三角形中位线定理证明_范文大全

三角形中位线定理证明

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【专家解析】三角形中位线定理证明

【优秀范文】三角形中位线定理证明

范文一:三角形的中位线逆定理证明 投稿:武歩歪

如图,在 ABC 中, D 为 AB 的中点,且 DE // BC . 求证: E 为 AC 的中点.

证明方法参考: 效果图 作法 思路 方法

SDBE  SDAE  SDCE

分别连接 CD , BE .过 点D作

DF  AC 于点 F .

AE  DF 2 EC  DF S DCE  2  AE  EC 又  S DAE 

 BFD  AED ( SAS )  F  AED

面 积 法

延长 ED 使

 BF // EC 四边形 FBCE 是一个平行四边形  FB  EC 又  FB  AE  AE  EC

易证 四边形DFCE 是平行四边形

DF  DE , 连接 BF

中 线 倍 增 法

取 BC 的中 点 F ,分别 连接

DF , EF

AC DF  EC  2 AC  AE  EC  2

构 造 中 点 法

易知 : DF // BC  DE // BC

取 AC 的中 点F

又  在同一平面内, 过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行  点E , F为同一个点  AE  EC

同 一 法

范文二:三角形中位线定理的证明教案 投稿:罗逷逸

课 题:三角形中位线定理的证明

教学类型:新知课

教学目标:1. 熟悉三角形中位线定理的内容; 2. 掌握三角形中位线

定理的证明思路; 3.通过对三角形中位线定理的证明,会运用该定理证明其他相关几何问题。

教学方法:讲解法

教学难点、重点:三角形中位线证明的思路

教 具: 黑板(可准备一个三角形纸板帮助学生对这一定理有个直

观感觉)

教学过程:

(一)复习提问:

1. 上节课我们已经学习了三角形的有关知识,而且介绍了

三角形中位线定理的内容,那么谁能告诉我,该定理讲

了什么呢? (三角形两边中点的连线平行于第三边,并且等于第三边的一半;)

2.有没有同学能运用几何推理得到该定理的证明。

(二)讲新课―― “定理:三角形中位线定理”

1.首先呢,我们在黑板上做出一个三角形,将定理的条件

标注在图形上。

2.然后我们讲解第一种证明方法。 设三角形是ABC,AB、BC边上的中点分别是D、E。

过点D作DE'平行于BC交AC于

E',则由平行线平分线段定理,有AD:DB=AE':E'C,由于D是AB的中点,所以AE'=E'C,即E'与E重合,从而DE平行BC,且DE等于BC的一半。

3.我们现在还有没有别的证明方法呢?

请同学们好好思考一下,打开自己的思路,回想一下我们曾学过的几

何知识

我先把图形画在黑板上。

我们现在还是证明。现在D、E都是中点,那么,我们是

不是可以得到一组相同的边长之间的比例呢?那,同学们是不是想到了我们前面已经学过的三角形相似的知识了呢?我们现在是不是就可以利用三角形ADE和三角形ABC相似得到我们所需要证明的结论呢?

具体的证明过程就留给大家,作为今天的家庭作业,请大

家详细的将过程写下来。

(三)小结:

本节课的开始,先复习了定理的内容,然后给出了定理的证明,采用启发式教学,让同学们掌握另一种证明方法。 思考问题: 几何问题的证明方法一般不是唯一的,大家能不能在以后

的练习中打开自己的思路,一题多解呢?

练习与作业:

教学后记:

范文三:三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方 投稿:朱銉銊

三角形中位线定理的证明及其教学说明
以下内容作者为:青岛第四中学杨瀚书老师 一、 三角形中位线定理的几种证明方法 法 1: 如图所示,延长中位线 DE 至 F,使 ,有 AD FC,所以 FC ,连结 CF,则 BD,则四边形 BCFD 是平行四边
1 2

形,DF

BC。因为

,所以 DE

BC



法 2:如图所示,过 C 作 有 FC AD,那么 FC

交 DE 的延长线于 F,则 BD,则四边形 BCFD 为平行四边形,DF
1 2

, BC。

因为

,所以 DE

BC



法 3:如图所示,延长 DE 至 F,使 ADCF 为平行四边形,有 AD

,连接 CF、DC、AF,则四边形 BD,那么四边形 BCFD 为平
1 2

CF,所以 FC

行四边形,DF

BC。因为

,所以 DE

BC



法 4:如图所示,过点 E 作 MN∥AB,过点 A 作 AM∥BC,则四边形 ABNM 为 平行四边形, 易证  AEM   CEN , 从而点 E 是 MN 的中点, 易证四边形 ADEM 和 BDEN 都为平行四边形,所以 DE=AM=NC=BN,DE∥BC,即 DE
1 2 BC



法 5:如图所示,过三个顶点分别向中位线作垂线.

二、教学说明 1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程:“二维”转化为“一维” 在引导学生探索三角形中位线定理时,由于学生画出中位线后,就不难直观 地发现平行关系, 难的是发现数量关系,我联想到在此之前认识线段中点时的一 道典型例题,挖掘它与原有知识的内在联系,从而作如下探索引导。

⑴如图,A 为线段 BC(或线段 BC 的延长线)上的任意一点,D、E 分别是 AB、AC 的中点,线段 DE 与 BC 有什么关系?

A B D E C

图⑴: ⑵如果点 A 不在直线 BC 上,图形如何变化?上述结论仍然成立吗?

A

D

E

B

C
图⑵:

说明:学生观察(几何画板制作的)课件演示:当△ABC 的顶点 A 运动到直线 B C 上时,中位线 DE 也运动到 BC 上,这样由“二维”转化为“一维”,学生就不 难猜想性质的两方面, 特别是数量关系, 而想到去度量、 验证和猜想, 水到渠成. 如果教师直接叫学生去度量角度和长度,是强扭的瓜不甜. 2、教学重点:本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

第一,要知道中位线定理的作用:可以证明两条直线平行及线段的倍分关 系,计算边长或中位线的长。 第二,要知道中位线定理的使用形式,如:

∵ DE 是△ABC 的中位线

A

∴ DE∥BC, DE 

1 2

BC

D

E

B

C

第三,让学生通过部分题目进行训练,进而掌握和运用三角形中位线定理。 题1 如图 4.11-7,Rt△ABC,∠BAC=90°,D、E 分别为 AB,BC 的中点,

点 F 在 CA 延长线上,∠FDA=∠B. (1)求证:AF=DE;(2)若 AC=6,BC=10,求四边形 AEDF 的周长.

分析

本题是考查知识点较多的综合题,它不但考查应用三角形中位线定理

的能力,而且还考查应用直角三
角形和平行四边形有关性质的能力。 (1)要证 AF=DE,因为它们刚好是四边形的一组对边,这就启发我们设法证 明 AEDF 是平行四边形.因为 DE 是三角形的中位线,所以 DE∥AC.又题给条件 ∠FDA=∠B,而在 Rt△ABC 中,因 AE 是斜边上的中线,故 AE=EB.从而∠EAB= ∠B.于是∠EAB=∠FDA.故得到 AE∥DF.所以四边形 AEDF 为平行四边形.

1

1

(2)要求四边形 AEDF 的周长, 关键在于求 AE 和 DE, AE= 2 BC=5, DE= 2 AC =3. 证明:(1)∵D、E 分别为 AB、BC 的中点, ∴DE∥AC,即 DE∥AF ∵Rt△ABC 中,∠BAC=90°,BE=EC
1

∴EA=EB= 2 BC,∠EAB=∠B 又∵∠FDA=∠B, ∴∠EAB=∠FDA ∴EA∥DF,AEDF 为平行四边形 ∴AF=DE (2)∵AC=6,BC=10,
1 1

∴DE= 2 AC=3,AE= 2 BC=5 ∴四边形 AEDF 的周长=2(AE+DE)=2(3+5)=16 题2 如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,E、F 分别是 BC、AD 的中点,延

长 BA 和 CD 分别与 EF 的延长线交于 K、H。求证:∠BKE=∠CHE.

分析

本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质.由中点想

到中位线,又要把结论联系起来,既要使中位线的另一端点处一理想的位置,又 使需证明的角转移过来,可考虑,连 BD,找 BD 中点 G,则 EG、FG 分别为△BCD、 △DBA 的中位线,于是得到了解题方法.考虑到结论辅助线不要乱作,取中点比 作平行线好. 证明:连 BD 并取 BD 的中点 G,连 FG、GE 在△DAB 和△BCD 中 ∵F 是 AD 的中点,E 是 BC 的中点
1 1

∴FG∥AB 且 FG= 2 AB,EG∥DC 且 EG= 2 DC ∴∠BKE=∠GFE,∠CHE=∠GEF ∵AB=CD ∴FG=EG ∴∠BKE=∠CHE

∴∠GFE=∠GEF

题3

如图, ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,O 为 AC、BD 的交点,P、R、Q 分

别为 AO、DO、BC 的中点,∠AOB=60°。求证:△PQR 为等边三角形.

分析

本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边
1

中线定理。利用条件可知 PR= 2 AD,能否把 PQ、RQ 与 AD(BC)联系起来成为解题

的关键,由于∠AOB=60°,OD=OC,则△ODC 为等边三角形,再由 R 为 OD 中点, 则∠BRC=90°,QR 就为斜边 BC 的中线. 证明:连 RC,∵四边形 ABCD 为等腰梯形且 AB∥DC ∴AD=BC ∠ADC=∠BCD ∴△ADC≌△BCD ∴△ODC 为等腰三角形 ∴△ODC 为等边三角形

又∵DC 为公共边 ∴∠ACD=∠BDC

∵∠DOC=∠AOB=60° ∵R 为 OD 的中点

∴∠ORC=90°=∠DRC(等腰三角形底边上的中线也是底边上的高)
1 1

∵Q 为 BC 的中点
1 1

∴RQ= 2 BC= 2 AD

同理 PQ= 2 BC= 2 AD 在△OAD 中
1

∵P、R 分别为 AO、OD 的中点

∴PR= 2 AD

∴PR=PQ=RQ

故△PRQ 为等边三角形

3、教学难点:本课难点是三角形中位线定理的证明,证明方法的关键在于如何 添加辅助线.

教师可以在证明思路上进行引
导、启发,避免生硬地将辅助线直接作出来 让学生接受。例如,教师可以启发学生:要证明一条线段的长等于另一条线段的 长的一半,可将较短的线段延长一倍,或者截取较长的线段的一半。 上面的这种辅助线的作法可以概括为“短延长、长截短”,这种辅助线的 作法还可以用于证明线段和、差、倍、分等方面。 证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略: 1, 长截短:要证明一条线段等于另外两条线段的和与差,可在长线上截取一 部分等于另两条线段中的一条,然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。 (角也亦然) 2, 短延长:要证明一条线段等于另外两条线段的和与差,可先延长较短的一 条线段,得到两条线段的和,然后再证明其与长的线段相等。(角也这样) 3, 加倍法:要证明一条线段等于另一条线段的 2 倍或 1/2,可加倍延长线段, 延长后使之为其 2 倍,再证明与另一条线段相等。(角也这样) 4, 折半法:要证明一条线段等于另一条线段的 2 倍或 1/2,也可取长线段的 中点,再证明其中之一与另一条线段相等。(角也可用) 5, 代数运算推理法:这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、 分。 6, 相似三角形及比例线段法:利用相似三角形的性质进行推理论证。

题 1(短延长):如图所示,在正方形 ABCD 中,P、Q 分别为 BC、CD 上的点。 (1)若  PAQ=45°,求证:PB+DQ=PQ。

(2)若△PCQ 的周长等于正方形周长的一半,求证:  PAQ=45°

A

D

Q

B

P

C

证明:(1)延长 CB 至 E,使 BE=DQ,连接 AE。 ∵四边形 ABCD 是正方形 ∴  ABE=  ABC=  D=90°,AB=AD 在△ABE 和△ADQ 中 ∵AB=AD,  ABE=  D,BE=DQ

 ABE  ADQ  AE  AQ, BAE  QAD   P A Q  45°   B A P   Q A D  45°   B A P   B A E  45° , 即  E A P   P A Q  45°

在 AEP和 AQP中  AE  AQ, EAP  PAQ, AP  AP  AEP  AQP  EP  PQ  EP  EB  BP  DQ  BP  PQ 即 PB  DQ  PQ

A

D

Q

E

B

P

C

(2)延长 CB 至 E,使 BE=DQ,连接 AE 由(1)可知  A B E
 ADQ

 AE  AQ,  BAE  QAD   D AQ   BAQ   BAE   BAQ  90°  PCQ的 周 长 等 于 正 方 形 周 长 的 一 半  PC  QC  QP  BC  CD  PQ  ( BC  PC )  (C D  Q C )  BP  D Q  BP  EB  EP 在 AEP和 AQP中  AE  AQ, EP  PQ, AP  AP  AEP  AQP   E A P   P A Q  45°

题 2(长截短):如图,在△ABC 中,∠B=2∠C,∠A 的平分线 AD 交 BC 于 D。求证:AC=AB+BD

A
3 4

1

O

2

B

D

C

证明:在 AC 上截取 OA=AB,连接 OD, ∵∠3=∠4,AD=AD ∴
△ABD≌△AOD,∴ BD=DO ∴∠B=∠1=∠2+∠C= 2∠C ∴ ∠2=∠C ∴ OD=OC=BD ∴ AC=OA+OC=AB+BD


范文四:三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方 投稿:高詚詛

三角形中位线定理的证明及其教学说明

一、 三角形中位线定理的几种证明方法 法1: 如图所示,延长中位线DE至F,使

,有

AD

FC,所以

FC

,连结CF,则

BD,则四边形BCFD是平行四边

1

BC.

2

形,DF BC。因为

,所以

DE

法2有FC

C作

AD,那么

FC

交DE的延长线于F,则

,BC。

BD,则四边形BCFD为平行四边形,

DF

1

BC.

2

因为

,所以

DE

法3:如图所示,延长DE至F,使

ADCF为平行四边形,有

AD

,连接CF、DC、AF,则四边形

BD,那么四边形BCFD为平

1

BC.

2

CF,所以

FC

行四边形,

DF BC。因为

,所以

DE

法4:如图所示,过点E作MN∥AB,过点A作AM∥BC,则四边形ABNM为平行四边形,易证AEMCEN,从而点E是MN的中点,易证四边形ADEM和BDEN都为平行四边形,所以DE=AM=NC=BN,DE∥BC,即DE

1

BC。

2

法5:如图所示,过三个顶点分别向中位线作垂线.

二、教学说明

1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程:“二维”转化为“一维”

在引导学生探索三角形中位线定理时,由于学生画出中位线后,就不难直观地发现平行关系,难的是发现数量关系,我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题,挖掘它与原有知识的内在联系,从而作如下探索引导。 ⑴如图,A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点,D、E分别是AB、AC的中点,线段DE与BC有什么关系?

C

图⑴:

⑵如果点A不在直线BC上,图形如何变化?上述结论仍然成立吗?

C

图⑵:

说明:学生观察(几何画板制作的)课件演示:当△ABC的顶点A运动到直线BC上时,中位线DE也运动到BC上,这样由“二维”转化为“一维”,学生就不难猜想性质的两方面,特别是数量关系,而想到去度量、验证和猜想,水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度,是强扭的瓜不甜. 2、教学重点:本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

第一,要知道中位线定理的作用:可以证明两条直线平行及线段的倍分关系,计算边长或中位线的长。

第二,要知道中位线定理的使用形式,如:

∵ DE是△ABC的中位线

∴ DE∥BC,DE

第三,让学生通过部分题目进行训练,进而掌握和运用三角形中位线定理。 题1 如图4.11-7,Rt△ABC,∠BAC=90°,D、E分别为AB,BC的中点,点F在CA延长线上,∠FDA=∠B.

(1)求证:AF=DE;(2)若AC=6,BC=10,求四边形AEDF的周长

.

1

BC 2

分析 本题是考查知识点较多的综合题,它不但考查应用三角形中位线定理的能力,而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。

(1)要证AF=DE,因为它们刚好是四边形的一组对边,这就启发我们设法证明AEDF是平行四边形.因为DE是三角形的中位线,所以DE∥AC.又题给条件∠FDA=∠B,而在Rt△ABC中,因AE是斜边上的中线,故AE=EB.从而∠EAB=∠B.于是∠EAB=∠FDA.故得到AE∥DF.所以四边形AEDF为平行四边形.

11

(2)要求四边形AEDF的周长,关键在于求AE和DE,AE=2BC=5,DE=2AC

=3.

证明:(1)∵D、E分别为AB、BC的中点, ∴DE∥AC,即DE∥AF

∵Rt△ABC中,∠BAC=90°,BE=EC

1

∴EA=EB=2BC,∠EAB=∠B

又∵∠FDA=∠B, ∴∠EAB=∠FDA

∴EA∥DF,AEDF为平行四边形 ∴AF=DE

(2)∵AC=6,BC=10,

11

∴DE=2AC=3,AE=2BC=5

∴四边形AEDF的周长=2(AE+DE)=2(3+5)=16

题2 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,延长BA和CD分别与EF的延长线交于K、H。求证:∠BKE=∠CHE.

分析 本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质.由中点想到中位线,又要把结论联系起来,既要使中位线的另一端点处一理想的位置,又使需证明的角转移过来,可考虑,连BD,找BD中点G,则EG、FG分别为△BCD、△DBA的中位线,于是得到了解题方法.考虑到结论辅助线不要乱作,取中点比作平行线好.

证明:连BD并取BD的中点G,连FG、GE 在△DAB和△BCD中

∵F是AD的中点,E是BC的中点

11

∴FG∥AB且FG=2AB,EG∥DC且EG=2DC

∴∠BKE=∠GFE,∠CHE=∠GEF ∵AB=CD ∴FG=EG

∴∠GFE=∠GEF ∴∠BKE=∠CHE

题3 如图, ABCD为等腰梯形,AB∥CD,O为AC、BD的交点,P、R、Q分别为AO、DO、BC的中点,∠AOB=60°。求证:△PQR为等边三角形

.

分析 本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边

1

中线定理。利用条件可知PR=2AD,能否把PQ、RQ与AD(BC)联系起来成为解题

的关键,由于∠AOB=60°,OD=OC,则△ODC为等边三角形,再由R为OD中点,则∠BRC=90°,QR就为斜边BC的中线.

证明:连RC,∵四边形ABCD为等腰梯形且AB∥DC ∴AD=BC ∠ADC=∠BCD

又∵DC为公共边 ∴△ADC≌△BCD ∴∠ACD=∠BDC ∴△ODC为等腰三角形 ∵∠DOC=∠AOB=60° ∴△ODC为等边三角形 ∵R为OD的中点

∴∠ORC=90°=∠DRC(等腰三角形底边上的中线也是底边上的高)

11

∵Q为BC的中点 ∴RQ=2BC=2AD 11

同理PQ=2BC=2AD

在△OAD中 ∵P、R分别为AO、OD的中点

1

∴PR=2AD ∴PR=PQ=RQ

故△PRQ为等边三角形

3、教学难点:本课难点是三角形中位线定理的证明,证明方法的关键在于如何添加辅助线.

教师可以在证明思路上进行引导、启发,避免生硬地将辅助线直接作出来让学生接受。例如,教师可以启发学生:要证明一条线段的长等于另一条线段的长的一半,可将较短的线段延长一倍,或者截取较长的线段的一半。

上面的这种辅助线的作法可以概括为“短延长、长截短”,这种辅助线的作法还可以用于证明线段和、差、倍、分等方面。 证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略:

1, 长截短:要证明一条线段等于另外两条线段的和与差,可在长线上截取一

部分等于另两条线段中的一条,然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。(角也亦然)

2, 短延长:要证明一条线段等于另外两条线段的和与差,可先延长较短的一条线段,得到两条线段的和,然后再证明其与长的线段相等。(角也这样) 3, 加倍法:要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2,可加倍延长线段,延长后使之为其2倍,再证明与另一条线段相等。(角也这样)

4, 折半法:要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2,也可取长线段的中点,再证明其中之一与另一条线段相等。(角也可用)

5, 代数运算推理法:这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、分。

6, 相似三角形及比例线段法:利用相似三角形的性质进行推理论证。

题1(短延长):如图所示,在正方形ABCD中,P、Q分别为BC、CD上的点。 (1)若PAQ=45°,求证:PB+DQ=PQ。

(2)若△PCQ的周长等于正方形周长的一半,求证:PAQ=45°

Q

证明:(1)延长CB至E,使BE=DQ,连接AE。 ∵四边形ABCD是正方形

∴ABE=ABC=D=90°,AB=AD

在△ABE和△ADQ中

∵AB=AD,ABE=D,BE=DQ

ABEADQ

AEAQ,BAEQADPAQ45°BAPQAD45°BAPBAE45°, 即EAPPAQ45°

在AEP和AQP中

AEAQ,EAPPAQ,APAPAEPAQPEPPQ

EPEBBPDQBPPQ

即PBDQPQ

Q

(2)延长CB至E,使BE=DQ,连接AE 由(1)可知ABEADQ

AEAQ,BAEQAD

DAQBAQBAEBAQ90°PCQ的周长等于正方形周长的一半

PCQCQPBCCD

PQ(BCPC)(CDQC)BPDQBPEBEP在AEP和AQP中

AEAQ,EPPQ,APAPAEPAQP EAPPAQ45°

题2(长截短):如图,在△ABC中,∠B=2∠C,∠A的平分线AD交BC于D。求证:AC=AB+BD

AC上截取OA=AB,连接OD,

∵∠3=∠4,AD=AD

∴ △ABD≌△AOD,∴ BD=DO ∴∠B=∠1=∠2+∠C= 2∠C ∴ ∠2=∠C ∴ OD=OC=BD

∴ AC=OA+OC=AB+BD

明:在

范文五:三角形中位线用于证明 投稿:方唈唉

三角形中位线用于证明 江苏 庄亿农

三角形中位线定理不但反映了图形间线段的位置关系,而且还揭示了线段间的数量关系,利用这两点可以证明线段相等或平行。现例析如下,供同学们参考。

一、证明线段平行

例1:如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,AD⊥BD∥BC。 分析:要证明DE∥BC,因为E为AC中点,所以联想到

三角形中位线,故可延长AD交BC于F,想法证明D为AF 中点即可。

证明:延长AD交BC于F,因为BD平分∠ABC,所以 ∠ABD=∠CBD。因为AD⊥BD,所以∠BDA=∠BDF=90BDF,所以AD=FD。又因为AE=EC,所以DE∥FC,即DE∥BC(三角形中位线定理)。 点评:由于三角形中位线定理中有两条线段互相平行,所以利用这一点可以证明线段平行。

二、证明线段相等

例2:如图,已知在△ABC中,E是BC的中点,D是DE交AB于F。求证:DF=FE。

分析:取AC中点G,则EG为△ABC 的中位线,

可证得AB∥EG,又A为DG的中点,从而F为DE中点。

证明:取AC中点G,连结EG。因为AD=,DA=AG。又E、G分别为BC、AC中点,所以EG∥AB点评:此题还可以过点E作EH∥AC交AB于H,从而可证EH为中位线,再证△EHF≌△DAF,可得DF=FE。同学们不妨一试!

三、证明线段和差关系

例3:如图,已知BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB,AM⊥CE于M,AN⊥BD于N。求证:MN=1AC,所以21(AB+AC-BC)。 2

1分析:要证MN=(AB+AC-BC),即证AB+AC-2三角形的底边,故延长AM交BC于F,延长AN交BC于G易证2MN=FG,而FG=BG+FC-BC。又BG=AB,FC= AC 易证,故问题解决。

证明:分别延长AM、AN交BC于F、G。因为BD平分 ∠ABC,AN⊥BD,所以∠ABD=∠CBD,∠ANB=∠GNB=90又NB=NB,所以△ANB≌△GNB,所以AN=NG,AB=BG。同理可证△ACM≌△FCM,所以AM=MF,AC=CF。所以MN=11FG。又FG= BG+FC-BC= AB+AC-BC,所以MN=22(AB+AC-BC)。

点评:对于线段的一半的问题,可设法以其为中位线,找对应三角形的底边,转化为底边线段长的问题,再设法转化为所要证的。

范文六:三角形中位线定理的新证法及教学启示 投稿:卢锇锈

三角形中位线定理的证明有很多种方法,如全等三角形法、相似三角形法、坐标法等,本文给出一种“旋转构造”新方法.先看两个基本事实.

  又旋转.把△DEF分别绕DF、DE、EF的中点顺或逆时针旋转180°,经历图Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ;每次旋转后都标示角度、边长以利于数据凸显与逻辑思维的展开!由基本事实2依次得到:平行四边形ADEF、平行四边形BDFE、平行四边形DFCE.

  注意到已知的△DEF中有α+β+γ=180°,故A、D、B共线,B、E、C共线,A、F、C共线,即构成了一个大三角形且其边长分别为a、b、c,见图Ⅳ.

  显然,它就是与原已知的△ABC全等的三角形!

  教学启示 (1)初等数学研究的空间虽然很小很小了,但只要我们不断挖掘仍会有意想不到的创新的收获,特别是几何引进数学变换的观点下,无论是知识上还是教学上都会有突破!(2)利用此基本观点(变换观)可进一步改善八年级特殊四边形的教学:湘教版八年级下册第三章平行四边形一章内容多、繁、杂,如何有效“穿针引线”?

  受“基本事实2”的启发:充分利用湘教版的“变换”特点,由“任意三角形绕一边中点旋转180°后与原图形组成一个平行四边形”结论出发,依次按边、按角、按边角条件不断强化引出菱形、矩形、正方形课题!

  具体:从“边条件强化”,一般三角形变为等腰三角形绕底边中点顺(或逆)时针旋转180°后与原图形组成一个平行四边形吗?为什么?此平行四边形还有何特点?得出“一组邻边相等的平行四边形”是菱形的课题!再依次从“三大方面”(定义、性质、判定)、“四条线索”(边、角、对角线、对称性)等仿平行四边形展开菱形的学习!

  从“角条件强化”,一般三角形变为直角三角形绕斜边中点顺(或逆)时针旋转180°后与原图形组成一个平行四边形吗?为什么?此平行四边形还有何特点?得出“一个内角为直角的平行四边形”是矩形的课题!从菱形单元的启发,也依次从“三大方面”(定义、性质、判定)、“四条线索”(边、角、对角线、对称性)等展开矩形的学习!

  最后从“边和角条件同时强化”,一般三角形变为等腰直角三角形绕斜边中点顺(或逆)时针旋转180°后与原图形组成一个平行四边形吗?为什么?此平行四边形还有何特点?得出“一组邻边相等、一个内角为直角的平行四边形”是正方形的课题!从菱形、矩形单元学习的启发,也依次从“三大方面”(定义、性质、判定)、“四条线索”(边、角、对角线、对称性)等展开正方形的学习!

  显然,按上方式学习条理清晰、方向明确、思路自然,类比探究科学、顺路、流畅!对学生逻辑类比学习方法做了一个非常有效的铺垫和示范!

  作者简介 陈金红,男,1968年10生,中学高级教师.湖南省教育学会中学数学专业委员会会员.湖南省骨干教师、常德市优秀骨干教师、历届聘任的中学数学骨干教师;发表论文60多篇,参编国家、省级出版物5本.全国教育科学“十二五”规划2013年度教育部规划课题FHB130512《生命课堂视野下的教学案例研究》、湖南省教育学会课题NH4―21(已结题)主研员.

范文七:换个角度_再发现_三角形中位线定理证明的教学片断及反思 投稿:邹逆逇

10

󰀁(2011年第1期󰀁初中版)󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁

󰀁教材教法󰀁

换个角度󰀁再发现󰀁

󰀁󰀁󰀁三角形中位线定理证明的教学片断及反思

211500󰀁江苏省南京市六合区实验初级中学󰀁卞少云

󰀁󰀁新课程标准指出:在教学中,应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展,引导学生从问题出发,根据观察、实验的结果,运用归纳、类比的方法首先得出猜想,然后再进行证明,组织学生探索证明的不同思路,并进行适当的比较和讨论,这有利于开阔学生的视野;󰀁󰀁

在遵循螺旋上升的教学内容安排下,教材首先在七、八年级采用合情推理的方式探索󰀁标准󰀁规定的所有图形性质,并同时在此过程中不断引导学生学会󰀁有条理地思考,有条理地表达󰀁,然后在九年级证明(二)的教学中,引导学生学习用演绎推理的方法证明󰀁已经熟悉的结论󰀁.实际的教学中,很多教师都从回顾在八年级时,对图形所做的操作性情境入手,试图让学生从直观中得到证明的途径,然后重点进行形式化的论证表达,但这种看似将󰀁合情推理󰀁与󰀁演绎推理󰀁有机结合的方式,却无法回避一个现实,就是在大跨度的时间维度下,曾经的体验能否被迅速唤醒,同一个情境真的能再次引起学习的渴望吗?

本文拟以苏科版九(上)1.5中位线为例,谈谈有关定理证明的引入改进和思考.1󰀁

教材呈现

我们曾经通过将一张三角形纸片剪成两部分,并把它们拼成一个平行四边形,探索得到󰀁三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半󰀁这个结论.现在我们来证明三角形中位线定理.2󰀁案例片断

2.1󰀁在对称特征中引出话题2.1.1󰀁从常规问题入手

师:同学们还记得在一个已知平行四边形基础上构造新平行四边形的方法吗

?

2.2.2󰀁观察旋转的特殊位置,探寻结论的特殊性

师:当直线EF旋转到特殊位置󰀁󰀁󰀁与对角线BD

,󰀁󰀁在已知平行四边形的基础上,利用其中心对称性发现或构造全等三角形、新平行四边形.

由于学生在前面已经学习了平行四边形的性质和判定的论证及运用,并较系统研究了利用已知的平行四边形构造出新平行四边形的方法,如可以从边上、角上、对角线上取等量的方法构造.以上述知识经验作为设计探究问题的思维背景,可以马上让全体学生活跃起来,而不会像教材中的问题那样让人感觉到过于直白和生硬

.2.1.2󰀁反思方法原理

师:在不同的点E,F的取法上,有什么共性规律呢?

学生不难发现点E,F始终关于原平行四边形的中心

成对称,即点E,F始终经过中心点O.由此可让学生体会到内隐的证法原理.2.2󰀁在旋转变化中展开探索

2.2.1󰀁任意旋转可以得到一般性的结论

不论过点O的直线EF旋转到何种位置,都有󰀁BOE󰀁󰀁DOF,OE=OF,四边形EBFD为平行四边形

.

󰀁教材教法󰀁

证明吗

?

󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁

(2011年第1期󰀁初中版)

11

证法3󰀁延长FO至E,使FO=EO,连接DE,BE,FB.

2.4󰀁在类比回顾中建构重组

师:我们从平行四边形的中心对称性的再次研究

师:同学们看一看,直线EF还能够旋转到什么特殊的位置.

学生们很快就提出来,直线EF经过A,C,以及过边的中点等情形.

师:当直线EF旋转到特殊位置󰀁󰀁󰀁过边CD的中点时,你又能有什么特殊的发现呢

?

中,发现三角形的中位线定理竟然与之如此紧密相联,如同母子,实际上也是一种整体与局部的关系,这种从四边形中提炼出三角形定理的例子,你还能想到其它的吗?

此时教师引导学生观察直线EF经过CD中点时的图形,学生们陆续得出󰀁DFO󰀁󰀁BEO,OE=OF,四边形AEFD,四边形BEFC,四边形EBFD都是平行四边形等.2.3󰀁在提炼生成中主动发现

师:上面这种特殊位置能让你想到什么?

这样,把中位线问题的提出交到了学生的手里,学生的主体地位得到了较好的保障,而探究活动又与学生先前的学习活动紧密相连,既不显得突然,又可以深入

很快就有学生从三角形的角度进行观察,提出了三角形的中位线定理,教师从整体中抽取部分图形引导学生再探究

.

类比另一个重要定理的由来过程:从矩形的对角线性质提炼出的直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的例子.这样,就将教学放在了一个更高的如何研究数学问题的方法层面上.比如,如何从特殊到一般地提出问题,如何从三角形转化,过渡到四边形,或从四边形回到三角形,如何类比等等.不仅教学过程自然流畅,而且知识方法得以融会贯通,来胧去脉交待得清清楚楚,既梳理了旧知,又以此为基础生成了新知.3󰀁案例思考

证明教学应侧重于理性的思考.这是由于证明的自身规律所要求的,它强调的是规矩、依据、以理服人,是对问题源头的探寻和追溯,又自源头层层展开,条分缕析,环环相扣,是貌似呆板的严谨,我们不能因为曾经的󰀁繁、难、偏、旧󰀁就否认其在教育中的特有价值.新课改融入了大量的直观操作,加强了合情推理的教学,为后续的证明积累了坚实的感性基础.因此,我们应该及时引导学生跳出感性层面,用理性的眼光审视问题.把握知识脉络,而利用对已有的知识经验与方法,换一个角度,提出一些有一定挑战性的问题,不但有对旧知的󰀁温故󰀁,更能收到󰀁知新󰀁的效果.

(收稿日期:20101025)

师:你能证明三角形中位线定理吗?

因为有了丰富完整的探索经历,学生们在三角形与四边形的情境切换中轻松自如,证明顺畅,竟然还收获了多种证法.

证法1󰀁作BA󰀁CD,与FO的延长线交于点E;

2

范文八:梯形中位线定理证明 投稿:贺纁纂

梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半

如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,E、F分别是AB、CD边上的中点,求证:EF∥AD,且EF=(AD+BC)/2

证明:

连接AF并延长交BC的延长线于G。

∵AD∥BC

∴∠ADF=∠GCF

∵F是CD的中点

∴DF=FC

∵∠AFD=∠CFG

∴△ADF≌△GCF(ASA)

∴AF=FG,AD=CG

∴F是AG的中点

∵E是AB的中点

∴EF是△ABG的中位线

∴EF∥BG,EF=BG/2=(BC+CG)/2

∴EF=(AD+BC)/2

∵AD∥BC

∴EF∥AD∥BC

Ps:等腰梯形的面积公式:(上底+下底)*高/2

等腰梯形的中位线: (上底+下底)/2

即 用中位线求面积=中位线*高

范文九:三角形证明定理 投稿:高順頇

1、证明

(1)三角形全等的性质及判定

全等三角形的对应边相等,对应角也相等

判定:SSS、SAS、ASA、AAS、

(2)等腰三角形的判定、性质及推论

性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)

判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)

推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”)

(3)等边三角形的性质及判定定理

性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴。

判定定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。

(4)含30度的直角三角形的边的性质

定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、直角三角形

(1)勾股定理及其逆定理

定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。

(2)命题包括已知和结论两部分:逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理。

(3)直角三角形全等的判定定理

定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)

3、线段的垂直平分线

(1)线段垂直平分线的性质及判定

性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

(2)三角形三边的垂直平分线的性质

三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。

(3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线

分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线。

4、角平分线

(1)角平分线的性质及判定定理

性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;

判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。

(2)三角形三条角平分线的性质定理

性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。

(3)如何用尺规作图法作出角平分

范文十:三角形中位线定理 投稿:卢荳荴

课题:8.4三角形中位线定理

【学习目标】

1. 经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证能力。 2. 能准确叙述、证明三角形中位线定理。 3. 会运用三角形中位线定理解决相关问题。 【学习重点】

三角形中位线定理的证明及其应用。 学习过程: 【知识回顾】

1. 连接三角形_________________________ 叫做三角形的中线.

如图1:F是BC的中点,_______是△ABC的中线, 一个三角形有______条中线。 2. 平行四边形的判定方法:

____________________________ ___________________________ __ ______________________

______________

______ 【自学指导】 根据图2完成1、2两题(点D、E分别是AB、AC的中点)

1.三角形中位线定义:__________________________ 几何语言表示为:∵________________________

∴________________________

一个三角形共有______条中位线。

2.三角形中位线定理:__________________________ 几何语言表示为:∵________________________

∴________________________

1

3.证明三角形中位线定理:

如图3:在△ABC 中,DE是三角形的中位线, 求证: DE∥BC,证明:

DE1

 BC2

思考:你还有其它的证明方法吗?

【合作交流】:三角形中位线定理的证明方法. 【分层训练A】

1.如图,在△ABC中,DE是中位线,则 (1)若∠ADE=65°,则∠B= 度. (2)若BC=12cm,则DE= cm. (3)若DE=7cm,则BC = cm.

2.已知:在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,M是DC的中点,N是AB的中点.求证∠PMN=∠PNM.

2

【分层训练B】

3.如图,已知:点D,E,F分别是△ABC三边的中点,则 (1)图中共有_____个平行四边形,

与△DEF全等的三角形有_____个 (2)若C△DEF =3,则C△ABC= ____ (3)若S△DEF =6,则S△ABC= _____ 【分层训练C】

4.已知:如图,在四边形ABCD中E,F,G,H 分别为各边的中点, 求证:四边形EFGH是平行四边形.

【知识延伸】

(1)若对角线AC=BD,则顺次连接各边中点所得的四边形又是什么图形?

(2)若对角线AC⊥BD,则顺次连接各边中点所得的四边形又是什么图形?

3

E

(3)若对角线AC=BD 且AC⊥BD,则顺次连接各边中点所得的四边形又是什

么图形?

学以致用:

1.顺次连接矩形的各边中点所得的四边形是____________. .. 2.顺次连接菱形的各边中点所得的四边形是____________. .. 3.顺次连接正方形的各边中点所得的四边形是______. ...【课堂小结】

1.三角形中位线的定义。 2.三角形中位线定理。 3.三角形中位线定理的应用。 【作业设置】 必做:

1.教材93页,第1题、第3题. 2.整理导学案. 选做:

基础训练P79缤纷园与智慧园 【预习提示】

1、了解梯形中位线的定义 2、熟记梯形中位线定理

4

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