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万有引力定律的发现

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【专家解析】万有引力定律的发现

【优秀范文】万有引力定律的发现

范文一:万有引力定律的发现[1] 投稿:洪腈腉

万有引力定律的发现

万有引力定律现在大家公认是牛顿发现的,连小学生也知道牛顿在苹果树下休息,看见苹果落地而想到万有引力的故事。但它的发现岂只是看见苹果落地这么简单?

万有引力公式:这个公式与库仑定律有着惊人的相似之处。G为万有引力常量,由英国物理学家卡文迪许首先在实验室测出其大小。在牛顿的时代,一些科学家已经有了万事万物都有引力的想法。而且牛顿和胡克(即发明了显微镜并用显微镜观察到细胞结构的罗伯特虎克)曾经为了万有引力的发现优先权发生过争论,有资料表明,万有引力概念由胡克最先提出,但由于胡克在数学方面的造诣远不如牛顿,不能解释行星的椭圆轨道,而牛顿不仅提出了万有引力和距离的平方成正比,而且圆满的解决了行星的椭圆轨道问题,万有引力的优先发现权自然归属牛顿。

正如牛顿所说他是站在巨人的肩膀上。万有引力发现前的准备开普勒有着不可磨灭的贡献。开普勒是德意志的天文学家,幼年患猩红热导致视力不好,后来有幸结识弟谷,一年后弟谷过世,把他一生的天文观测资料留给了开普勒。在此基础上,开普勒经过20年的计算和整理于1609年发表了行星运动的第一、第二定律。后来又经过十年又发表了行星运动的第三定律。牛顿老年在回忆过去的时候有这样的话:

同年(1666年)我开始把引力与月亮轨道联系起来并找出如何估计一个天体在球体内旋转时用来趋向球面的力的方法。根据开普勒的行星周期与于他们的距离轨道中心的距离的二分之三次方成正比的规律,我得出使行星沿轨道旋转的力必然与他们离旋转中心的距离的平方成反比的结论。从而把使月亮沿轨道旋转所需的力与地球表面的引力相比较发现它

它们符合得很接近。所有这些发生在1665年和1666年两个时疫年内,因为那时正是我创造发明的黄金时期,我对数学和哲学的思考比此后的任何时都候来的多。

此后惠更斯先生发表的关于离心力的思想,我猜想他在我之前就有了,最后在1676和1677之间的冬天我发现了一个命题:利用与距离成反比的离心力行星必然环绕力的中心沿椭圆轨道旋转,这中心在椭圆的下部,从这中心作出的半径所经过的面积与时间成正比……

摘自《从落体到无线电波——经典物理学家和他们的发现》

作者:当代美国著名物理学家诺贝尔奖获得者埃米里奥·赛格雷

从上面的话可以知道,牛顿的平方反比律是由开普勒的行星运动定律得出的。要进行计算,显然牛顿还必须有一些关于微积分和基本力学定律的概念,而力学三定律是牛顿发现的,同时牛顿和莱布尼茨各自独立的发现了微积分,牛顿一定用了自己的发现,只是其间的顺序就不得而知了,不知为了万有引力而创立微积分,还是先创立微积分再将它用于计算万有引力,这只有牛顿自己知道,但他保持了沉默。关于万有引力定律的发现权,历史的结论是:它是牛顿发现的。万有引力的表达式为 f=GMm/r2 , 它的建立是牛顿定律和开普勒

定律的综合的结果,而牛顿在其中起了关键的作用。

万有引力定律的建立过程

(1)平方反比律的确定

从理论计算得出平方反比的假设:

根据开普勒轨道定律,为了简便起见,可把行星轨道看作圆形,这样,根据面积定律,行星应作匀速圆周运动,只有向心加速度a=v2/r ,其中,v是行星运行速度,r是圆形轨道的半径。

根据牛顿第二定律: f=ma

故 f=mv2/r,

又 v=2πr/T

由开普勒第三定律r3/T2=K(K是与行星无关的太阳常量,叫做开普勒常量)

即1/T2=K/r3

于是f=4π2mK/r2 „„①

牛顿得到第一个重要结果:如果太阳的引力是行星运动的原因,则这种力应和r的平方成反比。

平方反比假设的验证:

牛顿“苹果落地”的故事广为流传。故事大意是说,1665-1666年,牛顿从剑桥大学退职回家乡。一天,他在花园里冥思重力的动力学问题,看到苹果偶然落地,引起他的遐想 在我们能够攀登的最远距离上和最高山颠上,都未发现重力有明显的减弱,这个力必然到 比通常想象的远得多的地方。为什么不会高到月球上?如果是这样,月球的运动必定受它的影响,或许月球就是由于这个原因,才保持在它的轨道上的。

设想月球处在它的轨道上的任意点A(见图),如果不受任何力,它将沿一直线AB进行,AB与轨道在A点相切。然而实际它走的是弧线AP , 如果O是地心,则月球向O落下了距离BP=y , 令弧长AP=s=2πrt/T ,

而cosθ≈1-θ2/2, θ=s/r A B 22222222则y=r(1-cosθ) ≈s/2r =4πrt/2rT=2πrt/T,

在地面上一个重物下落距离的公式为 P ‘2y=gt/2

由此得 22 y/y’ =4πr/gT

月球绕地的周期 T=27.3d ≈2.36×106 s ,

速度 g=9.8 m/s2 , 地球半径R⊙的准确数值是6400km, 古希腊的天文学家伊巴谷通过观测月全食持续的时间,曾相当精确的估算出地月距离r为地球半径的60倍,则r=60 R⊙ =3.84×105km用这个数值代入,即得

y/y’ =1/3600

而R2⊙/r2=1/3600

, y/y=a/g=ma/mg=f/mg= R2⊙/r2

所以:f=mg R2⊙/r2 即:力和距离的平方成反比

(2)与m和M成正比的确定

①式表明力与被吸引的质量m成正比,这件事的重要性只有牛顿才充分意识到。根据牛顿第三定律,力的作用是相互的,f 是 M 对m的作用,f’是m对M 的作用,f与m成正比,则同理f’必与M 成正比 , 又 f =f’ ,则f 必同时与m和M 成正比。①式可写成: f=GMm/r2, „„②

其中G是万有引力常量。

(3)万有引力常量的G测定

测量万有引力常量G的数值,就要测量两个已知质量的物体

间的引力。1798年,即牛顿发表万有引力定律之后100多年,

卡文迪许(H.Cavendish)做了第一个精确的测量。他所用的

是扭秤装置,如图所示,两个质量均为m的小球固定在一根

轻杆的两端,在用一根石英细丝将这两杆水平的悬挂起来,每

个质量为m的小球附近各放置一个质量为M的大球。根据万

有引力定律,当大球在位置AA时,由于小球受到吸引力,悬

杆因受到一个力矩而转动,使悬丝扭转。引力力矩最后被悬丝

的弹性恢复力矩所平衡。悬丝扭转的角度θ可用镜尺系统来测

定。为了提高测量的灵敏度,还可以将大球放在位置BB,向

相反的方向吸引小球。这样,两次悬杆平衡为止之间的夹角纠

正打了一倍。如果已知大球和小球的质量M,m和他们相隔的

距离,以及悬丝的扭力稀疏,就可由测得的θ来计算G。卡文

迪许测定的万有引力常量值为G=6.754×10-11m3/kg·s2.卡文迪许的实验如此精巧,在八九十年间竟无人超过它的测量精度。万有引力常量是目前测得最不精确的一个基本物理常量,因为引力太弱,又不能屏蔽它的干扰,实验很难做。从卡文迪许到现在已近200年,许多人用相同或不同的方法测量G的数值,不断地改进其精度。国际科学联盟理事会科技数据委员会(CODATA)1986年推荐的数值为

G=6.67259(85)×10-11 m3/kg·s2,

不确定度为128/1000000(即万分之1.28)。

万有引力实验演示部分

一,实验现象:

有一个类似碗状,但是碗壁向内拱入的圆盘。(见图1)在圆盘上一个小球绕中心滚动。随着时间变化,小球的速度越来越快,到最后掉入中间的小洞。而且越到中间小球的半径变化越缓慢(也就是说小球的轨迹在中间是最密集)。小球的轨迹并不是正圆的,而是一种半径越来越小的圆弧。(如果两个小球先后进入盘中则会有角位移先后追赶的现象。

二,原理解释:

1,先解释为什么用它来演示万有引力定律

万有引力定律的表述为F=GMm/r2

由此可以推知,行星势能为 w= fdr= —GMm/r

而实验中用重力势能来代替万有引力势能mgh= —GMm/r

所以只要满足h=-GM/gr

则可以用重力势能来代替万有引力势能。

-

同时r表示物体间的距离。当图示曲线绕h周旋转后便会形成实验中

所用到的曲面,当曲线如图时:dh/dr=GM/gr2, cos(dh/dr)=gr2/[(GM)2+(gr2)2]1/2

f=mgtan(θ)=mg dh/dr=mgGM/gr2=GMm/r2 所以不论从能量还是从力的角度来讲,这个实验模型能够完全模拟演示万有引力。

2,为什么小球会越来越快

由离心力f=m v2/ r=F知,动能为W=0.5mV2=0.5GMm/r,由公式可见,r 越小动能越大,自然速度会越快。

3为什么小球到中间轨迹密集

这并不是一个没有能量损失的系统,在旋转的时候摩擦力做功发热耗散掉一部分能量 w=∫fds, 而f的大小只与接触的压力和摩擦系数有关系,在距离为r处的摩擦力转一周做功为:w=∫fds=2πrmgµcos[arctg(dh/dr)]= 2πmµg2r3/[(GM)2+(gr2)2]1/2

又:dE/dr= GMm/r2,可见在r越大的时候,势能的变化越慢,故在外圈时,变化一个小量dr后势能的变化比在内圈时小,而能耗比内圈大。所以里边每移动一小段可供小球旋转的能量就多而小球每转一圈的能耗小,故小球在同样的一小段距离上会比外边多转几圈。 4,小球的轨迹为何是一个不断向里边缩进的圆弧

如果盘面足够光滑即没有摩擦力做功则小球的轨迹会是什么样的呢

A,小球在斜槽上恰好获得的动能足够在盘的边缘运动所需的动能

mgh=0.5 mv2 即:F=mv2/r则小球会沿着圆盘边缘做正圆轨迹的运动

B,小球在斜槽上未获得的在圆盘的边缘运动所需的动能

Mgh〉0.5 mv2,F> mv2/r则小球会做正圆轨迹的运动同时径向有一个分运动(缩小半径把势能转化为动能直到满足平衡为止)到某一半径时会达到F=mv2/r在此处做正圆运动 C,小球在斜槽上获得的动能超过在盘的边缘运动所需的动能

Mgh<0.5 mv2,F

下面再考虑摩擦力

在小球运动的过程中小球的动能在不断的损失,这就要求小球能不断的缩小半径来寻找新的平衡直到最后能量衰竭而掉入中间的小孔(就如卫星在大气层中因阻力而最终掉到大洋深处一样)。

当综合考虑时:小球的轨迹便是一个不断向里边缩进的圆

5,两个小球为什么会有角度相互追赶?

万有引力公式知:角速度ω=(GM/R3)1/2,

则半径越小角速度越大,先后进入的两个小球的角速度总是先进入的大于后进入的,所以在一段时间里总是前面的小球转过的角度比后面的多,因此角度差一直在增大,所以看上去总是两个小球一会儿这个在前,一会儿另一个在前,相互追逐。

万有引力的应用

万有引力定律作为一个自然界最基本的定律,无论是在理论研究还是实际工程等各种场合都有着极其广泛的应用。比如航天中,航天器与天体接近时的万有引力可以作为一种有效的加速办法;宇宙物理中常常以测定天体的万有引力效应来断定天体的位置和质量;在强磁场地域,因为电磁探测的局限性,可以通过万有引力(地表一般测量其分力:重力常数,再与预算值比较)的测量计算来达到探知地下的物质密度,从而断定地下矿藏的分布或是地下墓穴的规模位置;而在另外一些领域,比如精密工业中的超圆滚球体的制造,可以将原材料放到太空去生产,因为那里有理想的受力环境(因为r的增大使得万有引力非常微弱);以研究生物在太空无重力(亦即万有引力)为对象的项目已经发展成一门高新前沿的科技,如果将蔬菜种子带到太空中,有些变异品种比地球上的品质大大提高!

事实上,万有引力定律常常是理论研究的最基本的公式之一。以下就举一个重要实际应用的例子来说明这一点。

人造卫星的发射过程是万有引力的典型应用:

1,当我们要发射一颗地球卫星是我们只要以一定

的角度和一定的初速度把卫星发射向太空,这个速度的

理论值由万有引力定律可推知为:7.9km/s当然是实际

发射中考虑到阻力问题,不是瞬间加速到此值,是一个

渐加速过程。万有引力定律给我们确定了卫星上天的边

界条件。

2,当我们要求卫星成为一个太阳的卫星时,我们

的发射速度的理论值会高达11.2km/s。同理实际过程中

速度也不会达到此值,而是渐加速渐升高。

3,当我们要求卫星成为一个太阳外的天体时,我们的

发射速度的理论值会高达16.7km/s。同理实际过程中速度也不会达到此值, 有时还故意把飞行器发射到近地天体的附近利用飞行器和天体间的万有引力来改变飞行器的速度和方向。 以上的应用中万有引力的重要地位可略见一斑。万有引力的概念在刚被提出的时候曾引起了一次“科学革命”。在随后的那个时代里,因此而引发了研究科学探索宇宙的热潮,并且产生了许多新的学科及项目。这些研究成果甚至至今与我们的生活息息相关。可以这么说,万有引力定律的发现推动了整个人类文明的进程,是人类在认识宇宙的道路上迈出的一大步,也是极其重要的一步!

我们更有理由相信,万有引力 在将来的科学探索研究中仍然会发挥相当重要的作用。

参考文献:《从落体到无线电波——物理学家和他们的发现》

作者:埃米里奥·赛格雷

《自然哲学之数学原理》作者:艾萨克·牛顿

范文二:万有引力定律的发现 投稿:贺誝語

万有引力定律的发现

摘要:本文通过万有引力的发现,建立过程,演示及应用过程进一步阐述高中物理中万有引力的认识。了解牛顿对万有引力的贡献,以便为高中物理教育服务。

关键词:万有引力牛顿 引力常量卫星

中图分类号:o314文献标识码: a 文章编号:

内容: 万有引力定律现在大家公认是牛顿发现的,连小学生也知道牛顿在苹果树下休息,看见苹果落地而想到万有引力的故事。但它的发现岂只是看见苹果落地这么简单?

万有引力公式:这个公式与库仑定律有着惊人的相似之处。g为万有引力常量,由英国物理学家卡文迪许首先在实验室测出其大小。在牛顿的时代,一些科学家已经有了万事万物都有引力的想法。而且牛顿和胡克(即发明了显微镜并用显微镜观察到细胞结构的罗伯特虎克)曾经为了万有引力的发现优先权发生过争论,有资料表明,万有引力概念由胡克最先提出,但由于胡克在数学方面的造诣远不如牛顿,不能解释行星的椭圆轨道,而牛顿不仅提出了万有引力和距离的平方成正比,而且圆满的解决了行星的椭圆轨道问题,万有引力的优先发现权自然归属牛顿。

正如牛顿所说他是站在巨人的肩膀上。万有引力发现前的准备开普勒有着不可磨灭的贡献。开普勒是德意志的天文学家,幼年患猩红热导致视力不好,后来有幸结识弟谷,一年后弟谷过世,把他一生的天文观测资料留给了开普勒。在此基础上,开普勒经过20年

的计算和整理于1609年发表了行星运动的第一、第二定律。后来又经过十年又发表了行星运动的第三定律。牛顿老年在回忆过去的时候有这样的话:

同年(1666年)我开始把引力与月亮轨道联系起来并找出如何估计一个天体在球体内旋转时用来趋向球面的力的方法。根据开普勒的行星周期与于他们的距离轨道中心的距离的二分之三次方成正比的规律,我得出使行星沿轨道旋转的力必然与他们离旋转中心的距离的平方成反比的结论。从而把使月亮沿轨道旋转所需的力与地球表面的引力相比较发现它

它们符合得很接近。所有这些发生在1665年和1666年两个时疫年内,因为那时正是我创造发明的黄金时期,我对数学和哲学的思考比此后的任何时都候来的多。

此后惠更斯先生发表的关于离心力的思想,我猜想他在我之前就有了,最后在1676和1677之间的冬天我发现了一个命题:利用与距离成反比的离心力行星必然环绕力的中心沿椭圆轨道旋转,这中心在椭圆的下部,从这中心作出的半径所经过的面积与时间成正比„„

摘自《从落体到无线电波——经典物理学家和他们的发现》

作者:当代美国著名物理学家诺贝尔奖获得者埃米里奥·赛格雷 从上面的话可以知道,牛顿的平方反比律是由开普勒的行星运动定律得出的。要进行计算,显然牛顿还必须有一些关于微积分和基本力学定律的概念,而力学三定律是牛顿发现的,同时牛顿和莱布

尼茨各自独立的发现了微积分,牛顿一定用了自己的发现,只是其间的顺序就不得而知了,不知为了万有引力而创立微积分,还是先创立微积分再将它用于计算万有引力,这只有牛顿自己知道,但他保持了沉默。关于万有引力定律的发现权,历史的结论是:它是牛顿发现的。万有引力的表达式为 f=gmm/r2 , 它的建立是牛顿定律和开普勒定律的综合的结果,而牛顿在其中起了关键的作用。 万有引力定律的建立过程

(1)平方反比律的确定

从理论计算得出平方反比的假设:

根据开普勒轨道定律,为了简便起见,可把行星轨道看作圆形,这样,根据面积定律,行星应作匀速圆周运动,只有向心加速度a=v2/r ,其中,v是行星运行速度,r是圆形轨道的半径。 根据牛顿第二定律:f=ma

故f=mv2/r,

又v=2πr/t

由开普勒第三定律r3/t2=k(k是与行星无关的太阳常量,叫做开普勒常量)

即1/t2=k/r3

于是f=4π2mk/r2„„①

牛顿得到第一个重要结果:如果太阳的引力是行星运动的原因,则这种力应和r的平方成反比。

平方反比假设的验证:

牛顿“苹果落地”的故事广为流传。故事大意是说,1665-1666年,牛顿从剑桥大学退职回家乡。一天,他在花园里冥思重力的动力学问题,看到苹果偶然落地,引起他的遐想

在我们能够攀登的最远距离上和最高山颠上,都未发现重力有明显的减弱,这个力必然到

比通常想象的远得多的地方。为什么不会高到月球上?如果是这样,月球的运动必定受它的影响,或许月球就是由于这个原因,才保持在它的轨道上的。

设想月球处在它的轨道上的任意点a(见图),如果不受任何力,它将沿一直线ab进行,ab与轨道在a点相切。然而实际它走的是弧线ap , 如果o是地心,则月球向o落下了距离bp=y , 令弧长ap=s=2πrt/t ,

而cosθ≈1-θ2/2, θ=s/r

则y=r(1-cosθ)≈s2/2r =4π2r2t2/2rt2=2π2rt2/t2,

在地面上一个重物下落距离的公式为

y‘=gt2/2

由此得

y/y’=4π2r/gt2

月球绕地的周期 t=27.3d ≈2.36×106 s,地面上苹果的重力加速度 g=9.8 m/s2 , 地球半径r⊙的准确数值是6400km, 古希腊的天文学家伊巴谷通过观测月全食持续的时间,曾相当精确的估算出地月距离r为地球半径的60倍,则r=60 r⊙ =3.84×105km用

这个数值代入,即得

y/y’ =1/3600

而r2⊙/r2=1/3600

y/y,=a/g=ma/mg=f/mg= r2⊙/r2

所以:f=mg r2⊙/r2 即:力和距离的平方成反比

(2)与m和m成正比的确定

①式表明力与被吸引的质量m成正比,这件事的重要性只有牛顿才充分意识到。根据牛顿第三定律,力的作用是相互的,f 是 m 对m的作用,f’是m对m 的作用,f与m成正比,则同理f’必与m 成正比 , 又 f =f’ ,则f 必同时与m和m 成正比。①式可写成: f=gmm/r2, „„②

其中g是万有引力常量。

(3)万有引力常量的g测定

测量万有引力常量g的数值,就要测量两个已知质量的物体间的引力。1798年,即牛顿发表万有引力定律之后100多年,卡文迪许(h.cavendish)做了第一个精确的测量。他所用的是扭秤装置,如图所示,两个质量均为m的小球固定在一根轻杆的两端,在用一根石英细丝将这两杆水平的悬挂起来,每个质量为m的小球附近各放置一个质量为m的大球。根据万有引力定律,当大球在位置aa时,由于小球受到吸引力,悬杆因受到一个力矩而转动,使悬丝扭转。引力力矩最后被悬丝的弹性恢复力矩所平衡。悬丝扭转的角度θ可用镜尺系统来测定。为了提高测量的灵敏度,还可以将大球放

在位置bb,向相反的方向吸引小球。这样,两次悬杆平衡为止之间的夹角纠正打了一倍。如果已知大球和小球的质量m,m和他们相隔的距离,以及悬丝的扭力稀疏,就可由测得的θ来计算g。卡文迪许测定的万有引力常量值为g=6.754×10-11m3/kg·s2.卡文迪许的实验如此精巧,在八九十年间竟无人超过它的测量精度。万有引力常量是目前测得最不精确的一个基本物理常量,因为引力太弱,又不能屏蔽它的干扰,实验很难做。从卡文迪许到现在已近200年,许多人用相同或不同的方法测量g的数值,不断地改进其精度。国际科学联盟理事会科技数据委员会(codata)1986年推荐的数值为

范文三:万有引力定律的发现 投稿:刘驏驐

万有引力定律的发现

摘要:本文通过万有引力的发现,建立过程,演示及应用过程进一步阐述高中物理中万有引力的认识。了解牛顿对万有引力的贡献,以便为高中物理教育服务。

关键词:万有引力牛顿 引力常量卫星

内容: 万有引力定律现在大家公认是牛顿发现的,连小学生也知道牛顿在苹果树下休息,看见苹果落地而想到万有引力的故事。但它的发现岂只是看见苹果落地这么简单?

万有引力公式:这个公式与库仑定律有着惊人的相似之处。G为万有引力常量,由英国物理学家卡文迪许首先在实验室测出其大小。在牛顿的时代,一些科学家已经有了万事万物都有引力的想法。而且牛顿和胡克(即发明了显微镜并用显微镜观察到细胞结构的罗伯特虎克)曾经为了万有引力的发现优先权发生过争论,有资料表明,万有引力概念由胡克最先提出,但由于胡克在数学方面的造诣远不如牛顿,不能解释行星的椭圆轨道,而牛顿不仅提出了万有引力和距离的平方成正比,而且圆满的解决了行星的椭圆轨道问题,万有引力的优先发现权自然归属牛顿。

正如牛顿所说他是站在巨人的肩膀上。万有引力发现前的准备开普勒有着不可磨灭的贡献。开普勒是德意志的天文学家,幼年患猩红热导致视力不好,后来有幸结识弟谷,一年后弟谷过世,把他一生的天文观测资料留给了开普勒。在此基础上,开普勒经过20年的计算和整理于1609年发表了行星运动的第一、第二定律。后来又经过十年又发表了行星运动的第三定律。牛顿老年在回忆过去的时候有这样的话:

同年(1666年)我开始把引力与月亮轨道联系起来并找出如何估计一个天体在球体内旋转时用来趋向球面的力的方法。根据开普勒的行星周期与于他们的距离轨道中心的距离的二分之三次方成正比的规律,我得出使行星沿轨道旋转的力必然与他们离旋转中心的距离的平方成反比的结论。从而把使月亮沿轨道旋转所需的力与地球表面的引力相比较发现它

它们符合得很接近。所有这些发生在1665年和1666年两个时疫年内,因为那时正是我创造发明的黄金时期,我对数学和哲学的思考比此后的任何时都候来的多。

此后惠更斯先生发表的关于离心力的思想,我猜想他在我之前就有了,最后在1676和1677之间的冬天我发现了一个命题:利用与距离成反比的离心力行星必然环绕力的中心沿椭圆轨道旋转,这中心在椭圆的下部,从这中心作出的半径所经过的面积与时间成正比……

摘自《从落体到无线电波——经典物理学家和他们的发现》

作者:当代美国著名物理学家诺贝尔奖获得者埃米里奥·赛格雷

从上面的话可以知道,牛顿的平方反比律是由开普勒的行星运动定律得出的。要进行计算,显然牛顿还必须有一些关于微积分和基本力学定律的概念,而力学三定律是牛顿发现的,同时牛顿和莱布尼茨各自独立的发现了微积分,牛顿一定用了自己的发现,只是其间的顺序就不得而知了,不知为了万有引力而创立微积分,还是先创立微积分再将它用于计算万有引力,这只有牛顿自己知道,但他保持了沉默。关于万有引力定律的发现权,历史的结论是:它是牛顿发现的。万有引力的表达式为 f=GMm/r2 , 它的建立是牛顿定律和开普勒定律的综合的结果,而牛顿在其中起了关键的作用。

万有引力定律的建立过程

(1)平方反比律的确定

从理论计算得出平方反比的假设:

根据开普勒轨道定律,为了简便起见,可把行星轨道看作圆形,这样,根据面积定律,行星应作匀速圆周运动,只有向心加速度a=v2/r ,其中,v是行星运行速度,r是圆形轨道的半径。

根据牛顿第二定律:f=ma

故f=mv2/r,

又v=2πr/T

由开普勒第三定律r3/T2=K(K是与行星无关的太阳常量,叫做开普勒常量)

即1/T2=K/r3

于是f=4π2mK/r2……①

牛顿得到第一个重要结果:如果太阳的引力是行星运动的原因,则这种力应和r的平方成反比。

平方反比假设的验证:

牛顿“苹果落地”的故事广为流传。故事大意是说,1665-1666年,牛顿从剑桥大学退职回家乡。一天,他在花园里冥思重力的动力学问题,看到苹果偶然落地,引起他的遐想

在我们能够攀登的最远距离上和最高山颠上,都未发现重力有明显的减弱,这个力必然到

比通常想象的远得多的地方。为什么不会高到月球上?如果是这样,月球的运动必定受它的影响,或许月球就是由于这个原因,才保持在它的轨道上的。

设想月球处在它的轨道上的任意点A(见图),如果不受任何力,它将沿一直线AB进行,AB与轨道在A点相切。然而实际它走的是弧线AP , 如果O是地心,则月球向O落下了距离BP=y , 令弧长AP=s=2πrt/T ,

而cosθ≈1-θ2/2, θ=s/r

则y=r(1-cosθ)≈s2/2r =4π2r2t2/2rT2=2π2rt2/T2,

在地面上一个重物下落距离的公式为

y‘=gt2/2

由此得

y/y’=4π2r/gT2

月球绕地的周期 T=27.3d ≈2.36×106 s,地面上苹果的重力加速度 g=9.8 m/s2 , 地球半径R⊙的准确数值是6400km, 古希腊的天文学家伊巴谷通过观测月全食持续的时间,曾相当精确的估算出地月距离r为地球半径的60倍,则r=60 R⊙ =3.84×105km用这个数值代入,即得

y/y’ =1/3600

而R2⊙/r2=1/3600

y/y,=a/g=ma/mg=f/mg= R2⊙/r2

所以:f=mg R2⊙/r2 即:力和距离的平方成反比

(2)与m和M成正比的确定

①式表明力与被吸引的质量m成正比,这件事的重要性只有牛顿才充分意识到。根据牛顿第三定律,力的作用是相互的,f 是 M 对m的作用,f’是m对M 的作用,f与m成正比,则同理f’必与M 成正比 , 又 f =f’ ,则f 必同时与m和M 成正比。①式可写成:

f=GMm/r2, ……②

其中G是万有引力常量。

(3)万有引力常量的G测定

测量万有引力常量G的数值,就要测量两个已知质量的物体间的引力。1798年,即牛顿发表万有引力定律之后100多年,卡文迪许(H.Cavendish)做了第一个精确的测量。他所用的是扭秤装置,如图所示,两个质量均为m的小球固定在一根轻杆的两端,在用一根石英细丝将这两杆水平的悬挂起来,每个质量为m的小球附近各放置一个质量为M的大球。根据万有引力定律,当大球在位置AA时,由于小球受到吸引力,悬杆因受到一个力矩而转动,使悬丝扭转。引力力矩最后被悬丝的弹性恢复力矩所平衡。悬丝扭转的角度θ可用镜尺系统来测定。为了提高测量的灵敏度,还可以将大球放在位置BB,向相反的方向吸引小球。这样,两次悬杆平衡为止之间的夹角纠正打了一倍。如果已知大球和小球的质量M,m和他们相隔的距离,以及悬丝的扭力稀疏,就可由测得的θ来计算G。卡文迪许测定的万有引力常量值为G=6.754×10-11m3/kg·s2.卡文迪许的实验如此精巧,在八九十年间竟无人超过它的测量精度。万有引力常量是目前测得最不精确的一个基本物理常量,因为引力太弱,又不能屏蔽它的干扰,实验很难做。从卡文迪许到现在已近200年,许多人用相同或不同的方法测量G的数值,不断地改进其精度。国际科学联盟理事会科技数据委员会(CODATA)1986年推荐的数值为

G=6.67259(85)×10-11 m3/kg·s2,

不确定度为128/1000000(即万分之1.28)。

万有引力实验演示部分

一,实验现象:

有一个类似碗状,但是碗壁向内拱入的圆盘。(见图1)在圆盘上一个小球绕中心滚动。随着时间变化,小球的速度越来越快,到最后掉入中间的小洞。而且越到中间小球的半径变化越缓慢(也就是说小球的轨迹在中间是最密集)。小球的轨迹并不是正圆的,而是一种半径越来越小的圆弧。(如果两个小球先后进入盘中则会有角位移先后追赶的现象。)

二,原理解释:

1,先解释为什么用它来演示万有引力定律

万有引力定律的表述为F=GMm/r2

由此可以推知,行星势能为w=fdr= —GMm/r

而实验中用重力势能来代替万有引力势能mgh= —GMm/r

所以只要满足h=-GM/gr则可以用重力势能来代替万有引力势能。-

同时r表示物体间的距离。当图示曲线绕h周旋转后便会形成实验中

所用到的曲面,当曲线如图时:dh/dr=GM/gr2,cos(dh/dr)=gr2/[(GM)2+(gr2)2]1/2

f=mgtan(θ)=mg dh/dr=mgGM/gr2=GMm/r2所以不论从能量还是从力的角度来讲,这个实验模型能够完全模拟演示万有引力。

2,为什么小球会越来越快

由离心力f=m v2/ r=F知,动能为W=0.5mV2=0.5GMm/r,由公式可见,r 越小动能越大,自然速度会越快。

3为什么小球到中间轨迹密集

这并不是一个没有能量损失的系统,在旋转的时候摩擦力做功发热耗散掉一部分能量

w=∫fds, 而f的大小只与接触的压力和摩擦系数有关系,在距离为r处的摩擦力转一周做功为:w=∫fds=2πrmgµcos[arctg(dh/dr)]= 2πmµg2r3/[(GM)2+(gr2)2]1/2

又:dE/dr= GMm/r2,可见在r越大的时候,势能的变化越慢,故在外圈时,变化一个小量dr后势能的变化比在内圈时小,而能耗比内圈大。所以里边每移动一小段可供小球旋转的能量就多而小球每转一圈的能耗小,故小球在同样的一小段距离上会比外边多转几圈。

4,小球的轨迹为何是一个不断向里边缩进的圆弧

如果盘面足够光滑即没有摩擦力做功则小球的轨迹会是什么样的呢

A,小球在斜槽上恰好获得的动能足够在盘的边缘运动所需的动能

mgh=0.5 mv2 即:F=mv2/r则小球会沿着圆盘边缘做正圆轨迹的运动

B,小球在斜槽上未获得的在圆盘的边缘运动所需的动能

Mgh〉0.5 mv2,F> mv2/r则小球会做正圆轨迹的运动同时径向有一个分运

动(缩小半径把势能转化为动能直到满足平衡为止)到某一半径时会达到F=mv2/r在此处做正圆运动

C,小球在斜槽上获得的动能超过在盘的边缘运动所需的动能

Mgh<0.5 mv2,F

下面再考虑摩擦力

在小球运动的过程中小球的动能在不断的损失,这就要求小球能不断的缩小半径来寻找新的平衡直到最后能量衰竭而掉入中间的小孔(就如卫星在大气层中因阻力而最终掉到大洋深处一样)。

当综合考虑时:小球的轨迹便是一个不断向里边缩进的圆

5,两个小球为什么会有角度相互追赶?

万有引力公式知:角速度ω=(GM/R3)1/2,

则半径越小角速度越大,先后进入的两个小球的角速度总是先进入的大于后进入的,所以在一段时间里总是前面的小球转过的角度比后面的多,因此角度差一直在增大,所以看上去总是两个小球一会儿这个在前,一会儿另一个在前,相互追逐。

万有引力的应用

万有引力定律作为一个自然界最基本的定律,无论是在理论研究还是实际工程等各种场合都有着极其广泛的应用。比如航天中,航天器与天体接近时的万有引力可以作为一种有效的加速办法;宇宙物理中常常以测定天体的万有引力效应来断定天体的位置和质量;在强磁场地域,因为电磁探测的局限性,可以通过万有引力(地表一般测量其分力:重力常数,再与预算值比较)的测量计算来达到探知地下的物质密度,从而断定地下矿藏的分布或是地下墓穴的规模位置;而在另外一些领域,比如精密工业中的超圆滚球体的制造,可以将原材料放到太空去生产,因为那里有理想的受力环境(因为r的增大使得万有引力非常微弱);以研究生物在太空无重力(亦即万有引力)为对象的项目已经发展成一门高新前沿的科技,如果将蔬菜种子带到太空中,有些变异品种比地球上的品质大大提高! 事实上,万有引力定律常常是理论研究的最基本的公式之一。以下就举一个重要实际应用的例子来说明这一点。人造卫星的发射过程是万有引力的典型应用:1,当我们要发射一颗地球卫星是我们只要以一定的角度和一定的初速度把卫星发射向太空,这个速度的理论值由万有引力定律可推知为:7.9km/s当然是实际发射中考虑到阻力问题,不是瞬间加速到此值,是一个渐加速过程。万有引力定律给我们确定了卫星上天的边界条件。2,当我们要求卫星成为一个太阳的卫星时,我们的发射速度的理论值会高达11.2km/s。同理实际过程中速度也不会达到此值,而是渐加速渐升高。

3,当我们要求卫星成为一个太阳外的天体时,我们的发射速度的理论值会高达16.7km/s。同理实际过程中速度也不会达到此值, 有时还故意把飞行器发射到近地天体的附近利用飞行器和天体间的万有引力来改变飞行器的速度和方向。以上的应用中万有引力的重要地位可略见一斑。万有引力的概念在刚被提出的时候曾引起了一次“科学革命”。在随后的那个时代里,因此而引发了研究科学探索宇宙的热潮,并且产生了许多新的学科及项目。这些研究成果甚至至今与我们的生活息息相关。可以这么说,万有引力定律的发现推动了整个人类文明的进程,是人类在认识宇宙的道路上迈出的一大步,也是极其重要的一步!我们更有理由相信,万有引力 在将来的科学探索研究中仍然会发挥相当重要的作用。

参考文献:《从落体到无线电波——物理学家和他们的发现》作者:埃米里奥·赛格雷《自然哲学之数学原理》作者:艾萨克·牛顿

注:文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。

范文四:万有引力定律的发现 投稿:白遮遯

万有引力定律的发现

万有引力定律发现是人类认识史上最重大的事件之一。在这一发现过程中,牛顿对引力平方反比定律的发现,即所谓“开普勒命题”的证明,起到了关键性作用,它标志着牛顿成熟地掌握了动力学原理是发现万有引力定律的必要前提。牛顿在惠更斯1673年发表离心力定律之前,结合开普勒周期定律,得到了圆轨道上的平方反比关系;胡克与牛顿在1679年底至1680年初之间的通信,诱发了牛顿首次理解开普勒面积定律的物理意义,并应用几何图形法来解决开普勒命题。也就是说,牛顿是在1680年才发现我们现在所理解意义上的引力平方反比定律。

一、圆轨道上平方反比关系的发现

牛顿对动力学的研究是从研究圆周运动问题开始的;牛顿借助于他有关碰撞问题的研究成果,卓有成效地从动力学角度来量化处理圆周运动中力与“运动的改变”之间的关系,并利用等价性将直线运动的分析结论推广到圆周运动和椭圆运动,为其有关力学的进一步研究打下了坚实的基础。同时期的惠更斯也注意到圆周运动问题,并从运动学角度对它进行了较为深入的研究;就离心力定律的发现而言,惠更斯走在牛顿的前面。

牛顿是在 1665或 1666年写的“仿羊皮手稿”(the Velluo Manuscript)中提出“(l/2)R公式”:“一个在直线上从静止开始运动的物体,其所受的力等于作用在沿半径为R的圆周、以速度V运动的同等物体的力;则在圆周上运动的物体通过距离R的时间内,直线上运动的物体将行进(1/2)R距离。”根据牛顿的手稿,我们可以得到

上述公式的推论过程:首先,牛顿给出直线运动、圆周运动状态的初

始条件,即同等的时间、物体和力;其次,牛顿依据已认识到的两种

运动(量)之间的等价性,推论出:直线上从静止开始运动的物体,

在时间R/V内获得的运动量为mV、末速度为 V;最后,牛顿/得到直

线上由静止开始运动的物体,在时间R/V内经过的距离为:[(1/2)

V]·(R/V)=(1/2)R。

“(1/2)R公式”的提出,表明牛顿承袭伽利略等人所坚持的、

力与距离之间存在对应关系的传统,并试图用精确的数值关系来表征

这种对应关系。其另一点是,牛顿合理地将伽利略重力作用下的t2定

律推广到任意定常力作用的情形。这两点,是牛顿发现圆轨道上平方

反比关系的必要条件。牛顿写于1669年前的《论圆周运动》(On

Circular Motion)手稿,使上述的两点得以具体实现。他在此引入又

一种全新的处理圆周运动的方法——“偏离量方法”(the Derivative

Method),即:“物体在由A到D作圆周运动的过程中,退离中心的

意向力大小是这样的:即在物体通过AD(假定它很小)的时间内,该力将使物体偏离圆周一段距离 DB(见图1)„„现在,如果这个意向力象重力一样地在一条直线上作用,它将使物体通过的距离与时间的平方成比例”。

这样,牛顿在意向力和距离之间建立了对应关系,并通过推广伽利略重力作用下的t2定律,确定了距离与时间平方之间的比例关系。这一比例关系在《原理》中“上升”为第一卷第一节的“引理X”,它构成了牛顿应用“线性动力学比”方法证明开普勒命题的数学前提。可以认为,牛顿至此才找到处理圆周运动问题的数值计算方法。牛顿在该手稿的第一部分,应用相似三角形的比例关系和近似的方法,得出下述重要的结论:意向力在周期T内使物体偏离的距离DB=2π2R

。在这之后;牛顿给出了物体受“由于地球的周日运动产生

的、在天球赤道上退离地球中心的意向力”的作用、在单位初始时刻行进距离的示例。 事实上,牛顿在这里是由“(1/2)R公式”结合推广的伽利略t2定律,即S∝t2这样的比例关系,得到偏离量DB的数值表达式,然后应用几何方法综合地证明了他的结论。根据“(1/2)R公式”,在时间 t(即R/V)内,物体在直线上行进(1/2)R;设在周期 T(即2πR/V)内,物体在直线上行进DB;依据推广的伽利略t2定律,有:(1/2)R∝t2=R2/V2,DB∝T2=4π2R2/V2,两式相比后简化得:DB=2π2R。这正是牛顿在手稿中给出的重要结论。

牛顿在《论圆周运动》手稿的第二部分,再次应用 S∝t2于其结论:DB=2π2R中,得到下述重要的“推论”:“推论:对应于不同的圆周运动,它们退离中心的意向力与直径除以周期平方的值成比例,或与直径乘以任意给定时间内周转数平方的值成比例。”这一推论用

2222公式表征为:意向力∝2πR/T∝2πR·n;其中 n为给定时间内的周转数。牛顿在手稿

的结束段,将上述推论(意向力∝R·n2)与其在早年笔记簿中所摘录的开普勒周期定律(R3∝T2∝1/n2)结合起来,成功地“推出了”圆轨道上意向力与距离间的平方反比关系:“最后,由于主要行星至太阳距离的立方与它们在给定时间内周转数的平方成反比;因此,它们退离太阳的意向力与它们至太阳距离的平方成反比。”

于是,牛顿在将行星椭圆轨道近似地视作圆轨道的前提下,“跨越”了离心力定律,应用偏离量方法,由“(1/2)R公式”和推广的伽利略t2定律,结合开普勒周期定律,在1669年前发现了圆轨道上的平方反比关系。这是牛顿早期动力学研究所获得的最重要的结论。

二、胡克对牛顿的影响

作为皇家学会秘书的胡克,可能是有感于当时欧洲大陆学者在动力学研究上的新成就,主动在1679年11月24日致信牛顿,提请他将已搁置多年的动力学研究继续下去。牛顿在同年的11月28日当即回信,并通知胡克自己只考虑地球周日运动而得到的一个“想象的结论”。1680年1月6日,胡克再次致信牛顿,全盘托出他本人有关天体运动的设想:“我的猜测是,吸引力总是与到中心距离的平方成反比的,因而速度与引力的平方根成正比,其结果如开普勒推测的那样;与距离成反比。„„在天体运动中,太阳或中心天体是吸引力的原因,虽然不能设想它们是数学点,却可想象为物理点。这样,就可按前述原理中的比例,计算出从同一中心开始、到很远距离上的吸引力。”于是,不管牛顿承认与否,胡克对牛顿的“刺激”至少表现在如下四点:首先,胡克在1679年12月9日的信中所提出的、物体的下落运动是由直向运动和指向中心的吸引运动所合成的,因而将下落运动转换成曲线,尤其是圆周和椭圆运动问题来处理的思想,无疑地对牛顿产生了影响。其次,胡克关于吸引力平方反比关系的“猜测”、其对开普勒行星运动经验定律的错误“概括”以及综合得到的错误“结论”,致使牛顿认识到有待进一步研究的必要。第三,胡克指出,太阳或中心天体的吸引力是天体运动的原因,还进一步地视它们为物理点,牛顿一度接受了胡克的这一观点。第四,胡克的书信激发了牛顿应用几何图形法来“证明”椭圆轨道上引力平方反比关系,牛顿在1686年7月14日致哈雷的信中承认了这一点:“这是真的,他(指胡克)的信使我偶然发现应该用图形法,在椭圆上的验算是靠图形法的研究来进行的。”令人惊讶的是,牛顿对胡克的这封信却采取了沉默的态度。

胡克在1680年1月 17日再次“催促”牛顿,也是未有回音。牛顿拖延到将近一年后的12月3日,用几句不关痛痒的客套话来搪塞胡克。那么,在1679年12月13日至1680年12月3日这段近一年的时间内,牛顿在胡克书信的刺激下,尤其是其将落体运动转换为曲线运动、以及运动合成的圆周运动理论中新力学思想的影响下,重新认识到惯性原理的物理意义,掌握了开普勒面积定律与有心力作用之间的逻辑相关性,并写作了《论椭圆轨道》(On Motion in Ellipse)原始手稿,牛顿在这一手稿中应用几何图形法解决了开普勒命题,

即综合证明了椭圆轨道上引力平方反比定律。

三、椭圆轨道上引力平方反比定律的证明

牛顿是在《论椭圆轨道》中证明椭圆轨道上引力平方反比定律的。牛顿在手稿的一开始就提出如下三条“假设”(Hypoth):“假设1。只要物体不为阻力或其他外力所阻碍,它将在直线上作匀速直线运动。假设 2。运动的改变永远正比于

使运动发生改变的力。”在“假设3”中,牛顿给出了同时作用

的、运动合成的平行四边形法则。紧接着,牛顿应用假设1、3

,显然也发挥了胡克的运动合成思想,并引入量“无限地”变小

的极限概念,来分析物体在有心力作用和惯性作用下两种运动

合成的瞬时效应,以证明开普勒面积定律等价于一有心力作用:

“命题1:如果一物体在真空中运动并被一不动的中心所吸引,

它将在一平面中运动,且在相等的时间内,物体与中心的连线,扫过的面积是相等的。”这样,牛顿摒弃了以往学者对开普勒面积定律的各种修补、注释,最早地认识到开普勒面积定律及其与笛卡儿惯性定律之间逻辑联系的物理意义,为开普勒命题的解决铺设了道路。

牛顿根据命题1的结论,并利用吸引力与“偏离量”的对应关系,来论证椭圆轨道上运动的物体、在特殊位置(椭圆的顶点)所受的吸引力与物体至焦点距离的平方反比关系(命题2)。牛顿为了将上述结论推广到复杂的、物体在椭圆轨道上任意点的受力情形,在命题2之后插入了说明椭圆曲线性质的三个“系定理”。牛顿在给出解

决开普勒命题的数学手段之后,应用比例方法和“系定理 3”(YXI/AB×PQ=YZ2/KL2),并结合吸引力与“偏离量”的对2222应关系,证得:FP/Fp=XY/xy=YZ/yz=pF/PF(见图2),

即:“命题3:如果物体受到一指向椭圆焦点的吸引力作用,并且该力的大小足以维持物体在该椭圆上运动,则吸引力与物体到焦点距离的平方成反比。”这样,牛顿应用图形法解决了开普勒命题,综合证明了椭圆轨道上引力平方反比定律。这一问题的解决,不仅标志着牛顿成熟掌握了动力学基本原理,而且它与牛顿有关质量概念的明确、向心力概念的引入,以及运动第三定律的提出,一起构成了牛顿在1685至1686年发现万有引力定律的基本前提。平方反比关系的确立,标志着万有引力定律已基本成形。

四、万有引力定律的验证

牛顿万有引力定律发现的意义是极其巨大的,他标志着现代天文学的开始。早在1682年,哈雷在访问巴黎天文台时,恰好遇上了一颗大彗星,他与台长卡西尼(Jacques Cassini,1677~1756)一道观测了这颗彗星,并计算了彗星接近太阳时的轨道,从此,他对牛顿提出的彗星也服从万有引力定律的观点使哈雷感悟到:如果彗星是在一个以太阳为焦点的椭圆轨道上运行,那么,有朝一日它还会转回到太阳附近,地球上的人们可以再次看到它.基于这个想法,哈雷应用万有引力定律开始了彗星的研究.他首先确定了1337—1698年间出现的24颗彗星的轨道要素,以这些彗星的位置记录为出发点,查阅了前人的研究文献,发现开普勒于1607年观察到的一颗彗星与自己1682年观测的彗星描述相符,两次彗星出现的时间间隔是75年.如果75年是这颗彗星的周期,只要依此前推就可以找到它先前的记载.哈雷继续对照查证,又找到一颗出现于1531年的彗星与前两颗有极其相似的轨道,但是时间间隔却是76年.为什么这三颗彗星的记载和轨道如此相似但间隔时间却有差异呢?根据牛顿的万有引力理论,哈雷认为这是因为彗星围绕太阳运行时受到其他天体(如土星、木星)的引力影响,其运动轨道偏离了原来的轨道——即“摄动”的结果.由于“摄动”影响,彗星的运动会偏离原椭圆轨道,从而导致了运动周期的变化,因此它的每一次出现不可能遵循完

全相等的时间间隔.

1705年,哈雷出版了《彗星天文学论说》一书,书中论述了他应用《原理》中的力学理论计算出1337—1698年间观测到的24颗彗星的轨道.哈雷指出,出现于1531、1607和1682年的三颗彗星应是同一颗彗星的三次回归,并大胆预言,这颗彗星一定会再次回来,回归的日期在1758年底到1759年初,时间间隔是76年.牛顿在《原理》第三版序言中首肯了哈雷的研究,他说:“哈雷博士比以前更精确地计算了该彗星的椭圆轨道,沿此轨道,彗星穿越天穹九宫,其精确性与行星在天文学给出的椭圆上运行并无二致”.

1758年岁末,哈雷去世后的第16年,一颗拖着美丽长尾的彗星跃上昏黄的夜空,哈雷的预言实现了!人们慷慨地称它为哈雷彗星!作为人类所确认的第一颗周期彗星,哈雷彗星的回归,说服了最后一批牛顿力学的怀疑者.不仅1758年,在以后的漫长岁月中,1835年、1910年、1986年,哈雷彗星都如期地回归过地球,科学的预言一次又一次地证实了牛顿理论的正确!

牛顿把他的引力定律应用于地球的运动时,第一次解释了从普鲁塔奇时代以来就已经知道的岁差现象。他指出,因为地球自转轴与其轨道平面(黄道面)成一倾斜角,所以作用在地球赤道鼓出部分的太阳引力,一定要引起地球的自转轴绕着垂直黄道面的直线缓慢地转动,转动周期约26000年。这种解释遭到了天文学家的强烈反对,因为那时人们根据一些错误的测量结果,以为我们的地球不是象南瓜的形状那样在赤道部分略宽一些,而是更象西瓜那样,两极之间的距离比赤道的直径大。为了解决这一争论,法国数学家德·莫伯特斯(PierreLouls Moreau de Maupertuls,1698~1759)组织了一次探险,冒着遭遇到狼群的很大危险,到拉普兰(芬兰北部区域)去测量北纬子午线一度的长度。他的测量证明,牛顿的观点是正确的。法国文豪伏尔泰写信给他开玩笑说:“你为证实它,在不毛之地奔跑,牛顿坐在家里就早已知道”。

18世纪末19世纪初,人们对天王星的运动的观测和理论结果之间存在着明显的偏差。英国青年大学生亚当斯(John Couch Adams, 1819~1892)在 1843年到 1845年,法国天文学家勒维烈(Urbain Jean Joseph Leverrire,1811~1877)在1845年,各自独立地根据牛顿理论进行了计算,预言了在天王星轨道之外的一个未知行星的质量、轨道和位置。勒维烈将他的计算结果写信告诉了柏林天文台的伽勒(Johann Ottfried Galle,1812~1910),伽勒于1846年9月23日夜间在预定的地点发现了一颗新的行星,这就是对天王星的运行产生规则的摄动作用的海王星。法国著名科学家阿拉果高度评价了海王星的发现,他说:“天文学家有时偶尔碰见一个动点,在望远镜里发现一颗行星,可是勒维烈发现这颗新的天体,却没有朝天望一下,他在他的笔尖下便看见这颗行星了。只靠计算的力量,他决定了我们所知道的行星的疆界之外的一个天体的位置和大小,这是离开太阳12亿里的一个天体,在最大的望远镜也看不出它的园轮来的。”牛顿万有引力定律的发现,在近代自然科学史上具有划时代意义的伟大事件。

范文五:“苹果落地”与万有引力定律的发现 投稿:赖媚媛

作者:宋连义

中学物理教学参考 2003年11期

  经常有这样一种说法认为,牛顿看见苹果落地发现了万有引力定律,而且这种说法被广为传播.关于“苹果落地”的故事是:有一天,牛顿坐在苹果树下思考问题,一个苹果从树上落下,引起牛顿的思索,苹果在空间,哪个方向都可飞去,为什么偏偏坠向地面,一定是地面和苹果的相互吸引,整个宇宙都会有引力的作用.由此牛顿发现了万有引力定律.据说这是牛顿的侄女在1730年告诉法国启蒙哲学家伏尔泰的,伏尔泰借此大作文章来宣传自然科学.

  威廉·斯塔克雷1752年写的《牛顿传记》中有这样的记载,当时斯塔克雷与牛顿正坐在花园中的苹果树下喝茶.由于苹果的下落引起了牛顿的思考(当时他头脑中正在想着引力的问题):为什么苹果总是竖直落向地面?为什么不斜向运动呢?……(见《天空中的运动》杰拉尔德·霍尔顿等编)英国人很重视这个故事,过去他们常常把那株苹果树指给好奇者赏识,后来树倒了,便砍成若干块存作纪念.

  也有这样的说法:“公元1666年牛顿住在故乡沃尔斯索普村,当时注意力正集中在引力问题上.因见苹果坠地,引起了引力必能过空间的想法.牛顿以此为线索,考虑到‘地球吸引苹果,无论苹果树之高低如何,必皆如此”;“我们不能到数哩以上的高度去做实验,但引力必能达到遥远的高度,是毫无疑问的”.设想苹果由百哩高处落下,受地球的引力作用,其速度逐渐增大直至到达地面为止,牛顿认为这是“显见之事”,虽然地球的“引力会因高度之增加而减小”.(见《天文学名人传》)

  还有这么写的:一天,牛顿在花园里想着月亮为什么会绕地球运行?恐怕是地心引力.因为很普通的事情:绳子一端系一石子,手握另一端,可使石子沿圆周转圈,此时若割断绳子,石子便会飞走.可见月亮绕地球转圈,必定受到地心引力,这引力有多大?多远的地方才不受地心引力的影响?脑中正在思索,忽听一声响,一只成熟的苹果落下来了.牛顿顿时想到:这是地心引力!苹果能从树上落下,一定也能从很高很高的空中落下.由于地心引力,它不会落到别的空间.那么月球也是一个东西,也一定受着地心引力,月球的运动和苹果落地是同样受引力作用的结果.…

  从上引述可见“苹果落地”的故事在许多书有记载.但是,有人认为牛顿看到“苹果落地”忽然想到了“万有引力”,这显然是错误的.牛顿正在思考“引力”问题,同时由此得到启示,或者牛顿用“苹果落地”这一常见的事实在阐明自己关于引力的想法,则是可能的.这个故事的重点,并不在于苹果落地本身,而是“可能就是使苹果落地的这种力,使月亮维持在自己的轨道上.”牛顿的贡献并不在于“发现引力”,因为伽利略试验落体和投射时,已见到东西被吸引而掉向地面;开普勒在描画行星轨道时已模糊地意识到引力的作用,在他1605年给胡瓦特的信中提到把“天体机器比做时钟装置一样”,“是由单一的十分简单的磁力来实现其各种各样运动的”(受当时出版的威廉·吉尔伯特关于磁的著作的影响,开普勒设想自太阳发出的磁力驱使行星沿轨道前进).牛顿的贡献在于将地面上的原理规律应用于宇宙,使天与地的一些力学规律实现了统一.

  关于万有引力定律的问世,牛顿熟知力的效果是产生加速度,如果月球受地球的引力跟苹果受到的地心引力性质相同,且吸引力随1/R[2]而改变.已知地面上的落体加速度g=9.8米/秒[2],地心和月心的距离差不多是地球半径的60倍,那么月球受引力作用指向地球的加速度a=g/60[2]=0.0027米/秒[2].牛顿也知道月球绕地球运动的周期T=(27)1/3天=2.36×10[6]秒.那么月亮做圆周运动的向心加速度a=4πR/T[2],我们将R=6400公里,T=2.36×10[6]代入,可得a=0.0027米/秒[2].两者对照,可见前面所作的“性质相同”和“平方反比”的假设是正确的.

  据说牛顿在1666年就得出了万有引力定律,由于当时他居住在老家沃尔斯索普村(1665~1667年瘟疫席卷英国,剑桥大学被迫停学),手头缺乏资料,凭记忆将地球上每一纬度相隔的距离算作六十一哩弱,得出地球半径为3440哩(约5500公里),计算的结果比预定的要小1/6,牛顿感到失望,就扔一边了.到1672年,牛顿又想到了引力问题,得知法国人皮伽耳测量计算出来的每纬度间隔是六十九哩强,算得的地球半径约是4000哩(约6340公里),以此值代入计算,结果相符合,他十分高兴.但是牛顿并不想着急于发表结果,而是抓住一个个行星埋头计算,持续了两年,并写成了《原理》第一本.他把底稿放到箱子里,又去研究别的问题了.他所以不愿付印发表,是因为他过去写了一部关于光学的著作,发表后引来了跟别人的争执,他不想再因“引力问题”招惹麻烦.幸亏天文学家、牛顿的好友哈雷1684年和胡克发生了争论,争论的问题是根据开普勒定律必有力作用于行星上,才能使行星做椭圆运动,而且应遵守平方反比定律.可是哈雷证明不了,于是就去向牛顿请教.牛顿答道:“对于这个问题我早已计算好了”,经过一点迟疑,牛顿把《原理》交给了哈雷.哈雷十分惊喜,说服了牛顿,把稿本送到皇家学会审阅.皇家学会想把它出版出来,可是不久又称经济困难不出版《原理》.牛顿告诉哈雷,《原理》计划共三本,可是怕跟胡克发生争执,准备把第三部分压下来,只出两本.哈雷立刻答复牛顿,不要因别人的妒忌而烦恼,压下第三部分的决定是悲观的无价值的.在哈雷的热情鼓励下,牛顿用了不到两年的时间,写成《原理》一书,最后在1687年全部出版了.《原理》的头二本,是专门讨论物体的运动.第三本叫《天文系统》,在这本书中,牛顿把引力定律推广到整个宇宙.

  1798年,距离牛顿发现万有引力定律又过了一百多年,卡文迪许在实验室里测定两个物体间的万有引力,计算出了万有引力常量G的值(当时为6.71×10[-8]达因·厘米[2]/克[2],1979年G的数值为6.6720×10[-11]牛顿·米[2]/千克[2]).

作者介绍:宋连义,山东梁山第一中学

范文六:万有引力定律的发现与应用 投稿:钱狐狑

万有引力定律的发现与应用

物理小论文

PB05000821 吴瑞阳

万有引力定律的发现

我们大家都知道万有引力定律是牛顿发现的,小时候我们也听说过牛顿看到苹果落地而发现万有引力的故事。但它的发现岂只是看见苹果落地这么简单? 万有引力公式:FGM1M2其中G为万有引力常量。在牛2R

顿的时代,一些科学家已经有了万事万物都有引力的想法。而且

牛顿和胡克曾经为了万有引力的发现权发生过争论。有资料表明,

万有引力概念由胡克最先提出,但由于胡克在数学方面的造诣远

不如牛顿,不能解释行星的椭圆轨道,而牛顿不仅提出了万有引

力和距离的平方成正比,而且圆满的解决了行星的椭圆轨道问题,

万有引力的优先发现权自然归属牛顿。

正如他所说过,牛顿是站在巨人的肩膀上。开普勒的研究成果对万有引力的发现有着不可磨灭的贡献。开普勒是德意志的天文学家,他的老师弟谷把一生的天文观测资料留给了他。在此基础上,开普勒经过20年的计算和整理于1609年发表了行星运动的第一、第二定律。后来又发表了行星运动的第三定律。

在牛顿的回忆录里可知,牛顿最先研究的是月亮的运动。牛顿的平方反比律是由开普勒的行星运动第三定律得出的。要对椭圆轨道情况进行计算,显然牛顿还必须有一些关于微积分和基本力学定律的概念,牛顿在基础力学上有过众多发现,同时牛顿和莱布尼茨各自独立的发现了微积分。牛顿应用了微积分来计算万有引力。关于万有引力定律的发现权,历史的结论是:它是牛顿发现的。万有引力的表达式为 fGMm,它的建立是牛顿定律和开2r

普勒定律的综合的结果,而牛顿在其中起了关键的作用。

万有引力定律的建立

一.平方反比律的确定

1.从理论计算得出平方反比的假设:

为了简便起见,可把行星运动轨道看作圆形(把行星轨道看作圆形时,课本上已有相关证明),这样,根据面积定律,行星应作匀速圆周运动,只有向心加速度a=v2/r,其中,v是行星运行速度,r是圆形轨道的半径。

根据牛顿第二定律: f=ma

mv2

有 f

r

又由 v2r T

r3

由开普勒第三定律K2,K是与行星无关的太阳常量 T

即 1KT2r3

42mK于是 f „„① r2

牛顿得到第一个结果:如果太阳的引力是行星运动的原因,则这种力应和行星到太阳的距离的平方成反比。

2.平方反比假设的验证:

牛顿“苹果落地”的故事广为流传。故事大意是说,1665-1666年感染病流行,牛顿从剑桥大学退职在家,一天,他在花园里想重力的动力学问题,偶然看到苹果落地,引起他的思考。在我们能够攀登的最远距离上和最高山颠上,都未发现重力有明显的减弱,这个力必然到达比通常想象的远得多的地方。那也应该高到月球上。如果是这样,月球的运动必定受它的影响,或许月球就是由于这个原因,才保持在它的轨道上的。

设想月球处在它的轨道上的任意点A(见图),O是地心,如果不受外力,它将沿一直线AB运动,然而实际它的轨道是弧线AP,AB与轨道在A点相切。则月球向O落下了距离BP=y , 令弧长AP=s=2πrt/T ,

而 cosθ≈1-2/2, θ=s/r A B 则 y=r (1-cosθ)≈s2/2r =4π2r2t2/2rT2=2π2rt2/T2, s

在地面上t时间内一个重物下落距离为 P

2y=gt/2 r

由此得

O y/y’ =4π2r/gT2

月球绕地的周期T=27.3d ≈2.36×106 s,地面上的重力加速度g=9.8 m/s2,地球半径R的准确数值是6400km,古希腊的天文学家伊巴谷通过观测月全食持续的时间,曾相当精确的估算出地月距离r为地球半径的60倍,则r=60 R=3.84×105km用这个数值代入,即得

y/y’ =1/3600

而 R2/r2=1/3600

y/y’=a/g=ma/mg=f/mg= R2/r2

所以: f=mg R2/r2 即:力和距离的平方成反比

二.与m和M成正比的确定

①式表明力与被吸引物体质量m成正比,同时根据牛顿第三定律,力的作用是相互的,f是M对m的作用,f’是m对M的作用,f与m成正比,则同理f’必与M成正比,又f =f’,则f必同时与m和M成正比。①式可写成:

f=GMm/r2, „„②

其中G是万有引力常量。

三.万有引力常量的G测定

既然有了万有引力的表达式,那就要测出万有引力常量。测量万有引力常量G的数值,就要测量两个已知质量的物体间的引力。1798年,卡文迪许(H.Cavendish)做了第一个精确的测量。

他所用的是扭秤装置,如图所示,两个质量均为m的小球固定

在一根轻杆的两端,在用一根石英细丝将这两杆水平的悬挂起来,

每个质量为m的小球附近各放置一个质量为M的大球。根据万有

引力定律,当大球在位置AA时,由于小球受到吸引力,悬杆因受

到一个力矩而转动,使悬丝扭转。引力力矩最后被悬丝的弹性恢复

力矩所平衡。悬丝扭转的角度θ可用镜尺系统来测定。为了提高测

量的灵敏度,还可以将大球放在位置BB,向相反的方向吸引小球。

这样,两次悬杆平衡之间的夹角纠正大了一倍。如果已知大球和小

球的质量M,m和他们相隔的距离,以及悬丝扭力的相关系数,就可

由测得的θ来计算G。卡文迪许测定的万有引力常量值为:

G=6.754×10-11m3/kg·s2。万有引力常量是目前测得最不精确的一个

基本物理常量,因为引力太弱,又不能屏蔽它的干扰,实验很难做。从卡文迪许到现在已近200年,许多人用相同或不同的方法测量G的数值,不断地改进其精度。国际科学联盟理事会科技数据委员会(CODATA)1986年推荐的数值为

G=6.67259(85)×10-11 m3/kg·s2,

不确定度为128/1000000(即万分之1.28)。

万有引力实验演示

一,实验现象:

一些科技博物馆里又如图的演示装置: 一个类似碗状,但是碗壁向内拱入的圆盘。一个粘有油墨的小球以较低速度从圆盘边缘进入,在圆盘上绕中心滚动并留下痕迹。可以观察到,随着时间变化,小球的速度越来越快,到最后掉入中间的小洞。而且越到中间小球的半径变化越缓慢(也就是说小球的轨迹在中间是最密集)。小球的轨迹并不是正圆的,而是一种半径越来越小的圆弧。(如果两个小球先后进入盘中则会有角位移前后追赶的现象。)

二,原理解释:

1,为什么用它来演示万有引力定律 fdr由万有引力定律的表达式可以推知,行星势能为Wr

而实验中用重力势能来代替万有引力势能mgh= -GMm/r

所以只要满足h=-GM/gr则可以用重力势能来代替万有引力势能。

同时r表示物体间的距离。当图示曲线绕h轴旋转后便会形成实

验中所用到的曲面,当曲线如图时:dh/dr=GM/gr2, GMm rr

cosdh(/dr)gr2/(GM)2(gr)2

f=mgtanθ=mgdh/dr=mgGM/gr2=GMm/r2 所以不论从能量还是从力的角度来讲,这个实验模型可以模拟演示万有引力。

2,为什么小球会越来越快

由离心力f=mv2/r=F知,动能为E k=1/2mV2=1/2GMm/r,由公式可见,r

越小动能越大,

自然速度会越快。

3,为什么小球到中间轨迹密集

这是一个有耗散力做工的系统,在旋转的时候摩擦力做功发热耗散掉一部分能量

w=fds,而f的大小只与接触的压力和摩擦系数有关系,在距离为r处的摩擦力转一周做功

23222为:w=fds =2πrmgµcos[arctan(dh/dr)]= 2mgr/(GM)(gr) 

又:dE/dr= GMm/r2,可见在r越大的时候,势能的变化越慢,故在外圈时,变化一个小量dr后势能的变化不如内圈的大,而转一圈消耗能量却比内圈大。所以在里圈旋转时,转动位置每下降一小段,可供小球旋转的能量就较多,而小球每转一圈摩擦力消耗能量较少,故小球在同样的一小段距离上会比外边多转几圈。

4,小球的轨迹为何是一个不断向里缩进的圆弧

如果盘面足够光滑,即没有摩擦力做功,则小球的轨迹会是什么样的呢?

A,小球在进入圆盘边缘时恰好获得的动能足够在盘的边缘运动所需的动能:

mgh=1/2 mv2 即:F=mv2/r则小球会沿着圆盘边缘做正圆轨迹的运动

B,小球在进入圆盘边缘时未达到在圆盘的边缘运动所需的动能:

Mgh〉1/2mv2,F> mv2/r则小球会做正圆轨迹的运动同时径向有一个分运动(缩小半径把势能转化为动能直到满足平衡为止)到某一半径时会达到F=mv2/r在此处做正圆运动

C,小球在进入圆盘边缘时的动能超过在盘的边缘运动所需的动能:

Mgh<1/2mv2,F

实验中模拟的只是B情况。

下面再考虑摩擦力:

由于摩擦力作负功,在运动过程中,小球的动能在不断损失,这就要求小球能不断的缩小半径来寻找新的平衡,直到最后半经过小、能量不足而掉入中间的小孔

因此就有:小球的轨迹是一个不断向里缩进的圆

5,两个小球为什么会有角度相互追赶?

由万有引力公式知:角速度ω=/R3,故半径越小,角速度越大。先后进入的两个小球的角速度总是先进入的大于后进入的,所以在一段时间里总是前面的小球转过的角度比后面的多,因此角度差一直在增大,先进入的球会超过后进入的球多圈,所以看上去总是两个小球一会儿这个在前,一会儿另一个在前,相互追逐。

万有引力的应用

万有引力定律作为一个自然界最基本的定律,无论是在理论研究还是工程设计等各种时候都有着极其广泛的应用。比如航天中,航天器与天体接近时的万有引力可以作为一种有效的加速办法(弹弓效应);宇宙物理中常常以测定天体的万有引力产生的效应来断定天体的位置和质量;在电磁探测受局限的地域,可以通过万有引力的测量计算,来探知地下的物质

密度,从而断定地下矿藏的分布或是地下墓穴的

规模和位置;在另外一些领域,比如精密工业中

的超圆滚球体的制造,可以选择在太空生产,因

为那里有理想的受力环境(因为在宇宙飞船上物

体处于失重状态,而又由宇宙大尺度分布的均匀

性,其他星体的引力又可以忽略不计);以研究生

物在太空无重力(亦即万有引力语离心力平衡抵

消)为对象的项目已经发展成一门高新前沿的科

技。如果将蔬菜水果种子带到太空中,在无重力

环境与宇宙射线的影响下,有些变异品种的品质

与地球上的品种相比大大提高。 0

事实上,万有引力定律常常是理论研究的最基本最常用的公式之一。以下就举一个实际应用的例子来说明这一点。

人造卫星的发射过程:

1,当我们要发射一颗地球卫星是我们只要以一定的角度和一定的初速度把卫星发射向太空,这个速度的理论值由万有引力定律可推知为:7.9km/s。万有引力定律给我们确定了卫星上天的边界条件。当然实际发射中还要去考虑阻力问题,并且不是瞬间加速到此值,是一个渐加速过程,这就是较复杂的了。

2,当我们要求卫星成为一个太阳的卫星时,我们的发射速度的理论值会高达11.2km/s。同样实际过程中速度也不会达到此值,而是渐加速渐升高。

3,当我们要求卫星成为一个太阳外的天体时,我们的发射速度的理论值会高达16.7km/s。实际过程中速度也不会达到此值,事实上我们还故意把飞行器发射到太阳系天体的附近,利用飞行器和天体间的万有引力,应用弹弓效应来改变飞行器的速度和方向。

从以上的应用中可以看出万有引力的重要地位。万有引力的概念在刚被提出的时候曾引起了一次“科学革命”。在随后的那个时代里,因此而引发了研究探索宇宙的热潮,产生了许多新的学科及项目,并有了众多新的发现。这些研究成果至今仍与我们的生活息息相关。万有引力定律的发现推动了整个人类文明的进程,是人类在认识宇宙的道路上迈出的一大步,也是极其重要的一步!

我们更有理由相信,万有引力在将来的科学探索研究中仍然会发挥相当重要的作用。

范文七:万有引力定律的发现历程 投稿:夏唆唇

万有引力定律的发现历程

在很早以前,人们就在不断地探索天体运动的奥妙.亚里士多德曾提到过力的概念,他认为力是产生非自然运动的原因,力的作用只有在相互接触时才能传递,因此,对于遥远的天体,这个力是毫无用处的.开普勒为天体运动奥妙的揭开做出了重大贡献,但却未解开天体运动的动力学之谜.1645 年法国天文学家布里阿德提出一个假设:从太阳发出的力,和离太阳距离的平方成反比.笛卡儿1644 年提出“旋涡”假说,把行星的运动归结为动力学原因.1666 年意大利的玻列利提出引力是距离的幂的某种函数.1673 年惠更斯在研究摆的运动时给出了向心加速度理论.英国的胡克已经觉察到引力和重力有同样的本质,1674 年他提出引力随离吸引中心距离而变化,1680 年他又进一步提出了引力反比于距离的平方的假设.哈雷的伦恩从圆形轨道与开普勒定律出发,导出了作用于行星的引力与它们到太阳的距离的平方成反比.当科学的接力棒传到了牛顿手中时,他便向万有引力定律的红线冲刺了.他站在前人的肩上,发挥他卓越的才能,建立了万有引力定律,为科学做出了重大的贡献.

牛顿发现万有引力定律的过程中包含着丰富的物理学思想和物理学方法论内容,其主要的思路与运用的物理学方法大致体现在以下几方面.

一、运用科学想象和推理,牛顿论证了行星运行都要受到一个力的作用

牛顿对行星运动的研究工作首先是从研究月球开始的.牛顿想象,如果没有任何力作用于月球的话,根据牛顿当时已发现的牛顿第一定律可知,月球就应当做匀速直线运动.但月球是绕地球作圆周运动,所以月球必定要受到力的作用.牛顿当年写道:“没有这种力的作用月球不可能保持在自己的轨道上;如果这个力比轨道所需的力小,则它使月球偏离直线的程度不够;如果这个力比轨道所要求的力大,则它使月球偏离直线的程度太大,并使月球的轨道更靠近地球.”

那么迫使月球绕地球旋转的力的性质是如何的呢?据说,有一次牛顿正在思考这个问题时,忽然看到一个苹果从树上掉了下来,他吃了一惊,同时便陷入了沉思.当时已知苹果是受重力作用而下落的,他推想,如果苹果树长得很高,熟透了的苹果会不会落地呢?当然是会的!但如果苹果树长得象月球那么高,树上的苹果是否还会落地呢,牛顿作了合理的设想,设想这种作用力的范围要比通常所想象的还要大得多,比如说,很可能一直延伸到月球那么高,因此,这样既使苹果树长得象月球那么高,苹果仍会落地的.正是这种作用力使地球对月球施加影响.同时,从开普勒第一定律(行星沿椭圆轨道绕太阳运行,太阳位于这些椭圆的一个焦点上)可知,各行星和卫星都是沿椭圆形路径运动(非匀速直线运动)因此,根据牛顿第一定律便可推知,各行星如卫星的运动都要受到一种力的作用.

二、运用类比方法,牛顿推证了行星运行所受到的力是一种连续地指向一确定中心的作用力

牛顿在由地面上的苹果下落联想到天上的月球也受一种力的作用,但进而思考,月

球为什么不会象树上的苹果那样落地呢?这样他又联想到物体的旋转问题:绳子的一端系着一块石头,另一端抓在我们手中,让石头作旋转运动,这时如果我们松手,石头就会沿直线轨道飞出去,这说明石头之所以作圆周运动是由于一种力拉着石头.进而类比,这块石头好比月球,而我们的手又相当于地球,手通过绳子施于石头的力又很相似于地球施于月球的作用力.

牛顿接着又描述了从高山上平抛一个铅球的理想实验,他设想,从高山上铅球平抛出去,本来应当笔直的前进,可是在重力作用下,它就沿抛物线落到了地面.如果平抛速度增加,它就会落得更远一些,再增加抛出速度,则铅球可能会绕地球半圈.当抛出速度足够大时,铅球就会绕地球一圈、两圈、乃至永远绕地球作圆周运动而不落回到地面上,这说明,只要有一个指向确定中心点的力,又具有足够的初速度,则物体就可作圆周运动.把月球类比于这个铅球,则可知,月球受一个指向确定中心点的力,所以才会作圆周运动.行星也应如此.

牛顿进一步在开普勒第二定律的基础上改换问题的提法,开普勒第二定律是说:对于任何一个行星来说,它的矢径(行星到太阳的联线)在任何地点、在相等的时间内,沿轨道所扫过的面积相等.(这条定律也适用于月球绕地球的运行)牛顿则寻找在相等的时间间隔内物体若受一指向确定中心的力的作用,物体到中心联线扫过的面积存在什么规律?牛顿从数学上证明了(证明过程从略)在这种情况下,各面积之间存在相等的关系.牛顿接着又证明了这个命题的逆命题,即在任何一曲线上运动的物体,如果它到一确定点的连线在相等时间内扫过相等的面积,则物体受一指向该确定点的向心力.牛顿接着由开普勒第二定律所概括的现象推出行星或卫星受一连续的指向一确定中心的力,并且这个中心就在椭圆的一个焦点上.

三、运用数学方法,牛顿推导出行星运行所受到的向心力遵从平方反比定律

牛顿在由开普勒第二定律得到的存在一个连结指向一确定中心点的力作用于行星上的基础上,进一步去寻找物体在前人提出的椭圆轨道上运动时,所受的指向椭圆焦点的向心力的规律.牛顿利用了开普勒第一定律,用数学方法证明了(证明过程从略)沿所有圆锥曲线(或双曲线、抛物线、圆、椭圆等)在任何时刻的向心力必定与该物体到焦点的距离平方成反比,其数学形式为

F=c/R 即——向心力定律 2

式中R 是从该物体中心到椭圆焦点的距离,c 为该物体的一个常数.

牛顿由开普勒第三定律进一步推知向心力平方反比定律.其数学推导为:

设某一行星的质量为m,行星的运行轨道近似圆(由于行星椭圆轨道的偏心率很小,如地球为0.0167,因而其轨道可近似看作圆)根据开普勒第二定律,可将行星视为匀速圆周运动由牛顿第二定律.

v2m2R242mR)F=ma=m·( 式中m—行星质量,T—行星运行周期,R—RRTT2

圆周轨道半径.再由开普勒第二定律.

T2= kR3 代入上式得

42m42

F 令 得 kR2k

m R2

式中μ是一个与行星无关而只与太阳的性质有关的量,称为太阳的高斯常数;m 为F行星质量.由上式可知:引力与行星的质量成正比.

牛顿通过研究引力使不同大小的物体同时落地和同磁力的类比,得出引力的大小与被吸引物体的质量成正比,从而把质量引进了万有引力定律.

牛顿又进一步用实验作了验证:他用摆做了一系列实验,实验的结果以千分之一的准确度表明,对于各种不同的物质,万有引力与质量的比例始终是一个常数.

牛顿又接着作了大胆的假设,行星受到的引力与太阳的质量有关,并用数学作了推证地球对一切物体包括太阳的引力应为

M R2

μ′—地球的高斯常数,M—太阳的质量 m太阳对地球的引力为F2,式中m—地球的质量,μ—太阳的高斯常数 R

根据牛顿第三定律有:F=F′即

mM22 G RMmR

G 是一个与地球和太阳的性质都无关的恒量,所以引力的平方反比定律的数学形式为

MmFG2 RF

四、运用演绎推理方法,牛顿把引力的平方反比定律推广到一切物体,得出一切物体间均存在引力的结论

牛顿得到平方反比定律之后,寻求进一步的原因:符合这个定律的力是什么性质的力?它是由什么决定的?

牛顿首先由月球运行情况探讨了使月球保持轨道运行的力与重力之间的关系.由平方反比定律可知,月球受一指向地球的力的作用,它与月球到地心距离的平方成反比.通过数学计算和实验验证,牛顿得到了月球受的向心力就是重力的结论,这样牛顿就把地面落体运动的原因和月球运行的原因归于同一了.

此后,牛顿运用牛顿第三定律推知,地球对月球也有引力,地球对太阳也有吸引力.牛顿由木星卫星和木星有吸引、土星与土星卫星有吸引,行星与太阳之间有吸引力等现象出发,认为这些和月地之间的现象系“同类现象,使月球不能出离轨道的力的原因可推至于一切行星”.这样,牛顿就把天体和其运行中心之间的力都归于引力.

此后,他又由土星、木星会合点附近相互间的“运动失调”以及太阳使月球的“运

动失调”现象,提出行星之间和恒星与卫星之间均有引力的作用,于是才提出了万有引力的假说.这样,牛顿由研究月球、地球,以至研究行星、恒星、卫星等推出了一切物体相互间均存在引力的结论.

五、运用归纳概括方法,牛顿总结出了万有引力定律,完成了万有引力定律的发现工作

牛顿对提出的万有引力假说进行了充分的论证,牛顿由原来得出的天体运行向心力平方反比定律,得出万有引力符合平方反比关系;由引力使不同大小物体同时落地,得出引力的大小和被吸引物体的质量成正比;又由牛顿第三定律,得出吸引物体和被吸引物体的区分是相对的,所以引力也和吸引物体的质量成正比,从而得出引力符合FGm1m2.这样,牛顿就完成了万有引力的发现工作. 2R

牛顿发现的万有引力定律的内容为:宇宙间的任何物体之间都存在相互作用的吸引力,这种吸引力的大小与它们的质量的乘积成正比,与它们之间距离的平方成反比,作用力的方向是沿两物体的联线方向,即

FGm1m2 2R12

G 为引力恒量(引力常数);m1m2 分别为两个相互吸引的物体的质量;R12为物体m2 与m1 的质心间距离.

六、运用科学观察和科学实验验证万有引力定律理论

牛顿的万有引力定律是经过科学观察和科学实验的检验后才得到普遍承认的:

1.关于地球形状的测定牛顿根据他的引力理论指出,地球不是正球体,而是两极方向稍扁的扁球体,后经过法国科学家的几次测量证明了牛顿的推论是正确的.牛顿这个足不出户的人正确地给出了地球的形状,这显示了牛顿理论的威力.

2.地月验证由运动学公式可计算出月球的向心加速度

v242

an2R RT

已知R=3.84×108 米;T=2.36×106 秒 得出

an=0.27 厘米/秒2

又由万有引力定律,引力的大小与距离的平方成反比,月球与地球间的距离约为地球半径的60 倍,因此,其加速度应是地面加速度的1/602

即a =980/602 =0 27(厘米/秒2)由此可见,计算月球向心加速度,从引力定律出发得到的结果与用其它方法得到的计算结果相同,这也从一方面验证了万有引力定律的正确性.

3.哈雷慧星回归周期的证实。牛顿认为慧星并不象一些人所认为的是一种神秘天体,它同样应遵循力学规律.英国天文学家哈雷参照从前慧星的出现情况,运用牛顿的万有引力理论预言这颗慧星(后人称为哈雷慧星)将于1758 年出现,后经克雷洛计算了木

星和土星对这颗慧星的摄动作用,指出它将推迟于1759 年4 月份经过近日点,这个预言果然被证实.

4.引力恒量的测定从地面上的实验对万有引力定律提供了直接证明,1798 年英国物理学家卡文迪士把两个小铅球系在一根直杆的两端,用一根细线从中间吊起,然后用两只大铅球靠近小铅球,经过细线的扭曲测量了大球与小球之间的引力作用,从而得出了引力恒量之值:G=6.71×1013 牛顿[厘米]2/克2 .卡文迪士的实验以后又被重复了许多次.并据此计算出了地球的质量与密度,引力恒量的测定为万有引力的计算提供了可能.

5.海王星的发现天王星发现后,人们发现天王星的轨道的理论计算总是同实验观测有出入,法国的勒维列和英国的亚当斯根据牛顿万有引力定律理论都预言有一颗新星,并计算出了它的位置.法国天文学家加尔用望远镜在计算出的指定位置上发现了这颗新星(后命名为海王星).勒维列和亚当斯没有朝天上一瞥,只靠牛顿理论的数学计算就在他们的笔头的尖端看到了新星,这再一次显示了牛顿引力理论的力量.不到一个世纪,人们又在对海王星的仔细观测中发现了海王星的自身摄动,又提出了还存在别的行星的假说,1930 年洛韦耳天文台的汤鲍就找到了这颗被预言的冥王星.

范文八:万有引力定律是怎样发现的 投稿:郝驀驁

万有引力定律是怎样发现的

摘要

本文概括了牛顿发现万有引力定律的全过程。从牛顿用几何法证明引力平方反比定律时起,通过发现运动第二定律,证明了万有引力与质量的比例关系之后,才发现的。牛顿从1665年至1685年,花了整整20年的漫长时间,才得出万有引力定律。

关键词:艾萨克•牛顿 万有引力定律 引力平方反比定律

万有引力定律的发现过程从牛顿用几何法证明引力平方反比定律时起,通过发现运动第二定律,证明了万有引力与质量的比例关系之后,才发现的,中间包括地月检验等验证阶段。这个发现过程与哈累的关心、督促和帮助分不开的。 哈雷是数学家和著名的天文学家,早年毕业与牛津大学的皇后学院。中学时代就在伦敦研究过磁针变化(1672)。1675年从事行星和恒星的精测图表工作。1676年11月至1678年11月去美国的圣•海伦纳(St Helena),在增补已有的南天星表之后,带回一副完整的星表目录。1679年当选皇家学会会员。1680年去巴黎,并在那里遇到卡西尼的天文学家,目睹了1681年彗星出现的情况,并进行观测。1684年初,他根据开普勒第三定律,得出向心力必定与距离的平方成反比。为了从几何上加以证明,他在1月的一个星期三,在雷恩的家中与雷恩和胡克聚会。他们讨论了行星运动问题,如分析行星运动为什么必须考虑引力对切向运动的影响和怎样才能得出引力平方反比关系等。这后一个问题在当时他们三个都是了解的。但是,谈到从这个关系怎样才能推导出轨道的形状时,哈雷问胡克,胡克说他能证明,但只有别人都证明不了时他才去做。当时,哈雷说他愿意提供价值40先令的一本书作为奖励,奖励在两个月内能得出结果的人,可是却无人能解决这个问题。于是,1684年8月哈雷到剑桥去拜访牛顿。根据史料,当时牛顿说他在5年前已经证明了这个问题,但是没有找到这份手稿,在8-10月间写出了证明手稿,这就是《论运动》一文手稿。在这个手稿中,牛顿用几何法和极限概念,证明了椭圆轨道上的引力平方反比定律。

《论运动》一文的手稿

根据I•B•柯恩的考证,在哈雷第一次访问之后至《原理》写作之前,共有7个《论运动》手稿。其中,三个是与《原理》直接有关的手稿,四个是与哈雷访问有关的手稿。这四个之中,第一个是1684年11月有帕格特带给哈雷的手稿,第二个是哈雷第二次(11月)访问牛顿时看到的手稿,标以《严格的论文,论运动》,第三个是1685年2月23日交给皇家学会备案的手稿,第四个是牛顿自己保存的手稿。除去皇家学会注册的那部分,其它三个在《普茨茅斯收藏文集》中,存剑桥大学图书馆。与《原理》有关的三个手稿的题目是《论物体在均匀介质中的运动》、《论物体的运动》和《论运动的第一卷》。这后一个手稿是牛顿在1684年10月的讲稿,与《原理》头两卷最接近,I•B•柯恩认为它可能是写《原理》的主要依据。

发现引力平方反比定律

根据1684年8-10月间牛顿写的《论回转物体的运动》一文手稿,牛顿很可能在这个手稿中第一次提出向心力及其定义。从离心力概念向向心力概念转变,是发现引力平方反比定律的重要步骤。他对向心力下的定义是:

定义1 我把将一个物体推或拉向可看作一“力”中心的任一点的力称作向心力。

然后,他提出三个定理,并用几何法证明。

定理1 一切绕一“力”心周转的物体,扫过与时间成比例的面积。

定理2 在圆周上匀速回转的物体的向心力,与在同一时间内描绘的圆弧的平方除以圆半径成比例。

定理2之后有5个系,第五个系是:

系5 如果周期时间的平方与半径的立方成比例,则离心力与半径的平方成反比。

注 第五个系适用与天体。周期时间的平方与天体离它们回转所绕的共同中心的距离的立方成比例。天文学家们同意这适用与绕太阳周转的主要行星,但是对于木星和土星不太适用。

这些定理、系和注是牛顿在1679年之前已经知道并能够证明的。事实上他处理天体问题也是用它们做近似计算的。在定理3之后开始证明椭圆轨道上的力学问题。

定理3 如果绕中心 S周转的物体P描出曲线APQ,如果直线PR在某点P

上与曲线相切,如果从曲线QR的任一点Q做平行与SP的切线,并且做垂线QT至线SP:我说向心力将与SP²*QT²/QRDE的比值成反比,比值的量只能由P和Q点重合时的极限情况求出。

问题1 如果一物体在一圆周上回转,求趋向圆周内某一点的向心力定律。 问题2 设一物体在古代人的椭圆上回转,求指向椭圆中心的向心力定律。 问题3 设一物体在一椭圆上回转,求指向椭圆的一个焦点的向心力定律。 问题4 设向心力与离中心的距离的平方成反比,则周期时间的平方随横轴的立方而改变。

定理4就是哈雷要牛顿证明的课题:如果向心力与距离的平方成反比,怎样证明物体运行的轨道是个椭圆。牛顿的证明方法如下:

设AB是椭圆的横轴,PD是纵轴,L 是二焦点半径和,S是焦点之一`,假定PMD是具有圆心的圆,并画出半径SP。同时,假定二回转物体描绘出椭圆弧PQ和圆弧PM,向心力指向焦点S,PR和PN与椭圆和圆在P点相切。画QR、MN与PS平行并与切线相交与R和N。但是,图形PQR、PMN是无限小,所以(由系至问题3)我们得出L*QR=QT²和2SP*MN=MV²。因为SP是从中心作的共同距离和向心力MN与QR引起的迳迹变量是相等的(因为同一向心力在同时间内引起的惯性迳迹的变量应相等)。所以QT²和MV²之比等于L与2SP之比,也就是说面积SPQ与面积SPM之比等于整个椭圆面积与整个圆面积之比。但是,每一瞬间产生的面积部分之比等于面积SPQ和SPM之比,因之等于整个面积之比,当乘以一定时数时就等于整个面积之比。所以,在椭圆上绕一圈,可在同一时间内绕直径等于椭圆横轴的圆上一圈。但是(由系5和定理2),圆周期的平方一直径的立方成比例。因之,在椭圆上也是一样。

这样,他就证明了按向心力平方反比定律作用的物体,他描绘的迳迹是椭圆的。接着,他在系中指出用这个方法,可决定地球、火星、木星和土星的轨道,因而解决了过去用圆轨道近似计算木星和土星的引力所带来的明显差误。

从上述证明方法可以看出,牛顿用的是几何法和求极限相结合的方法。他证明定理3用了开普勒第二定律,证明问题1、2和3又用了定理3。问题2和3证明了向心力必然通过椭圆的中心或焦点,从而在推理上为从向心力向重力或万有引力过度扫清了道路。最后,在定理4中终于实际上证明了椭圆轨道上的引力平方反比定律。但却是通过开普勒第三定律。所以,可以看出,牛顿在1665-1666年间只用离心力定律和开普勒第三定律,因而只能证明圆轨道上的而不是椭圆轨

道上的引力平方反比关系。在1679年,他知道运用开普勒第二定律,但是在证明方法上没有突破,仍停留在1665-1666年的水平。只是到了1684年1月,哈雷、雷恩、胡克和牛顿等都能够证明圆轨道上的引力平方反比关系(与牛顿早期证明方法一样),都已经知道椭圆轨道上遵守引力平方反比关系,但是最后只有牛顿才根据开普勒三个定律,从离心力定律演化出的向心力定律和数学上的极限概念或微积分概念,才用几何法证明了这个难题。牛顿之所以能完成如此大任,关键在于发现并深刻理解离心力、向心力、重力或万有引力之间的关系,以及数学上的才能。

牛顿《原理》第一卷的命题VII至命题XI中,把论证圆和椭圆轨道上型心里的性质,分成两步。并且满载命题XI中从求证物体沿椭圆轨道运动时趋向焦点的向心力,得出向心力与距离的平方成反比。所以,他在《原理》中发展了《论运动》中的方法。

关于引力平方反比定律的验证问题,因牛顿在1684年才知道皮卡的测定值即一纬度对应的地球表面长度为69.1英里,并用以计算地球半径和地月距离,结果是正确的,从而验证了引力平方反比定律。

发现万有引力与质量的定量关系

万有引力与相作用的物体的质量乘积成正比,应是从发现引力平方反比定律过度到发现万有引力定律的不可缺少的必要阶段。从牛顿的科学思想和科学发现的过程来看,运动第二定律是应发现万有引力定律的需要才发现的。

牛顿在论运动的手稿之一《论物体的运动》中,在定义5:向心力一节内容道:加速力的量是由加速的力乘以同一物体得出来的;重量将永远与物体乘以加速的重力成比例。意思就是作用力可由加速度乘质量求出来的;重力或万有引力与质量乘以重力加速度成比例。

发现万有引力定律

在发现了引力平方反比定律和作用力与质量的定量关系之后,牛顿进入了发现万有引力定律的过程。

(1) 向心力定律向万有引力定律的演化

牛顿的七个论运动手稿中,既没有把运动三定律作为一个整体或动力学的基本三定律提出,也没有提出万有引力定律。万有引力定律实际上是在《原理》第

一卷才初步提出来的,并在第三卷《宇宙的系统》中才完成的。这是因为在第一卷的命题XI中证明了向心力平方反比定律之后,还必须把这个定律从粒子推广到物体和天体,并且从二物体或天体之间推广到多物体或多天体之间,以及解决以质心或质点取代天体以便将物理问题化为数学问题来处理。从《原理》第一卷LXII和定理XX至命题LXXXIV,牛顿以49页的篇幅论证从二粒子之间到二球体之间的向心力平方反比定律的应用。他在自命题LXXV定理XLII至命题XCVIII之间,论证两个以上非求体的向心力平方反比定律的问题,其中包括论证粒子系和物体系的重心(质心)取代群体的问题。由物体间的向心力定律推广到天体之间,是在第三卷中运用作用力与反作用力相等(即运动第三定律),才实现的。 运动第三定律是从各天体之间的相互作用导出万有引力定律的关键性定律,牛顿在《原理》第三卷的命题V和定理V的系1中以及命题VII和定理VII中,说明了运动第三定律在天体之间的相互作用的重要作用,某中心天体可与它的几个卫星或行星相互吸引。当然,这个定律也必然适用于各个恒星、行星和卫星等天体之间的错综复杂的吸引关系上。所以,牛顿在抽象地研究两个粒子之间的向心力定律之后,进而将它具体的应用到现实的非常复杂的相互作用上时,必须以运动第三定律为中介,否则发现普遍适用的万有引力定律是不可能的。

牛顿从向心力概念明显转到万有引力概念,首先表现在《原理》第三卷的命题V的注释中。

(2)《原理》中推导万有引力定律的简要过程:

牛顿在《论运动》的几个手稿中,虽然已经将向心力定律用于天体,但是没有严格的证明,更没有把向心力与质量联系起来。从向心力演化出引力,并证明它们与质量和距离的定量关系,首先出现在《原理》第一卷。

在第一卷的命题LXXVI和定理XXXVI中,牛顿将两个相互作用的球都分成无数的同心球面,证明了从粒子到物体的引力都适用向心力定律。接着,牛顿在这个定理的系2中,明确得出“在任何不等的距离上,吸引力与吸引的球除以中心距的平方成正比”。在系4中,他又明确指出:在任何不等的距离上,动体的引力或相互趋向的球体重量,与这些乘积成正比,并与中心间的距离的平方成反比。这就是《原理》万有引力定律的初步或雏形。

在《原理》第三卷的命题VI和定理VI中,牛顿写道:一切天体以重力吸引每一个行星,并且在离行星中心的等距离上,指向任一行星的物体的重量与它们各自含有的物质之量成比例。这个命题和定理说明了重力;或万有引力与物质

之量成正比。在考虑到他在命题V和定理V的系2中:趋向于任一行星的重力的力与离那行星的距离的平方成反比,他就在命题VII和定理VII的说明中写道:一切行星以重力相互吸引,我们在前面已经证明了,个别论之,也证明了吸引这些行星之一的重力与距行星中心的距离的平方成反比。因此,(由第一卷的命题LXIX及其系)可得出趋向于一切行星的重力与他们含有的物质成正比。

这表明,牛顿终于在《原理》第三卷中得出重力或万有引力与质量乘积成正比和距离的平方成反比。

(3.)“万有引力”一词:

牛顿从1665年至1685年,花了整整20年的漫长时间,才沿着离心力—向心力—重力—万有引力概念的演化顺序,终于提出“万有引力”这个概念和词汇。这些概念的相继转变和证明在科学研究的道路上是来之不易的,没有一个个层次的分析和概括,没有观念上质的不断飞跃,是不可能的。

牛顿在《原理》第三卷一开始的《哲学推理规则III》中,从方法论的高度说明了他是怎样从天上和地上的各种物体的重力概念差异中,概括出“万有引力” 这个共性的概念的。他写到:如果由实验和天文学观测,普遍显示出地球周围的一切天体被地球重力所吸引,并且其重力与它们各自含有的物质之量成比例,则月球同样按照物质之量被地球重力所吸引。另一反面,它显示出,我们的海洋被月球重力所吸引;并且一切行星相互被重力所吸引,彗星同样被太阳的重力所吸引。由于这些规则,我们必须普遍的承认,一切物体,不论是什么,都被赋予了相互的引力(gravitation)理。因为根据这些现象所得出的一切物体的万有引力(universal gravitation)的论证,要比它们的不可入性的论证有力的多。这是牛顿第一次提出“万有引力”这个词。

小结 牛顿是近代自然科学的奠基人,在科学发展史上占有非常重要的地位牛顿在科学上能够取得这么多的重大成就,不是偶然的。这是他善于观察思考,勤奋刻苦钻研的结果,更是其理论对人类社会的巨大作用的影响结果。古往今来,物理学史上有不少人物取得了不斐的成就,但能被人们所记住的只是少数,而能被人们所记住的都是因为他们的成就对人类社会产生了巨大影响的结果。所以说,牛顿的成功就成功在他从人类生活出发并最终回到了为人类服务这个根本点。

参考资料:《牛顿的科学发现与科学思想》阎康年 著 湖南教育出版社 《探求万物之理》 牛顿 著

《物理世界》 (美)库伯 著

范文九:牛顿万有引力定律的发现过程 投稿:金澑澒

牛顿万有引力定律的发现过程

摘要: 牛顿万有引力定律的发现是人类认识自然规律方面取得的一个重大成果,万有引力定律是经典力学的重要组成部分,而且为天体力学奠定了坚实的理论基础,牛顿无疑是一位世界公认的伟大科学家。在牛顿之前,有许多科学家致力于对宇宙的观测和研究,但无人能建立一套系统的理论。牛顿在前人的研究成果上进行加工,并且更深入的思考与研究,灵活运用各种数学知识,将微积分、几何法与开普勒三个定律以及离心力、向心力定律相结合,从而证明了椭圆轨道上的引力平方反比定律,接着他又将“质量”引入引力理论,从向心力演化出引力,并证明它们与质量和距离的定量关系,最终将向心力定律演化成万有引力定律。从1665牛顿开始着手研究到1685年正式发现万有引力定律,花了整整20年的漫长时间。

关键词:离心力 向心力 离心力定律 引力平方反比定律 万有引力定律 The Establishment Of Newton'Law Of

Universal Gravitation

Abstract:The detection of Newton's Low of Universal Gravitation is an important

result of the cognition of nature rule obtain. The Law of Universal Gravitation is an important part of the classic mechanics, and it lay the solid theories foundation for the gravitational astronomy.Newton is a generally accepted and great scientist in the world. Before Newton, there were many scientists concentrating on to the observation and study of the universe, but no one can establish a system theory. Newton went forward the persons’ research result,and considered more thoroughly with study, using flexibly every kind of mathematics knowledge, and left calculus, geometry ,Kepler’s Laws, centrifugal force laws and centripetal force lows combine together, thus proved the inverse-square law of the attraction on the oval orbit.Then immediately after he led the

Key words: centrifugal force centripetal force the centrifugal force laws

the inverse-square law of attraction the Low of Universal Gravitation

艾萨克·牛顿(Isaac Newton,1642~1727)于伽利略(Galileo Galilei,1564~1642)逝世的同一年出生。英国18世纪诗人蒲柏(Alexander Pope)颂赞牛顿有这样的诗句:“自然与自然的规律隐藏于黑暗里,上帝说让牛顿降生吧!一切就有了光明。”他以此来崇敬在科学上建树功绩的牛顿。

万有引力定律是牛顿的最著名科学发现之一,正是这个发现奠定了天体力学的基础,并导致牛顿建立他的“宇宙系统”。关于万有引力定律的发现过程和年代问题,长期以来有许多说法和故事,流传最广的一种说法是牛顿在苹果树下乘凉时,见到苹果落到地上,于是他就思考,苹果为什么落到地上而不到天上呢?为什么月亮不会落下来呢?循此推想下去,就发现了万有引力定律。传说固然是美好的,但事实上,万有引力定律的发现并非像传说那么简单明了,作为这一划时代的科学发现,是需要有坚实的数学和物理基础的。

牛顿在1676年2月5号给胡克(Robert Hooke,1635~1703)的信中曾说过:“如果我曾看的更远些,那是因为我站在巨人们的肩上。”这句名言正确的阐明了牛顿在发现万有引力定律的过程中与前人的关系。在牛顿之前,许多科学家如哥白尼(Nicolaus Copernicus,1473~1543)、伽利略、笛卡尔(Rene Descartes,1596~1650)、哈雷(Edmond Halley,1656~1742)、胡克等都对宇宙进行过观测和研究;丹麦天文学家第谷(Tycho Brahe,1546~1601)连续二十多年对行星的位置进行了精确测量,积累了大量的数据;开普勒(Johannes Kepler,1571~1630)继承了第谷留下的宝贵材料,并通过观测研究,以及长期艰苦的计算,总结出行星绕太阳运动的三条基本定律,这些都为牛顿发现万有引力定律创造了条件。

万有引力定律正是沿着这样的顺序才终于发现的:离心力概念——向心力概念——引力平方反比思想——离心力定律——向心力定律——引力平方反比定律——万有引力与质量乘积成正比——万有引力定律。

一、离心力和向心力的概念

1632年,伽利略发表了《关于托勒密和哥白尼两大宇宙系统的对话》一书,在对等速圆周运动进行动力学的分析的同时,实际上提出了离心力和向心力及其相等和方向相反的概念。他写道:“„„但是在圆周运动中,既然运动物体不断地在离开并在接近它的自然终点,那么接近的倾向和抗拒的倾向在力量上就永远相等了。”此外,他把“宇宙中心”和“地球中心”区别开来,分别讨论日心和地心的吸引力问题,他认为“如果给宇宙规定一个中心的话,我觉得宁可说太阳处于宇宙的中心”,“我们看出地球是个圆球,因此我们肯定它有个中心,并且看到地球的各个部分都趋向这个中心”。这表明,伽利略已经在考虑地球和天体的重力具有统一性和地球运动是由太阳的引力所引起的。

《关于托勒密和哥白尼两大宇宙系统的对话》一书是由萨拉斯布里(Salusbury)在1661年翻译成英文发表的,牛顿读过这个英译本,这对牛顿后来的发现起了启迪和先导的作用。

直到1684年8—10月间牛顿写的《论回转物体的运动》(De motu corporum in gyrum)一文手稿中才第一次提出了向心力概念及其定义:

定义1 我把将一个物体推或拉向可看作一[力]中心的任一点的力称作向心力。

二、引力平方反比思想

法国天文学家布里阿德(Ismaelis Bullialdus,1605~1694)在1645年发表了一本名为“天体哲学”(Astronomia Philolacia,1645)的小册子,他认为太阳的动力或引力在性质上应“与粒子的力相似,像光的亮度与距离的关系那样,应当以与距离的平方成反比的关系取而代之”。

牛顿在1686年6月20日给哈雷的信中这样写道:所以,布里阿德写道,所有以太阳为中心并与太阳有关的和取决于物质的力,必定与离这个中心的距离的平方成反比。并且,先生,他还应用了您在上一期皇家学会会报上证明这个重力

比例所用的同一论证,去处理它的。那么,如果胡克先生可以从布里阿德的这个普遍命题学习这个重力比例,为什么这里所说的比例必定是求助于他的发现呢?

这段话清楚的说明牛顿的引力平方思想很有可能源于布里阿德,此外,还有种种迹象表明牛顿可能知道布里阿德的引力平方反比思想,譬如说从牛顿在1664年底写的《三一学院笔记》(Trinity Notebook)的行星运动部分以及约同时写的《流水帐》(Waste Book)中可以看出牛顿是通过T·斯特雷斯(T·Streete)的《卡洛林天文学》(1661)才知道开普勒的第一、第三定律的,《卡洛林天文学》这本书不仅提到布里阿德,而且应用了他在1657年修改的一个理论,这个理论是关于椭圆轨道方程的。

三、离心力定律的发现

一提起离心力定律的发现,人们总认为是惠更斯(Christian Huygens,1629~1695)在1673年发表的《摆钟》一书中提出来的,这种说法广为流传。其实牛顿早在1664年9月至1666年之间,就提出了这个定律,并且用于圆轨道天体的引力平方反比关系的发现上。

我们已经知道伽利略曾提出过离心力和向心力及其相互关系的想法,并且在《关于两种新科学的对话》中利用莫尔顿规则(Merton Rule)论证落体定律,这对牛顿有着重要的影响作用。

牛顿在学习《关于两种新科学的对话》中提到的“莫尔顿规则”时,推导出来一个结论,即他在1665~1666年间写的编号为MS·Add·3958,folio 45的手稿中,关于离心力的计算得出的一个结果:

一物体在等于半径为R的圆周上运动的离心力的作用下,在一条直线上运

1动,则在圆周上通过距离R运动的时间内,物体将在直线上通过R的距离。 2

圆周运动为等速运动,所以沿圆周运动的距离R=vt,径向运动则可以按自

1由落体运动计算:若假设物体沿直线运动的距离为S,则S=R。由于落体沿指2

v2112向地心的垂直线自由落下,则落下距离Rgt,然后代入R=vt,则g。 R22

v2

在两端乘以质量m,则离心力F=m =mg。 R

所以,按照牛顿将重力理解为向心力,而向心力又与离心力相等,若用离心力取代重力mg时,就得出

v2

离心力F=m R

这就是牛顿提出来的离心力定律表述形式,与9年后惠更斯提出的离心力定律等效。

四、引力平方反比定律

科学史上曾闹得沸沸扬扬的胡克与牛顿争论万有引力定律的发现权,实际上争的是椭圆轨道上的引力平方反比定律的发现权。引力平方反比定律和万有引力定律不能混为一谈,引力平方反比关系的思想和引力平方反比定律也要加以区别,而且,这里提到的引力平方反比定律指的是椭圆轨道上的,而非圆轨道上的。

1665~1666年间,牛顿因剑桥流行疫症而回家,这期间,由于布里阿德的引力平方反比思想的启发,以及离心力定律的发现,促使牛顿试图利用开普勒行星运动第三定律、落体定律和离心力定律从理论上论证引力平方反比定律,并且进行过地月检验,但事与愿违。牛顿的地月检验也失败了,原因是当时对一纬度对应的地面长度测量误差过大,再加上牛顿当时陷入与胡克在光学上的论战,所以牛顿把这项研究放到一边,研究起其他问题了。

1679年,牛顿知道运用开普勒第二定律,但在证明方法上没有突破,仍停留在1665~1666年的水平,即只能证明圆轨道上的而不是椭圆轨道上的引力平方反比关系。

1680年1月6日,胡克在给牛顿的一封信中,提出了引力反比于距离的平方的假设,并问道,如果是这样,行星的轨道将是什么形状。牛顿在六十年代就知道了这个假设,但他在信中并未说明,并且他们两人均未就椭圆轨道上的引力平方反比关系做过有成效的论证,也因此造成后来在发现权上的争论。

到了1684年1月,在雷恩(C·Wren,1632~1723)的家中,哈雷与雷恩及胡克聚会,讨论天体运行问题。雷恩提出了一笔奖金,条件是要在两个月内完成这样的证明:从平方反比关系得到椭圆轨道的结果。胡克声言他已完成了这一证明,但他要等到别人的努力都失败后才肯把自己的证明公布出来。哈雷经过反复思考,最后于1684年8月专程到剑桥去拜访牛顿,向他求教。牛顿说他在5年之前已经完成了这一证明,但是没有找到那份手稿。在8到10月间,牛顿重新写出了证明的手稿,即《论运动》(De motu)一文手稿,寄给了哈雷。在这份手稿中,牛顿根据开普勒三个定律、从离心力定律演化出的向心力定律和数学上的极限概念和微积分概念,用几何法证明了椭圆轨道上的引力平方反比定律。

1679年,皮卡(J·Picard,1620~1682)测得一纬度对应的地球表面长度为69.1英里,而不是60英里。牛顿在1684年才知道皮卡的测定值,然后用以计算地球半径和地月距离(牛顿在《原理》第三卷中,曾经提到“按皮卡的计算,地球的平均半径为19615800巴黎尺=3923.16英里”),终于验证了引力平方反比定律,从而使这个定律的发现得到确认。

五、万有引力与质量乘积成正比

万有引力与相互作用的物体的质量乘积成正比,应是从发现引力平方反比定律过渡到万有引力定律不可缺少的必然阶段。

从牛顿的科学思想和科学发现的过程来看,牛顿运动第二定律是应发现万有引力定律的需要才发现的。可以肯定的是,没有质量概念的突破,就不可能科学的表述运动第二定律,也不可能深刻理解和认识运动第一、第三定律,更不可能把运动三定律作为一个整体提出来去发现和表述万有引力定律。

1684年11月,牛顿在论运动的手稿之一《论物体的运动》中写道“加速力的量是由加速的力乘以同一物体得出来的”,就是作用力可由加速度乘质量求出来,他说“重量„„将永远与物体乘以加速的重力成比例”,就是指重力或万有引力与质量乘以重力加速度成比例。

在《原理》第一卷Ⅵ章“论球形物体之运动”中,牛顿把“质量”概念正式引进引力理论,他论证了物体的引力与“物体本身”(即质量)成正比,并与磁力进行了类比:“正如我们在关于磁力的实验中所看到的那样,我们有理由设想,这些指向物体的力应与这些物体的性质和量有关。”

六、万有引力定律的发现

从向心力定律到万有引力定律,还要实现两个过渡:⑴由向心力概念向万有

引力概念的过渡 ⑵把向心力定律由地面推广到一切天体之间。

第一个过渡首先表现在《原理》第三卷的命题Ⅴ的“注释”:“使天体保持在某轨道中的力至今都称为向心力,但是现在越来越变得明显了,它只能是一种引力(gravitation force),此后我们将称之为重力(gravity)。因为由哲学推理规则1、2和4,使月亮保持在它的轨道上的向心力将推广到一切行星上去。”

第二个过渡也是首先表现在《原理》第三卷中,它是应用了作用力和反作用力定律才得以实现的。牛顿在命题Ⅴ的推论1中写道:“有一种重力作用指向所有的行星和卫星。因为,毫无疑问,金星、水星以及其他所有星球,与木星和土星都是同一类星体,而由于所有的吸引(由定律Ⅲ)都是相互的,木星也为其所有卫星所吸引,土星也为其所有卫星所吸引,地球为月球所吸引,太阳也为其所有的行星所吸引。”

在《原理》第一卷中,牛顿在定理XXXⅥ中的系2中明确得出“在任何不等的距离上,吸引力与吸引的球除以中心距的平方成正比”,这就是发现万有引力定律的雏形。而《原理》第三卷的定理Ⅶ的说明中写道:“一切行星以重力相互吸引,我们在前面已经证明了,个别论之,也证明了吸引这些行星之一的重力与距行星中心的距离的平方成反比。因此,可得出趋向于一切行星的重力与它们含有的物质成正比。”这表明,牛顿终于得出重力或万有引力与质量乘积成正比和与距离的平方成反比,即发现了万有引力定律: MmF=G2(G为引力常数,M、m为物体的质量,r为物体间的距离) r

万有引力定律建立后获得了极大的成功,解决了当时地球形状的争论;根据万有引力定律,哈雷早就计算和预言的哈雷彗星在1758年发现了;1798年卡文迪许(H·Cavendish,1731~1810)测出了万有引力恒量;1846年法国天文学家莱维利叶(U·J·J·Leverrier)和英国天文学家亚当斯(J·C·Adams)利用万有引力定律用计算的方法发现了海王星;1930年3月14日用同样的方法发现了冥王星„„本世纪以来对几百万光年宇宙结构的研究都证明了万有引力定律的正确性。

牛顿以万有引力定律为基础,建立了严密的天体力学理论体系,对长期以来使人们迷惑不解的支配天体运动的原因作出了精确的定量解答。在牛顿以前,无论东方还是西方,天与地的区分是根深蒂固的,没有任何一项成果能够说明天上运动和地上运动服从同一个规律的,牛顿的万有引力定律揭开了人类自然科学史上极其辉煌的一页。

参考文献:

[1] H·W·Turnbull,The Correspondence of Isaac Newton,Vol.Ⅱ,1960,301~436

[2] Isaac Newton,The Correspondence of Isaac Newton,Vol.Ⅱ,436~445

[3] 阎康年,牛顿的科学发现与科学思想,湖南教育出版社,1989,174~221

[4] 鲁大龙,自然科学史研究,1994,13(1):50~61,14(1):51~61

[5] 申先甲,物理学史简,山东教育出版社,1984,214

[6] 伊萨克·牛顿著,王克迪译,自然哲学之数学原理——宇宙体系,武汉出版社,1992,411,693

[7] [法]亚历山大·柯瓦雷著,张卜天译,牛顿研究,北京大学出版社,2003,136~163,171~173

[8] [美]理查德·韦斯特福尔,牛顿传,中国对外翻译出版公司,1999,166~

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范文十:87-万有引力定律的发现与应用 投稿:莫蟮蟯

万有引力定律的发现与应用

物理小论文
PB05000821 吴瑞阳

万有引力定律的发现
  我们大家都知道万有引力定律是牛顿发现的,小时候我们也听说过牛顿看到苹果落地而发现万有引力的故事。但它的发现岂只是看见苹果落地这么简单?
  万有引力公式:其中G为万有引力常量。在牛顿的时代,一些科学家已经有了万事万物都有引力的想法。而且牛顿和胡克曾经为了万有引力的发现权发生过争论。有资料表明,万有引力概念由胡克最先提出,但由于胡克在数学方面的造诣远不如牛顿,不能解释行星的椭圆轨道,而牛顿不仅提出了万有引力和距离的平方成正比,而且圆满的解决了行星的椭圆轨道问题,万有引力的优先发现权自然归属牛顿。
  正如他所说过,牛顿是站在巨人的肩膀上。开普勒的研究成果对万有引力的发现有着不可磨灭的贡献。开普勒是德意志的天文学家,他的老师弟谷把一生的天文观测资料留给了他。在此基础上,开普勒经过20年的计算和整理于1609年发表了行星运动的第一、第二定律。后来又发表了行星运动的第三定律。
   在牛顿的回忆录里可知,牛顿最先研究的是月亮的运动。牛顿的平方反比律是由开普勒的行星运动第三定律得出的。要对椭圆轨道情况进行计算,显然牛顿还必须有一些关于微积分和基本力学定律的概念,牛顿在基础力学上有过众多发现,同时牛顿和莱布尼茨各自独立的发现了微积分。牛顿应用了微积分来计算万有引力。关于万有引力定律的发现权,历史的结论是:它是牛顿发现的。万有引力的表达式为 ,它的建立是牛顿定律和开普勒定律的综合的结果,而牛顿在其中起了关键的作用。
万有引力定律的建立
一.平方反比律的确定
  1.从理论计算得出平方反比的假设:
  为了简便起见,可把行星运动轨道看作圆形(把行星轨道看作圆形时,课本上已有相关证明),这样,根据面积定律,行星应作匀速圆周运动,只有向心加速度a=v2/r,其中,v是行星运行速度,r是圆形轨道的半径。
根据牛顿第二定律: f=ma
    有
    又由
由开普勒第三定律,K是与行星无关的太阳常量

于是 ......①
牛顿得到第一个结果:如果太阳的引力是行星运动的原因,则这种力应和行星到太阳的距离的平方成反比。
  2.平方反比假设的验证:
  牛顿到苹果落地,引起他的思考。在我们能够攀登的最远距离上和最高山颠上,都未发现重力有明显的减弱,这个力必然到达比通常想象的远得多的地方。那也应该高到月球上。如果是这样,月球的运动必定受它的影响,或许月球就是由于这个原因,才保持在它的轨道上的。
  设想月球处在它的轨道上的任意点A(见图),O是地心,如果不受外力,它将沿一直线AB运动,然而实际它的轨道是弧线AP,AB与轨道在A点相切。则月球向O落下了距离BP=y , 令弧长AP=s=2πrt/T ,
      而 cosθ≈1-/2, θ=s/r
则 y=r (1-cosθ)≈s2/2r =4π2r2t2/2rT2=2π2rt2/T2,
在地面上t时间内一个重物下落距离为
            y=gt2/2
由此得
            y/y' =4π2r/gT2
  月球绕地的周期T=27.3d ≈2.36×106 s,地面上的重力加速度g=9.8 m/s2,地球半径R的准确数值是6400km,古希腊的天文学家伊巴谷通过观测月全食持续的时间,曾相当精确的估算出地月距离r为地球半径的60倍,则r=60 R=3.84×105km用这个数值代入,即得
            y/y' =1/3600
      而 R2/r2=1/3600
y/y'=a/g=ma/mg=f/mg= R2/r2
所以: f=mg R2/r2 即:力和距离的平方成反比
二.与m和M成正比的确定
  ①式表明力与被吸引物体质量m成正比,同时根据牛顿第三定律,力的作用是相互的,f是M对m的作用,f'是m对M的作用,f与m成正比,则同理f'必与M成正比,又f =f',则f必同时与m和M成正比。①式可写成:
            f=GMm/r2, ......②
其中G是万有引力常量。
三.万有引力常量的G测定
  既然有了万有引力的表达式,那就要测出万有引力常量。测量万有引力常量G的数值,就要测量两个已知质量的物体间的引力。1798年,卡文迪许(H.Cavendish)做了第一个精确的测量。
  他所用的是扭秤装置,如图所示,两个质量均为m的小球固定在一根轻杆的两端,在用一根石英细丝将这两杆水平的悬挂起来,每个质量为m的小球附近各放置一个质量为M的大球。根据万有引力定律,当大球在位置AA时,由于小球受到吸引力,悬杆因受到一个力矩而转动,使悬丝扭转。引力力矩最后被悬丝的弹性恢复力矩所平衡。悬丝扭转的角度θ可用镜尺系统来测定。为了提高测量的灵敏度,还可以将大球放在位置BB,向相反的方向吸引小球。这样,两次悬杆平衡之间的夹角纠正大了一倍。如果已知大球和小球的质量M,m和他们相隔的距离,以及悬丝扭力的相关系数,就可由测得的θ来计算G。卡文迪许测定的万有引力常量值为

G=6.754×10-11m3/kg·s2。万有引力常量是目前测得最不精确的一个基本物理常量,因为引力太弱,又不能屏蔽它的干扰,实验很难做。从卡文迪许到现在已近200年,许多人用相同或不同的方法测量G的数值,不断地改进其精度。国际科学联盟理事会科技数据委员会(CODATA)1986年推荐的数值为
G=6.67259(85)×10-11 m3/kg·s2,
不确定度为128/1000000(即万分之1.28)。
万有引力实验演示
一,实验现象:
  一些科技博物馆里又如图的演示装置: 一个类似碗状,但是碗壁向内拱入的圆盘。一个粘有油墨的小球以较低速度从圆盘边缘进入,在圆盘上绕中心滚动并留下痕迹。可以观察到,随着时间变化,小球的速度越来越快,到最后掉入中间的小洞。而且越到中间小球的半径变化越缓慢(也就是说小球的轨迹在中间是最密集)。小球的轨迹并不是正圆的,而是一种半径越来越小的圆弧。(如果两个小球先后进入盘中则会有角位移前后追赶的现象。)
二,原理解释:
  1,为什么用它来演示万有引力定律
  由万有引力定律的表达式可以推知,行星势能为
而实验中用重力势能来代替万有引力势能mgh= -GMm/r
所以只要满足h=-GM/gr则可以用重力势能来代替万有引力势能。
同时r表示物体间的距离。当图示曲线绕h轴旋转后便会形成实验中所用到的曲面,当曲线如图时:dh/dr=GM/gr2,
f=mgtanθ=mgdh/dr=mgGM/gr2=GMm/r2
所以不论从能量还是从力的角度来讲,这个实验模型可以模拟演示万有引力。
  2,为什么小球会越来越快
  由离心力f=mv2/r=F知,动能为E k=1/2mV2=1/2GMm/r,由公式可见,r越小动能越大,自然速度会越快。
  3,为什么小球到中间轨迹密集
  这是一个有耗散力做工的系统,在旋转的时候摩擦力做功发热耗散掉一部分能量w=,而f的大小只与接触的压力和摩擦系数有关系,在距离为r处的摩擦力转一周做功为:w= =2πrmgμcos[arctan(dh/dr)]=
又:dE/dr= GMm/r2,可见在r越大的时候,势能的变化越慢,故在外圈时,变化一个小量dr后势能的变化不如内圈的大,而转一圈消耗能量却比内圈大。所以在里圈旋转时,转动位置每下降一小段,可供小球旋转的能量就较多,而小球每转一圈摩擦力消耗能量较少,故小球在同样的一小段距离上会比外边多转几圈。
  4,小球的轨迹为何是一个不断向里缩进的圆弧
如果盘面足够光滑,即没有摩擦力做功,则小球的轨迹会是什么样的呢?
  A,小球在进入圆盘边缘时恰好获得的动能足够在盘的边缘运动所需的动能:
  mgh=1/2 mv2 即:F=mv2/r则小球会沿着圆盘边缘做正圆轨迹的运动
  B,小球在进入圆盘边缘时未达到在圆盘的
边缘运动所需的动能:
Mgh〉1/2mv2,F> mv2/r则小球会做正圆轨迹的运动同时径向有一个分运动(缩小半径把势能转化为动能直到满足平衡为止)到某一半径时会达到F=mv2/r在此处做正圆运动
  C,小球在进入圆盘边缘时的动能超过在盘的边缘运动所需的动能:
Mgh<1/2mv2,F实验中模拟的只是B情况。
下面再考虑摩擦力:
由于摩擦力作负功,在运动过程中,小球的动能在不断损失,这就要求小球能不断的缩小半径来寻找新的平衡,直到最后半经过小、能量不足而掉入中间的小孔
因此就有:小球的轨迹是一个不断向里缩进的圆
  5,两个小球为什么会有角度相互追赶?
  由万有引力公式知:角速度ω=,故半径越小,角速度越大。先后进入的两个小球的角速度总是先进入的大于后进入的,所以在一段时间里总是前面的小球转过的角度比后面的多,因此角度差一直在增大,先进入的球会超过后进入的球多圈,所以看上去总是两个小球一会儿这个在前,一会儿另一个在前,相互追逐。
万有引力的应用
  万有引力定律作为一个自然界最基本的定律,无论是在理论研究还是工程设计等各种时候都有着极其广泛的应用。比如航天中,航天器与天体接近时的万有引力可以作为一种有效的加速办法(弹弓效应);宇宙物理中常常以测定天体的万有引力产生的效应来断定天体的位置和质量;在电磁探测受局限的地域,可以通过万有引力的测量计算,来探知地下的物质密度,从而断定地下矿藏的分布或是地下墓穴的规模和位置;在另外一些领域,比如精密工业中的超圆滚球体的制造,可以选择在太空生产,因为那里有理想的受力环境(因为在宇宙飞船上物体处于失重状态,而又由宇宙大尺度分布的均匀性,其他星体的引力又可以忽略不计);以研究生物在太空无重力(亦即万有引力语离心力平衡抵消)为对象的项目已经发展成一门高新前沿的科技。如果将蔬菜水果种子带到太空中,在无重力环境与宇宙射线的影响下,有些变异品种的品质与地球上的品种相比大大提高。
  事实上,万有引力定律常常是理论研究的最基本最常用的公式之一。以下就举一个实际应用的例子来说明这一点。
  人造卫星的发射过程:
  1,当我们要发射一颗地球卫星是我们只要以一定的角度和一定的初速度把卫星发射向太空,这个速度的理论值由万有引力定律可推知为:7.9km/s。万有引力定律给我们确定了卫星上天的边界条件。当然实际发射中还要去考虑阻力问题,并且不是瞬间加速到此值,是一个渐加速过程,
这就是较复杂的了。
  2,当我们要求卫星成为一个太阳的卫星时,我们的发射速度的理论值会高达11.2km/s。同样实际过程中速度也不会达到此值,而是渐加速渐升高。
  3,当我们要求卫星成为一个太阳外的天体时,我们的发射速度的理论值会高达16.7km/s。实际过程中速度也不会达到此值,事实上我们还故意把飞行器发射到太阳系天体的附近,利用飞行器和天体间的万有引力,应用弹弓效应来改变飞行器的速度和方向。
  
  从以上的应用中可以看出万有引力的重要地位。万有引力的概念在刚被提出的时候曾引起了一次

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