=5的三角形沿最长边AB翻折成△ABC´,则CC´的长

5、有一个边长为1米正方形的洞口,想用一个圆形盖去盖住这个洞口,则圆形盖半径至少为 米。 6、、 假期中,黄子杰和同学们到某海岛上去探宝旅游,按照探宝图,他们登陆后先往东走8千米,又往北走2千米,遇到障碍后又往西走了3千米,再折向北走了6千米处往东一拐,仅走了1千米就找到宝藏,问登陆

点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米?

A7、如图,钢索斜拉大桥为等腰三角形,支柱高24米,∠B=∠C=30°,E、F分别为BD、CD中点,试求B、C两点之间的距离,钢索AB和AE的长度。(精确到1米)

CFBED

A F8、如图,正方形ABCD的边长为6,F是DC边上的一点,且DF:FC=1∶2,E为BC的中点,连结AE、AF、EF。(1)求△AEF的周长;(2)求△AEF的面积 第 5 页 共 6 页

C

9、勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:

222

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a+b=c. 证明:连结DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b﹣a. ∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°

222

.求证:a+b=c

证明:连结 _________

∵S五边形ACBED=S五边形ACBED=

∴ _________ ∴ .

10、△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AB=2.现将一块三角板的直角顶点放在AB的中点D处,两直角边分别与直线..AC、直线..BC相交于点E、F.我们把DE⊥AC时的位置定为起始位置(如图1),将三角板绕点D顺时针方向旋转一个角度α (0°<α<90°). (1)在旋转过程中,当点E在线段AC上,点F在线段BC上时(如图2), ①试判别△DEF的形状,并说明理由;

②判断四边形ECFD的面积是否发生变化,并说明理由. (2)设直线..ED交直线..BC于点G,在旋转过程中,是否存在点G,使得△EFG为等腰三角形?若存在,求出CG的长,若不存在,说明理由;

A

C备用图1

图2

.又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB

备用图2

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